CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS

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1 CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS. CONJUNTOS. Conjunto Un onjunto está ien definido undo se posee un riterio que permit firmr si un elemento pertenee o no diho onjunto.. Inlusión Un onjunto B está inluido en un onjunto A si todos los elementos de B tmién perteneen A. Se die entones que B es un suonjunto de A. Se esrie B A Un posile proedimiento pr demostrr que dos onjuntos son igules es ompror que todo elemento del primer onjunto pertenee l segundo y que todo elemento del segundo A B onjunto pertenee l primero. Es deir, plir que: A = B B A. Conjunto Vío Es el que ree de elementos. Se esrie Ø. Se le onsider inluido en ulquier onjunto: Ø A..4 Crdinl de un onjunto Se denomin rdinl del onjunto l nº de sus elementos, y se die que el onjunto es finito. Es usul utilizr l notión n(a) pr indir el rdinl del onjunto A. Por ejemplo: n ( voles) = 5. Si tiene infinitos elementos se die que el onjunto es infinito..5 Unión de onjuntos Se denomin unión de dos onjuntos l onjunto formdo por los elementos perteneientes l menos uno de los onjuntos. Se esrie A B.6 Interseión de onjuntos Se denomin interseión de dos onjuntos l onjunto formdo por los elementos omunes perteneientes mos onjuntos. Se esrie A B.7 Conjuntos disjuntos Son quellos uy interseión es el onjunto vío. Es deir, que no tienen elementos omunes. A B = Ø A B.8 Complementrio (o ontrrio) de un onjunto Prtiendo de un onjunto E (que se suele llmr universo) y de uno de sus suonjuntos A, llmremos omplementrio de A l onjunto formdo por todos los elementos de E que no perteneen A. Se esrie Ā (Tmién se utiliz el póstrofe: A ) Ovimente umplirán A A = E y A A = Ø E A Ā.9 Difereni de onjuntos Se denomin difereni de dos onjuntos l onjunto formdo por los elementos del primer onjunto que no pertenezn l segundo onjunto. Coinide on l interseión del primero on el omplementrio del segundo A B. Se esrie A B A A B B

2 .0 Difereni Simétri Se denomin difereni Simétri de dos onjuntos l onjunto formdo por los elementos de l unión de mos onjuntos y que no pertenezn su interseión. Coinide on l unión de sus dos diferenis: A B B A = A B B A. Se esrie A B ( ) ( ) ( ) ( ). Propieddes de ls operiones de onjuntos: Conmuttivs A U B = B U A A B = B A Asoitivs A U (B U C) = (A U B) U C A (B C) = (A B) C Distriutivs A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C) Idempotentes A U A = A A A = A Simplifitivs A U (A B) = A A (A U B) = A De Morgn A B = A B A B = A B Ests y otrs propieddes se pueden demostrr gráfimente medinte digrms de Venn. Vemos por ejemplo, l ª de De Morgn : A B = A B Est viñet muestr el ontrrio de A A B A B A B Est viñet muestr el ontrrio de B Est viñet muestr l zon omún del ontrrio de A on el ontrrio de B L viñet muestr l unión de A on B, que es ontrri de l nterior Ests propieddes pueden demostrrse tmién utilizndo ls tls de verdd de l lógi de predidos. Pr ello st on interpretr el lásio verddero / flso omo un: pertenee / no pertenee Por ejemplo, l tl de verdd de l ª de De Morgn A B = A B es l que sigue: A B A B A B A B A B v v f f f v f v f f v f v f f v v f f v f f f v v v f v L propiedd qued demostrd l ompror l iguldd entre ls olumns de A B y A B Vemos ómo se onstruye est tl rzonndo on el ª de los utro sos. Se un elemento que pertenee A pero no pertenee B. Perteneerá entones l ontrrio de B pero no l ontrrio de A, por lo que no pertenee su interseión. Por otro ldo, l perteneer A (unque no pertenez B), perteneerá A B y por lo tnto no perteneerá su ontrrio. A B A B A B A B A B v f f v f v f Los restntes sos se rzonrín de modo similr.

3 Por último, her ver que los utro sos de est tl de verdd se orresponden ls utro zons en que quedd dividido el universo l representr dos onjuntos. Son ls que se ven en el siguiente diujo numerds en el mismo orden de l tl. Pr tres onjuntos, resultrín oho sos, omo muestr el diujo siguiente:. Suonjuntos de un onjunto Ddo un onjunto, podemos onstruir otro formdo por todos sus suonjuntos. Si el onjunto es finito y n ontiene n elementos, el número totl de suonjuntos será ontndo desde el onjunto vío hst el propio onjunto ddo psndo por suonjuntos on un únio elemento, on dos elementos, et. A =,,,4 sus 4 = 6 suonjuntos serán: Por ejemplo, prtiendo del onjunto { } Ø, {}, {}, {}, {4}, {,}, {,}, {,4}, {,}, {,4}, {,4}, {,,}, {,,4}, {,,4}, {,,4}, {,,,4}

4 . RELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS. Produto rtesino de onjuntos Es el onjunto formdo por todos los pres ordendos posiles emprejndo un elemento del primer onjunto on otro del segundo onjunto. Se esrie: A x B A =, e, i, o, u Por ejemplo, ddos estos onjuntos: Su produto rtesino serí: A B = B = { } {,} {(,),(,),( e,),( e,),( i,),( i,),( o,),( o,),( u,),( u,) } Slvo onfusión, se pueden suprimir los préntesis y oms de d prej, quedndo sí: A B = {,, e, e, i, i, o, o, u, u}. Relión entre dos onjuntos Se llm relión entre dos onjuntos un suonjunto de su produto rtesino. Es deir, que elegimos on un ierto riterio lguns prejs de entre tods ls posiles. R =, e, i, o, u representrí l distinión entre voles ierts () y Ejemplo. El suonjunto { } errds (). Un relión se puede visulizr on lridd medinte flehs y digrms de Venn. L relión nterior se verí sí: En est relión, R expresrí que y están reliondos mientrs que l R thd R nos indirí que no lo están y. Un relión entre dos onjuntos on un número finito de elementos puede tmién indirse medinte un tl de dole entrd en l que en d eld se expres medinte un que dihos elementos están reliondos y medinte un 0 si no lo están. Por ejemplo, l relión nterior se verí sí: 0 e 0 i 0 o 0 u 0. Relión de equivleni Dd un relión de un onjunto onsigo mismo, se die que es de equivleni si umple ls tres propieddes siguientes: e i o u Reflexiv x xrx Es deir, que todo elemento, dee estr reliondo onsigo mismo Simétri Trnsitiv x, y x, y, z xry yrx xry xrz yrz Es deir, que, si existe un relión entre dos elementos, dee drse tmién en el orden ontrrio. Es deir, si un primer elemento está reliondo on un segundo, y éste lo está on un terero, dee existir relión entre el primero y el terero En ls reliones de equivleni se suele utilizr el símolo. Es deir, que en lugr de esriir xry pondrímos x y indindo l relión (equivleni) existente entre dihos elementos. 4

5 Por ejemplo l relión R = {,,,, } umple ls tres propieddes. Mientrs que S = {,,, } inumple l simétri, y que l prej oligrí que existier l prej. R S Si, en un onjunto finito, expresásemos l relión de equivleni medinte un tl, podrímos ver rápidmente si umple ls propieddes. Oservndo si en tods ls elds de l digonl prinipl está esrito un, omprorímos l propiedd reflexiv y oservndo l simetrí de ls restntes elds respeto de est digonl omprorímos l propiedd simétri. Ls siguientes tls son ls orrespondientes ls reliones nteriores. Los unos de l digonl prinipl nos segurn que ms reliones umplen l propiedd reflexiv mientrs que l simetrí mrd en rojo en l tl S nos indirí el inumplimiento de l propiedd simétri en dih relión. R S Pr ompror l propiedd trnsitiv se puede empler el produto de mtries y oservr l oloión de los eros..4 Clses de equivleni Tod relión de equivleni estlee un prtiión del onjunto en vrios suonjuntos, formdo d uno de ellos por los elementos que están reliondos entre sí. Cd uno de estos suonjuntos se llm lse de equivleni. Por ejemplo l nterior relión R se verí sí:.5 Un ejemplo de lses de equivleni: Clses de restos Un ejemplo lásio de lsifiión de los números enteros es el de ls lses de restos. Elegido un ierto número nturl omo módulo, se ordenn todos los números enteros en tnts fils omo diho módulo. Los infinitos números enteros que formen d fil formrín un lse de equivleni. Por ejemplo, ls lses de restos módulo : Clse Clse Clse Pr ser rápidmente qué lse pertenee un ierto elemento se us el resto de su división enter (no deiml) entre el módulo elegido. Si el resto es ero, o se que el número es múltiplo del módulo, perteneerí l fil superior, l llmd lse ero. En otro so, el resto (que estrá entre uno y el módulo menos uno) indirí l fil l que pertenee. Si número fuese negtivo se tú igul pero dividiendo de mner que el oiente se negtivo pero el resto positivo. El número 457 pertenee l lse y que l dividirlo entre result dos de resto y -5 pertenee l lse y que: 5 = ( ) +. 5

6 Se puede ompror que, dds dos lses, independientemente de los números elegidos de ms lses, su sum y su produto perteneen un lse determind. Por ejemplo, si elegimos el 0 omo representnte de l lse y el 8 de l lse, vemos que su sum pertenee l lse 0 y su produto l lse. Si repetimos el experimento mindo por el y el 0, vemos que ls lses de su sum y de su produto son ls misms de ntes. 0 Clse = 8 Clse 0 8 Clse 0 8 = 80 Clse Estos hehos nos llevrín esriir que, en módulo : Clse + 0 = Clse 0 0 Clse 0 = 60 Clse lse+ lse = lse0 lse lse = lse y nos permite definir dos operiones nuevs: sum y produto de lses de restos módulo. Sus tls de sumr y multiplir serín: + C0 C C x C0 C C C0 C0 C C C0 C0 C0 C0 C C C C0 C C0 C C C C C0 C C C0 C C Estudios similres se pueden relizr en otros módulos dndo lugr distints sums y multipliiones sin entrr en ontrdiión entre ells. Por ejemplo: lse lse = lse(en módulo 5) lse lse = lse (en módulo 4).6 Relión de orden Dd un relión de un onjunto onsigo mismo, se die que es de orden si umple ls siguientes tres propieddes: Reflexiv Antisimétri Trnsitiv x xrx Es deir, que ulquier elemento, dee estr reliondo onsigo mismo x, y xry Es deir, que no pueden existir dos elementos distintos que estén x = y yrx reliondos en los dos órdenes posiles x, y, z xry xrz yrz Es deir, si un primer elemento está reliondo on un segundo, y éste lo está on un terero, dee existir relión entre el primero y el terero Culquier ejemplo en el que ordenemos elementos se trtrá si seguro de un relión de orden. El orden de los números reles o el lfétio de ls letrs lo son. En ls reliones de orden se suele utilizr el símolo. Es deir, que en lugr de esriir R pondremos indindo l relión (orden) existente entre dihos elementos. Ls tres propieddes nteriores quedrín entones esrits sí: Reflexiv x x x Es deir, que ulquier elemento es menor o igul que sí mismo. De heho es igul. Antisimétri x, y x y Es deir, que no pueden existir dos elementos distintos que siendo el x = y primero menor o igul que el segundo, éste se menor o igul que el y x primero Trnsitiv x, y, z x y Es deir, si un primer elemento es menor o igul otro y éste es x z menor o igul que un terero, el primero deerá ser menor o igul l y z terero 6

7 . FUNCIÓN (o APLICACIÓN) ENTRE DOS CONJUNTOS. Definiión de funión (o pliión) entre dos onjuntos Se trt de un relión entre dos onjuntos que umple l ondiión de que todo elemento del primer onjunto dee estr reliondo on uno y sólo uno del segundo onjunto. Al primer onjunto se le llm dominio de l funión y l segundo onjunto odominio. A los elementos que iniin un relión funionl los llmremos orígenes y los que l finlizn imágenes. Tods ls imágenes formn un suonjunto del onjunto finl llmdo reorrido. A l funión f entre los onjuntos A y B se l puede represent simólimente sí: f : A B Ejemplos: No es un funión, y que está reliondo on más de un elemento del segundo onjunto. No es un funión, y que no está reliondo on ningún elemento del segundo onjunto. Sí es un funión. Que el elemento del º onjunto no esté reliondo on ningún elemento del º no inumple l definiión de funión. Dominio = {,,} Codominio = {,, } Reorrido = {, } Sí es un funión. Dominio = {,,} Codominio = {,, } Reorrido = {,, }. Tipos de funiones Según que umpln o no un serie de propieddes definiremos tres tipos de funiones: Inyetivs, Soreyetivs y Biyetivs... Funiones Inyetivs Un funión se die inyetiv si ningún elemento del onjunto finl tiene más de un origen... Funiones Soreyetivs Un funión se die soreyetiv si todo elemento del onjunto finl tiene l menos un origen. Tmién se les llm exhustivs o tmién supryetivs... Funiones Biyetivs Un funión se die Biyetiv si es Inyetiv y soreyetiv. Tmién se les llm Biunívos. Es inyetiv, pero no soreyetiv ( no tiene origen). Es soreyetiv, pero no es inyetiv ( tiene más de un origen). No es soreyetiv ( no tiene origen) ni inyetiv ( tiene más de un origen). Es iyetiv. 7

8 . Composiión de funiones Si tenemos dos funiones f : A B g : B C en ls que el onjunto finl de l primer funión oinide on el iniil de l ª, se puede rer un nuev funión que se denomin ompuest de ms y que se onstruye enlzndo los orígenes de l primer on ls imágenes de l segund. Se esrie simólimente sí: g o f : A C Ejemplo: α β α β α β L omposiión de funiones no es onmuttiv, es deir que, on ráter generl, no se umple que:. Vemos qué distints irunstnis se podrín dr: f o g = g o f Si el onjunto A es distinto del onjunto C, sólo estrá definid l omposiión en un ierto orden. Si A = C podrán omponerse en los dos sentidos, pero no podrín oinidir por estr definid l funión ompuest en un so sore A y en el otro so sore B. Si A = B = C mos omposiiones podrán herse y estrín definids sore el mismo onjunto. Pero ni siquier en este so está segurdo que oinidn ls dos omposiiones..4 Funión reípro de un funión iyetiv Dd un funión f iyetiv, se denomin reípro (tmién invers) quell en l que hemos intermido el onjunto iniil (on los orígenes) por el onjunto finl (on ls imágenes) y vievers. L nuev funión, que ovimente es tmién iyetiv, se esrie sí: f -. Ejemplo: f f - Si se ompone un funión on su reípro se otiene l funión identidd, es deir l que pli d elemento sore sí mismo. f f - 8

9 4. OPERACIONES BINARIAS 4. Definiión de operión inri Siendo A, B dos onjuntos no víos, se denomin operión inri ulquier funión f : A A B Est funión relion un prej ordend de elementos de A on un ierto elemento de B. Este heho lo podemos entender omo que hemos heho un operión entre los elementos de l prej dndo omo resultdo el elemento que indique su imgen. Si los dos onjuntos A, B son igules, se die que l operión está errd. Por ejemplo l sum de números plid l onjunto de los números nturles pres es un operión errd (pr + pr = pr), pero si l pliásemos l onjunto de los números nturles impres, dihs sums (impr + impr = pr) no perteneerín l onjunto de los impres, y no estrí l operión ien definid. Por ejemplo (,) 6 signifirí que l operión relizd entre el y el, en este orden, result 6. Pr gnr en lridd, el símolo fleh se sustituye por un símolo operionl: *, #, +, x et. (si no us onfusión, sin ningún símolo, omo suede on el produto de números reles). De ser el steriso, un operión podrí visulizrse sí: * = 6. Y no hy que olvidr que, l trtrse de un funión, dee estr definido el resultdo de ulquier operión y ser únio. Si A {, } = el siguiente digrm de Venn muestr un posile operión inri en A : Si A es un onjunto finito, se visuliz muho mejor l operión dándole form de tl entendiendo (por si l operión no fuese onmuttiv) que el primer elemento de d prej es el de l ª olumn y se oper on el de l ª fil que será entones el segundo elemento de l prej: * 4. Propieddes de ls operiones inris Un operión inri puede umplir lgun de ests propieddes: onmuttiv, soitiv, elemento neutro, elemento simétrio y, si estuviesen definids dos operiones distints en el mismo onjunto, l distriutiv. 4.. Propiedd Conmuttiv Cumplirá est propiedd si pr tod prej el resultdo de l operión no depende del orden de los elementos, es deir que * = *. Por ejemplo, si omprmos ls siguientes operiones: Sí es onmuttiv, y que * = * No es onmuttiv, y que * = mientrs que * = Si, en onjuntos finitos, vemos l operión en form de tl, su onmuttividd se oserv por l simetrí de l mism respeto de l digonl prinipl. Con onjuntos infinitos, hrí que demostrr l onmuttividd prtiendo de ómo esté definid l operión. Conoidos ejemplos de operiones onmuttivs son l sum de números, el produto de números, l unión de onjuntos y l interseión de onjuntos. 9

10 4.. Propiedd Asoitiv Cumplirá est propiedd si ddos tres elementos ulesquier umple: *( *) = ( *) * Conoidos ejemplos de operiones soitivs son l sum de números, el produto de números, l unión de onjuntos o l interseión de onjuntos. No siempre es fáil ompror l soitividd de un operión, normlmente tendremos que pror on todos los tríos posiles y ompror los resultdos, o demostrrl trvés de l definiión de l operión. Por ejemplo, l primer operión representd en 4.. y que er onmuttiv, result ser no soitiv. Vése ómo se otienen distintos resultdos según se soien los elementos, y : *( *) = * = mientrs que ( *) * = * = 4.. Propiedd Distriutiv Si dos operiones distints (* y #) están definids sore un mismo onjunto, se die que umple l propiedd distriutiv de l primer (*) sore l segund (#) si ddos tres elementos ulesquier umple: *( # ) = ( *) # ( *) Un ejemplo lásio es el de l distriutividd del produto respeto de l sum de números reles: ( +) = ( ) + ( ) pero reuerde que en los números reles no se umple l distriutividd de l sum respeto del produto. + ( ) ( +) ( +) Si emrgo, en el álger de Boole de los onjuntos, se umple tnto l distriutividd de l unión respeto de l interseión omo l distriutividd de l interseión respeto de l unión. No es fáil demostrr l distriutividd entre dos operiones, normlmente tendremos que pror todos los tríos posiles y ompror los resultdos, o demostrrl trvés de l definiión de ls operiones Propiedd del Elemento Neutro Se die que un onjunto tiene un elemento neutro (normlmente representdo on l letr e, ó on el número unque no se trte de un número) pr un iert operión * si operdo on todos los restntes elementos del onjunto tnto por l dereh omo por l izquierd se otiene omo resultdo el elemento on el que opermos. Es deir: A e = e = Un operión inri no tiene neesrimente elemento neutro unque ls operiones trdiionles sí lo tienen (0 en l sum y en el produto de números reles, Ø en l unión y E en l interseión de onjuntos). Ejemplos: es elemento neutro, y que: * = * = y tmién * = no es elemento neutro, y que: * (y tmién * ) tmpoo es elemento neutro, y que * Pr est operión este onjunto no tiene elemento neutro. Teorem de l Uniidd del Elemento Neutro: Si existe, el elemento neutro es únio. Demostrión: Si existiesen dos elementos neutros (e y e ) suederí que: e (por ser e elemento neutro) e e = omo el resultdo dee ser únio e = e e (por ser e elemento neutro) 0

11 4..5 Propiedd del Elemento Simétrio Prtiendo de un onjunto que teng elemento neutro pr un iert operión, se die que umple l propiedd de un elemento simétrio si pr todo elemento del onjunto podemos enontrr otro (en lgún so puede ser el mismo elemento), que llmremos su simétrio, de mner que operdos tnto por l dereh omo por l izquierd resulten el elemento neutro. Se esrie sí: Es deir: A A = = e siendo e el elemento neutro De l simetrí de l definiión se dedue que el simétrio del simétrio de un elemento es el propio elemento. Es deir que: ( ) =. Un operión inri no tiene neesrimente simétrios unque en ls operiones trdiionles sí existen. (A y A son simétrios en l unión de onjuntos; -5 opuesto del 5 en l sum y /5 inverso en el produto de números reles. Sin emrgo, reuerde que no existe el inverso del número ero) Ejemplos: * d d d d d d En est tl vemos que es el elemento neutro. El simétrio de serí (siempre suede on el elemento neutro) y el de d serí d El simétrio de es y el simétrio de es (se puede deir que y son simétrios) * d d d d d d d En est operión vemos que es el elemento neutro. El simétrio de es El simétrio de d es d Ni ni tienen simétrio Teorem de l uniidd del Elemento simétrio: Si l operión umple tmién l soitiv, el simétrio de d elemento dee ser únio. Demostrión: Si, pr un ierto elemento, existiesen dos simétrios (s y s ) suederí que: () () () (4) = s e = s * ( * s ) = ( s * ) * s = e * (): Por ser e el elemento neutro (): Por ser s simétrio de (): Por l propiedd soitiv (4): Por ser s simétrio de s * s = s () L simplifiión que hemos en el onjunto de los números reles es posile gris l existeni de elementos simétrios. Por ejemplo, si tenemos l iguldd x = y, simplifimos rápidmente los treses y onluimos que x = y. Sin drnos uent, estmos utilizndo ls siguientes propieddes: / x = / y () () () (4) x = y ( x) = ( y) ( ) x = ( ) y x = y x = (): multiplimos mos miemros por el simétrio de (): plimos l propiedd soitiv (): plimos l propiedd del elemento simétrio (4): plimos l propiedd del elemento neutro Sin emrgo, siendo x e y dos números reles, semos que de l iguldd x = y. L rzón lgeri es que 0 no tiene simétrio. x = 0 y 0, no se onluye que En un onjunto que umpl, omo le suede los números reles, ests propieddes, se puede her lo mismo, y si es un elemento on simétrio, se esriirí sí: Simplifiión: () () x = y ( x) = ( y) ( ) x = ( ) y e x = e y x = y Atundo de form similr, tmién se podrí eliminr un elemento que preier en l dereh de los dos miemros de un iguldd y teng simétrio. Es deir, x = y x = y. Sin emrgo, slvo que l operión se onmuttiv, de, no se dedue que x e y sen igules. x = y () y (4)

12 5. TEORÍA DE GRUPOS 5. Definiión de grupo. Un onjunto G no vío en el que está definid un operión *, situión que resumiremos sí: (G, *), se die que tiene estrutur de grupo si umple ls siguientes ondiiones: L operión * está errd en el onjunto G Cumple l propiedd soitiv Tiene elemento neutro que pertenee G Todos los elementos de G tienen un simétrio que pertenee G L operión * no neesit ser onmuttiv, si lo fuese se die que (G, *) es elino. L tl de operr de un grupo finito se llm tl de Cyley. Ejemplo: G =, i, -, -i respeto del produto de números omplejos es un grupo elino. i - -i i - -i i i - -i - - -i i -i -i i - L operión está errd, y que se otienen resultdos perteneientes l mismo onjunto G. es el elemento neutro i, -i son simétrios el uno del otro, - son simétrios de sí mismos L soitiv se umple en el produto de ulquier trío de números omplejos El produto de números omplejos es onmuttivo Ejemplo: El grupo no elino on menor número de elementos es el que muestr l siguiente tl de l operión * pr seis elementos: G = e,,,, d, f * e d f e e d f e d f e f d f d e d d f e f f d e El produto está ien definido, y que se otienen resultdos perteneientes l mismo onjunto G. e es el elemento neutro, son simétrios el uno del otro e,, d, f son simétrios de sí mismos Eligiendo todos los tríos posiles, se demostrrí que se umple l propiedd soitiv. No se umple l propiedd onmuttiv: vése ómo * = d mientrs que * = f 5.. Orden de un grupo. El número de elementos del grupo se denomin orden del grupo y se die que el grupo es finito. En otro so se die que el grupo es infinito. 5.. Orden de un elemento de un grupo. Si operndo un elemento onsigo mismo m vees, se lleg otener por primer vez el elemento neutro, este número m reie el nomre de orden del elemento. Por ejemplo, el orden del grupo del epígrfe 5. es 6. Es usul utilizr un notión exponenil pr indir un operión repetid utilizndo el mismo elemento: Por ejemplo, * * se esriirí omo ³. Teorem: En un grupo finito, todos sus elementos tendrán orden finito Demostrión: () G j, k N j = k () e = k j (): Como G tiene un número finito de elementos, operndo onsigo mismo repetids vees deerá repetirse neesrimente lgún j k resultdo, por ejemplo y (k > j) (): Simplifindo en mos miemros j vees el elemento, vemos que neesrimente lguno de estos resultdos es el elemento neutro. Ejemplo: El orden de los elementos del grupo del epígrfe 5. es: El orden de e es (ovio) ² = * = ³ = ² * = * = e Luego el orden de es (este mismo orden lo tiene ) * = e Luego el orden de es (este mismo orden lo tienen d y f)

13 5.. Grupos ílios Se llm grupo ílio l que ontiene un elemento, llmdo generdor, que operdo onsigo mismo repetids vees, engendr todos los elementos del grupo. Es deir, que si llmmos g l generdor, el grupo será G = g, g, g,..., g n entendiendo por exponente l número de vees que opermos g onsigo mismo: g = g *g *g et. Si el número de elementos es n neesrimente el elemento neutro será l últim poteni g n. Ovimente l operión es errd y el simétrio de g k es g n-k. En form de tl se visulizn muy ien los grupos ílios. Por ejemplo, l tl del grupo ílio de orden 5 llmndo g su generdor y siendo que g 5 = serí: * g g g g 4 e g g g g 4 e g g g g 4 e g g g g 4 e g g g g 4 e g g g g 4 e g g g g 4 e Teorem: Los grupos ílios son siempre elinos Demostrión: Curiosmente se s en l propiedd soitiv. G j N = g G k N = g j j k j+ k k+ j = g g = g = g k = g k g j = 5. Sugrupos Prtiendo de un grupo (G, *) y de un suonjunto, deimos que (, *) es un sugrupo de (G, *) si tiene estrutur de grupo respeto de l mism operión * Puesto que en G se umple l soitiv, tiene elemento neutro y todos los elementos tienen simétrios, sólo quedrí ompror que: l operión * está errd en el elemento neutro de G tmién pertenee todos los simétrios de los elementos de tmién perteneen Todo grupo siempre ontendrá l sugrupo formdo exlusivmente por el elemento neutro. Tmién se onsiderrá omo sugrupo l mismo grupo. Estos dos sugrupos se denominn impropios, los restntes sugrupos, de existir, se les denomin propios. En grupos grndes no siempre es fáil usr sugrupos, pero operndo un elemento onsigo mismo repetids vees y oservndo los resultdos, sremos on qué elementos formrá un sugrupo. Ejemplo de Sugrupos: El grupo estudido ntes G =, i, -, -i respeto del produto de números omplejos tiene tres sugrupos: En primer lugr, los sugrupos impropios = y G =, i, -, -i El únio sugrupo propio es =, - y que oservndo l tl que result: Culquier otro suonjunto no es sugrupo. Por ejemplo oservndo l tl que result ogiendo sólo los elementos, i : i i i i - Vemos que: l operión está errd, ontiene l elemento neutro y los simétrios de sus elementos Vemos que: l operión no está errd y que pree que no pertenee l onjunto, i Además i, que es el simétrio de i no pertenee l onjunto, i

14 5.. Condiión neesri y sufiiente pr que un suonjunto de un grupo se sugrupo Ddos un grupo (G, ) y un suonjunto no vío de G: (, ) es sugrupo de ( G, ) (, ) Relizremos l demostrión en dos fses: que el enunido de l izquierd impli neesrimente el umplimiento del de l dereh; y que el de l dereh impli el de l izquierd, es deir, que pr que se umpl el de l izquierd es sufiiente que se umpl el de l dereh. Demostrión neesri ( ) () () (): Al ser (, ) un sugrupo, tendrá estrutur de grupo, por lo que pr ulquier elemento de su simétrio tmién perteneerá (): Al tener estrutur de grupo, l operión estrá errd en, por lo que, ddos dos elementos de, el resultdo de su operión tmién perteneerá Demostrión sufiiente ( ) Puesto que en G se umple l propiedd soitiv y los elementos de lo son de G, se umplirá l soitiv en. Semos que G tiene elemento neutro (e) y que todos sus elementos tienen simétrios en G, flt demostrr que el elemento neutro tmién pertenee y que todos los simétrios de los elementos de tmién perteneen. () Elemento neutro de : e () (5) e Simétrios en : Sólo flt demostrr que l operión está errd en. (6) () Operión errd en : ( ) (4) (7 ) (): Es l ondiión de prtid en est prte de l demostrión (4): Propiedd de los elementos simétrios, que se umple en G por tener estrutur de grupo. (5): Propiedd del elemento neutro, que se umple en G por tener estrutur de grupo. (6): Amos de demostrr que los simétrios de los elementos de, perteneen. (7): El simétrio del simétrio de ulquier elemento, oinide on el propio elemento. 5.. Condiión neesri y sufiiente pr que un suonjunto de un grupo finito se sugrupo Siendo G un onjunto finito. Ddos un grupo (G, ) y un suonjunto no vío de G: (, ) es sugrupo de ( G, ) errdo respeto de Demostrión neesri ( ) Que (, ) se un grupo neesit que l operión esté errd en. Demostrión sufiiente ( ) Al ser G un grupo finito, el orden de ulquier de sus elementos será finito, se un elemento de m de orden m. Por lo tnto, su simétrio será. () m (): Operión errd en () () (): Como y hemos diho, el simétrio de es (): Teorem nterior m () (, ) es un grupo. 4

15 5.. Sugrupo generdo por un ierto elemento en un grupo finito: Si esogemos ulquier elemento en un grupo finito y lo opermos onsigo mismo repetids vees hst llegr por primer vez (orden m) l elemento neutro, el suonjunto { m,,...,, e} formdo por el elemento de prtid y todos estos resultdos umplirán los requisitos de grupo, por lo que será sugrupo del grupo k m k iniil. Ovimente l operión está errd, tiene elemento neutro y los simétrios son: ( ) 5..4 Teorem de Lgrnge Si tenemos un grupo finito on n elementos, neesrimente sus sugrupos ontendrán un número de elementos divisor de n. G grupo finito orden n Teorem de Lgrnge : m es divisor de n sugrupo orden m Ejemplos: un grupo de orden 6 podrá tener sugrupos de,,, 6 elementos pero nun on 4 ó 5. Un grupo de orden podrá tener sugrupos de,,, 4, 6, elementos. En onseueni, un grupo on un número primo de elementos sólo tendrá sugrupos impropios. Corolrio del Teorem de Lgrnge: Demostrión: G grupo finito de orden n m es divisor de n G elemento de orden m Si es un elemento de orden m, tendremos el sugrupo { m,,...,, e} será divisor de n, por pliión del teorem de Lgrnge. = que tiene orden m, por lo que m 5..5 Clses Lterles Se (G, ) un grupo, se uno de sus elementos y se un sugrupo de G. Este sugrupo nos permitirá definir dos suonjuntos del grupo G que llmremos: lse lterl izquierd de en G y lse lterl dereh de en G medinte los resultdos que resulten de operr diho elemento on todos los elementos del sugrupo : Clse lterl izquierd de en G = { h h } Se le nomr ó + si l operión es l sum. = h h Se le nomr ó + si l operión es l sum. Clse lterl dereh de en G { } Lógimente, si el elemento pertenee, ls dos lses lterles oiniden on el sugrupo. Ejemplo: Prtiendo del grupo multiplitivo de los siguientes números omplejos: G =, i, -, -i y del sugrupo =, -, vemos ls lses izquierds que gener d elemento de G: = = h h =, ( ) =, = = i i = = ( ) = i ( i) { } { } { } { i h h } = { i, i ( ) } = { i, i} = { h h } = {, ( ) } = {, } = { i h h } = { i, i ( ) } = { i, i} = Al trtrse de un operión onmuttiv, ls lses derehs son idéntis ls izquierds. Ejemplo: Prtiendo del grupo ditivo de los vetores del plno: G = { x, y) x, y R} por los vetores prlelos un vetor onreto (, ): = { t, t) t R} siguiente lse izquierd (que, por l onmuttividd, es idénti l lse dereh): ( y del sugrupo formdo (, d vetor v de G gener l {( x, y ) + ( t, t) t R} = {( x + t, y + t) R} v = x, y ) v + = t ( Este ejemplo tiene un interpretión gráfi interesnte. G es todo el plno, el sugrupo serí un ret que psse por el origen y ls lses lterles de en G serín rets prlels. 5. Ejemplos de grupos infinitos Veremos ontinuión ejemplos onoidos de grupos infinitos: 5.. Grupo elinos ditivos de los vetores del Plno El onjunto formdo por todos los vetores del plno on l sum trdiionl de vetores tiene estrutur de grupo elino en el que el elemento neutro es el vetor nulo y el simétrio de un vetor es su opuesto. El suonjunto formdo por los vetores prlelos uno ddo es un sugrupo. 5

16 5.. Grupos elinos ditivos de números (Z, +) el onjunto de los números enteros, on l sum, tiene estrutur de grupo elino on 0 de elemento neutro y los opuestos omo simétrios. Contiene, entre otros sugrupos, los formdos por los múltiplos de un determindo número entero. (Q, +) el onjunto de los números rionles, on l sum, tiene estrutur de grupo elino on 0 de elemento neutro y los opuestos omo simétrios. Contiene, entre otros sugrupos, (Z, +). (R, +) el onjunto de los números reles, on l sum, tiene estrutur de grupo elino on 0 de neutro y los opuestos omo simétrios. Contiene omo sugrupos, entre otros, (Q, +) y (Z, +). (C, +) el onjunto de los números omplejos, on l sum, tiene estrutur de grupo elino on 0 de elemento neutro y los opuestos omo simétrios. Contiene omo sugrupos, entre otros, todos los grupos nteriores: (Q, +) (Z, +) y (R, +). (N, +) no es grupo por reer de simétrios (no ontiene los números negtivos). 5.. Grupos elinos multiplitivos de números (Q, ) - 0 el onjunto de los números rionles, on el produto, tiene estrutur de grupo elino on de elemento neutro y los inversos omo simétrios. Se exluye el 0 por reer de inverso. Contiene, entre otros sugrupos, los formdos por ls potenis de exponente entero de un determindo número rionl. (R, ) - 0 el onjunto de los números reles, on el produto, tiene estrutur de grupo elino on de elemento neutro y los inversos omo simétrios. Se exluye el 0 por reer de inverso. Contiene omo sugrupo, entre otros, (Q, ) - 0 (C, ) - 0 el onjunto de los números omplejos, on el produto, tiene estrutur de grupo elino on de elemento neutro y los inversos omo simétrios. Se exluye el i por reer de inverso. Contiene omo sugrupos, entre otros, (Q, ) - 0y (R, ) - 0 (N, ) (Z, ) no son grupos por reer de simétrios (no ontienen los números frionrios). 5.. Grupo de ls funiones invertiles El onjunto formdo por tods ls funiones iyetivs f : A A definids en un mismo onjunto on l omposiión de funiones omo operión, tiene estrutur de grupo no elino en el que l funión identidd i (x) = x es el elemento neutro y el simétrio de d funión es su funión reípro (tmién llmd invers) Grupos elinos ditivos de ls mtries on un mismo orden El onjunto formdo por tods ls mtries de un mismo orden (mxn) on l sum de mtries tiene estrutur de grupo elino en el que l mtriz nul de orden (mxn) es el elemento neutro y el simétrio de d mtriz será su opuest Grupo multiplitivo de ls mtries udrds regulres on un mismo orden El onjunto formdo por tods ls mtries udrds de un mismo orden (nxn) que sen regulres, esto es, que por tener determinnte distinto de ero tienen invers, on el produto de mtries tiene estrutur de grupo no elino en el que l mtriz identidd I n es el elemento neutro y el simétrio de d mtriz será su invers. 5.4 Ejemplos de grupos finitos 5.4. Grupos de ls ríes de l unidd Al relizr ls ríes udrds, úis,... enésims del número, se otienen n números omplejos que formn un grupo respeto del produto. Resultn grupos ílios generdos por π/n. Reien el nomre de C n Ls ríes udrds: C =, - on omo generdor. (-) = (-) = Ls ríes úis: C =, π/, 4 π/ on π/ omo generdor. Ls ríes urts: C 4 =, i, -, -i que es un grupo y visto ntes y tiene omo generdor i = π/ : i = i i = - i = -i i 4 = L tl que pree en el epígrfe de grupos ílios es el grupo de ls ríes quints, generdo por g = π/5. Ls ríes enésims C n =, π/n, 4π/n,..., π(n-)/n on π/n omo generdor. Los sugrupos de estos grupos dependen de los divisores de n. Por ejemplo, C 6 ontiene omo sugrupos propios C y C. 6

17 5.4. Grupos elinos ditivos de ls lses de restos módulo m Pr ulquier vlor de m el onjunto de ls lses de restos módulo m form siempre un grupo ditivo. Por ejemplo ls lses de restos módulo 5: El grupo es G = 0,,,, 4 en que d ifr represent l lse l que pertenee diho número L tl está onstruid operndo en módulo 5. Por ejemplo: + 4 = 7 en l sum trdiionl lse 4 lse4 7 lse (dividiendo 7 entre 5, el resto es ) Entones: lse + lse4 = lse y lo resumimos on: + 4 = Se trt de un grupo y que 0 es elemento neutro, se umple l soitiv (por umplirse en Z) y todos los elementos tienen simétrio ( y 4 simétrios, y simétrios 0 simétrio de sí mismo). Es elino por ser onmuttiv l sum en Z Grupos elinos multiplitivos de ls lses de restos módulo m En todos los sos exluiremos l lse 0 y que ree de simétrio. Pero esto y suedí en los grupos multiplitivos de los onjuntos de números rionles, reles o omplejos. A difereni de los ditivos, no tods ls lses de restos en un ierto módulo m formn un grupo. Dependerá de que m se o no un número primo. Vemos ls lses de restos módulo 5 y módulo 6 omo ejemplos de m primo y ompuesto: En módulo 5 tenemos G =,,, 4 (nótese que hemos exluido l lse 0) En est operión vemos que es el elemento neutro. y son simétrios y 4 son simétrios de sí mismos L soitiv se umple por umplirse en Z Luego (G, ) es un grupo multiplitivo. Al ser onmuttiv l multipliión en Z el grupo será elino. En módulo 6 tenemos G =,,, 4, 5 (nótese que hemos exluido l lse 0) serí el elemento neutro. Vemos que l operión no está errd y que pree el 0, y 4 no tienen simétrios Luego G no form un grupo Curiosmente, 5 sí form un grupo multiplitivo en módulo Grupos de ls simetrís de un figur pln Convendremos en llmr en generl simetrís de un figur pln los movimientos propios (giros en torno un punto) e impropios (reflexiones en torno un ret) que onvierten l figur en otr superponile l originl, es deir, que l dejn invrinte. Se puede estudir pr multitud de figurs plns en ls que exist lgún entro o eje de simetrí. Ls más hitules son ls siguientes: Grupo de ls simetrís del retángulo: D v Los elementos del grupo son los movimientos que podemos her l g retángulo mnteniéndole superponile su posiión originl. Son utro: h Giro de 80º (lo llmremos g) Giro de 60º (ó tmién 0º) (lo llmremos ) Reflexión en torno l eje de simetrí vertil (lo llmremos v) Reflexión en torno l eje de simetrí horizontl (lo llmremos h) 7

18 Pr estudir d movimiento deemos identifir los vérties y señlr ómo quedn después del movimiento, l posiión iniil será l mism siempre. g 80 4 v h L operión del grupo será l omposiión de movimientos. Componer dos movimientos signifirá relizr el primero pr, ontinuión, ontenr el segundo. Si se he un seguimiento de ómo quedn los vérties l finl, deduiremos que dih omposiión equivle un movimiento simple. Por ejemplo, g *h signifirá her primero el giro de 80º y después l reflexión horizontl. Visto que el resultdo finl es el mismo que el de l reflexión v, se dedue que g *h = v g 4 h 4 4 v Relizds tods ls omposiiones se otiene l siguiente tl: * g v h g v h g g h v v v h g h h v g El elemento neutro es el giro de 60º que por omodidd hemos llmdo. Vemos que result un grupo elino llmdo grupo diédrio D Contiene los siguientes sugrupos propios:, g, v, h Slvo isomorfismos los únios grupos on utro elementos son D y C Grupo de ls simetrís del triángulo equilátero: D Los elementos del grupo son los movimientos que podemos her l triángulo equilátero mnteniéndole superponile su posiión originl. Son seis: Giro de 0º (lo llmremos g) Giro de 40º (lo llmremos g ) Giro de 60º (ó tmién 0º) (lo llmremos ) Reflexiones en torno ls tres meditries:,, 8

19 Relizds tods ls omposiiones se otiene l siguiente tl: * g g g g g g g g g g g g g g g g El elemento neutro es el giro de 60º que por omodidd hemos llmdo. Vemos que result un grupo llmdo grupo diédrio D Este es el grupo no elino on el menor número de elementos y es isomorfo l que pree en el epígrfe 5. Contiene los siguientes sugrupos propios:,,,, g, g (éste último es ílio isomorfo C ) Grupo de ls simetrís del udrdo: D 4 Los elementos del grupo son los movimientos que podemos her l udrdo mnteniéndole superponile su posiión originl. Son oho: Giro de 90º (lo llmremos g) Giro de 80º (lo llmremos g ) Giro de 70º (lo llmremos g ) Giro de 60º (ó tmién 0º) (lo llmremos ) Reflexiones en torno ls dos meditries: v, h Reflexiones en torno ls dos digonles: D, d D v d h Relizds tods ls omposiiones se otiene l siguiente tl: * g g g h v d D g g g h v d D g g g g D d h v g g g g v h D d g g g g d D v h h d v D g g g v V D h d g g g d D v D h g g g D D h d v g g g El elemento neutro es el giro de 60º que por omodidd hemos llmdo. Vemos que result un grupo llmdo grupo diédrio D 4 Es un grupo no elino. Contiene los siguientes sugrupos propios:, h, v, d, D, g, g, g, g, g, d, D, g, v, h Grupos de ls permutiones de n ojetos: S n Del estudio de estos grupos es de donde h prtido l teorí de grupos modern. Ls permutiones de n números nos yudrán indir ómo son los movimientos, pero no son propimente los elementos del grupo. Los elementos de estos grupos serán los movimientos que reordenen lists de ojetos. Ls permutiones ls esriiremos siempre prtiendo de un mismo orden (el numério o el lfétio) indindo dejo l nuev ordenión: Por ejemplo ls permutiones de tres elementos:,,,,, ls esriiremos sí: e = = = = d = f = Cd un de ests permutiones indi l reordenión de un list de tres ojetos. El elemento: d = mntendrí l posiión del segundo ojeto e intermirí el primero y el terero. El grupo entones lo formremos on estos seis elementos: G = e,,,, d, f L operión será l omposiión (ontenión) de movimientos. Es deir que se reliz un movimiento reordenndo los ojetos que y hy reordendo otro movimiento. Se empiez on l permutión que se esrie en segundo lugr. 9

20 Vemos por ejemplo l operión *d. El movimiento de l permutión d mntiene el elemento entrl e intermi el º y. Por lo que hst hor tendrímos: El movimiento de l permutión ps el primer ojeto l entro, el º l finl y el último l prinipio. Como los ojetos que enuentr son ( ) los reorden omo ( ). Como l permutión = es l que reliz este movimiento deduimos que *d = Todo este proeso se visuliz sí: *d = * = = Relizds tods ls omposiiones result l tl: L operión está errd, y que se otienen resultdos perteneientes l mismo onjunto G. * e d f e es el elemento neutro e e d f, son simétrios uno del otro e d f e,, d, f son simétrios de sí mismos e f d Eligiendo todos los tríos posiles, se demostrrí f d e que se umple l propiedd soitiv. d d f e El grupo reie el nomre de grupo simétrio S f f d e No se umple l propiedd onmuttiv, vése ómo * = d mientrs que * = f Result un tl similr l del grupo diédrio de 6 elementos no elino y visto. Se die entones que S es isomorfo l grupo diédrio D Contiene los sugrupos de orden dos: e, e, d e, f y l sugrupo de orden tres e,,. Ls permutiones e,, reien el nomre de permutiones pres y ls restntes, d, f impres. De form similr, se pueden estudir ls permutiones de n elementos resultndo los grupos simétrios S n, que tienen ovimente n! elementos. Cd uno de ellos ontiene, entre otros, l sugrupo ílio formdo por los! n elementos pres, l que se denomin grupo lterndo Notión de ilos Existe otr notión más ompt de ls permutiones, llmd notión de ilos. Un ilo de longitud L es un permutión que intermi ílimente L elementos y fij los restntes. Entre préntesis preerán esritos vrios elementos, se entenderá entones que el segundo elemento es l imgen del primero, el terero l imgen del segundo, y seguimos sí hst el último uy imgen es el primero. Si hy otros elementos que no preen esritos en el ilo, se entenderá que son imágenes de sí mismos. Est notión revel mejor l estrutur intern de l permutión. Por ejemplo, el ilo ( 5 6) equivle l permutión: Es posile que un permutión onteng más de un ilo. De ser sí, se esrien, unos ontinuión de otros, vrios ilos entre préntesis, y se turí de l mism mner. Por ejemplo, l notión íli ( 5 6)( 4) equivle l permutión: Y vievers. Si queremos desomponer un permutión en ilos disjuntos, empezrímos on ulquier elemento. Lo esriimos, su dereh esriimos su imgen, l dereh de est, l imgen de su imgen, y seguimos sí hst que se omplete un ilo. Luego ogemos ulquier elemento no ontenido en el primer ilo, volvemos esriir su imgen su dereh, y ontinumos hst ompletr el segundo ilo. El

21 proeso ontinú hst que l permutión enter h queddo desrit omo produto de ilos disjuntos. Si lgún elemento fuese imgen de sí mismo, no es neesrio expliitrlo omo ilo de un elemento. Por ejemplo, l permutión: equivle l notión íli: ( 5)( 4) L desomposiión relizd por el proedimiento nterior no es úni en prinipio, pues de her empezdo por otros elementos, podrímos her otenido otros resultdos equivlentes: Por ejemplo, l permutión: tmién equivle l notión íli: (4 )(5 ) L desomposiión nóni de un permutión omo produto de ilos se otiene olondo en primer lugr de d ilo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se proede l oloión de los ilos, olondo primero el ilo uyo primer elemento se menor. Freuentemente, suelen omitirse los ilos de longitud. Así l permutión ( )()(4 5) se esrie simplemente omo ( )(4 5). Si quisiésemos hllr el orden de determind permutión, es deir, el mínimo número de vees que tuviésemos que omponer un permutión onsigo mism pr otener l permutión identidd, se puede plir el siguiente teorem: Si llmmos l,...,l orden ( p) = m.. m.( l,..., lm ) m l longitud de los ilos en que esté desompuest l permutión, su orden oinidirá on su mínimo omún múltiplo. Ejemplo: ll el orden de l permutión: p = 4 Primero otenemos su notión íli: ( 4)( 5 6 ). El primer ilo tiene longitud y el segundo 4. Por lo tnto su orden es 4. Esto signifi que p 4 result el elemento neutro omomorfismo de Grupos emos visto hst hor ejemplos de grupos en los que se podí oservr grn preido entre sus tls de Cyley reonoiendo l mism estrutur plid elementos y operiones distints. En primer lugr definiremos el homomorfismo de grupos, pr terminr on lo que se denomin isomorfismo. L definiión de homomorfismo es l que sigue: ( G, ) es homomorfo (, o ) f : G x, x G f ( x x ) = f ( x ) o f ( x ) L funión f reie el nomre homomorfismo entre los grupos G y El homomorfismo se onstruirá de mner distint según sen los grupos finitos o infinitos. De ser finitos el homomorfismo será simplemente un tl mientrs de ser infinitos definirímos un funión. Ejemplo: Demuestr que l funión definid entre el grupo ditivo de los números reles y el grupo x f : R, + R 0, on f ( x) = e, es un multiplitivo de los números reles exluido el ero ( ) ( { } ) homomorfismo. x ( ) + x x x f x + x = e = e e = f ( x) + f ( x ) 5.5. Definiión de Núleo e imgen de un homomorfismo Todos quellos elementos de G uy imgen medinte el homomorfismo f se el elemento neutro de (l que llmremos e ) formn un suonjunto de G llmdo núleo del homomorfismo y se esrie Ker(f). { x G f ( x } Ker ( f ) = ) = Todos quellos elementos de que sen imgen de lgún elemento de G medinte el homomorfismo f formn un suonjunto de llmdo imgen del homomorfismo y se esrie Im(f). e { y x G, f ( x y} Im( f ) = ) =

22 5.5. Propieddes de los homomorfismos pr el elemento neutro y los elementos simétrios Teorem: En todo homomorfismo, l imgen del elemento neutro de (, o). Es deir, que ( e G ) e. Demostrión: G () f = x G, f ( x e ) = f ( x) o f ( e ) f ( x) = f ( x) o f ( e ) f ( e ) = e G () (): Definiión de omomorfismo (): Propiedd del elemento neutro en G (): Al ser un grupo, podemos simplifir f(x) G () G e de (, ) G G es el elemento neutro Teorem: En todo homomorfismo, l imgen del simétrio de ulquier elemento de G es simétri de l imgen de diho elemento. Es deir, que ( ) f ( x ) = f ( x ). O, diho de otr form, que f (x) y f ( x ) Demostrión: son simétrios. () f ( x) o f ( x ) = f ( x x ) = f ( eg ) = e x G, () () () f ( x ) o f ( x) = f ( x x) = f ( e ) = e () G () f (x) y f ( x ) son simétrios e (): Definiión de omomorfismo (): Propiedd de los elementos simétrios en G (): Anterior demostrión 5.5. Teorem: El Núleo de un homomorfismo es sugrupo del grupo iniil ( G, ) Demostrión: Demostrremos que el núleo de un homomorfismo umple l ondiión neesri y sufiiente de los sugrupos: ( Ker( f ), ) es sugrupo de ( G, ) ( x, x Ker( f ) x x Ker( )) x, x (4) f ( x Ker( f ) f ( x x ) = () f ( x ) o ) = e f ( x f ( x ) = e () f ( x ) = e o e ) = e (5) = e () x f = e () (4) x (6) Ker( f ) ( Ker( f ), ) es sugrupo de ( G, ) (): Definiión de Núleo de un homomorfismo (4): Definiión de omomorfismo (): Anterior demostrión sore simétrios (5): Propiedd del elemento neutro (): Los elementos neutros son simétrios de sí mismos (6): Condiión neesri de los sugrupos Teorem: L Imgen de un homomorfismo es sugrupo del grupo finl, ) Demostrión: Demostrremos que l imgen de un homomorfismo umple l ondiión neesri y sufiiente de los ( o sugrupos: ( Im( f ), o ) es sugrupo de (, o) ( y, y Im( f ) y o y Im( )) y, y () f ( x Im( f ) x x ) = () f ( x ) o G f ( x f ( x x G f ( x ) = y ) = y ) = y o y () (): Definiión de Imgen de un homomorfismo (): Anterior demostrión sore simétrios (): Definiión de omomorfismo (4): Condiión neesri de los sugrupos f ( x () f ) = y y o y () (4) Im( f ) ( Im( f ), o) es sugrupo de (, o)

23 Todos estos teorems pueden ser útiles pr onstruir un homomorfismo entre dos grupos o pr demostrr que un grupo no es homomorfo otro. Ejemplo: Construye un homomorfismo entre Z 6, el grupo ditivo de ls lses de restos módulo 6, y C, el grupo multiplitivo que ls ríes úis de l unidd. Tenemos entones: Z { 0,,,,, 4, 5} y C {,, } 6 = = siendo = π y = 4 π Semos que l imgen del elemento neutro de Z 6 dee ser el elemento neutro de C. Por lo tnto: f ( 0) = Como es simétrio de sí mismo en Z 6, su imgen dee ser tmién un elemento simétrio de sí mismo. El únio de C que lo umple es. Por lo tnto: f ( ) = Como y 5 son simétrios, sus respetivs imágenes deen ser tmién simétris. Si optmos porque f ( ) =, nos oligrí que f ( 5) =. Algo similr suede on y 4, que tmién son simétrios. Si deidimos que f ( ) =, nos oligrí que f ( 4) =. Quedrá entones: Z 6 C x f (x) Únimente qued ompror que es un homomorfismo. Es deir que: f ( x + x ) = f ( x ) f ( x ) pr tods ls prejs de elementos de Z 6. Al ser l sum un operión onmuttiv, sólo hremos l mitd de los álulos. Además, se pueden trtr de un sol vez tods ls prejs en ls que uno de los elementos es el neutro. Vemos todo ello: f (0 + x) = f ( x) f (0) f ( x) = f ( x) = f ( x) f ( + 4) = f (5) = f () f (4) = = f ( + 4) = f (0) = f () f (4) = = f ( + 5) = f () = f () f (5) = = f ( + ) = f () = f () f () = = f ( + 5) = f (0) = f () f (5) = = Por lo tnto, ( Z + ) es homomorfo ( G, ) 6, f ( + 5) = f () = f () f (5) = = f (4 + 4) = f () = f (4) f (4) = = f ( + ) = f () = f () f () = = f ( + ) = f (4) = f () f () = = f ( + ) = f (0) = f () f () = = f (4 + 5) = f () = f (4) f (5) = = f ( + ) = f (4) = f () f () = = f ( + ) = f (5) = f () f () = = f ( + 4) = f () = f () f (4) = = f (5 + 5) = f (4) = f (5) f (5) = = 5.6 Isomorfismo de Grupos Y hímos enontrdo ejemplos de grupos en los que se podí oservr grn preido entre sus tls de Cyley. Este preido se puede sistemtizr de tl mner que podmos tener estudidos de mner strt todos los grupos posiles, pr que undo enontremos ulquier ejemplo de grupo on elementos y operión onrets, tendrá l mism form que uno de los grupos y estudidos de mner strt. Esto signifirá que hy un emprejmiento uno-uno (es deir, un iyeión) de los elementos de mos grupos de tl mner que si en l tl del primer grupo sustituyésemos d elemento por su respetiv prej, preiese l mism tl del º grupo. Est funión iyetiv es l que se denomin isomorfismo y, de existir, diremos que los grupos son isomorfismo. Pr dos grupos isomorfos no existe un únio isomorfismo posile, normlmente se podrá onstruir de diverss forms. Ls distints vrintes tendrán en omún lo y visto pr los homorfismos, que preerán emprejdos los elementos neutros y que, teniendo emprejdos dos elementos, estrán emprejdos sus simétrios respetivos. Tmién, omo demostrremos después, preerán emprejdos elementos on el mismo orden. L definiión es l que sigue: ( G ) es isomorfo (, ), o f (iyetiv) : G x, x G f ( x x ) = f ( x) o f ( x ) L funión f reie el nomre isomorfismo entre los grupos G y