TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS

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1 Depatamento e Matemática º Bachilleato TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS 1- HAZ DE PLANOS PARALELOS Too lo plano paalelo a un plano Ax + By + Cz + D tenán el mimo vecto nomal que el e : n A, Po lo tanto, too lo plano paalelo a eán e la foma: Ax + By + Cz + k ; k R Eta e la ecuación el haz e plano paalelo a Paa caa valo e k obtenemo un plano paalelo a - HAZ DE PLANOS SECANTES Se llama Haz e plano ecante al conjunto e plano que paan po una ecta, llamaa aita el haz El haz quea eteminao po o plano itinto el mimo, que efinen la ecta: Ax + By + Cz + D Ax + By + Cz + D La ecuación el haz eá: t Ax + By + Cz + D) + Ax + By + Cz + D ) ; t, R 3- ÁNGULO DE DOS RECTAS El ángulo e o ecta que e cotan y e el meno e lo ángulo que foman El ángulo e o ecta que e cuzan y e efine como el ángulo fomao po o ecta ecante y paalela a la aa Paa halla el ángulo, utilizamo lo vectoe iectoe e la ecta: y co, co, ) a), 90º b), º, ) 1 Lo vectoe on popocionale

2 Depatamento e Matemática º Bachilleato 4- ÁNGULO DE DOS PLANOS El ángulo e o plano ecante ieo que foman y e el meno e lo ángulo Paa halla el ángulo utilizamo lo vectoe pepeniculae e lo plano: n y n co, co n, n ) n n a), 90º n n n b), º n n n, n ) 1 Lo vectoe on popocionale 5- ÁNGULO DE RECTA Y PLANO El ángulo e una ecta y un plano, ecante, e igual al ángulo que foma con u poyección obe,, ), ) en, ) co, a), 90º, º, 1 Lo vectoe on popocionale b), º, 90º 6- PROYECCIÓN ORTOGONAL a) Poyección otogonal e un punto obe un plano e un punto P que e obtiene como inteección e la ecta pepenicula a π que paa po con el plano π b) Poyección otogonal e una ecta obe un plano e la ecta que e obtiene como inteección e un plano π pepenicula a π que paa po la ecta, con el plano π

3 Depatamento e Matemática º Bachilleato 7- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dao o punto A a, a, ) y B b, b, ) a3 b3 A, AB b a 1 a1) + b a) + b3 3) Popieae: a) A, 0 A B b) A, A) c) Deiguala tiangula: A, A, + 8- DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS 81- Ditancia e un punto a un plano Sea un punto P p, p, ) y un plano Ax + By + Cz + D p3 Si P Si P Q) ieno Q la poyección otogonal e P obe el plano P p, p, ) y n A, p3 ) Ap 1 + Bp A + B + Cp 3 + C + D 8- Ditancia ente o plano Si lo o plano y on ecante o coinciente, la itancia e 0 Si lo o plano y on paalelo eticto:, ieno P También, P, ieno P 9- DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO Si la ecta y el plano on ecante, Si la ecta etá contenia en el plano, Si la ecta y el plano on paalelo, ieno P

4 Depatamento e Matemática º Bachilleato 10- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS Dao un punto P y una ecta ; Si P ) Si P ) Q) PQ ieno Q la poyección otogonal e P obe La ecta viene aa po A, ) ) APx 101- Ditancia ente ecta Si y e cotan, Si y on coinciente, Si y on paalela eticta, ieno P un punto e 10- Ditancia ente ecta que e cuzan Si y e cuzan, la itancia ente la ecta e igual a la itancia ente el plano paalelo a y que contiene a y el plano paalelo a y que contiene a Si la ecta vienen aa po: A, ) y, ) Lo plano on: Entonce: A;, ;,,, ieno P, et A, x, ) 11- PERPENDICULAR COMÚN Se llama pepenicula común e o ecta que e cuzan a la ecta que cota pepeniculamente a caa una e ella

5 Depatamento e Matemática º Bachilleato Hallamo el plano que contiene a y e pepenicula a y el plano que contiene a y e pepenicula a La pepenicula común, p, e la ecta eteminaa po eto o plano Si la ecta vienen aa po: A, ) y, ) La pepenicula común viene aa po: 1- SIMETRÍAS A,, x p,, x A) SIMETRÍA CENTRAL E la imetía epecto e un punto C, llamao cento e la imetía P e el imético e P epecto e C PC CP C e el punto meio el egmento P P SIMETRÍA AXIAL E la imetía epecto e una ecta llamaa eje e la imetía P e el imético e P epecto e i y olo i e la meiatiz el egmento P P Cómo hallamo P? Hallamo el plano π que contiene a P y e pepenicula a la ecta El punto e cote el plano con la ecta M punto meio el egmento P P Conocieno P y M, e halla P SIMETRÍA RESPECTO DE UN PLANO P e el imético e P epecto e un plano π i y olo i π e el plano meiatiz el egmento P P Cómo hallamo P? Hallamo la ecta que contiene a P y e pepenicula al plano π El punto e cote el plano con la ecta e M punto meio el egmento P P Conocieno P y M, e halla P