TRIEDRO DE FRENET. γ(t) 3 T(t)

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1 TRIEDRO DE FRENET Matemática II Sea Γ R 3 una curva y ean γ : I = [a,b] R 3, γ(t = (x(t,y(t,z(t una parametrización regular y α : I = [a,b ] R 3 u parametrización repecto el parámetro arco. A partir de la primera y egunda derivada de la parametrización de la curva e contruye el triedro de Frenet. En cada punto regular de la curva γ(t, on tre vectore unitario y ortonormale, T(t, B(t y N(t. E decir, el triedro de Frenet e un itema de referencia ortonormal que no proporcionan importante información obre la curva. Decimo que e un itema de referencia móvil, porque e deplaza por la curva egún la recorremo. B(t γ(t 3 T(t N(t A partir de lo vectore del triedro de Frenet contruiremo plano (el oculador, el normal y el rectificante. También introduciremo lo concepto de curvatura y torión, que no darán información de cómo e dobla y retuerce la curva en el epacio. A lo largo del tema veremo cómo calcular lo ditinto elemento a partir de la parametrización arco y a partir de una parametrización cualquiera. VECTOR TANGENTE. CURVATURA Sea Γ R 3 una curva y ean γ : I = [a,b] R 3, γ(t = (x(t,y(t,z(t una parametrización regular y α : I = [a,b ] R 3 u parametrización repecto el parámetro arco. Tenemo que la recta tangente tiene por vector director a la derivada de una parametrización y la parametrización arco tiene derivada de módulo 1. E natural que e denomine ete vector, tangente unitario. Univeridad Antonio de Nebrija 1 Geometría diferencial de curva

2 Matemática II Definición.- Definimo el vector tangente unitario a Γ en p = α( como T( = α ( Nota.- Si tenemo una parametrización arbitraria γ de la curva Γ y p = γ(t. Entonce γ (t también no proporciona un vector tangente, entonce el vector tangente unitario en p e T(t = γ (t γ (t Al er el vector tangente unitario, u derivada no permite conocer u variación a lo largo del tiempo. E decir, la derivada det( mideel cambio dedirección del vector tangente a lo largo de la curva. No permite medir la curvatura. Definición.- Se llama curvatura de Γ en p = α( al ecalar k( = = α ( Nota.- Teniendo en cuenta que T(t = γ (t γ (t y que k( =, e tiene que = = 1 = 1 γ (t (TFInvera, t 1 = 1 = 1 ( = γ (t Entonce la curvatura en el punto p e k(t = 1 γ (t Cuanto má rápido varíe la tangente má grande erá la curvatura, entonce Si k = 0 entonce Γ e una recta. Si k 0 entonce Γ e curva y al valor ρ = 1/k e le denomina radio de curvatura. Univeridad Antonio de Nebrija 2 Geometría diferencial de curva

3 Matemática II Ejemplo.- Conideramo el arco de hélice parametrizado por γ(t = (3cot,3ent,4t, con t [0,2π]. Vamo a calcular u vector tangente y u curvatura uando eta parametrización y uando la parametrización arco. En primer lugar calcularemo lo dato para parametrización γ(t. La derivada de la parametrización e γ (t = ( 3ent,3cot,4 y u módulo e γ (t = 9en 2 t+9co 2 t+16 = 9+16 =. Aí que el vector tangente e ( T(t = γ (t γ (t = 3 ent, 3 cot, 4, t [0,2π] Calculamo la curvatura uando la parametrización γ. El módulo de la derivada del vector tangente e Por lo tanto la curvatura e ( = 3 cot, 3 ent,0 = 9 2 = 3 k(t = 1 γ (t = 3 1 = 3 2, t [0,2π] En la hélice la curvatura e contante, e 3 2. La curvatura no e nula (no e una recta, y por lo tanto el radio de curvatura e ρ = 2 3. A continuación realizaremo lo cálculo uando la parametrización arco. (t = t 0 γ (t = t 0 = t aíque = t,loqueimplicaqueelparámetroarcoet = /,ylaparametrización arco reulta ( ( ( α( = 3co,3en, 4, [0,10π] Uando la parametrización arco tenemo el mimo reultado para el punto p = α(, pero con un cálculo má encillo: y T( = α ( = ( 3 ( en, 3 ( co, 4, [0,10π] ( k( = α ( = 3 ( 2 co, 3 ( ( 3 2,0 2 en = = [0,10π] Univeridad Antonio de Nebrija 3 Geometría diferencial de curva

4 Matemática II VECTORES NORMAL Y BINORMAL. TRIEDRO DE FRENET Nótee que lo vectore y T( on ortogonale. En efecto, T( = 1, entonce y derivando repecto a 1 = T( = T( T( = α ( α ( 0 = 2α ( α ( = T p p Por lo tanto e tiene que el vector normal tiene la mima dirección que el vector derivada del vector tangente. Si queremo coniderar el vector unitario, dividiremo entre u norma = α (. Definición.- Definimo el vector normal unitario a Γ en p = α( como el vector N( = α ( α ( Nota.- Teniendo en cuenta que α ( = 1 γ (t ; también poee la dirección del vector normal. Entonce el vector normal unitario para el punto p = γ(t e N(t = Ejemplo.- Conideramo el arco de hélice parametrizado por γ(t = (3cot,3ent,4t, con t [0,2π]. Vamo a calcular u vector normal uando eta parametrización y uando la parametrización arco. Para la parametrización γ, teníamo que = ( 3 cot, 3 ent,0 y u módulo era 3, el vector normal para p = γ(t e N(t = = ( cot, ent,0 Y uando la parametrización arco, con α ( = ( 3 2 co(, 3 2 en(,0 y módulo 3 2, el vector normal para p = α( e N( = α ( ( ( ( α ( = co, en,0 Univeridad Antonio de Nebrija 4 Geometría diferencial de curva

5 Matemática II Terminaremo la contrucción del itema de referencia con un nuevo vector, el vector binormal. Lo vectore T p y N p forman un plano tangente a la curva en p que e llama plano oculador. Entonce T p N p e un vector unitario perpendicular al plano oculador. Definición.- Se define el vector binormal a Γ en p como el vector unitario: B = T N Ejemplo.- Conideramo el arco de hélice parametrizado por γ(t = (3cot,3ent,4t, con t [0,2π]. Vamo a calcular u vector binormal uando eta parametrización y uando la parametrización arco. Con la parametrización γ B(t = ı j k 3 ent 3 cot 4 cot ent 0 = ( 4 ent, 4 cot, 3 Con la parametrización arco B( = ı j k 3 ( ( 3 4 en ( co ( co en 0, 4 co(, 3 = ( 4 en( Univeridad Antonio de Nebrija Geometría diferencial de curva

6 Matemática II Nota.- Teniendo en cuenta B( = 1 α ( (α ( α ( = T( N( = α ( α ( α ( Entonce, e tiene que B( = α ( α ( α ( Definición.- Dada una curva Γ, para cada punto p = α( = γ(t, el conjunto {T(,N(,B(} = {T(,N(,B(} forma un itema de referencia ortonormal centrado en p y orientado poitivamente, llamado triedro de Frenet. El plano que generan T y N e denomina plano oculador. El plano que generan N y B e denomina plano normal. El plano que generan T y B e denomina plano rectificante. Univeridad Antonio de Nebrija 6 Geometría diferencial de curva

7 Matemática II TORSIÓN La variación del vector binormal no proporciona la torión de la curva. cuanto má rápido cambia éta, má rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y má retorcida e la curva. El ángulo, ω, que forma y (proporcional a N, e obtiene a travé del producto ecalar ( N( = ( N( co(ω Definición.- Se llama torión de Γ en p = α( al ecalar τ( = ( N( donde el punto denota producto ecalar de vectore. Nota.- Teniendo en cuenta que = = 1 γ (t, e tiene que la torión en el punto p = γ(t e τ(t = 1 γ (t ( (t N(t Nota.- Una curva e plana i y olo i u torión e 0 en todo punto Ejemplo.- Conideramo el arco de hélice parametrizado por γ(t = (3cot,3ent,4t, con t [0,2π]. Vamo a calcular u torión uando eta parametrización y uando la parametrización arco. Para la parametrización γ hay que calcular la derivada del vector binormal (t = d ( 4 ent, 4 cot, 3 = ( 4 cot, 4 ent,0 Univeridad Antonio de Nebrija 7 Geometría diferencial de curva

8 Matemática II Entonce (t N(t == ( 4 cot, 4 ent,0 ( cot, ent,0 = 4 co2 t 4 en2 t = 4 La torión e ( τ(t = 1 γ (t (t N(t = 1 ( 4 = 4 2 Para la parametrización arco. Solamente tenemo que calcular la derivada del vector binormal: ( = d ( 4 en(, 4 co(, 3 = ( 4 2 co(, 4 2 en(,0 La torión e τ( = ( N( = ( 4 2 co(, 4 2 en( ( (,0 co (, en,0 = 4 2 co2( en2( = 4 2 FÓRMULAS DE FRENET Teorema.- Para el triedro de Frenet e cumplen la iguiente fórmula: ( = k( N( dn ( = k( T(+τ( B( ( = τ( N( Demotración.- Para la primera fórmula teníamo que N( = α ( α ( y k( = α (. Por lo tanto, ( = α ( = N( α ( = N( k( Univeridad Antonio de Nebrija 8 Geometría diferencial de curva

9 Matemática II Ante de demotrar la egunda fórmula, neceitamo demotrar la tercera. Se tiene que la torión τ( = ( N(, entonce ( τ( N( = ( N( N( = ( N( = ( Para la egunda fórmula, obérvee que N( = N( N(, y derivando ete expreión tenemo que dn N + N dn = 0. E decir, e tiene que el vector ( pertenece al plano rectificante: dn dn = λ 1 T(+λ 2 B( Calcularemo primero λ 1 utilizando que T N = 0. Derivando la expreión e tiene que d dn (T( N( = ( N(+T( ( = (k( N( N(+T( (λ 1 T(+λ 2 B( = k(+λ 1 +0 = 0 Entonce, λ 1 = k(. Para λ 2 utilizaremo que B = T N y la primera y tercera fórmula de Frenet. Por un lado, ( = d (T( N( = dn ( N(+T( ( = (k( N( N(+T( (λ 1 T(+λ 2 B( = 0+0+λ 2 (T( B( = λ 2 ( N( Y por otro lado, ( = τ( N(, entonce λ 2 = τ(. ACELERACIÓN NORMAL Y TANGENCIAL. Vamo a ver otra forma alternativa de calcular la curvatura y la torión a partir de la parametrización γ. Para ello recurriremo a la interpretación fíica de γ como la función poición de una partícula que recorre una trayectoria. Recordamo que entonce γ (t = v(t e el vector velocidad y en particular: v(t = γ (t = γ (t T(t Univeridad Antonio de Nebrija 9 Geometría diferencial de curva

10 Matemática II derivando eta expreión obtenemo la aceleración, que decompondremo como uma de la aceleracione tangencial y normal: a(t = v (t = γ (t = d ( γ (t T(t = d γ (t = d γ (t = d γ (t T(t+ γ (t (t T(t+ v(t (t N(t T(t+k(t v(t 2 N(t Definición.- Se llama aceleración tangencial a la componente de la aceleración en la dirección del vector tangente cuyo módulo e: a T (t = d γ (t Se llama aceleración normal a la componente de la aceleración en la dirección del vector normal cuyo módulo e: a N (t = k(t v(t 2 EXPRESIÓN DE LA CURVATURA Tomamo el producto vectorial de la velocidad v y la aceleración a: v(t a(t = v(t ( a T (t T(t+a N (t N(t Lo producto ecalar y vectorial tienen la propiedad ditributiva, y como a T y a N on contante alen fuera del producto vectorial: v(t a(t = a T (t (v(t T(t +a N (t (v(t N(t Tomando el módulo: = a T (t (( v(t T(t T(t +a N (t (( v(t T(t N(t = a T (t v(t (T(t T(t +a N (t v(t (T(t N(t = a N (t v(t B(t v(t a(t = a N (t v(t B(t = an (t v(t = k(t v(t 3 Univeridad Antonio de Nebrija 10 Geometría diferencial de curva

11 Matemática II Finalmente de aquí podemo depejar la curvatura k(t = v(t a(t v(t 3 = γ (t γ (t γ (t 3 Ejemplo.- Habíamo vito anteriormente que el arco de hélice parametrizado por γ(t = (3cot,3ent,4t, con t [0,2π] tiene curvatura 3/2. Vamo a volver a calcularla con la expreión anterior. Teníamo que γ (t = ( 3ent,3cot,4 y γ (t = ( 3cot, 3ent,0, aí que: γ (t γ (t = lo módulo on ı j k 3ent 3cot 4 3cot 3ent 0 = (12ent, 12cot,9 γ (t γ (t = 12 2 en 2 t+12 2 co 2 t+9 2 = 1 γ (t = 9co 2 t+9en 2 t+16 = aí que la curvatura e: κ = 1 3 = 3 2 EXPRESIÓN DE LA TORSIÓN Como vimo, B = T N e el vector unitario en la dirección del producto vectorial, aí que: B(t = v(t a(t v(t a(t = γ (t γ (t γ (t γ (t utituimo eta expreión en la de la torión ( v(t a(t a ( (t γ (t γ (t γ (t τ(t = = v(t a(t γ (t γ (t Ejemplo.- Habíamo vito anteriormente que el arco de hélice parametrizado por γ(t = (3cot,3ent,4t, con t [0,2π] tiene torión 4/2. Vamo a volver a calcularla con la nueva expreión. Teníamo que γ (t γ (t y u módulo, y la tercera derivada e γ (t = (3ent, 3cot,0, aí que τ(t = (12ent, 12cot,9 (3ent, 3cot,0 = 36en2 t+36co 2 t 1 2 = = 4 2 Univeridad Antonio de Nebrija 11 Geometría diferencial de curva

12 Matemática II Ejemplo.- Vamo a calcular el triedro de Frenet, la curvatura y la torión de la curva γ(t = (ent,t 2,e t,t R en el punto γ(0 = (0,0,1. En el tema anterio vimo que la invera de la función parámetro arco era difícil de calcular, por eta razón utlizaremo directamente la parametrización dada. T(t = γ (t γ (t = (cot,2t,et (cot,2t,e t = (cot,2t,et co 2 t+4t 2 +e 2t Entonce, el vector tangente unitario en el punto (0,0,1 e T(0 = (1,0,1 ( 1 1 = 2,0, Para la curvatura, k(t = γ (t (t. Si utilizamo eta expreión, tendremo que derivar T(t = (cot,2t,et co 2 t+2t 2 +e2t. Para evitar eta derivación podemo utilizar la otra expreión de la curvatura k(t = γ (t γ (t γ (t 3 = (cot,2t,et ( ent,2,e t (cot,2t,e t 3 Entonce, la curvatura en el punto (0,0,1 e k(0 = γ (t γ (t γ (t 3 = (1,0,1 (0,2,1 (1,0,1 3 i j k ( 2, 1,2 2 = = 1 = Para el vector unitario normal tenemo N(t = (t 1 (t. Para evitar de nuevo calcular (t, podemo calcular B(t = γ (t γ (t γ (t γ (t y depué N(t = B(t T(t: B(t = γ (t γ (t γ (t γ (t = (cot,2t,et ( ent,2,e t (cot,2t,e t ( ent,2,e t Univeridad Antonio de Nebrija 12 Geometría diferencial de curva

13 Matemática II Entonce, el vector binormal en el punto (0,0,1 e B(0 = (1,0,1 (0,2,1 (1,0,1 (0,2,1 = ( 2, 1,2 ( 2, 1,2 = ( 2 3, 1 3, 2 3 Entonce, el vector normal en el punto (0,0,1 e N(0 = B(0 T(0 = ( ( 2 3, 1 3, ,0, i j k = ( = 1 3, 4 2 3, Finalmente la torión en el punto (0,0,1 e τ(0 = = ( γ (0 γ (0 γ (0 γ (0 γ (0 (( (cot,2t,e t ( ent,2,e t = ( 2, 1,2 ( 1,0,0 ( 2, 1,2 = ( cot,0,e t (cot,2t,e t ( ent,2,e t t=0 Univeridad Antonio de Nebrija 13 Geometría diferencial de curva

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