Supremo e ínfimo. Números irracionales

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1 Tema 4 Supremo e ífimo. Números irracioales Completamos e este tema la presetació de los úmeros reales, estudiado las propiedades más importates de R, las que se deduce del axioma del cotiuo. Para aplicar cómodamete dicho axioma usaremos las ocioes de supremo e ífimo, imprescidibles e Aálisis. La existecia de úmeros irracioales será uestro primer objetivo. Después itetaremos eteder la distribució de los úmeros racioales e irracioales sobre la recta real. Fialmete haremos u breve estudio de los subcojutos de R que más utilidad tedrá e lo que sigue, los itervalos, y cocluiremos probado que R o es umerable, co lo que quedará claro que los úmeros irracioales abuda mucho más que los racioales Supremo e ífimo El axioma del cotiuo tiee u sigificado ituitivo muy claro, pero casi uca se usa tal como lo hemos euciado. Para aplicarlo co más comodidad sirve las ocioes que ahora vamos a presetar. Dado u cojuto o vacío A R, se dice que A está mayorado cuado existe y R tal que y a para todo a A. E tal caso decimos tambié que y es u mayorate de A, así que A está mayorado cuado admite u mayorate. Aálogamete decimos que A está miorado cuado admite u miorate, esto es, u x R tal que x a para todo a A. Cuado A está a la vez mayorado y miorado decimos que está acotado. Resaltamos la relació etre las ocioes de mayorate y máximo o de miorate y míimo. La diferecia esecial estriba e que u mayorate o miorate de u cojuto o tiee por qué perteecer al cojuto. De hecho, si u cojuto A de úmeros reales tiee máximo, etoces máx A es el úico elemeto de A que es mayorate de A. Aálogamete, el míimo de u cojuto, si existe, es el úico miorate de dicho cojuto que perteece al mismo. 24

2 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 25 Veamos alguos ejemplos secillos de las ocioes recié itroducidas. El cojuto R o está mayorado i miorado. El cojuto R o está miorado, pero sí está mayorado, el cojuto de sus mayorates es R + 0 y iguo de ellos perteece a R, de ahí que R o tega máximo. El cojuto R + 0 o está mayorado, el cojuto de sus miorates es R 0, 0 = mí R+ 0 y todos los elemetos de R so miorates de R + 0 que o le perteece. Fialmete, el cojuto A = {a R : 0 a < 1} está acotado, R 0 es el cojuto de los miorates de A y 0 = mí A. El cojuto de los mayorates de A es {y R : y 1} y A o tiee máximo. Es obvio que si y es u mayorate de u cojuto A y tomamos z R co z > y, tambié z es mayorate de A, pero al sustituir y por z hemos perdido iformació. Podríamos decir que u mayorate es tato más útil cuato más pequeño sea, lo que os lleva a pregutaros si el cojuto de los mayorates tiee míimo. Aálogamete, para u cojuto miorado, podemos pregutaros si el cojuto de sus miorates tiee máximo. El axioma del cotiuo os permitirá cotestar afirmativamete ambas pregutas: Teorema (Existecia de supremo e ífimo). Si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y mayorado, etoces el cojuto de los mayorates de A tiee míimo, que recibe el ombre de supremo del cojuto A y se represeta por sup A. Aálogamete, si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y miorado, etoces el cojuto de los miorates de A tiee máximo, que recibe el ombre de ífimo del cojuto A y se represeta por íf A. Demostració. E efecto, sea A u cojuto o vacío y mayorado de úmeros reales, y sea B el cojuto de todos los mayorates de A. Por defiició de mayorate teemos a b para cualesquiera a A y b B. El axioma del cotiuo os proporcioa u x R verificado que a x b, tambié para todo a A y todo b B. Pero etoces está claro que x es mayorate de A y es meor o igual que cualquier otro mayorate de A, luego es el míimo del cojuto de los mayorates de A, como queríamos. Para la existecia del ífimo se razoa de maera aáloga, usado u cojuto miorado y el cojuto de sus miorates. Naturalmete, si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y acotado, etoces A tiee supremo e ífimo, siedo evidete que: íf A sup A. La siguiete observació ayuda a compreder rápidamete la utilidad de las ocioes de supremo e ífimo. Para u cojuto mayorado A, está claro que u úmero real y es mayorate de A si, y sólo si, y sup A. Así pues, el cojuto de los mayorates de A es {y R : y sup A}. Segú la defiició de mayorate, lo que teemos es la siguiete equivalecia: a y a A sup A y Obsérvese que a la izquierda de esta equivalecia teemos tatas desigualdades como elemetos de A, pero mirado a la derecha, la oció de supremo os ha permitido reducir todas esas desigualdades a ua sola.

3 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 26 Para el ífimo teemos la equivalecia aáloga: x a a A x íf A. Veamos ahora la relació etre las ocioes de supremo y máximo, o ífimo y míimo. Si u cojuto o vacío A R o está mayorado, o podrá teer máximo i supremo, así que supogamos que A está mayorado, co lo que sabemos que tiee supremo y podrá teer máximo o o. Si A tiee máximo, etoces máx A es u mayorate de A, pero como máx A A, todo mayorate de A será mayor o igual que máx A, así que máx A = sup A y e particular, sup A A. Recíprocamete, si sup A A, etoces sup A es u mayorate de A que perteece al cojuto A, luego A tiee máximo, y de uevo máx A = sup A. E resume, para u cojuto A R, o vacío y mayorado, hemos visto que A tiee máximo si, y sólo si, sup A A, e cuyo caso máx A = sup A. Aálogamete, u cojuto o vacío y miorado A R tiee míimo si, y sólo si, íf A A, e cuyo caso, mí A = íf A. La relació recié cometada explica que usemos el supremo o el ífimo de u cojuto como sucedáeo de u máximo o míimo que o existe, o al meos o sabemos si existe. A este respecto puede ser útil u paralelismo que vamos a establecer etre la defiició del máximo de u cojuto y ua caracterizació del supremo que se comprueba si dificultad. Cocretamete, dado u cojuto o vacío A R y u α R, se tiee { { a α a A a α a A α = máx A α = sup A α A ε R + a A : α ε < a Ituitivamete, la diferecia es que, mietras el máximo de u cojuto ha de perteecer al cojuto, el supremo sólo ha de teer elemetos del cojuto ta cerca como se quiera. Naturalmete, aáloga comparació se puede hacer etre míimo e ífimo: { { a α a A a α a A α = mí A α = íf A α A ε R + a A : a < α + ε U ejemplo que ya hemos usado ateriormete sirve para ilustrar las ocioes de supremo e ífimo y su relació co las de máximo y míimo. Para el cojuto A = {a R : 0 a < 1} se tiee que mí A = íf A = 0, sup A = 1 / A y A o tiee máximo Raíz -ésima Como primera aplicació de la existecia de supremo, vamos a probar ua importate propiedad de los úmeros reales positivos: Teorema (Existecia de raíz -ésima). Dado N, para cada x R + existe u úico y R + tal que y = x. Se dice que y es la raíz -ésima de x, simbólicamete: y = x. Demostració. Empezamos co dos observacioes secillas. La primera es la siguiete: δ R, 0 δ 1 = (1 + δ) k k 1 δ k N (1)

4 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 27 Esta desigualdad se comprueba fácilmete por iducció. Para k = 1 es evidete, de hecho teemos la igualdad. Supoiedo que la desigualdad es cierta para u k N, teemos (1 + δ) k+1 = (1 + δ) k (1 + δ) (1 + 3 k 1 δ)(1 + δ) = k 1 δ + δ + 3 k 1 δ k 1 δ + 3 k 1 δ + 3 k 1 δ = k δ dode hemos usado que 3 k 1 1 y que δ 2 δ, por ser 0 δ 1. Teemos así la desigualdad buscada para el úmero atural k + 1. Fijado ya N, vamos co la seguda observació: ρ R, ρ > 1 = δ R + : (1 + δ) ρ (2) E efecto, si ρ > , basta tomar δ = 1 y aplicar la desigualdad (1). Si ρ tomamos δ = (ρ 1)/3 1, co lo que 0 δ 1 y (1) os dice que (1+δ) δ = ρ. Etramos ya e la demostració propiamete dicha. Dado x R +, supogamos de mometo que x 1, lo que hace que el cojuto A = {z R + : z x} o sea vacío, pues 1 A. Además, para z R co z > x, se tiee z > x x y z / A, luego x es mayorate de A. Podemos pues defiir y = sup A 1, y veremos que y = x, comprobado que, tato si y < x como si y > x, se llega a cotradicció. Supoiedo y < x podemos aplicar (2) co ρ = x/y > 1, obteiedo u δ R + tal que (1 + δ) x/y, es decir ( (1 + δ)y ) x. Pero etoces la defiició del cojuto A os dice que (1 + δ)y A, de dode (1 + δ)y supa = y, lo cual es ua cotradicció, porque δ R +. Supoiedo y > x aplicamos tambié (2) pero co ρ = y /x > 1, obteiedo u δ R + que ahora verifica (1+δ) y /x. Escribiedo para simplificar w = y/(1+δ), teemos x w. Para z A se tedrá z x w, luego z w. Pero etoces w es u mayorate del cojuto A y por tato w sup A = y, es decir, otra vez y (1 + δ)y, la misma cotradicció. Así pues, teemos y = x lo que prueba la existecia de y e el caso x 1. Si 0 < x < 1, teemos 1/x > 1 luego, por lo ya demostrado, existe u R + tal que u = 1/x, y basta tomar y = 1/u R + para teer y = x. Fialmete, la uicidad de y está clara: para z R + co z y, o bie z < y, co lo que z < y = x, o bie z > y, co lo que z > y = x; e cualquier caso z x. Ni que decir tiee, para = 1 la afirmació del teorema aterior es perfectamete obvia: 1 x = x. Para = 2 teemos la raíz cuadrada y escribimos x e lugar de 2 x. Para = 3 teemos la raíz cúbica 3 x, para = 4 la raíz cuarta 4 x, etc. Auque e el teorema aterior sólo se usa úmeros positivos, podemos ahora fácilmete, para cualesquiera x R y N, discutir las solucioes reales de la ecuació y = x. Para x = 0, dicha ecuació tiee solució úica, y = 0, luego es coherete defiir 0 = 0 para todo N. Para x R hay que distiguir dos casos: Si es par, teemos ( y) = y 0 para todo y R. Para x R, la ecuació o tiee solucioes reales, mietras que para x R +, tiee exactamete dos: ± x. Si es impar, teemos ( y) = y para todo y R. Defiiedo x = x para todo x R, vemos que, para todo x R, x es la úica solució real de la ecuació y = x.

5 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Números irracioales Recordemos que los úmeros reales que o so racioales se deomia irracioales. No se usa ua otació especial para el cojuto de los úmeros irracioales, es simplemete el cojuto R \ Q. La existecia de raíces eésimas os permitirá ecotrar abudates úmeros irracioales. Empezamos co u caso muy secillo, probado que o existe r Q tal que r 2 = 2, co lo que obligadamete 2 R \ Q. El siguiete razoamieto se atribuye a Hipaso de Metapoto, miembro de la escuela pitagórica (siglo V a.c.): Supogamos que existiese r Q, co r > 0, tal que r 2 = 2, para llegar a cotradicció. Podemos etoces escribir r = p/q dode p,q N so primos etre sí, de forma que la fracció p/q sea irreducible. Puesto que p 2 = 2q 2, observamos que p 2 es u úmero par y, por tato, p tambié es par. Escribiedo etoces p = 2h co h N, tedremos 2q 2 = p 2 = 4h 2 de dode q 2 = 2h 2. Etoces q 2 es par, luego q es par y hemos llegado a ua cotradicció: p y q so pares, luego o so primos etre sí. Usado esecialmete el mismo razoamieto, podemos llegar mucho más lejos: Dados,m N, m es u úmero atural o u úmero irracioal. Bastará probar que si m Q, etoces m N. Siguiedo la pista del razoamieto aterior, es atural expresar m como ua fracció irreducible, lo cual es bastate fácil, basta pesar que ua fracció es irreducible cuado su deomiador es el más pequeño posible. Por hipótesis, el cojuto {k N : k m N} o es vacío, lo que os permite defiir q = mí{k N : k m N} Teemos etoces que p = q m N y obviamete m = p/q. La demostració se cocluirá probado que q = 1, co lo que m = p N. Supogamos por el cotrario que q > 1, e cuyo caso ha de existir u úmero primo s > 1 que divide a q (si el propio q fuese primo tomaríamos s = q). Puesto que p = mq vemos que s divide a p, pero al ser s u úmero primo, esto implica que s divide a p. Escribiedo p = sh y q = sk co h,k N teemos evidetemete m = h/k, luego k m = h N, es decir, k perteece al cojuto cuyo míimo es q, ua cotradicció: k q = sk > k. Podemos ya poer e marcha toda ua fábrica de úmeros irracioales. Fijados, k N, para cualquier m N que verifique k < m < (k+1) tedremos k < m < k+1 luego m / N, así que m R\Q. Por ejemplo, tomado = 2 y k = 1 obteemos que 2 y 3 so úmeros irracioales, co k = 2 obteemos que m R\Q para m = 5,6,7,8, y así sucesivamete. Pero tambié podemos usar raíces cúbicas: 3 m R \ Q para todo m N que verifique 1 < m < 8, o bie 8 < m < 27, etc. Aú podemos icremetar uestra colecció de úmeros irracioales si pesamos que, tomado α R \ Q (por ejemplo α = 2) y r,s Q co s 0, se tiee que r + sα R \ Q. E efecto, si fuese r + sα = t Q tedríamos α = (t r)/s Q, ua cotradicció.

6 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 29 Tomado s = 1 e la afirmació aterior, vemos que la suma de u úmero racioal co u irracioal es irracioal, mietras que tomado r = 0 obteemos que el producto de u úmero irracioal por u racioal o ulo es irracioal. Coviee aclarar que la suma de dos úmeros irracioales puede ser racioal o irracioal. Por ejemplo, 1+ 2 y 1 2 so irracioales, pero su suma es 2. Por otra parte, 2+ 2 = 2 2 R\Q. Tambié es claro que el producto de dos úmeros irracioales puede ser racioal o irracioal Propiedad arquimediaa Es atural pregutarse cómo podemos situar los úmeros irracioales sobre la recta real. La preguta o es ada fácil, como se puede probablemete adiviar, pero vamos a obteer bastate iformació al respecto. Empezaremos co la que se cooce como propiedad arquimediaa del orde de R: el cojuto N o está mayorado, es decir, para todo x R existe N tal que > x. Para los úmeros racioales esto es evidete: si r Q, o bie r 0 < 1 o bie r = m/ co m, N, e cuyo caso r < m + 1. Para los irracioales el resultado o es ta obvio, pero tambié es cierto. De hecho probaremos u resultado más geeral: Teorema. Sea A u cojuto o vacío de úmeros eteros. (i) Si A está mayorado, etoces A tiee máximo. E particular, N o está mayorado. (ii) Si A está miorado, etoces A tiee míimo. (iii) Si A está acotado, etoces A es fiito. Demostració. (i) es secillo, usado la existecia de supremo: sea z = sup A. Etoces z 1 o puede ser mayorate de A, luego existe k A tal que z 1 < k. Para todo a A, se tiee etoces a z < k +1 de dode, por ser a y k úmeros eteros, deducimos que a k. Por tato, k = máx A, como se quería. Está claro ahora que N o puede estar mayorado, puesto que o tiee máximo. La demostració de (ii) es aáloga, usado la existecia de ífimo. Alterativamete, basta aplicar (i) al cojuto mayorado B = { a : a A}, y observar que mí A = máx B. Fialmete, si A está acotado, podemos tomar p = mí A y defiir f (a) = a p + 1 para todo a A, obteiedo ua aplicació f : A N que claramete es iyectiva, así que A es equipotete a f (A) y bastará ver que f (A) es fiito. Ahora bie, tomado q = máx A teemos claramete f (a) q p + 1 para todo a A, luego f (A) es fiito por estar coteido e el cojuto fiito { N : q p + 1}. Veamos ua cosecuecia útil del teorema aterior: fijado x R, el cojuto {k Z : k x} o es vacío, pues tomado N tal que x <, es claro que perteece a dicho cojuto. Teemos así u cojuto de úmeros eteros o vacío y claramete mayorado, luego tiee máximo, que recibe el ombre de parte etera de x, y se deota por E(x). Así pues: E(x) = máx{k Z : k x} x R Teemos claramete que E(x) Z y E(x) x < E(x) + 1. De hecho, E(x) se caracteriza por esas dos codicioes, es decir: si k Z verifica que k x < k + 1, etoces k = E(x).

7 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 30 Alguas propiedades secillas de la parte etera se deduce de esta caracterizació. Por ejemplo, si x R y p Z se tiee claramete E(x) + p x + p < E(x) + p + 1, de dode deducimos que E(x + p) = E(x) + p. E geeral, la defiició de la parte etera os dice que E(x + y) E(x) + E(y) x,y R puesto que E(x) + E(y) Z y E(x) + E(y) x + y. La desigualdad recié probada puede ser estricta: tomado x = y = 1/2 teemos claramete E(x) + E(y) = 0 < 1 = E(x + y) Desidad de Q e R Para x R \ Q, ya teemos cierta iformació sobre la situació de x e la recta real: debe ser u puto del segmeto de extremos E(x) y E(x) + 1. Para afiar mucho mejor, usaremos la pricipal cosecuecia de la propiedad arquimediaa de R: etre cada dos úmeros reales distitos, siempre existe u úmero racioal. Es costumbre referirse a esta propiedad diciedo que Q es deso e R. Más cocretamete, dado u cojuto D R, se dice que D es deso e R cuado para cualesquiera x,y R co x < y, existe d D tal que x < d < y. Pues bie, vamos a ver que Q es deso e R y, co poco esfuerzo adicioal, probaremos que tambié R \ Q es deso e R. Teorema (Desidad de Q y de R \ Q e R). Para cualesquiera x,y R co x < y, existe r Q verificado que x < r < y. Tambié existe β R \ Q tal que x < β < y. Demostració. Para ecotrar r empezamos tomado = E ( 1/(y x) ) +1, que claramete verifica N y > 1/(y x), de dode 1/ < y x. Tomado etoces p = E(x) + 1 Z, comprobaremos imediatamete que x < p/ < y, luego bastará tomar r = p/ Q. E efecto: x = x < p x + 1 = x + 1 < x + (y x) = y Para probar la existecia de β, aplicamos dos veces lo ya demostrado, obteiedo r, s Q tales que x < r < s < y. Fijado α R \ Q co 0 < α < 1 (por ejemplo α = 2 1), basta tomar β = r + (s r)α, para teer claramete β R \ Q y x < r < β < s < y. La siguiete cosecuecia imediata de la desidad de Q e R es importate, pues poe de maifiesto cómo podemos obteer todos los úmeros reales a partir de los racioales: Para todo x R se tiee: sup{r Q : r < x} = x = íf{s Q : s > x}. Veamos co detalle la demostració de la primera igualdad, pues la seguda se prueba de forma aáloga. Claramete el cojuto A = {r Q : r < x} o es vacío y x es mayorate de A. Poiedo z = sup A, teemos por tato z x, pero si fuese z < x, la desidad de Q e R os daría u r Q tal que z < r < x, pero etoces r A y z o sería mayorate de A, ua cotradicció. Luego z = x como queríamos.

8 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 31 Volvamos a la iterpretació geométrica de los úmeros reales. Mediate la costrucció geométrica que vimos e su mometo, habíamos situado sobre la recta los úmeros racioales. Para la imesa mayoría de los úmeros irracioales, o es posible idear ua costrucció geométrica que permita situarlos e la recta. Si embargo, el resultado recié obteido permite covecerse de que a cada úmero real correspode u úico puto de la recta real, y viceversa. Cocretamete, cada x R debe correspoderse co el úico puto de la recta que está situado a la derecha de r para todo r Q que verifique r < x, y a la izquierda de s para todo s Q que verifique s > x. Es claramete admisible, desde u puto de vista ituitivo, que de esta forma teemos ua correspodecia biuívoca etre úmeros reales y putos de la recta. Como es atural eteder que, para x R +, el segmeto de extremos 0 y x tiee logitud x, queda claro que los úmeros reales permite medir la logitud de cualquier segmeto. De maera más geeral, e vez de la logitud, podemos cosiderar otras magitudes físicas: área, volume, tiempo, masa, eergía, temperatura, carga eléctrica, etc. Los úmeros reales permite medir cualquier catidad de esas magitudes físicas, es decir, cuatificar la relació etre dicha catidad y ua fija que se toma como uidad. Teemos así ua iterpretació física de los úmeros reales Itervalos Vamos a presetar varios tipos de subcojutos destacados de R, que se usa co mucha frecuecia, recibe el ombre geérico de itervalos y tiee ua iterpretació geométrica muy ituitiva. Además de R y el cojuto vacío, que ambos so itervalos, teemos: Los segmetos, o itervalos acotados, de extremos a,b R, co a b, coteiedo o o dichos extremos, por lo que puede ser de cuatro tipos: Cerrado: [a,b] = {x R : a x b} Abierto: ]a,b[= {x R : a < x < b} Semiabierto por la izquierda: ]a,b] = {x R : a < x b} Semiabierto por la derecha: [a,b[= {x R : a x < b} Las semirrectas, que tambié puede ser de cuatro tipos: A la derecha, cerrada: [a,+ [= {x R : a x} A la derecha, abierta: ]a,+ [= {x R : a < x} A la izquierda, cerrada: ],b] = {x R : x b} A la izquierda abierta: ],b[= {x R : x < b} Obsérvese que, para a R, el itervalo cerrado y acotado [a,a] se reduce al puto a, mietras que ]a,a[= [a,a[=]a,a] = /0. Se etiede por itervalo o trivial u itervalo que o es vacío i se reduce a u puto, es decir, que tiee al meos dos putos distitos. Como es la primera vez que aparece, debe quedar claro que los símbolos, y + so exactamete eso, símbolos, si más sigificado que el que les demos e cada mometo.

9 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 32 Teemos pues e total diez tipos de itervalos: /0, R, cuatro tipos de itervalos acotados y cuatro tipos de semirrectas. Mediate los coceptos de supremo e ífimo vamos a obteer ahora ua útil caracterizació de los itervalos, es decir, u criterio que os permite decidir si u subcojuto de R es o o u itervalo, idepedietemete del tipo de itervalo de que se trate. La caracterizació es la siguiete: Para u cojuto I R, las siguietes afirmacioes so equivaletes: (i) I es u itervalo (ii) Para cualesquiera x,y I co x < y, si z R verifica x < z < y, etoces z I. Dicho de forma ituitiva, u subcojuto de R es u itervalo cuado, siempre que cotega dos putos distitos, ha de coteer todos los itermedios. La afirmació (i) (ii) es casi evidete. Si I = /0 o I = R, es obvio que I verifica (ii). E otro caso I viee defiido por ua o dos desigualdades (segú se trate de ua semirrecta o de u segmeto) que puede ser o o estrictas. Ahora bie, para x,y I co x < y, si z R verifica x < z < y, puesto que tato x como y cumple las desigualdades que defie a I, es claro que tambié z ha de verificarlas, luego z I. Por ejemplo, e el caso I = [a,b[ co a,b R, a < b, tedríamos a x < z < y < b, luego z I. Los demás casos so aálogos. (ii) (i). Supogamos que I R verifica la codició (ii) para probar que I es u itervalo, cosa que obviamete ocurre cuado I = /0. Para I /0 puede darse cuatro casos, segú I esté o o mayorado y miorado: (a) I o está mayorado i miorado. Dado z R, puesto que z o puede ser miorate i mayorate de I, existirá u x I tal que x < z, así como u y I tal que z < y. Deducimos de (ii) que z I, pero z R era arbitrario, luego I = R es u itervalo. (b) I está miorado pero o mayorado. Tomamos a = íf I siedo claro que I [a,+ [. Por otra parte, para z ]a,+ [ se tiee que z o puede ser miorate de I, luego existe x I tal que x < z. Pero z tampoco puede ser mayorate de I luego existe y I tal que z < y. La codició (ii) os dice que z I, co lo que teemos ]a,+ [ I [a,+ [. Ahora sólo puede darse dos casos: o bie a I, co lo que I = [a,+ [, o bie a / I, e cuyo caso I =]a,+ [. E cualquier caso, I es ua semirrecta a la derecha. (c) I está mayorado pero o miorado. U razoamieto aálogo al caso aterior, tomado b = sup I permite probar que I es ua semirrecta a la izquierda: I =],b[ o I =],b]. (d) I está acotado. Tomamos a = íf I y b = sup I para probar que I es u itervalo acotado co extremos a y b. Si z ]a,b[, z o podrá ser mayorate i miorate de I, luego existirá x,y I tales que x < z < y; pero etoces z I, luego ]a,b[ I [a,b]. Esa doble iclusió os deja solamete cuatro posibilidades: I =]a,b[, I = [a,b[, I =]a,b] o I = [a,b]. Como ejemplo que ilustra bie la utilidad de la caracterizació recié obteida, podemos probar fácilmete lo siguiete La itersecció de cualquier familia de itervalos es u itervalo. Más cocretamete, si Λ es u cojuto o vacío y, para cada λ Λ teemos u itervalo I λ R, etoces el cojuto I = λ ΛI λ es u itervalo. E efecto, dados x,y I co x < y, si z R verifica x < z < y, debemos ver que z I. Pero esto es evidete: para todo λ Λ, teemos que x,y I λ, luego z I λ por ser I λ u itervalo.

10 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Itervalos ecajados El isige matemático alemá Georg Cator ( ) descubrió ua útil propiedad de la recta real que eseguida vamos a demostrar, y la usó para probar que R o es umerable. Pricipio de los itervalos ecajados. Supogamos que, para cada N, teemos u itervalo cerrado y acotado J = [a,b ], co a b, y cada uo de estos itervalos cotiee al siguiete: J +1 J para todo N. Etoces la itersecció J o es vacía, es decir, existe x R tal que x J para todo N. Demostració. Empezamos observado, mediate ua obvia iducció, que J +k J para cualesquiera,k N. Usado etoces que a +k,b +k J, teemos N a b +k, a +k b,k N de dode se deduce claramete que a i b j para cualesquiera i, j N. Equivaletemete, si cosideramos los cojutos A = {a : N} y B = {b : N}, teemos que a b para cualesquiera a A y b B. El axioma del cotiuo os asegura que existe u x R verificado que a x b para cualesquiera a A y b B. Es claro etoces que x J, para todo N. Veamos ahora cómo usó Cator el pricipio aterior para probar que R o es umerable: Teorema. Todo itervalo o trivial es u cojuto o umerable. Demostració. Se basará e costruir por iducció itervalos ecajados, iterado u proceso secillo: dados u itervalo I = [a,b] co a < b y u z R, existe otro itervalo J = [c,d] I co c < d, tal que z / J. Esto es evidete: si z / I se puede tomar J = I, si z = a se toma a < c < b y d = b, mietras que si a < z b basta tomar c = a y a < d < z. E cualquier caso es c < d y tomado J = [c,d], se tiee z / J I. Pues bie, fijados a,b R co a < b, para probar que [a,b] o es umerable, veremos que ua aplicació f : N [a, b] uca puede ser sobreyectiva, es decir, f (N) [a, b]. Empezamos tomado u itervalo J 1 como sigue: J 1 = [a 1,b 1 ] [a,b], a 1 < b 1, f (1) / J 1 Supoiedo que, para u N, dispoemos ya de u itervalo J = [a,b ], co a < b, tal que f () / J, costruimos el itervalo J +1 de la siguiete forma: J +1 = [a +1,b +1 ] J, a +1 < b +1, f ( + 1) / J +1 Por iducció, hemos defiido ua familia {J : N} de itervalos ecajados, verificado que f () / J para todo N. El pricipio de los itervalos ecajados os proporcioa u x R tal que x J para todo N. Etoces x J 1 [a,b] y para cualquier N se tiee x f (), ya que x J mietras f () / J. Así pues, x [a,b] \ f (N) y f o es sobreyectiva. Fialmete, si H es u itervalo o trivial, existe a,b H tales que a < b. Puesto que [a,b] H y sabemos ya que [a,b] o es umerable, H tampoco puede serlo.

11 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Números algebraicos y trascedetes Resaltamos que el cojuto R \ Q de los úmeros irracioales o es umerable, pues si lo fuese, tambié lo sería R = Q (R \ Q). Ituitivamete, podríamos decir que la imesa mayoría de los úmeros reales so irracioales. Coviee resaltar que e realidad, para probar que R \ Q o es umerable, o hemos usado que R \ Q /0. Teemos así ua demostració alterativa, o sólo de la existecia, sio de la abudacia de úmeros irracioales. Auque parezca sorpredete, a veces podemos probar que u cojuto o es umerable, luego ituitivamete muy grade, si saber a priori que dicho cojuto o es vacío. E lo que sigue, vamos a ilustrar este procedimieto viedo que la imesa mayoría de los úmeros irracioales o se parece e ada a los que ya coocemos. Se dice que u úmero real es algebraico cuado se puede obteer como solució de ua ecuació algebraica co coeficietes eteros. Expliquemos co más detalle lo que esto sigifica: Por poliomio co coeficietes eteros etederemos ua fució P : R R de la forma P(z) = a k z k = a 0 + a 1 z a z z R (3) k=0 dode N y a 0,a 1,...,a Z. Cuado a 0 decimos que el poliomio P tiee grado. Para cada N, deotaremos por P al cojuto de los poliomios co coeficietes eteros de grado y P será el cojuto de todos los poliomios co coeficietes eteros que o sea costates, es decir, P = P N Pues bie, se dice que x R es u úmero algebraico, cuado existe u poliomio P P tal que P(x) = 0. Deotaremos por A al cojuto de los úmeros algebraicos. Por ejemplo, es evidete que todo úmero racioal es algebraico: Q A. Dados,m N, tambié es claro que x = m es u úmero algebraico, pues se verifica evidetemete que m x = 0. A partir de aquí, o es difícil adiviar que todos los úmeros irracioales que hasta ahora coocemos so algebraicos. Se dice que u úmero real es trascedete cuado o es algebraico. Auque por el mometo o podamos asegurar que exista úmeros trascedetes, vamos a probar que la imesa mayoría de los úmeros reales so trascedetes: El cojuto de los úmeros algebraicos es umerable. Por tato, el cojuto de los úmeros trascedetes o es umerable. Empezamos viedo que, para todo N, el cojuto P es umerable. Para mayor comodidad, coviee cosiderar el cojuto Q de los poliomios de la forma (3), si exigir que sea a 0. Así pues Q está formado por poliomios co coeficietes eteros de grado meor o igual que, icluyedo los poliomios costates. Puesto que evidetemete P Q, bastará ver que Q es umerable para todo N, cosa que haremos por iducció. Para = 1 basta pesar que Z Z es umerable y que si a cada (a,b) Z Z asociamos el poliomio defiido por P(z) = a + bz para todo z R, obteemos ua aplicació sobreyectiva de Z Z e Q 1.

12 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 35 Supoiedo que Q es umerable, se tedrá tambié que Q Z es umerable. Etoces, si a cada par (Q,c) Q Z asociamos el poliomio defiido por P(z) = Q(z) + cz +1 para todo z R, obteemos evidetemete ua aplicació sobreyectiva de Q Z e Q +1, luego Q +1 es umerable. Sabiedo que P es umerable para todo N, deducimos que P es umerable, por ser ua uió umerable de cojutos umerables. Fialmete, basta teer e cueta u hecho bie coocido: para cada P P, el cojuto C(P) = {x R : P(x) = 0} es fiito. Por tato, escribiedo A = P PC(P), observamos que A es ua uió umerable de cojutos fiitos, luego es umerable. Naturalmete, deducimos que el cojuto R \ A o puede ser umerable, pues si lo fuera, R = A (R \ A) tambié lo sería Ejercicios 1. Sea A u cojuto o vacío de úmeros reales. E cada uo de los siguietes casos, decidir si el cojuto dado puede ser el cojuto de todos los mayorates de A: a) R; b) /0; c) R + ; d) {x R : 0 x < 1}; e) {x R : 2 x} 2. Sea A y B cojutos de úmeros reales tales que /0 B A. Probar que: (i) Si A está mayorado, etoces B está mayorado co sup B sup A. (ii) Si A está miorado, etoces B está miorado co íf B íf A. 3. Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales. Probar las siguietes afirmacioes: (i) A B está mayorado si, y sólo si, A y B está mayorados, e cuyo caso: sup(a B) = máx{sup A, sup B} (ii) A B está miorado si, y sólo si, A y B está miorados, e cuyo caso: íf(a B) = mí{íf A, íf B} 4. Sea A y B cojutos de úmeros reales tales que A B /0. (i) Mostrar co u ejemplo que A B puede estar acotado, o estado A y B mayorados i miorados. (ii) Supoiedo que A y B está mayorados, probar que sup(a B) mí{sup A, sup B} (iii) Probar que, si A y B está miorados, etoces íf(a B) máx{íf A, íf B} (iv) Probar que, si A y B está acotados, las dos desigualdades obteidas e (ii) y (iii) puede ser estrictas.

13 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales y cosideremos el cojuto C = {a b : a A, b B} Probar que C está mayorado si, y sólo si, A está mayorado y B está miorado, e cuyo caso se tiee: sup(c) = sup A íf B. 6. Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales positivos, y cosideremos el cojuto: C = {ab : a A, b B} (i) Probar que C está mayorado si, y sólo si, A y B está mayorados, e cuyo caso: sup(c) = sup A sup B (ii) Probar tambié que íf(c) = íf A íf B 7. Sea A u cojuto o vacío de úmeros reales positivos y cosideremos el cojuto: A 1 = {a 1 : a A} Probar que A 1 está mayorado si, y sólo si íf A > 0, e cuyo caso: sup ( A 1) = (íf A) 1 8. Probar que el cojuto A = {x R : x 2 2x 1 < 2 x 2 } está acotado y calcular su supremo y su ífimo. Tiee A máximo y míimo? 9. Probar que: k=1 1 k 2 N 10. Probar que: ab a + b Probar que para a,b R + se verifica que: a,b R +. Cuádo se da la igualdad? a 2(a + b) b < 1 1 b a + b 12. Probar por iducció que para y 1,y 2,...,y R + se tiee k=1 y k = 1 = y k k=1 dádose la igualdad si, y sólo si, y 1 = y 2 =... = y = 1. Deducir la llamada desigualdad de las medias : para x 1,x 2,...,x R +, se tiee Cuádo se da la igualdad? k=1x k 1 x k k=1 13. Probar que, para N co > 1, se tiee: (2k 1) < y ( + 1! < 2 k=1 )

14 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Probar que 3 es u úmero irracioal Probar que Q o verifica el axioma del cotiuo, es decir, mostrar dos cojutos A,B Q tales que a b para cualesquiera A A y b B, pero o existe x Q verificado que a x b para todo a A y todo b B. 16. E cada uo de los siguietes casos, comprobar que el cojuto que se idica está acotado, calcular su supremo e ífimo, y dilucidar si tiee máximo y míimo: A = {x R : x 2 + x < 2}; B = {x Q : x 2 3}; C = {x R + \ Q : x 2 2} 17. Comprobar las siguietes igualdades: sup {1 1 } : N = 1; íf { 1 m + 1 } 2 : m, N = Probar que si I,J so itervalos verificado que I J /0, etoces I J es u itervalo. 19. Sea A,B itervalos o vacíos y acotados, tales que A B /0. Probar que íf(a B) = máx{íf A, íf B} y sup(a B) = mí{sup A, sup B} Comparar este resultado co el ejercicio Para cada N se cosidera los itervalos I =]0,1/] y J = [,+ [. Obsérvese que I +1 I y J +1 J para todo N. Probar que, si embargo, I = J = /0 N Qué relació guarda estos ejemplos co el pricipio de los itervalos ecajados? N