ELO211: Sistemas Digitales. Tomás Arredondo Vidal

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1 ELO211: Sistemas Digitales Tomás Arredondo Vidal Este material está basado en: textos y material de apoyo: Contemporary Logic Design 1 st / 2 nd edition. Gaetano Borriello and Randy Katz. Prentice Hall, 1994, 2005 material del curso ELO211 del Prof. Leopoldo Silva material en el sitio 2: Funciones booleanas 1

2 2-Funciones y representaciones booleanas 2.1 Lógica y álgebra de Boole 2.2 Funciones booleanas 2.3 Representaciones de funciones booleanas 2.4 Funciones de varias variables 2: Funciones booleanas 2

3 Lógica Booleana Definiciones básicas Una variable booleana (e.g. x, y) es un símbolo que puede ser substituido por un elemento del conjunto B={0,1} Una constante booleana es un valor perteneciente al conjunto {0,1} Una expresión (e.g. x+y, x y, x ) esta compuesta de variables, constantes y operadores (e.g. +,, ) Una función booleana de n variables f(x 1, x 2,..., x n ) es un expresión o formula que mapea f a un valor del conjunto booleano B (0 o 1) Un literal es una variable o su complemento 2: Funciones booleanas 3

4 Álgebra de Boole Definición: el álgebra de Boole es un sistema algebraico cerrado que contiene: un conjunto de dos elementos {0, 1}, dos operadores binarios {+, }, un operador unitario { }. 2: Funciones booleanas 4

5 Lógica y álgebra de Boole El álgebra de Boole es la fundación matemática de los sistemas digitales. Las operaciones del álgebra de Boole deben regirse por propiedades y reglas lógicas llamados leyes o postulados. Estos postulados se pueden usar para demostrar leyes mas generales sobre expresiones booleanas. Estos postulados también se usan para simplificar y optimizar expresiones booleanas y sistemas digitales. Ejemplo: X AND (Y OR Y ) = X ( porque?) 2: Funciones booleanas 5

6 Álgebra de Boole Una expresión algebraica de Boole consiste de un conjunto de B operaciones binarias { +, } una operaciones unitaria { } B tiene dos elementos : a, b y los siguientes postulados se cumplen: Clausura: a + b esta en B, a b esta en B Conmutatividad: a + b = b + a, a b = b a Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c Identidad: a + 0 = a, a 1 = a Distributividad: a + (b c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = (a b) + (a c) Complementariedad: a + a = 1, a a = 0 2: Funciones booleanas 6

7 Álgebra de Boole: Resumen Álgebra de Boole B = {0, 1} variables + es el OR lógico, es el AND lógico es el NOT lógico Todos los postulados (axiomas) algebraicos se cumplen La prioridad de los operadores es, seguido por AND y despues OR. El tiene la mayor prioridad. Los ( ) pueden cambiar el orden de evaluación. 2: Funciones booleanas 7

8 Álgebra de Boole: Teoremas Con la formulación de los postulados del álgebra de Boole se pueden demostrar varias proposiciones o teoremas de álgebra booleana Para las demostraciones de teoremas se pueden usar: tablas de verdad, postulados, y teoremas ya demostrados 2: Funciones booleanas 8

9 Álgebra de Boole: Teoremas Definición: El álgebra de boole es un sistema algebraico cerrado que contiene un conjunto B de dos elementos {0,1} y tres operadores {, +, }. igualdad: Dos expresiones son iguales si una puede ser substituida por otra. identidad: 1. X + 0 = X 1D. X 1 = X nulo (elementos únicos): 2. X + 1 = 1 2D. X 0 = 0 idempotencia: 3. X + X = X 3D. X X = X involución: 4. (X ) = X complementariedad: 5. X + X = 1 5D. X X = 0 2: Funciones booleanas 9

10 Álgebra de Boole: Teoremas conmutatividad: 6. X + Y = Y + X 6D. X Y = Y X asociatividad: 7. (X + Y) + Z = X + (Y + Z) 7D. (X Y) Z = X (Y Z) distributividad: 8. X (Y + Z) = (X Y) + (X Z) 8D. X + (Y Z) = (X + Y) (X + Z) unificación (fusión): 9. X Y + X Y = X 9D. (X + Y) (X + Y ) = X absorción: 10. X + X Y = X 10D. X (X + Y) = X 11. (X + Y ) Y = X Y 11D. (X Y ) + Y = X + Y factorizar: 12. (X + Y) (X + Z) = 12D. X Y + X Z = X Z + X Y (X + Z) (X + Y) consenso: 13. (X Y) + (Y Z) + (X Z) = 13D. (X + Y) (Y + Z) (X + Z) = X Y + X Z (X + Y) (X + Z) 2: Funciones booleanas 10

11 Álgebra de Boole: Teoremas de Morgan: 14. (X + Y +...) = X Y...14D. (X Y...) = X + Y +... de Morgan generalizado: 15. f (X 1,X 2,...,X n,0,1,+, ) = f(x 1,X 2,...,X n,1,0,,+) establece relaciones entre y + 2: Funciones booleanas 11

12 Álgebra de Boole: Teoremas Ejemplo: de Morgan: (X + Y) = (X Y ) NOR es equivalente a AND con inputs complementados X Y X Y (X + Y) (X Y ) (X Y) = (X + Y ) NAND es equivalente a OR con inputs complementados X Y X Y (X Y) (X + Y ) : Funciones booleanas 12

13 Álgebra de Boole: Teoremas Dualidad el dual de una expresión booleana se puede obtener remplazando por +, + por, 0 por 1, y 1 por 0, y dejando las variables sin cambio cualquier teorema demostrado también esta demostrado para su dual! un meta-teorema (teorema sobre teoremas) Dualidad: 16. X + Y +... X Y... Dualidad generalizado: 17. f (X 1,X 2,...,X n,0,1,+, ) f(x 1,X 2,...,X n,1,0,,+) diferente que ley de De Morgan s no es una manera para manipular (cambiar) expresiones sino para generar otros teoremas que también son verdaderos Ej: El dual del teorema X + 0 = X o (X + 0 = X) D es X 1 = X 2: Funciones booleanas 13

14 Álgebra de Boole: Teoremas Actividad: Demuestre este teorema: X Y + X Y = X igualdad X Y + X Y = X Y + X Y distributividad (8) = X (Y + Y ) complementariedad (5) = X (1) identidad (1D) = X Demuestre este teorema : X + X Y = X igualdad X + X Y = X + X Y identidad (1D) = X 1 + X Y distributividad (8) = X (1 + Y) nulo (2) = X (1) identidad (1D) = X 2: Funciones booleanas 14

15 Actividad: Álgebra de Boole Demuestre lo siguiente usando álgebra booleana: (X Y) + (Y Z) + (X Z) = X Y + X Z igualdad X Y + X Z = X Y + X Z absorción (10) = (X Y + X Y Z) + (X Z + X Z Y) conmutatividad (6) = X Y + X Z + X Y Z + X Z Y conmutatividad (6D) = X Y + X Z + X Y Z + X Y Z distributividad (8) = X Y + X Z + (X + X ) Y Z complementariedad (5) = X Y + X Z + (1) Y Z identidad (1D) = X Y + X Z + Y Z conmutatividad (6) = X Y + Y Z + X Z 2: Funciones booleanas 15

16 2-Funciones y representaciones booleanas 2.1 Lógica y álgebra de Boole 2.2 Funciones booleanas 2.3 Representaciones de funciones booleanas 2.4 Funciones de varias variables 2: Funciones booleanas 16

17 Funciones booleanas Espacios y funciones booleanas Si se define un espacio booleano como B={0,1} Usando el producto cartesiano se puede definir B 2 = {0,1} x {0,1} = {(00), (01), (10), (11)} Para X = (X 1, X 2 ) podemos definir una función booleana f de dos variables según: f(x): B 2 B, cada punto de B 2 se mapea a B Para n variables booleanas con X = (X 1, X 2,... X n ) se puede definir una función booleana f de n variables según: f(x): B n B, cada punto de B n se mapea a B La función booleana puede tomar valores de 1 o 0 dependiendo de los valores de sus variables 2: Funciones booleanas 17

18 Funciones booleanas Espacios y funciones booleanas El conjunto uno (on set) de f, puede definirse como los puntos X de B n que se mapean a 1. f 1 : {X f(x) = 1} El conjunto zero (off set) de f puede definirse como los puntos X de B n que se mapean a 0. f 0 : {X f(x) = 0} Si el conjunto f 1 = B n se dice que f es una tautología. Si el conjunto f 0 = B n se dice que f 0 es vacío y no es satisfacible. 2: Funciones booleanas 18

19 Funciones booleanas: tautología De: En lógica, una tautología es una formula preposicional que es verdad bajo cualquier evaluación de sus variables. En lingüística, una tautología es una redundancia debida a una calificación superflua o de lógica circular (e.g. "innovación novedosa", "mundo mundial, "Le voy a entregar un obsequio gratis, "El 100% de nuestros clientes compran nuestros productos ). Las matemáticas pueden ser consideradas como la ciencia de hacer tautologías particularmente elaboradas de una forma rigurosa. Un teorema es un ejemplo de tautología útil. 2: Funciones booleanas 19

20 Funciones booleanas Espacios y funciones booleanas Una función f es satisfacible cuando existe un elemento en el conjunto de f que es uno. Dos funciones son equivalentes si para todo X є B n se tiene que: f(x) = g(x) 2: Funciones booleanas 20

21 2-Funciones y representaciones booleanas 2.1 Lógica y álgebra de Boole 2.2 Funciones booleanas 2.3 Representaciones de funciones booleanas 2.4 Funciones de varias variables 2: Funciones booleanas 21

22 Representaciones Las funciones booleanas se pueden describir de variadas formas incluyendo: álgebra booleana tablas de verdad, diagramas de compuertas, diagramas temporales, diagramas de Venn, mapas de Karnaugh, N-cubos, lenguajes de descripción de hardware (HDL: Hardware description languages) como Verilog o VHDL Por verse! 2: Funciones booleanas 22

23 Representaciones: álgebra booleana Las funciones booleanas se pueden describir con una expresión de álgebra booleana. Ejemplo: f(x, Y, Z) = XY + X Z + XZ La función puede evaluarse para las diferentes combinaciones de valores que tomen las variables. Existen infinitas representaciones equivalentes de una función a través de expresiones. El problema de síntesis lógica consiste en encontrar la mejor expresión para representar una función. 2: Funciones booleanas 23

24 Representaciones: tabla de verdad Las funciones booleanas también se pueden representar como una tabla de verdad. La tabla de verdad despliega todas las combinaciones de valores de las variables y el valor asociado de la función. 2: Funciones booleanas 24

25 Representaciones Ejemplos: tablas de verdad X Y X Y X Y X X Y X Y X Y X Y X Y ( X Y ) + ( X Y ) ( X Y ) + ( X Y ) X = Y Expresión booleana que es verdadera cuando X e Y son iguales y falso de otra forma 2: Funciones booleanas 25

26 Representaciones Las funciones booleanas también se pueden representar por diagramas compuestos de símbolos de compuertas. Existen múltiples diagramas que pueden representar la misma función. La ventaja de esta representación es que esta asociada a la implementación en un medio visual. Los circuitos combinacionales contienen solo compuertas. Los circuitos secuenciales contienen flip-flops y compuertas. 2: Funciones booleanas 26

27 Diagramas de compuertas NOT: X, X, ~X X Y X Y AND: X Y, XY, X Y X Y Z X Y Z OR: X+Y, X Y X Y Z X Y Z : Funciones booleanas 27

28 Diagramas de compuertas NAND X Y Z X Y Z NOR X Y Z X Y Z XOR X Y X Y Z X Y Z XNOR X = Y X Y Z X Y Z : Funciones booleanas 28

29 Diagramas de compuertas Existe mas de una forma de mapear expresiones a compuertas e.g., Z = A B (C + D) = (A (B (C + D))) Como sería usando compuertas? T2 T1 A Z A B T1 B Z C D T2 C D 2: Funciones booleanas 29

30 Representaciones: diagrama temporal Un diagrama temporal es una representación de las formas de las ondas de entradas y salidas de los circuitos. Los bordes no se alinean exactamente (toma tiempo para que una compuerta cambie de output) 2: Funciones booleanas 30

31 Representaciones: diagrama temporal Las señales de ondas se pueden apreciar usando varias herramientas como: un simulador, usando un analizador lógico o un osciloscopio Retardos de propagación en compuertas pueden causar que las señales de entrada de otras compuertas en cascada tengan carreras Estas carreras pueden causar errores o perturbaciones (glitches) Los tiempos de propagación son acumulativos para compuertas en cascada 2: Funciones booleanas 31

32 Representaciones: diagrama temporal Ejemplo: y = x + x Como seria la perturbación? X X Carrera en señales de entrada Y X X Y t perturbación 2: Funciones booleanas 32

33 Representaciones: diagramas de Venn Los diagramas de Venn provienen de la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas son usados para mostrar gráficamente la relación entre diferentes conjuntos Son equivalentes a las tablas de verdad al mostrar todas las relaciones lógicas entre los conjuntos de interés Ejemplos: A A B B A + B (A + B) (A + B) 2: Funciones booleanas 33

34 2-Funciones y representaciones booleanas 2.1 Lógica y álgebra de Boole 2.2 Funciones booleanas 2.3 Representaciones de funciones booleanas 2.4 Funciones de varias variables 2: Funciones booleanas 34

35 Funciones de n variables Si hay n variables la tabla de verdad tendrá 2 n filas. Cada fila tiene como resultado un 0 o un 1. El numero de posibles funciones (que resultan en 0 o 1) crece rápidamente, en termino de n es: 2 2ⁿ n = 0 indica una función con 0 variables. X 1 X 2 F X n 2: Funciones booleanas 35

36 Funciones de n variables Ejemplo: para n=2 se tienen 2 2ⁿ = 16 funciones X Y F X Y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f XY X Y X xor Y X + Y X = Y X nor Y=(X + Y) 1 Y X X nand Y=(XY) Como son las funciones equivalentes a la tabla? f0=0, f1=xy, f2=xy, f3=x, f4=x Y,..., f14=x Y + X Y + XY = A + B = (AB), f15=1 2: Funciones booleanas 36

37 Conjuntos funcionalmente completos Cualquier expresión booleana puede ser escrita mediante los operadores AND, OR y NOT Estos conjuntos constituyen un conjunto funcionalmente completo 2: Funciones booleanas 37

38 Conjuntos funcionalmente completos La función NAND también es funcionalmente completa ya que puede implementar AND, OR y NOT: NAND(A,B) = AB NAND(A,A) = A NAND(A, B) = A+B 2: Funciones booleanas 38

39 Conjuntos funcionalmente completos La función NOR también es funcionalmente completa ya que puede implementar AND, OR y NOT: NOR(A, B) = A + B NOR(A,A) = A NOR(A, B) = AB Todas estas funciones se pueden generalizar a funciones de n variables 2: Funciones booleanas 39

40 Actividad: Determine la función de álgebra booleana para un sumador de un bit Inputs: A, B, Carry-in Outputs: Sum, Carry-out Cout Cin A A A A A B B B B B S S S S S A B Cin S Cout 2: Funciones booleanas 40

41 Actividad: Determine la tabla de verdad y la función de álgebra booleana para un sumador de un bit Inputs: A, B, Carry-in Outputs: Sum, Carry-out A B Cin Cout S Como minimizar usando álgebra booleana? A B Cin Cout Cin A A A A A B B B B B S S S S S S = A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin Cout = A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin S Cout 2: Funciones booleanas 41

42 Minimizar Usando teoremas para minimizar el sumador Cout = A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin = A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin = A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin = (A + A) B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin = (1) B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin = B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin = B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin = B Cin + A (B + B) Cin + A B Cin + A B Cin = B Cin + A (1) Cin + A B Cin + A B Cin = B Cin + A Cin + A B (Cin + Cin) = B Cin + A Cin + A B (1) = B Cin + A Cin + A B sumar terminos para factorizar Cuales son los criterios de interés al minimizar? 2: Funciones booleanas 42

43 Minimizar Algunos criterios de interés al minimizar son: Criterios de reducción Minimizar compuertas Minimizar numero de entradas a las compuertas. Esto corresponde a minimizar el numero de literales y reduce el numero de transistores en cada compuerta (reduce el costo) Disminuir el numero de niveles, esto aumenta la velocidad de respuesta del circuito implementando la función Siempre van a existir compromisos entre velocidad y tamaño. Se suele denominar compromiso tiempo-espacio. Diferentes implementaciones de la misma función tienen diferentes comportamientos: retardos son diferentes perturbaciones (glitches) pueden ocurrir otras variaciones por diferencias en el numero de compuertas y estructura 2: Funciones booleanas 43

44 Hay que elegir entre diferentes realizaciones de una función A B C Z realización de dos niveles implementación multinivel compuertas con menos inputs compuerta XOR (fácil de dibujar pero mas costosa) 2: Funciones booleanas 44

45 Hay que elegir entre diferentes realizaciones de una función Las tres implementaciones anteriores son funcionalmente equivalentes pero tienen diferencias en su comportamiento 2: Funciones booleanas 45

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