UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMATICA MA-0205: ALGEBRA Y ANALISIS I CARTA AL ESTUDIANTE II CICLO- 15

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMATICA MA-0205: ALGEBRA Y ANALISIS I CARTA AL ESTUDIANTE II CICLO- 15 Requisitos: MA-0123: Introducción a la Matemática Tipo de curso: Teórico Horas: 5 Créditos: 4 Estimado estudiante, reciba una cordial bienvenida al curso MA-0205: ALGEBRA Y ANALISIS I que se ubica en el I Ciclo de II año de la carrera de Enseñanza de la Matemática. A continuación se plantea la información que usted requiere en relación con este curso: descripción, objetivos, contenidos, metodología, evaluación, cronograma, bibliografía y horario de consulta. I. DESCRIPCIÓN En este curso se hará una construcción rigurosa de los conjuntos numéricos N, Z y Q, y sus principales propiedades; así como un acercamiento al tratamiento didáctico de estos temas en la educación secundaria. Se procura favorecer la comprensión de la matemática formal y el desarrollo de la habilidad de argumentar matemáticamente de manera apropiada, considerando éstos, pilares que apoyan la toma de decisiones didáctico matemáticas, que es la tarea central del educador matemático. De acuerdo con lo anterior, es fundamental que el estudiante mantenga un ritmo de estudio semanal que será el que le permita la apropiación de los elementos teóricos y el desarrollo de la habilidad matemática de demostrar. II. OBJ ETIVOS ESPECIFICOS Durante el desarrollo del curso el estudiante debe ser capaz de: 1. Enunciar e interpretar las definiciones básicas de teoría de conjuntos, operaciones con conjuntos y familias de conjuntos. 2. Demostrar y utilizar las principales propiedades de las operaciones de conjuntos. 3. Generalizar las principales propiedades de las operaciones de conjuntos a las familias y demostrar algunas de ellas. 4. Enunciar e interpretar las definiciones básicas de relaciones binarias. 5. Demostrar las propiedades de una relación de equivalencia o de orden. 6. Determinar las clases de equivalencia y el conjunto cociente de una relación de equivalencia. 7. Aplicar los axiomas de Peano, la definición de la suma y la multiplicación en IN en la demostración de algunas propiedades algebraicas de los números naturales.

2 8. Determinar, mediante un razonamiento inductivo, fórmulas que satisfacen algunos números naturales. 9. Demostrar propiedades algebraicas de los números naturales aplicando los principios de inducción. 10. Explicar las principales características y aplicaciones de los sistemas de numeración romano, hindú-arábigo, binario, entre otros. 11. Operar con números expresados en diversas bases. 12. Deducir y demostrar las propiedades algebraicas de los números enteros, a partir de los números naturales. 13. Demostrar los principales resultados en relación con la divisibilidad en Z. 14. Deducir y demostrar las propiedades de los números racionales, a partir de los números enteros. 15. Explicar desde la óptica histórica la aparición y construcción de los conjuntos numéricos N, Z y Q. 16. Diseñar e implementar una clase de un contenido del curso. III. CONTENIDOS 1. CONJUNTOS Nociones básicas asociadas al concepto de conjunto. Operaciones booleanas y sus propiedades. Conjunto de partes. Producto cartesiano. Familias de conjuntos. 2. RELACIONES Conceptos básicos de relaciones binarias. Relaciones de orden y de equivalencia. Clases de equivalencia. Conjunto cociente. 3. LOS NÚMEROS NATURALES Axiomas de Peano. Operaciones en N. Principio de Inducción Matemática y Axioma del Buen Orden en N. Sistemas de Numeración en N, bases, cambios de base. Conjuntos finitos e infinitos. 4. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS La estructura (, +,, 0, 1, ) como dominio de integridad ordenado. Operaciones en Z y sus propiedades. Relación de orden en Z. Leyes de signos. Números positivos y negativos (Z*,Z *,Z * + _ ). Valor absoluto y distancia en Z. N como subconjunto de Z. Algoritmo de la división en Z. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo. Factores de un número entero. Números primos y compuestos. Números primos relativos, descomposición primaria. Congruencias módulo n, el anillo Z n. 5. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Números racionales como clases de equivalencia de fracciones. (Q, +,, ) como campo totalmente ordenado. Fracciones enteras y sus propiedades. Suma, resta, producto y cociente de fracciones. Comparación de fracciones. N y Z como 2

3 subconjuntos de Q. Densidad del orden en Q. Representación decimal de un número racional. Potenciación en Q. Potencias enteras de un número racional. Leyes de potencias. IV. METODOLOGÍA El curso se desarrolla tomando como texto base Duarte. A., Cambronero, S. (2007). En las sesiones de clase se dispondrá de espacios de desarrollo de la teoría y de aplicación de los conceptos en el planteamiento de demostraciones. El estudiante debe dedicar al menos siete horas semanales extraclase al estudio independiente o en equipo. En parejas, los estudiantes impartirán una clase a sus compañeros sobre un contenido del curso previamente asignado. Esta clase incluirá la explicación de algunos elementos históricos o aplicaciones de la matemática, según lo acordado y discutido con la profesora. Durante el diseño de la clase, los estudiantes contarán con el seguimiento de la profesora. V. EVALUACIÓN Como parte de la evaluación formativa los estudiantes dispondrán de espacios de trabajo en clase que procuran reforzar y orientar su desempeño matemático en la realización de los ejercicios propuestos. Para valorar el dominio de los tópicos matemáticos del curso se aplicarán tres pruebas parciales y tres quices. Las ponderaciones para calcular la nota de aprovechamiento (N.A.) se detallan a continuación: RUBRO VALOR TRES PARCIALES 75% (25% cada uno) TRES QUICES 15% (5% cada uno) CLASE 10% Para efectos de promoción se rigen los siguientes criterios, los cuales se refieren a la N.A. redondeada, en enteros y fracciones de media unidad, según el reglamento vigente: Si NA 7.0, el estudiante aprueba el curso y la nota final será igual a NA. Si NA = 6.0 o NA = 6.5, el estudiante tiene derecho a hacer examen de ampliación, en el cual debe obtener una nota mayor o igual a 7.0 para aprobar el curso. Si aprueba, se le reportará 7.0 como nota final, de lo contrario se le reportará su NA. Si NA < 6.0, el estudiante pierde el curso y se le reporta NA. EXÁMENES DE REPOSICIÓN: Para realizar examen de reposición el estudiante debe entregar al profesor la solicitud por escrito acompañada con el documento oficial que justifique debidamente la razón de su ausencia al examen respectivo, según las causas y periodos que el Reglamento de Régimen Académico Estudiantil considera como 3

4 válidas. Una vez aprobada la reposición el profesor le indicará al estudiante la fecha de reposición. VI. CRONOGRAMA SEMANA 11 DE AGOSTO 14 DE AGOSTO 18 DE AGOSTO 21 DE AGOSTO 25 DE AGOSTO 28 DE AGOSTO 01 DE SETIEMBRE 04 DE SETIEMBRE 08 DE SETIEMBRE 11 DE SETIEMBRE 15 DE SETIEMBRE 16 DE SETIEMBRE 18 DE SETIEMBRE 22 DE SETIEMBRE 25 DE SETIEMBRE 29 DE SETIEMBRE 02 DE OCTUBRE 06 DE OCTUBRE 09 DE OCTUBRE 13 DE OCTUBRE 16 DE OCTUBRE 20 DE OCTUBRE 23 DE OCTUBRE 27 DE OCTUBRE 28 DE OCTUBRE 30 DE OCTUBRE 03 DE NOVIEMBRE 06 DE NOVIEMBRE 10 DE NOVIEMBRE 13 DE NOVIEMBRE 17 DE NOVIEMBRE 20 DE NOVIEMBRE 24 DE NOVIEMBRE 27 DE NOVIEMBRE 01 DE DICIEMBRE 10 DE DICIEMBRE TEMAS TEMA 1: CONJUNTOS / I QUIZ FERIADO I PARCIAL, 8:00 / CLASE 1 / CLASE 2 / II QUIZ / CLASE 3 / CLASE 4 / CLASE 5 / CLASE 6 II PARCIAL, 8:00 / CLASE 7 TEMA 5: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES / CLASE 8 TEMA 5: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES/ III QUIZ TEMA 5: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES TEMA 5: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES/ CLASE 9 TEMA 5: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES/ CLASE 10 / CLASE 11 TEMA 5: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES III PARCIAL, 8:00 AMPLIACIÓN Y SUFICIENCIA 8:00 VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Barrantes H. (2001). Introducción a la Matemática. EUNED: Costa Rica. 2. Duarte. A., Cambronero, S. (2007). Construcción de conjuntos numéricos. UCR: Costa Rica. 3. Eves, H. (1961). An Introduction to the History of Mathematics. 3 rd. Ed. NY. 4

5 4. Hutton, L. (1971). Number Systems. An Intuitive Approach. Entex Educ. Publishers. 5. Niven I. y Zuckerman H. (1969). Introducción a la Teoría de los Números, Editorial Limuza-Wiley, México. Profa. Floria Arias Tencio Oficina 27, tercer piso Edificio Escuela de Matemática CIMPA en Finca Dos Casillero 54 Correo: arias.floria@gmail.com Horario de consulta: Martes 7am a 9am; Viernes 11:10am a 12:10pm 5