, 0 ; Decrece: 0 2, 0 ; 0, 2. d f x x x x. a f x. b f x. Solucionario tema 9: Estudio de Funciones. Ejercicio 1. Ejercicio 2
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- Fernando Navarro Silva
- hace 7 años
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1 Solucionario tema 9: Estudio de Funciones Ejercicio Estudia la gráica siguiente: Dominio Recorrido 0, 4 Puntos de corte con los Ejes Con el Eje Y: 0, 4 Puntos máimos y mínimos: Máimo absoluto: 0, No hay mínimos 4 Crecimiento Crece:, 0; Decrece: 0, Continuidad La unción es continua Simetrías Es simétrica respecto Eje Y Periodicidad No es periódica Ejercicio Dada las siguientes unciones, calcula los puntos de corte con los Ejes: a, 0 ; 0, b Esta unción no corta a los Ejes 6 0, 6;, 0;, 0;, 0 c 0, ;, 0;, 0;, 0 d
2 Ejercicio Calcula el dominio de las siguientes unciones: Se hace el análisis de signos en recta real.,, Rec 0, Dom g Se resuelve la inecuación del denominador (>0) 4 Dom,, Rec 0, Ejercicio 4 Halla el dominio de la unción : 4 6 Se pueden representar en la recta los dominios por separado, y así poder ver la zona común. Dom 4,, 6 4, 6
3 Ejercicio Completa: Dom () Rec () y, y 0 0 Puntos de corte Eje X Puntos de corte Eje Y 0 0,0,0 Continua? 0 Sí No tiene No tiene No y No tiene 0, Sí y, 0,,0 y,0 y 0 y cos, y,, 0,0 0 Sí 0 Sí No tiene 0, No 90º, 0ó, 0 y cada ±80º 0,,0 y 4, y 0, 0 Sí No tiene Sí 4,0 ;,0, 4 0 Sí No tiene 0, No y 0 0 Ininitos 0,0 Sí y e, 0 No tiene, 0 Sí
4 Ejercicio 6 Estudia la gráica siguiente: Dominio Recorrido, 7 0, Puntos de corte con los Ejes Eje X: 4, 0 ;, 0 ; 7, 0 Eje Y: 0, Crecimiento:,, Crece: Decrece:,,, 7 Puntos máimos y mínimos, 4 ;, Máimo relativos: Mínimos relativos:, 0 ;, 0 Continuidad La unción es continua en todo el dominio de deinición Simetrías Periodicidad La unción no es simétrica La unción no es periódica Ejercicio 7 Estudia la unción siguiente: Análisis previo de los trozos que componen la unción: Recta de pendiente positiva, y otra más de pendiente 0 (constante) 4 4 si si Dominio:,, (Sólo es necesario mirar Recorrido: dónde está deinido cada trozo), 4 (Recta de pendiente positiva, se calcula en el etremo a donde llega, más otra de pendiente 0) Puntos de corte con los ejes: (0,4) no está en el dominio de deinición Puntos máimos y mínimos: No hay, se trata de dos rectas Continuidad: No es continua: intervalo (-,) sin deinición 4
5 Ejercicio 8 Obtén la gráica de la unción anterior y completa el análisis: Crecimiento Crece : Constante : Simetría,, La unción no es simétrica Periodicidad La unción no es periódica Ejercicio 9 Estudia la continuidad de la unción: Las ramas son polinomios (continuas); si eiste discontinuidad será en los etremos: =-, =0. si X=- por la izda.: y=0; X=- por la dcha.: y=-; 4 si 0 En =- hay un salto. En =0; - =4; + =0; se produce otro salto. si 0 La unción no es continua o lo es en, 0 Ejercicio 0 En estas tres unciones, pueden las gráicas llegar tan arriba o tan abajo como queramos, o, por el contrario, no pueden superar un cierto valor, por arriba o por debajo? La unción está acotada ineriormente por. La unción está acotada superiormente por 0. La unción está ocotada ineriormente por 0 y superiormente por 4.
6 Ejercicio Determina las posibles cotas de las siguiente unciones: La unción está acotada ineriormente por 0. La unción no está acotada. ln La unción no está acotada. La unción está acotada superiormente por. Ejercicio Calcula el dominio, recorrido y la posible acotación de: orma puede escribirse?. De qué otra Poniendo ejemplos de positivas y negativas, podemos hacer un esbozo de la unción Dom Rec 0, Acotada ineriormente por 0. No está acotada superiormente. 0 si 0 si 0 6
7 Ejercicio Estudia la posible acotación y los máimos y mínimos, absolutos y relativos de la unción:. Ayúdate de la gráica de para encontrar las respuesta. (Pista: la parábola g tiene el mismo aspecto que la parábola por ecelencia h pero desplazada una unidad hacia abajo) 0 es cota inerior No tiene cota superior Máimo relativo: (0,) No tiene máimo absoluto Mínimos relativos: (-,0); (,0) No tiene mínimo absoluto 7
8 Ejercicio 4 Determina la posible simetría de las siguientes unciones: a) FUNCIÓN PAR b ) FUNCIÓN IMPAR c) FUNCIÓN IMPAR d ) FUNCIÓN PAR 4 7 e) FUNCIÓN PAR ) No es PAR ni IMPAR 4 g) No es PAR ni IMPAR h) FUNCIÓN PAR ) i FUNCIÓN PAR 6 ) j No es PAR ni IMPAR k) FUNCIÓN PAR l) No es PAR ni IMPAR 8
9 Ejercicio Averigua si las siguientes airmaciones son verdaderas (V) o alsas (F): Si el dominio de son sólo los números positivos, entonces no puede ser par Cualquier unción tiene que ser necesariamente par o impar Una unción puede ser creciente y decreciente a la vez Una unción puede ser a la vez periódica y simétrica Cualquier unción tiene que tener en su dominio al menos un máimo y un mínimo absolutos V F V V F Si a es decreciente, entonces g a es creciente V Ejercicio 6 Sabrías interpretar esa deinición? Apóyate en el ejemplo de la unción coseno y averigua su período (recuerda que se mide en radianes): Quiere decir que el valor de (altura que alcanza la variable) de una unción es la misma cada cierto intervalo. El periodo de la unción coseno (y en general, de todas las unciones trigonométricas) es T 9
10 Ejercicio 7 Calcula los dominios de las unciones anteriores: 0 a Dom 0 b Dom 0 c Dom d Dom 0 e Dom Dom 0 g Dom Ejercicio 8 Sean y g 4. Calcula: a b g g d g 4 6 e g 4 c g g Ejercicio 9 Sean si 0 si g y g a g b g si c g si 0 si 0 si 0 ; g. Calcula: 4 si 0 si 0 0
11 Ejercicio 0 A la vista de los ejercicios anteriores a qué conclusiones puedes llegar? La composición no es una operación conmutativa Se puede componer una unción consigo misma Ejercicio Dadas las unciones y a g g b g g g g, obtén las composiciones que se indican: c 4 d g g g 9 e g g g g g g g Ejercicio Dadas las unciones y g sen indican: sen sen sen, obtén las composiciones que se a g g b g g g sen c 6 sen sen sen d g g g g g
12 Ejercicio Dadas las unciones y g 4, calcula el dominio de: a g 4 Dom g 0 b c g 4 4 g g Dom g Dom 0,, 4 d g 4 Dom g, 9 e g g 4 4 Dom g Función recíproca Ejercicio 4 Qué tienen de particular las unciones h anteriores? Todas dan como resultado (unción identidad). h es la composición de y g. En todas se compone con g y g con. En todos los casos la composición es conmutativa. Ejercicio Cómo es cada unción respecto de cada unción g anterior? Inversas o recíprocas. Cada dunción h cumple con una propiedad de las unciones recíprocas: su composición da lugar a la unción identidad.
13 Ejercicio 6 Qué ocurre si componemos una unción cualquiera con la unción identidad? Pon un ejemplo. Es conmutativa la composición en este caso? Que se obtinene la propia unción. Ej: i i La composición de la unción identidad con otra unción cualquiera es conmutativa. i i Ejercicio 7 Qué aspecto tiene la unción identidad? Haz una breve tabla de valores y Ejercicio 8 Qué ocurre con las gráicas de y al hacer una composición? Que dan lugar a la unción identidad. Ambas unciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Ejercicio 9 Calcula la unción recíproca de las siguientes unciones: a b
14 Ejercicio 0 Calcula la unción recíproca de las siguientes unciones: a b c 4 d e g 8 Ejercicio Calcula la unción recíproca de y calcula los dominios de ambas unciones: 4 y ; 4 y 4 ; 4 y ; y 4 y 4 4 Dom 4 Dom 0 4
15 Ejercicio Comprueba que la unción inversa de la unción inversa es la propia unción, es decir, si: a ; y ; y ; y ; ; y ; y ; y ; b ; y ; y ; ; y ; y ; Ejercicio Calcula la unción recíproca de 4 y el dominio de y : y 4 y 4 ; ; y y 4; y y y 4; y y 4; y 4; y 4 Dom Dom
16 Ejercicio 4 Dadas las unciones a b g c g y g, calcula: No está deinida la unción para =. d g g g e g g 4 g Ejercicio. Calcula Sea con dan lugar a la unción identidad: y comprueba que la composición de con y de y ; y i i 6
17 Ejercicio 6 Para practicar más este último tipo de ejercicio puedes hacer las composiciones de cada unción con su inversa de los ejercicios 9 al 4 (ambos inclusive) 9a 9 b 0a 0b c 4 4 0d e (Sigue)) 7
18 0 Para el apartado g) consideraremos sólo la solución positiva de la raíz: g a (Sigue) 8
19 b a 4b Ejercicio 7 Sea si si 0 0. Calcula : si 0 si 0 Nota: Este resultado no es del todo correcto ya que para que eista la inversa de una unción deinida a trozos, ésta debe ser biyectiva, pero este concepto se estudia en cursos superiores. 9
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