Colegio Vedruna. Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. MAT4º ESO opción A. Prof.: Federico Arregui. Ejemplos resueltos

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Alejandro Peralta Duarte
hace 7 años
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1 CASOS ESTUDIADOS: 1. Inecuaciones con una sola incógnita De primer grado. 1.. De segundo grado.. Inecuaciones con dos incógnitas..1. De primer grado... De segundo grado. 3. Sistemas de inecuaciones. Ejemplos resueltos 1.1 Inecuaciones de primer grado con una única incógnita. Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: 5x + x 1 5x + x 1 4x 3 x 3 4 a) x b) mediante intervalos: 4,+ c) Representación sobre la recta real: -3/4 Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x + x 5 x Qué quiere decir esta expresión? O mejor, Cómo interpretar esta expresión? La inecuación que se lee, 5 8 es cierta, y lo es con independencia de las x, ya que éstas se han eliminado. Por tanto, quiere decir, que la inecuación original planteada es cierta siempre, o sea, para cualquier valor de x, ya que no depende de éstos. a) x (toda x perteneciente al conjunto de los números reales). b),+ ( ) c) Representación sobre la recta real:

2 Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x + x +1 x + x +1 1 Qué quiere decir esta expresión? O mejor, Cómo interpretar esta expresión? La inecuación, 1, es falsa siempre con independencia del valor que puedan tomar las x, ya que éstas se han eliminado. Por tanto, quiere decir, que la inecuación original planteada es FALSA siempre, y ello para cualquier valor de x, ya que no depende de éstos. La solución, la expresamos de la siguiente forma: { } (conjunto vacío) Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x x + x + 5 x + x + 3 x + 4 x 1 x 1 a) x 1 b) mediante intervalos: 1, [ ) c) Representación sobre la recta real: Inecuaciones de segundo grado, con una única incógnita. Partimos del conocimiento de que la representación gráfica de toda función de segundo grado tiene una representación gráfica en forma de parábola. Si el coeficiente de x es positivo, las ramas van hacia arriba, y si el coeficiente de x es negativo, las ramas se dirigen hacia abajo. Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x 5x + 6 > 0 1º) calculamos sus raíces: x = 5 ± = = =

3 Estas raíces determinan los puntos en los que la curva, corta al eje de abscisas. 3 está claro que para todas las x anteriores a x=, y para todas las posteriores a x=3, la función está por encima del eje de XX, o sea, toma valor positivo, es decir que cumple la inecuación propuesta. Por tanto la solución a la misma es:, ( ) ( 3, ) Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x 5x + 6 < 0 1º) calculamos sus raíces: x = 5 ± = = = Estas raíces determinan los puntos en los que la curva, corta al eje de abscisas. 3 está claro que para todas las x comprendidas entre x= y x=3, la función está por debajo del eje de XX, o sea, toma valor negativo, es decir que cumple la inecuación propuesta. Por tanto la solución a la misma es,,3 ( ) Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x + 4 > 0 1º) calculamos sus raíces: x = 4 º) No hay solución real. Es decir, que no tiene raíces. Por tanto, la curva no corta jamás al eje XX. De modo que, o la función está siempre por encima de dicho eje, o está siempre por debajo. En este caso, fijándonos en el coeficiente de x, que es positivo, sabemos que la curva tiene las ramas hacia arriba. Por tanto está siempre en el semiplano superior, y siempre es positiva. Está claro que para cualquier valor de x, la función está por encima del eje de XX, o sea, toma valor positivo, es decir que cumple la inecuación propuesta. Por tanto la solución a la misma es,, ( ) Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x + 4 < 0 1º) calculamos sus raíces: x = 4 No hay solución real. Es decir, no tiene raíces. Por tanto, la curva no corta nunca al eje XX. De modo que sabemos que la función, o está siempre por encima de dicho eje, o está siempre por debajo.

4 En este caso, fijándonos en el coeficiente de x, que es positivo, sabemos que la curva tiene las ramas hacia arriba. Por tanto está siempre en el semiplano superior, y siempre es positiva. Está claro que para cualquier valor de x, la función está por encima del eje de XX, o sea, toma valor positivo, es decir que no cumple jamás la inecuación propuesta. Por tanto la solución a la misma es, { } 1. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x +1 < y 3 1º.- Despejaremos siempre la y. x +1 < y 3 y > x + 4 º.- Representaremos gráficamente la ecuación correspondiente. y = x + 4 Si la ecuación dice y>f(x) entonces el semiplano por encima de la recta es la solución de la inecuación, como explicamos en clase. Si la ecuación dice y>f(x) entonces el semiplano por debajo de la recta es la solución de la inecuación, como explicamos en clase. 3º.- Como nuestra inecuación es y > x + 4, rayaremos o colorearemos el semiplano por encima de la recta: eso representa al conjunto de infinitos puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen dicha inecuación. Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: x + 3 > y + x 1 1º.- Despejaremos la y. x + 3 > y + x 1 y < x + 4

5 º.- Representaremos gráficamente la ecuación correspondiente. y = x + 4 Si la ecuación dice y>f(x) entonces el semiplano por encima de la recta es la solución de la ecuación. Si la ecuación dice y>f(x) entonces el semiplano por debajo de la recta es la solución de la ecuación. 3º.- Como nuestra inecuación es y < x + 4, rayaremos o colorearemos el semiplano por debajo de la recta: eso representa al conjunto de infinitos puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen dicha inecuación. 1. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Ejemplo: Resuelve la siguiente inecuación: y > x 5x + 6 1º.- Despejaremos siempre la y. (En este caso ya lo está). y > x 5x + 6 º.- Representaremos gráficamente la ecuación correspondiente. y = x 5x + 6 Si la ecuación dice y>f(x) entonces el semiplano por encima de la función es la solución de la ecuación. Si la ecuación dice y>f(x) entonces el semiplano por debajo de la función es la solución de la ecuación. 3º.- Como nuestra inecuación es y > x 5x + 6, rayaremos o colorearemos el semiplano por encima de la curva: eso representa al conjunto de infinitos puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen dicha inecuación.

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