TEORÍA DE CONJUNTOS.

Transcripción

1 TEORÍA DE CONJUNTOS.

2 NOCIÓN DE CONJUNTO: Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos. Pueden existir conjuntos formados por un o ningún elemento. Ejemplos: Los días de la semana Los países del continente americano. Los jugadores de un equipo de fútbol.

3 NOTACIÓN: Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas por comas y encerrados con llaves.

4 EJEMPLOS: Las Vocales del Alfabeto V = {a, e, i, o, u} V = Nombre del conjunto en mayúscula a, e, i, o, u = Nombre de los elementos en minúscula. Los enteros positivos impares menores a 10 I = {1, 3, 5, 7, 9} Los elementos pueden ser también números. Los días de la semana A = los días de la semana Los elementos pueden ser cosas con características en común.

5 REPRESENTACIÓN: Diagrama de Venn Notación: Nombre del Conjunto Elementos del conjunto A

6 RELACIÓN DE PERTENENCIA ( ) Se establece esta relación sólo de integrante a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado....pertenece a... :... no pertenece a.. : Ejemplo: C = 1, 2, 5, 16 2 C 8 C 5 C

7 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Un conjunto está bien determinado si se sabe exactamente cuáles son los elementos que pertenecen a él o cuáles no. Se puede determinar un conjunto: a)por Extensión o por enumeración. Cuando se nombre cada uno de sus elementos. Ejemplos: A = a, e, i, o, u C = 2, 4, 6, 8 El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenecen a él. De este modo en el conjunto A = a, e, i, o, u = a, o, u, i, e

8 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO b) Por Comprensión Consiste en indicar la característica o propiedad común a todos los elementos del conjunto. B = n / n es una vocal C = n / n Z,1 n 7

9 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO Indica la cantidad de elementos del conjunto y se denota como n (A), siendo A el conjunto. Ejemplos: A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5 P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4

10 CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS Según la cantidad de elementos se clasifican en: a) CONJUNTO VACÍO: Es aquel que no tiene elementos. Se representa por, también puede ser denotado por o { }. Ejemplo: M = o M = { } N = { z / z Z, 8 < z < 9} b) CONJUNTO UNITARIO: Es aquel que tiene sólo un elemento. Ejemplo: A = { } C = {x / x N, 7 > x > 5}

11 CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS c) CONJUNTO FINITO: Es aquel que tiene un número n de elementos definidos, n > 0. Ejemplo: las vocales. d) CONJUNTO INFINITO: Es aquel que no es finito, es decir tiene elementos no definidos. Ejemplo: R = {x / x N} S = {y / y Z}

12 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIÓN AMPLIA Un conjunto A está incluido ampliamente en un conjunto B, si todo elemento de A es también elemento de B. A = {polígonos} B = {polígonos} A B ( x, x A x B)

13 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIÓN ESTRICTA Un conjunto A está incluido estrictamente en un conjunto B, si todo elemento de A es también elemento de B, pero hay elementos de B que no pertenecen a A. A = {polígonos regulares} B = {polígonos} A B ( x, x A x B) ( y, y B y A)

14 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS IGUALDAD Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. A = {polígonos} B = {polígonos} A = B ( A B B A)

15 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. A = {frutas} B = {animales} A son disjuntos B ( x, x A x B) ( y, y B y A)

16 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTO DE CONJUNTOS Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos. A = {seres vivos} B = {plantas} C = {animales} D = {seres humanos}

17 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTO DE CONJUNTOS F = { {a},{b},{a, b},{a, b, c} } Los elementos del conjunto F también son conjuntos. {a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F

18 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTO POTENCIA El Conjunto Potencia de A, llamado también Conjunto de Partes de A, es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A. Notación P(A) Ejemplos: Sea A = x, y P(A) =, x, y, x, y n (P(A)) = 4 Sea B = { m, n, p} P(B) = {, {m},{n},{p},{m, n},{m, p}, {n, p}, {m, n, p}} n (P(B)) = 8

19 PAR ORDENADO Es un conjunto (LISTA) de 2 elementos para los cuales se considera el orden en que están ubicados. Notación (a, b) se lee par ordenado a, b 1º componente 2º componente (a, b) = (c, d) a = c b = d

20 PRODUCTO CARTESIANO Sean A y B dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de A por B y se escribe A x B, a un nuevo conjunto formado por todos los pares ordenados tales que el primer componente del par pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B. Ejemplo: A X B = {(a,b), a A b B} Sean A = {1, 2, 3} B = {a} A X B = {(1,a), (2,a), (3,a)}