Curso de conjuntos y números. Apuntes. Juan Jacobo Simón Pinero

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1 Curso de conjuntos y números. Apuntes Juan Jacobo Simón Pinero Curso 2013/2014

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3 Índice general I Conjuntos 5 1. Conjuntos y elementos Sobre el concepto de conjunto y elemento Pertenencia, contenido e igualdad Operaciones con subconjuntos Familias de conjuntos y operaciones Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias Aplicaciones Relaciones y aplicaciones Tipos de aplicaciones Imágenes directas e inversas Composición Inversa de una aplicación biyectiva Orden Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos Conjuntos bien ordenados Relaciones de equivalencia Conceptos básicos Clases de equivalencia El conjunto cociente y la proyección canónica Relaciones de equivalencia y particiones Conjuntos numéricos Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos Orden y operaciones aritméticas Números enteros Números racionales Escritura decimal de números racionales Números reales Números complejos Forma exponencial de un número complejo

4 4 ÍNDICE GENERAL 5.6. Conjuntos numerables y no numerables Análisis combinatorio Variaciones Número de variaciones Permutaciones Combinaciones II Números y polinomios El anillo de los números enteros Artimética de los enteros División entera y máximo común divisor Mínimo común múltiplo La ecuación diofántica lineal Números primos.teorema Fundamental de la Aritmética Congruencias Propiedades aritméticas de las congruencias Estructuras algebraicas Algunas aplicaciones Teoremas de Euler, Fermat y Wilson Teorema chino de los restos Polinomios Polinomios con coeficientes en un cuerpo Raíces de polinomios Irreducibilidad y teorema fundamental del álgebra Factores múltiples Polinomios irreducibles en Q[X] A. Apéndice 111 A.1. La función sucesor A.2. Operaciones en N

5 Parte I Conjuntos 5

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7 Capítulo 1 Conjuntos y elementos 1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. Comenzamos con la definición de conjunto de G. Cantor: Un conjunto es una colección (dentro de un todo) de distintos objetos definidos por nuestra intuición o pensamiento Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepción intuitiva de los conjuntos. La noción formal de conjunto corresponde con fundamentos de la matemática que quedan fuera del alcance de nuestro curso. También queda fuera del alcance de este texto el concepto de pertenencia. Vamos a asumir entonces que hay unos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamos elementos Pertenencia, contenido e igualdad. Las colecciones a las que llamaremos conjuntos serán construidas de las siguientes dos formas principales. 1. Por extensión: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo A = {X 1,...,X n,... } o A = {a, b, c,... }. 2. Por comprehensión: a través de una fórmula proposicional que siempre tendrá, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, si B es un conjunto, A = {X B p(x) (es verdadera) }. Cuando el conjunto B sea obvio quién es por el contexto, podemos no escribirlo. 7

8 8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anteriores determina un único conjunto Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos. 1. A = {a, e, i, o, u} o A = {x x es una vocal }. 2. A = {2, 4,... } o A = {x N x es par } Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehensión y extensión, los siguientes conjuntos: 1. Los números naturales que son impares y menores que Las vocales de la palabra murciélago. 3. Los números impares positivos Observación. La exigencia del conjunto de referencia en la escritura de comprehensión es importante. El todo de donde tomamos los elementos debe de ser, de antemano, un conjunto. De no ser así, podemos tener problemas, como se muestra a continuación. Sea U la colección de todos los conjuntos y definimos A = {x U x x}. Si U fuese conjunto entonces A también lo sería y entonces es inmediata la siguiente proposición: A A si y solo si A A, conocida como la paradoja de Russell. Lo que ocurre aquí es que U no es un conjunto y por tanto, no podemos formar el conjunto A por comprehensión Notación. Si a es un elemento del conjunto A, escribiremos a A. En caso contrario escribimos a / A Inclusión. Sean A y B conjuntos. Decimos que A está contenido en B, o que A es subconjuntos de B si para todo elemento a A se tiene que a B. Se denota A B y se expresa a A a B Si A no está contenido en B entonces escribimos A B Observación. Es claro que A B si y solo si existe a A tal que a B Ejemplo. Sea I = {x N x es impar } = {x N x = 2n + 1, con n N}, que a veces, para abreviar, escribimos {2n+1 n N} (aunque esta escritura no estaba contemplada, se usa mucho y se entiende perfectamente, así que podemos introducirla). Entonces I N Notación. Sean A y B conjuntos, tales que A B. Si queremos destacar la posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A B. Cuando queremos poner énfasis en justo lo contrario, escribimos A B; lo expresamos como a A a B pero b B tal que b A.

9 1.2. PERTENENCIA, CONTENIDO E IGUALDAD Igualdad. Diremos que dos conjuntos A y B son iguales cuando tengan exactamente los mismos elementos. Lo expresamos a A a B Proposición. Sean A y B conjuntos. A = B si y sólo si A B y B A Demostración. Inmediata. Conjunto vacío Definición. Un conjunto vacío es aquel que no tiene elementos Proposición. Sean A y B conjuntos. Si A es vacío entonces A B. Demostración. Por reducción al absurdo. Sea A un conjunto vacío y supongamos que existe B, conjunto tal que A B. Entonces existe a A tal que a B. Luego A no es vacío lo cual es imposible Corolario. Solo hay un conjunto vacío. Demostración. Inmediata de la proposición anterior. Notación. El conjunto vacío se denota Ejercicio. Decidir razonadamente si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: A = x, x A Partes de un conjunto. Sea A un conjunto. La colección P(A) = {B B A} se conoce como el conjunto de las partes de A o el conjunto potencia de A Ejercicios. 1. Determinar P( ). 2. Sea A = {x 1, x 2, x 3 }. Escribir P(A) y comprobar que tiene 2 3 elementos. 3. (Taller ) Probar que A P(A). Solución. Solo veremos el ejercicio del taller. Supongamos que A = P(A). Se tendrá entonces que X A implica que X A. Vamos a formar el conjunto B = {X A X X}. Como B A entonces B A; además, ocurre una de dos: 1. B B, en cuyo caso B A y B B y por tanto B B, lo cual es absurdo. 2. B B, en cuyo caso B A y B B y por tanto B B, lo cual es absurdo. Así que la suposición de que A = P(A) reduce al absurdo y por tanto es falsa. Luego lo contrario es verdadero.

10 10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS 1.3. Operaciones con subconjuntos Unión. Sean A y B conjuntos. El conjunto A B = {x x A o x B} se conoce como la unión de A y B. Se escribe x A B si y sólo si x A o x B. Lo contrario es x / A B si y sólo si x / A y x / B Ejercicio. Sea A un conjunto arbitrario. Probar que para cualquier conjunto B, se tiene que A A B Intersección. Sean A y B conjuntos. El conjunto A B = {x x A y x B} se conoce como la intersección de A y B. Se escribe x A B si y sólo si x A y x B. Lo contrario es x / A B si y sólo si x / A o x / B Ejercicio. Para los conjuntos A, B y C, probar las siguientes propiedades: 1. Si A B y B C entonces (A B) C. 2. (A B) C = A (B C). 3. A B si y sólo si A B = B si y solo si A B = A 4. Como consecuencia, A = A y A = Ejemplos. 1) Vamos a comenzar abordando un caso muy concreto hasta otener la máxima generalidad, en el uso de la escritura comprehensiva. Sea U = R 2, el plano euclídeo, A = {(x, y) U x + y = 3}, B = {(x, y) U x + y = 7} y C = {(x, y) U x y = 0}. Probar que A B y que A C. Más en general, si P(r) = {(x, y) U x + y = r}, con r R, probar que P(r) P(s) si y solo si r s. Finalmente, probar que si U es un conjunto arbitrario, A = {x U p(x) } y B = {x U q(x) }, entonces A B si y solo si [p(x) q(x)]. 2) Vamos a ver un caso donde podemos comparar el uso de escritura comprehensiva y el de listas. Para cualquier a N, se define N a = {a, 2a,... } = {x N x = na, con n N}. En este caso, la escritura con lista parece más elegante que la comprehensiva. También N a N b = N mcm(a, b); pero la unión N a N b se escribe mal como lista.

11 1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 11 Diagramas de Venn En 1880 John Venn introdujo los diagramas para una mejor comprensión de los conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas representan la unión e intersección de dos conjuntos A y B contenidos en otro conjunto, digamos U. U A B Unión U A B Intersección Leyes distributivas Proposición. Sean A, B y C conjuntos. Entonces 1. A (B C) = (A B) (A C). 2. A (B C) = (A B) (A C). Demostración. Probaremos la primera, la otra se deja como ejercicio. ] Sea x A (B C). Entonces x A y x B C; es decir, x A y además x B o x C. Ahora separamos en dos casos. Primero, x A y x B, de donde x A B. El otro es x A y x C, de donde x A C. No hay más casos y por tanto x (A B) (A C). ] Si x (A B) (A C) entonces x A y x B o bien x A y x C. Luego x A en ambos casos y así, x A y además x B o x C, de donde x A (B C). Vamos ahora con la segunda. ] Sea x A (B C). Tenemos dos casos. Primero, si x A entonces x A B y además x A C (Ejercicio 1.3.2) luego x (A B) (A C). Ahora, si x A entonces x B C entonces x A B y x A C (otra vez Ejercicio 1.3.2) y por tanto x (A B) (A C). ] Sea x (A B) (A C). Consideramos dos casos. Primero, si x A entonces x A (B C) (otra vez Ejercicio 1.3.2). Segundo, si x A entonces x B y además x C por lo que x B C, de donde x A (B C) Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia de conjuntos es la colección Expresado como diagrama de Venn A \ B = {X X A y X B}.

12 12 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS U A B Diferencia Ejercicio. Considérense los conjuntos A = {X R 0 x 2 6} y X B = {X R 2 2 < 8}. Se pide: 1. Representar estos conjuntos en la recta real. 2. Determinar los conjuntos A B, A B, A \ B y B \ A, escribiéndolos de forma comprehensiva y gráficamente en la recta real Complemento. Sean A y U conjuntos, con A U. Se conoce como complemento de A en U a la colección A = U \ A = {X U X A}. Leyes de De Morgan. Augustus De Morgan 1806 (Madras, India)-1871(Londres). Fue hijo de un militar británico. Hizo contribuciones importantes en álgebra, geometría y además fue cofundador de la London Mathematical Society, así como su primer presidente Proposición. Sean A y B conjuntos. 1. (A B) = A B. 2. (A B) = A B. Demostración. 1. x (A B) x A B x A o x B x A o x B x A B. 2. x (A B) x A B x A y x B x A y x B x A B. Expresado como diagrama de Venn

13 1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 13 U A B (A B) = A B U A B (A B) = A B Familias de conjuntos y operaciones Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o no nos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par de ejemplos. Sean N el conjunto de los números naturales y P el conjunto de los números pares positivos. Definimos, para cada n N, A n como el conjunto de los x múltiplos pares de n; es decir A n = {x P n N}. Entonces, la colección C = {A n } n N no es conjunto porque, por ejemplo, A p = A 2p, para todo primo impar. En este caso, decimos que C es una familia (de conjuntos). Aún así, es claro que podemos considerar su unión e intersección y respetará las leyes habituales de conjuntos. Otro ejemplo es el siguiente. Considérese p 1 (X) = X 3 X 2 + X 1 y p 2 = X 3 + X 2 2. Sean R 1 y R 2 los conjuntos de raíces reales de p 1 (X) y p 2 (X) respectivamente, y R = {R 1, R 2 }. En principio, no podemos asegurar que R sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia 1 R 1 R Definición. Una familia de conjuntos es una colección {A i i I}, donde I es un conjunto y A i son conjuntos. Si todos los objetos son diferentes, tendremos un conjunto, si no, una familia.

14 14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias Comenzamos con la unión. Al ser una operación binaria y asociativa, podemos extenderla a una colección finita de uniendos. Así, si A 1,...,A n son conjuntos se tiene que n A i = {x x A i para alguna i {1,...,n}}. i=1 Cuando la colección sea infinita, también habrá unión, pero ya no es una consecuencia de propiedades de operaciones binarias. Será una nueva definición. Veamos la versión más general. Nos viene a decir que las uniones más generales serán conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a un conjunto Unión arbitraria. Sea C un conjunto cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La unión arbitraria es el conjunto C = {x x A, para algún A C}. En el caso de las familias, si I es un conjunto de índices y C = {A i i I} = {A i } i I, entonces escribimos C = i I A i = {x x A i para algún i I}. Al igual que sucede con la unión, podemos definir la intersección finita en conjuntos y familias. Si A 1,...,A n son conjuntos entonces la intersección es el conjunto n A i = {x x A i para todo i {1,...,n}}. i= Intersección arbitraria. Sea C un conjunto, cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La intersección arbitraria es el conjunto C = {x x A, para todo A C}. En el caso de las familias, si I es un conjunto de índices y C = {A i i I} = {A i } i I, entonces escribimos C = i I A i = {x x A i para todo i I} Ejemplo. Sea A = {a, b, c} y consideramos el conjunto de las partes de A, que denotamos P(A). Sea C = {{a, b}, {b, c}}. Entonces 1. C = A. 2. C = {b}.

15 1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los números primos positivos. Para cada primo, p P, definimos el conjunto N p = {0, p, 2p,... }, o sea, los múltiplos naturales de p. Entonces: 1. La familia {N p} p P es un conjunto. 2. p P N p = N. 3. Si p 1,...,p n son primos cualesquiera entonces se tiene que n i=1 N p i = {0, p 1 p n, 2(p 1 p n ),... } 4. p P N p = Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias En ocasiones queremos hacer corresponder dos objetos, ya sea para compararlos, sustituirlos o diversos objetivos más. Una herramienta matemática por excelencia para estudiar las correspondencias es la idea de pareja ordenada o par ordenado. En los estudios preuniversitarios invocamos las parejas ordenadas escribiendo (a, b). Vamos interpretar este concepto en términos de conjuntos Definición. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada por a A y b B es el conjunto (a, b) = {{a}, {a, b}} Observación. La escritura de la definición anterior puede reducirse mucho según el caso. Por ejemplo (a, a) = {{a}} Proposición. Sean A y B conjuntos. Para cualesquiera elementos a, c A y b, d B se tiene que (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d. Demostración. Se deduce de la igualdad {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Ahora vamos a considerar el conjunto de las parejas ordenadas. Nótese que una vez establecida la definición conjuntista de pareja ordenada volvemos a expresiones completamente familiares Producto cartesiano. Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B es el conjunto A B = {(a, b) a A y b B} Observación. Es claro que siendo el producto cartesiano un operación binaria, podemos extender el concepto a un número finito de factores. En este caso, es inmediato comprobar que el producto cartesiano de tres conjuntos no es asociativo; sin embargo, la identificación (a, (b, c)) con ((a, b), c) es demasiado clara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos,

16 16 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripción en términos de conjuntos para la expresión (a, b, c). Más adelante le daremos sentido, con un concepto más general, el de producto directo Proposición. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces A = A =. Demostración. Supongamos que A. Entonces existe una pareja (a, b) A, con b. Pero eso es imposible. El otro producto es completamente análogo Observación. De la propia definición de pareja ordenada se desprende que si A y B son conjuntos puede ocurrir que A B B A Ejercicios. 1. Sea A = 1, 2, 3 y B = a, b. Formar el producto cartesiano. 2. Probar que A (B C) = (A B) (A C) 3. Probar que A (B C) = (A B) (A C) Ahora vamos expresar en términos de conjuntos la noción de relación (o correspondencia) entre dos objetos Definición. Sean A y B conjuntos. Una relación binaria (o correspondencia) entre elementos de A y de B es un subconjunto R A B. Cuando (a, b) R decimos que a está relacionado con b (dicho en ese orden) y escribimos arb. Cuando ocurra A = B, diremos simplemente que R es una relación en A Observación. Algunos autores obligan a que las relaciones sean conjuntos no vacíos. Otros reservan el término relación para correspondencias en un solo conjunto. Si no causa confusión, diremos relación en vez de relación binaria Observación. Nótese que puede ser que un elemento a esté relacionado con otro b, pero no recíprocamente Ejemplos. 1. Si A = y B es arbitrario, entonces A B = y por lo tanto, la única posible relación entre A y B es la vacía. 2. Sean A y B conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (que pueden coincidir), una es el vacío y la otra es la total. 3. Sea R R 2 la relación dada por es decir, xry x y. R = { (x, y) R 2 x y } ;

17 1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS17 4. Sea R Z 2 Z 2 tal que (a, b)r(a, b ) ab = a b. 5. Sea A un conjunto. La diagonal de A 2 ; es decir, (a, b) R a = b, es una relación (la igualdad). 6. Sea R Z 2 la relación dada por arb a b (a divide a b; o bien, b es múltiplo de a, véase 7.1.6). 7. Sea R R 2 la relación dada por xry y = x En este caso R = {(x, y) R 2 y = x 2 + 1} y podemos dibujarla en el plano Definición. Sean A y B, conjuntos, y R una relación entre A y B. 1. Al conjunto A se le llama conjunto inicial. 2. Al conjunto B se le llama conjunto final. 3. Se conoce como dominio de la relación, al conjunto DomR = {a A b B, (a, b) R}. 4. Se conoce como imagen de la relación, al conjunto Ejemplo. Sea R R 2 tal que ImR = {b B a A, (a, b) R}. (x, y) R x = y2 x. y Se puede comprobar que DomR = R y que ImR = R \ {0}. Podemos representar las relaciones en gráficas planas, como se hace en el cálculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d } y considérese la relación R = {(a, b ), (a, c ), (b, c )}. La grafica es d c b a a b c Un ejercicio interesante es estudiar la relación entre la forma de las gráficas y las propiedades de las relaciones.

18 18 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

19 Capítulo 2 Aplicaciones 2.1. Relaciones y aplicaciones En cursos anteriores hemos visto que una aplicación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Más actualmente, en capítulos aneriores hemos expresado el concepto de correspondencia en términos de conjuntos. Vamos a trabajar ahora el concepto de aplicación en términos de conjuntos Definición. Sean A y B conjuntos. Una aplicación entre A y B es una relación f A B que cumple la siguiente propiedad: Para todo a A, existe un único b B tal que (a, b) f. O bien, si (a, b) y (a, c) pertenecen a f, entonces c = d. Nótese que esta definición en realidad no difiere de la que hemos visto en estudios previos. Estamos diciendo, en términos de conjuntos, que una aplicación es una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B, que satisfacen que para todo a A existe un único elemento b B que le corresponde Notación. Sean A y B conjuntos y f una aplicación de A a B. Escribimos entonces f : A B o A f B. Además, si a A y (a, b) f, como b es único podemos escribir b = f(a). En ocasiones expresamos la igualdad anterior b = f(a), que también llamamos regla de corespondencia, a través de ecuaciones. Por ejemplo, podemos definir f : N N tal que f(n) = n 2. Cuando partimos de una ecuación como por ejemplo y = x y queremos interpretarla como la regla de una relación, la llamamos función 1 y tenemos que 1 Algunos autores no distinguen estos conceptos y a todo le llaman funciones. 19

20 20 CAPÍTULO 2. APLICACIONES determinar su dominio de definición es decir, el mayor conjunto que puede ser el dominio con el que podemos interpretar y = x como la regla de correspondencia de una aplicación. Existen diversas maneras de representar gráficamente a las aplicaciones. Vamos a ver dos de ellas. La primera muy típica: Sean A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d } conjuntos. Representamos la aplicación f : A B tal que f = {(a, a ), (b, c ), (c, d )} como f A a a B b c b c d La siguiente es la gráfica habitual de las coordenadas, que ya hemos visto para relaciones. d c b a a b c Otra gráfica habitual es la de la función y = x Observación. En ocasiones, sobre todo en el cálculo y la topología, se suele identificar la aplicación con la regla de correspondencia y a la propia aplicación con la gráfica (o grafo) Observación. Como hemos dicho, una aplicación es una relación, que escribimos f : A B. De este modo tenemos 1. El dominio de f, que es Domf = A. Es decir, el dominio coincide con el conjunto inicial, así que éste último término ya no se usa. 2. La imagen (o imagen directa) de f, que es Imf = f(a) B. Además, tenemos otras definiciones Definición. Sean A y B conjuntos y f : A B. 1. Al conjunto final B se le llama el codominio de f.

21 2.2. TIPOS DE APLICACIONES A la igualdad b = f(a) se le llama la regla de correspondencia de f, y tiene especial sentido cuando se establece por fórmula. 3. Si (a, b) f, decimos que a es una preimagen de b y que b es la imagen de a Ejemplos. 1. Sea A un conjunto. La relación diagonal es una aplicación que llamamos la identidad. 2. Sea f : Z N, tal que f(a) = a 2. Entonces f es una aplicación. 3. La relación xry x 2 + y 2 = 1 no es una aplicación. Sin embargo, y = 1 x2 sí lo es Ejemplo. Operaciones binarias. Sean A y B conjuntos no vacíos. Una ley de composición externa es una aplicación B A ø A cuya imagen habitualmente denotamos b ø a en vez de ø(b, a). Un ejemplo típico de esto es el producto por un escalar en espacios vectoriales. Otra operación binaria es la ley de composición interna. Sea A un conjunto. Una operación binaria en A es una aplicación B A ø A cuya imagen habitualmente denotamos a ø a en vez de ø(a, a ). Un ejemplo típico de esto es la suma en los números naturales Tipos de aplicaciones Definición. Sea f : A B una aplicación. 1. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si para cada elemento de la imagen, la preimagen es única. Escribimos f(a) = f(b) a = b o a b f(a) f(b) 2. Decimos que f es suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva) si cubre todo el codominio. Escribimos b B, a A tal que f(a) = b. 3. Decimos que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva Ejemplos. Se pueden comprobar fácilmente las siguientes afirmaciones:

22 22 CAPÍTULO 2. APLICACIONES 1. La aplicación f : N N tal que f(x) = 2x es biyectiva. 2. La aplicación f : [1, ) (0, 1] tal que f(x) = 1 x es biyectiva. 3. Sean A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d }. Entonces a) La aplicación f = {(a, b ), (b, b ), (c, b )} no es inyectiva ni suprayectiva (es constante). b) La aplicación f = {(a, b ), (b, c ), (c, d )} es inyectiva pero no suprayectiva. c) Ninguna aplicación f : A B puede ser suprayectiva Imágenes directas e inversas Definición. Sea f : A B una aplicación. 1. Para X A, definimos la imagen (directa) de X como f(x) = {f(x) x X} = {b B x X, b = f(x)}. 2. Para Y B, definimos la imagen inversa como f(y ) 1 = {a A f(a) Y } que también podemos escribir f 1 (Y ) teniendo cuidado de no confundirla con la aplicación inversa. En el caso de las imágenes inversas, cuando el conjunto Y solo tiene un elemento, digamos Y = {y} se suele denotar f(y) Proposición. Sea f : A B una aplicación. La imagen directa verifica las siguientes propiedades. 1. f( ) =. 2. Si X Y entonces f(x) f(y ). 3. Si X, Y A entonces f (X Y ) = f(x) f(y ). 4. Si X, Y A entonces f (X Y ) f(x) f(y ). Más en general, si I es un conjunto y {X α } α I una familia de subconjuntos de A entonces ( ) f X α = ( ) f (X α ) y f X α f (X α ) α I α I α I α I

23 2.3. IMÁGENES DIRECTAS E INVERSAS 23 Demostración. 1. Es inmediata de (1.4.6). 2. Si X = el resultado se sigue de lo anterior, y del hecho de que el vacío está contenido en todo conjunto (1.2.12). En otro caso, sea y f(x). Entonces existe x X tal que f(x) = y. Como X Y entonces x Y, luego y = f(x) f(y ). Finalmente haremos la primera de las generales y los apartados restantes los dejaremos como ejercicio. ] Sea y f ( α I X α ). Entonces existe x α I X α tal que f(x) = y. Como x α I X α entonces x X α para alguna α I. Luego y f (X α ) α I f (X α ). ] Considérese y α I f (X α ). Entonces y f (X α ) para alguna α I, así que existe x X α tal que f(x) = y. De hecho x α I X α, así que y = f(x) f ( α I X α ) Ejercicio. Dar ejemplos de funciones f : A B y conjuntos X, Y A tales que f (X Y ) f(x) f(y ) y f : A B y conjuntos X, Y A tales que f (X Y ) = f(x ) f(y ) Respuesta. Sean A = {1, 2}, B = {b}, X = {1} e Y = {2}. Sea f : A B tal que f es la constante b. Entonces X Y =, luego f (X Y ) =, pero f(x) f(y ) = B Proposición. Sea f : A B una aplicación e Y B. La imagen inversa verifica las siguientes propiedades. 1. ( f(y ) 1) = f (Y ) Si I es un conjunto e {Y α } α I una familia de subconjuntos de B entonces ( ) 1 f Y α = ( ) 1 f (Y α ) 1 y f Y α = f (Y α ) 1 α I α I α I Demostración. Probaremos la última afirmación. El resto se deja como ejercicio. ] Sea x f ( α I Y α ) 1. Entonces f(x) α I Y α, entonces f(x) Y α para todo α I luego x f (Y α ) 1 para todo α I, así que x α I f (Y α ) 1. ] Sea x α I f (Y α ) 1. Entonces x f (Y α ) 1 para todo α I, luego f(x) Y α para todo α I, entonces f(x) α I Y α. Por lo tanto x f ( α I Y α) Ejemplo. Sea f : R R dada por f(x) = x 2. Sea X = [1, 2] R. Se puede comprobar que: 1. f(x) = [1, 2]. 2. f (f(x)) 1 = [ 2, 1] [1, 2]. α I

24 24 CAPÍTULO 2. APLICACIONES 3. f(x) 1 = [ 4 2, 1 ] [ 1, 4 2 ] 4. f ( f(x) 1) = [1, 2]. Como ejercicio se puede hacer lo mismo para la aplicación dada por g(x) = sen x, e Y = [ 2, 2] Composición Permítasenos comenzar este párrafo con el siguiente ejercicio Ejercicio. Sean f : A B y g : B C aplicaciones. Definimos la relación g f A C tal que (a, c) (g f) si y sólo si, existe b B tal que (a, b) f y (b, c) g. Probar que g f es una aplicación. Respuesta. Sea a A. Entonces existe un único b B tal que (a, b F y un único c C tal que (b, c) g, por tanto (a, c) g f. Vamos a ver que c es único. Si (a, c ) g f entonces existe b B tal que (a, b ) f y (b, c ) g, pero la definición de aplicación nos dice que b = b y por tanto c = c. Entonces podemos introducir el siguiente concepto Definición. Sean f : A B y g : B C aplicaciones. Se conoce como la composición de f seguida de g y la denotamos g f a la aplicación siguiente: 1. g f : A C. Tal que 2. (g f)(a) = g(f(a)). Entonces, en la composición ocurre que Dom(g f) = Domf y el codominio de la composición es igual al codominio de g Ejemplos. 1. Sean f : N N y g : N Z, dadas por f(n) = 2n + 1 y g(n) = n 2. Entonces la composición de f seguida de g es (g f)(n) = g(f(n)) = g(2n + 1) = (2n + 1) 2. Nótese que la composición de g seguida de f no puede definirse, porque no coinciden la imagen de g y el dominio de f. También notemos que a efectos prácticos, eso podría corregirse. Una manera es la siguiente. 2. Al hilo del apartado anterior, sean f : N N y g : N N, dadas por f(n) = 2n + 1 y g (n) = n 2. Ahora podemos hacer ambas composiciones y queda (g f)(n) = (2n + 1) 2 y (f g)(n) = 2n Nótese que (g f) (f g).

25 2.4. COMPOSICIÓN Teorema. Sean f : A B, g : B C y h : C D aplicaciones. Entonces h (g f) = (h g) f. Demostración. La coincidencia de los dominios y codominios es clara, luego las composiciones pueden considerarse. Sea a A. Calculamos (h (g f))(a) = h ([g f](a)) = h (g(f(a))) = (h g)(f(a)) = ((h g) f)(a) Proposición. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Demostración. Sean f : A B y g : B C aplicaciones inyectivas. Sean a, a A tales que (g f)(a) = (g f)(a ). Entonces g(f(a)) = g(f(a )) y como g es inyectiva f(a) = f(a ), y como f es inyectiva a = a Proposición. La composición de aplicaciones suprayectivas es suprayectiva. Demostración. Sea c C. Entonces existe b B tal que g(b) = c y, a su vez, existe a A tal que f(a) = b. Luego (g f)(a) = c Corolario. La composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva. Demostración. Inmediata de las dos anteriores Proposición. Sean f : A B y g : B C. Entonces 1. Si g f es inyectiva entonces f es inyectiva. 2. Si g f es suprayectiva entonces g es suprayectiva. Demostración. Ejercicio Inversa de una aplicación biyectiva Notación. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicación identidad en A, como 1 A : A A; es decir, 1 A (a) = a, para todo a A Definición. Sea f : A B una aplicación. Decimos que f tiene inversa si existe g : B A tal que g f = 1 A y f g = 1 B. En este caso, decimos que f es una aplicación invertible Proposición. Sea f : A B una aplicación invertible. Entonces la inversa es única. Demostración. Supongamos que g y h son inversas. Entonces g = g 1 B = g (f h) = (g f) h = 1 A h = h.

26 26 CAPÍTULO 2. APLICACIONES Notación. Para una aplicación invertible f : A B, denotamos la inversa como f Teorema. Sea f : A B una aplicación. Entonces f es invertible si y sólo si es biyectiva. Demostración. Supongamos primero que f es invertible y veamos que es biyectiva. Sean a, a A. Si f(a) = f(a ) entonces f 1 (f(a)) = f 1 (f(a )), luego a = a. Ahora, sean b, b B. Hacemos a = f 1 (b) y a = f 1 (b ) y se tiene que f(a) = b y f(a ) = b. Por tanto es biyectiva. Recíprocamente, supongamos que f es biyectiva y queremos definir la inversa. Para cada b B consideremos la imagen inversa f({b}) 1. Se afirma que la imagen inversa tiene exactamente un elemento. Como f es sobre, entonces f({b}) 1. Si a, a f({b}) 1 entonces b = f(a) y b = f(a ), de donde f(a) = f(a ) y como es inyectiva a = a. Definimos g : B A tal que g(b) f(b) 1, el único elemento. Es inmediato comprobar que g es inversa de f y por tanto g = f Proposición. Sean f : A B y g : B C aplicaciones invertibles. Entonces (g f) 1 = f 1 g 1. Demostración. Es un cálculo directo Ejemplo. Las permutaciones. Sea 0 n N y A = {a 1,...,a n } un conjunto (con n elementos). Una permutación es una biyección σ : A A. Las permutaciones se denotan σ = ( a1... a n σ(a 1 )... σ(a n ) Como ejemplo más concreto, si A = {1, 2, 3, 4, 5} entonces una permutación puede ser ( ) σ = Dado un conjunto no vacío A con n elementos, se denota S(A) el conjunto de las permutaciones de A. En caso de que A = {1,..., n} escribimos S n. ). Producto directo Vamos a ver una extensión de la idea del producto cartesiano (1.4.4) que llamaremos el producto directo. A diferencia del producto cartesiano, el producto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjunto de índices está ordenado, los identificamos, con la idea de extensión del producto cartesiano a un número finito de factores (véase 1.4.5).

27 2.4. COMPOSICIÓN Definición. Sea I un conjunto y F = {A i } i I una familia de conjuntos. Se conoce como producto directo de la familia F al conjunto A i = {f : I i I A i f(i) A i }. i I Notación. Los elementos se denotan imitando la escritura de las parejas ordenadas; es decir, si f i I A i, escribimos f = (x i ) i I. Cuando I es finito y se escribe como una lista, escribimos sus elementos repitiendo la lista en los índices. No tenemos que seguir el orden de la lista, pero es conveniente y se acostumbra. Por ejemplo si I = {1,...,n}, escribimos A 1 A n = {(x 1,...,x n ) x i A i }. En caso de que no se quiera escribir a una familia con índices, simplemente se presupone; es decir, a la familia {A, B, C} la vemos como {A 1, A 2, A 3 } o usando cualquier otro conjunto de índices con tres elementos Ejemplos. 1. R 2 = {f : {1, 2} R f(i) R, i = 1, 2} = {(x 1, x 2 ) x i R}, el plano habitual. 2. R n = {f : {1,...,n} R f(i) R, i = 1,...,n}. 3. n N A n = {f : N n N A n f(n) A n }, es un producto infinito. Denotamos sus elementos también como f = (x 1, x 2,... ). Ya hemos comentado que el producto cartesiano con más de dos factores no es asociativo (véase 1.4.5). El producto directo tampoco lo es, pero todo puede identificarse. Por ejemplo existe una biyección entre A (B C) y (A B) C que nos permite escribir A B C, e identificar (a, (b, c)) ((a, b), c) (a, b, c). La comprobación es demasiado laboriosa como para ocuparnos de ella, pero en general depende del siguiente resultado que es mucho más simple. Esta parte la dejamos para los lectores más curiosos Proposición. Sean I y J conjuntos y F = {A i } i I y G = {B j } j J familias de conjuntos. Si existe una biyección σ : I J, junto con un conjunto de biyecciones {f i : A i B σ(i) } i I entonces existe una biyección f : i I A i j J B ( j, dada por f(x)(j) = f σ 1 (j) x(σ 1 (j)) ). Demostración. Nótese que para cada x ( i I A i y cada j J, se tiene un único elemento f σ 1 (j) x(σ 1 (j)) ), así que la relación es aplicación. Vamos a ver que es biyectiva. Considérese g : j J B i i I A i, dada por g(y)(i) = f 1 i (y(σ(i))) (nótese que f 1 i : B σ(i) A i ). Es claro que también es aplicación. Se afirma que son inversas. Sea x i I A i. Entonces g(f(x))(i) = f 1 i (f(x)(σ(i))) = f 1 i ( fσ 1 (σ(i))(x(σ 1 (σ(i)))) ) = = f 1 i (f i (x(i))) = x(i).

28 28 CAPÍTULO 2. APLICACIONES De forma completamente análoga se tiene que f(g(y)) = y. Como tiene inversa, (2.4.13) nos asegura que f es biyectiva. Producto directo arbitrario y axioma de elección Como acabamos de ver, el producto directo finito puede identificarse con el producto cartesiano de conjuntos. De aquí se desprende que si tengo una familia finita de conjuntos no vacíos, el producto de conjuntos es no vacío. Sin embargo, no podemos establecer directamente del primer capítulo que el producto arbitrario de una familia de conjuntos no vacíos sea no vacía. Los enunciados que veremos a continuación, son equivalentes. Es fácil comprobarlo Axioma de elección. 1. Sea I un conjunto arbitrario y {A i } i I una familia. Si cada A i no vacío entonces se puede elegir un elemento de cada conjunto. O, equivalentemente 2. Sea I un conjunto no vacío y {A i } i I una familia de conjuntos no vacíos. Entonces el producto directo i I A i es no vacío. Más adelante veremos conexiones muy interesantes entre esta y otras propiedades.

29 Capítulo 3 Orden 3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos Recordemos que una relación binaria, correspondencia o simplemente relación (1.4.9 y ) es un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos. En este capítulo nos vamos a referir a cierto tipo de relaciones donde el conjunto inicial y el final, coinciden. Comenzamos con una lista de propiedades que utilizaremos durante todo el texto Definición. Sea A un conjunto y R una relación en A. 1. Decimos que R es reflexiva si (a, a) R, para todo a A. 2. Decimos que R es simétrica si para a, b A, cada vez que (a, b) R se tiene que (b, a) R. 3. Decimos que R es antisimétrica si dados a, b A tales que (a, b) R y (b, a) R, se tiene que a = b. 4. Decimos que R es transitiva si, dados a, b, c A, cada vez que (a, b) R y (b, c) R se tiene que (a, c) R Ejemplo. Se pide que como ejemplo se clasifiquen las siguientes relaciones. 1. Se puede comprobar que si A = {a, b} y B = {1, 2} entonces existen 16 relaciones entre A y B. Un ejercicio puede ser clasificarlas todas. 2. Sea A = N y arb si y solo si a + b es par. 3. Sea A = Z y arb si y solo si a y b tienen distinta paridad. 4. Sea A = R y arb si y solo si 29

30 30 CAPÍTULO 3. ORDEN a) a b. b) a b. c) a + b Sea A = N y arb si y solo si a divide a b (recordemos a b, véase 7.1.6). 6. Sea C un conjunto arbitrario y A = P(C). Definimos a) arb si y solo si a \ b = b \ a. b) arb si y solo si a b. 7. Sea A = R 2 y (x 1, x 2 )R(y 1, y 2 ) si y sólo si x 1 < x 2 o bien, si x 1 = x 2 se tiene que x 2 y Ejercicio. El orden que hemos visto en el Ejemplo 7 se conoce como orden lexicográfico. Se pide extender la idea de orden lexicográfico en dos direcciones. La primera a cualquier número de coordenadas. La segunda sustituyendo R por un conjunto ordenado arbitrario Definición. Sea A un conjunto. 1. Una relación en A se dice que es una relación de orden (o un orden parcial) si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 2. Un par (A, ), donde A es un conjunto y es una relación de orden en A, se dice que es un conjunto ordenado (o parcialmente ordenado). Si el contexto no deja dudas sobre la relación de orden, sólo escribiremos que A es un conjunto ordenado Notación. Sea (A, ) un orden parcial. Para a, b A, escribimos a < b si a b y además a b (también se escribe a b) Ejemplos. 1. Los ejemplos 4a, 5, 6a y 7, son todos órdenes. Los otros no lo son. 2. A = R con el orden a b a b (el orden usual). 3. A = N \ {0} con el orden a b a b (la divisibilidad 7.1.6). 4. B = {1, 2, 3} y A = P(B) con el orden a b a b (la inclusión). { 5. A = R 2 a 1 < b 1 ; o bien con el orden (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) a 1 = b 1 y a 2 b 2 Una propiedad notable de la relación menor o igual de siempre en todos los conjuntos de números es que dados dos números, siempre podemos distinguir entre tres posibilidades. Que sean iguales, que uno sea mayor que el otro o viceversa. Vamos a formalizar este concepto en la llamada ley de tricotomía.

31 3.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y SUS ELEMENTOS DISTINGUIDOS Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado. Decimos que A satisface la ley de tricotomía si, dados a, b A, ocurre una y solo una de las tres condiciones siguientes: 1) a = b. 2) a < b. 3) b < a Definición. Sea (, A) un conjunto ordenado. 1. Decimos que la relación de orden es un orden total o lineal, si satisface la ley de tricotomía. 2. En el caso anterior, diremos además que A es un conjunto totalmente o linealmente ordenado Ejercicio. Considérense los conjuntos ordenados (A, ) dados en los ejemplos (3.1.6). Se pide decidir cuáles de ellos son conjuntos totalmente ordenados, razonando la respuesta. Vamos a ver dos representaciones gráficas para conjuntos ordenados. La primera es conocida como los diagramas de Hasse o upward drawing, o simplemente diagrama de grafo de un orden parcial. Consideremos a, b (A, ), tales que a b, pero a b; es decir, a < b. Entonces dibujamos una línea hacia arriba que conecte a con b. Lo hacemos con todos los elementos de A (escritos en lista si es finito o en caso infinito, con fórmula cuando sea posible) con la condición de no repetir ningún elemento de A. Además, no escribimos bucles; es decir, no conectamos ningún elemento consigo mismo Ejemplo. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relación de inclusion que ya vimos. El diagrama de Hasse asociado es: {1, 2, 3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1} {2} {3} La otra representación, también bastante conocida se llama las ζ-matrices. Si tenemos un conjunto (parcialmente) ordenado, se construye entonces la matriz ζ A con índices en A, tal que { 1 si a < b ζ a,b = 0 otro caso

32 32 CAPÍTULO 3. ORDEN Ejemplo. Sea, otra vez, C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relación de inclusion que ya vimos. La representación de ζ-matriz es {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} Vamos a ocuparnos de algunos elementos notables Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado y a A. 1. Decimos que a es máximo de A, cuando b a para todo b A 2. Decimos que a es el primer elemento o mínimo de A, cuando a b, para todo b A En el Ejemplo podemos ver que el máximo {1, 2, 3} es el que ocupa el extremo superior, mientras que el primer elemento ocupa el extremo inferior. En cambio en el Ejemplo , el máximo tiene toda su columna 1 menos la entrada de él mismo, mientras que el primer elemento es el que tiene toda su fila 1 excepto la entrada de él mismo Proposición. Sea (A, ) un conjunto ordenado. Entonces 1. Si A tiene máximo entonces éste es único. 2. Si A tiene primer elemento o mínimo entonces éste es único. Demostración. Se deja como ejercicio Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado y a A. 1. Decimos que a es un elemento maximal de A cuando se verifica que si a b entonces b = a 2. Decimos que a es un elemento minimal de A cuando se verifica que si b a entonces b = a Ejemplos. Sobre los siguientes conjuntos, vamos a establecer los elementos notables, cuando los haya. 1. A = { 1 n n N}, junto con el habitual. El máximo es 1 y no tiene primer elemento. 2. A = {n N n es par} junto con el habitual. No tiene máximo. Tiene primer elemento 0.

33 3.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y SUS ELEMENTOS DISTINGUIDOS A = N N junto con el orden lexicográfico. No tiene maximales y el primer elemento es el (0, 0). 4. Un intervalo abierto en R. No tiene máximo, mínimo, maximales ni minimales. 5. Un intervalo cerrado en R. El extremo de la izquierda es el minimo y el de la derecha es el máximo. 6. A = {a N 1 a N}, junto con la inclusión. Si a es primo entonces a N es maximal. No hay minimales. 7. A = N\{0, 1}, junto con la divisibilidad. No tiene maximales ni minimales. Tiene minimales. Todos los primos. 8. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C)\C, junto con la inclusión. Entonces A tiene primer elemento y tiene maximales, pero no tiene máximo Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado, B A un subconjunto y c A. 1. Decimos que c es una cota superior de B en A si b c, para todo b B 2. Decimos que c es una cota inferior de B en A si c b, para todo b B En los ejemplos de (3.1.15) se tiene: En (1), A puede verse contenido en Q y así, 0 es cota inferior y todo racional q 1 es cota superior. En (2), A puede verse contenido en N y así, el 0 es cota inferior (y primer elemento). En (3) (0, 0) es cota inferior y primer elemento, también. En (4) y (5) A puede verse contenido en R y así, todos los menores o iguales que el extremo izquierdo del intervalo son cotas inferiores, mientras que los mayores o iguales al extremo derecho del intervalo son cotas superiores. En (6) A puede verse contenido en A {N, } y así, se tiene que N es cota superior y es cota inferior. En (7), A puede verse contenido en N \ {0} y así, el 1 es cota inferior. En (8), A puede verse contenido en P(C) y así, el {1, 2, 3} es cota superior Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado, B A un subconjunto y c A. 1. Decimos que c A es el supremo (o extremo superior) de B en A si es el mínimo del las cotas superiores de B en A. 2. Decimos que c A es ínfimo (o extremo inferior) de B en A si es el máximo de las cotas inferiores de B en A Ejemplos. En los siguientes ejemplos vamos a establecer si existen el supremo e ínfimo de cada uno. 1. A = { 1 n n N} Q, junto con el habitual. El máximo y el supremo es 1. El ínfimo es 0.

34 34 CAPÍTULO 3. ORDEN 2. A = {n N n es par} N junto con el habitual. El ínfimo y primer elemento El intervalo (a, b) R. Supremo b e ínfimo a. 4. El intervalo [a, b] R. Supremo b e ínfimo a Proposición. Sea (A, ) un conjunto ordenado y B A un subconjunto, con el orden de A. Si B tiene supremo (o ínfimo) en A éste es único. Demostración. Se deja como ejercicio. El siguiente resultado nos muestra por qué podemos decir él supremo e ínfimo, en vez de un supremo o ínfimo Proposición. Sea (A, ) un conjunto ordenado y B A un subconjunto, con el orden de A. 1. Si b B es un máximo (o mínimo) entonces b es también el supremo de B en A. 2. Si a A es supremo (ínfimo) de B en A y a B, entonces a es máximo (mínimo) de A. Demostración. Se deja como ejercicio Conjuntos bien ordenados. Es inmediato comprobar que los números naturales, enteros, racionales y reales son conjuntos con orden total o lineal. Sin embargo, existe una gran diferencia entre el orden de los números naturales y los enteros y los otros dos. A saber, podemos establecer el antecesor y el sucesor de cualquier número entero (excepto el 0 en los naturales). Vamos a describir este fenómeno en el lenguaje de los conjuntos ordenados, estableciendo el concepto de conjunto bien ordenado Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado. Diremos que es bien ordenado si todo subconjunto no-vacío de A tiene un mínimo Proposición. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. El recíproco no se verifica. Demostración. Supongamos que un conjunto A es bien ordenado y considero dos elementos a y b, de A. Consideramos el subconjunto B = {a, b} de A. Como B no es vacío, tiene primer elemento. De ahí se desprende la tricotomía trivialmente Ejemplo. Considérense N N junto con el orden lexicográfico. (1, 1) < (1, 2) <... < (1, n) <... < (2, 1) < (2, 2) <... < (2, n) <....

35 3.2. CONJUNTOS BIEN ORDENADOS. 35 Este conjunto está bien ordenado. Demostración. Sea A N N no vacío y A 1 = {x N (x, y) A p.a. y N}. Claramente A 1 y A 1 N, por tanto, tiene primer elemento. Sea x 0 A 1, dicho primer elemento. Sea ahora A 2 = {y N (x 0, y) A}. Como antes, A 2 también tiene primer elemento, digamos y 0 A 2. Se afirma que (x 0, y 0 ) es el primer elemento de A. Sea (a, b) A, arbitrario. Como a A 1 entonces x 0 a. Si x 0 < a ya terminamos, si no, entonces x 0 = a, así que b A 2 y así y 0 b. Intuitivamente, es claro que si tenemos un conjunto con un número determinado de elementos, entonces es posible hacer una lista estableciendo un buen orden entre ellos; de hecho, si existe una biyección entre dos conjuntos y uno tiene un buen orden, el otro podrá ser dotado de un buen orden (probarlo como ejercicio). En el caso de conjuntos arbitrarios, eso ha de ser un axioma. Se conoce como el principio de la buena ordenación. Es interesante hacer notar que este axioma es equivalente al axioma de elección (2.4.20) aunque la demostración excede los alcances de estos apuntes. Terminamos entonces con el enunciado Principio de la buena ordenación. Si A es un conjunto no-vacío, entonces existe una relación de orden en A tal que (A, ) es un conjunto bien ordenado.

36 36 CAPÍTULO 3. ORDEN

37 Capítulo 4 Relaciones de equivalencia 4.1. Conceptos básicos Como hemos comentado, un método importante de las matemáticas consiste relacionar los elementos de un conjunto. Recordemos que en (3.1.1) vimos algunas propiedades de las relaciones. Vamos a trabajar con ellas Definición. Sea A un conjunto y R una relación en A A. Decimos que R es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva Ejemplos. 1. La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto. 2. En Z, la relación a 5 b si y sólo si 5 (a b). 3. En R, la relación a b si y sólo si a b Z. 4. En los triángulos, la semejanza; es decir, triángulos cuyos angulos coinciden. 5. Cuándo una relación de orden es relación de equivalencia? 6. Sea A = {a, b, c} y R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a)}. Determinar si es relación de equivalencia. Otro ejemplo que puede resultar muy interesante es el siguiente Ejemplo. Sea f : A B una aplicación. Definimos la relación a a f(a) = f(a ). Se puede comprobar que es relación de equivalencia Notación. Si R es una relación de equivalencia en A y a, b A están relacionados, entonces podemos escribir cualquiera de las tres siguientes formas 1. La tradicional: arb, que también usamos para relaciones en general. 37

38 38 CAPÍTULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 2. También, a R b 3. O la anterior, pero más corta si no causa confusión, a b Clases de equivalencia Sea A un conjunto no vacío y R una relación de equivalencia en A. Para cada elemento a A, podemos considerar el conjunto de todos aquellos elementos de A que estén relacionados con a. Estas colecciones son una herramienta de trabajo importante en álgebra Definición. Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Para cada a A, su clase de equivalencia es el conjunto [a] = {b A a b }. Las siguientes propiedades son muy fáciles de verificar: Proposición. Sea A un conjunto R una relación de equivalencia en A. Las siguientes condiciones son equivalentes, para a, b A: 1. [a] [b]. 2. a R b. 3. [a] = [b]. Demostración. (1 2) Si x [a] [b] entonces a x y x b, luego a b. (2 3) Por hipótesis, a b. Si x [a] entonces x a y como a b se tiene que x b, luego x [b]. Análogamente se tiene que cualquier y [b] verifica y [a]. (3 1) Inmediato del hecho de que (a, a) [a]. Si C es una clase de equivalencia cualquiera y a C entonces [a] = C, trivialmente. En este caso decimos que a es un representante de C. Como se verá en los siguientes ejemplos, una correcta elección de los representantes puede simplificar mucho la descripción de las clases de equivalencia Ejemplos. 1. De las siguientes relaciones se pide determinar si son relaciones de equivalencia (si lo son, hay que probarlo, si no, indicar cuál de las tres condiciones falla). En caso de que lo sean, determinar las clases de equivalencia. a) En Z, la relación a b si y sólo si a + b es impar. b) En N N, la relación (a, b) (c, d) si y sólo si a + d = b + c. c) En A = {1, 2, 3}, la relación R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. d) En Z (Z \ {0}), la relación (a, b) (c, d) si y sólo si ad = bc. Qué pasaría si incluyésemos al (0, 0)?

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