UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE. MATEMÁTICA PURA Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos Capítulo 5. Teoremas sobre fracciones continuas infinitas TRABAJO MONOGRÁFICO Para optar el Título de Licenciado en Matemática pura AUTOR Sonia Alanya Pérez LIMA PERÚ 2004

2 5 Teoremas sobre Fracciones Continuas Infinitas. Teorema 8. Los convergentes impares (i.e., C 2n+ ; n Z) de una fracción continua simple forman una sucesión decreciente y los convergentes pares (C 2n ) forman una sucesión creciente. También se cumple que todo convergente par es menor que todo convergente impar. Demostración Veamos que (c 2k+ ) es una sucesión decreciente es decir c 2k+ < c 2k esto es c 5 < c 3 < c.se tiene que y p n. 2 p n = ( ) n a n c n c n 2 = ( )n a n. 2 Si n es impar tal que n = 2k + para todo k tenemos que (i). 2 > 0 (ii) a n > 0 pues cada uno lo son Entonces c n c n 2 < 0 es decir ( ) n a n. 2 < 0 c n < c n 2, n = 2k + c 2k+ < c 2k Veamos que c 2k forma una sucesión creciente es decir c 2k < c 2k+2 si n 3 y es un número par es decir n = 2k k 0 se tiene que es equivalente a c n c n 2 = ( )n a n 2 c 2k c 2k 2 = ( )2k a 2k q 2k q 2k 2 20

3 (i) a 2k > 0 (ii) q 2k q 2k 2 > 0 ( ) 2k a 2k q 2k q 2k 2 > 0 es decir c 2k c 2k 2 > 0 c 2k > c 2k 2 por lo tanto (c 2k ) forma una cadena creciente Ahora bien consideremos dos enteros positivos cualesquiera r y s r > s, r = s o r < s. (i) Si r > s c 2r < c 2s así c 2r < c 2s ya que los convergentes impares forman una sucesión decreciente, (ii) Si r = s c 2r < c 2s ya que c 2k > c 2k (iii) Si r < s c 2r < c 2s y por lo tanto c 2s < c 2s c 2r < c 2s es decir para dos enteros positivos cualesquiera r y s se demuestra que c 2r < c 2s, concluimos ahora que todo convergente par es menor que todo convergente impar. La sucesión (c 2k ) es una sucesión creciente monótona y acotada superiormente por cualquier c 2k+ en particular por c por lo tanto tiene un limite. Análogamente la sucesión c 2k+ es decreciente monótona y acotada inferiormente en particular por c 0 tiene un limite, estos dos limites son iguales debido a que c n c n tiende a cero, si n crece (pues los son crecientes con respecto a n) por lo tanto c 0 < c 2 < c 4 <... < x <... < c 5 < c 3 < c 2

4 Teorema 9. Sea x un número irracional representado por la fracción continua simple infinita [a, a 2,...] = x, si C n = p n, C n es el convergente enésimo de la fracción continua, : (i) x = lim C n (ii) x > C n ; si n es par x < C n ; si n es impar Demostración. Por Teorema 8 C 2, C 4, C 6,..., C 2n forman una sucesión creciente de números racionales que es acotada por cualquier convergente impar. Entonces existe lim C 2n y es mayor que todo convergente par: C 2 < C 4 <... < lim C 2n. Análogamente por el mismo teorema, los convergentes C, C 3, C 5,..., C 2n+ forman una sucesión decreciente de números racionales que es acotada por cualquier convergente par existe lim C 2n y es menor que toda convergente par. lim C 2n+ <... < C 5 < C 3 < C Además por el teorema 5 se tiene C 2n C 2n = ( )2n q 2n.q 2n Ahora como q i = a i.q i q i 2 q i crece sin cota si i crece lim (C ( ) 2n 2n C 2n ) = lim 0 q 2n.q 2n De aquí, se tiene: lim C 2n = lim C 2n lim C 2n = lim C 2n = lim C n 22

5 Por demostrar que Sea lim C n = x. x = [a 0, a,..., a n, a n+, a n+2,...] = [a 0, a,..., a n, x n ] donde x n = [a n, a n+,...] x p n = x np n + p n 2 x n + 2 p n = (x n p n + p n 2 ) p n (x n + 2 ) (x n + 2 ) = x n p n + p n 2 x n p n p n 2 (x n + 2 ) = (p n 2 p n 2 ) (x n + 2 ) ( ) n = (x n + 2 ) esta ultima fracción tiende a cero conforme n tiende al infinito (pues es creciente y x n positivo). De aquí que x c n tiende hacia cero conforme n tiende al infinito. Por lo tanto x = lím c n = lím [a 0, a,..., a n ] = [a 0, a,...] Teorema 0. Sea x = [a 0, a,...]. Si C n = p n, donde C n es el convergente enésimo convergente de la fracción continua simple, : x p n < x p n i.e., cada convergente de una fracción continua simple infinita está mas cercano al valor de la fracción continua que el convergente precedente. Demostración. Sea x = [a 0, a,..., a n, x n+ ] donde x n+ = [a n+, a n+2,...] x = x n+.p n + p n x n

6 x (x n+. + ) = x n+.p n + p n x.x n+. + x. = x n+.p n + p n x n+ (x. p n ) = x. + p n x p n = x n+. x p n Como x n+ > y, n 2 x n+. < y x p n < x p n Teorema. Si C n = p n, donde C n es el enésimo convergente de la fracción continua simple, cuyo valor es x, : x p n < qn 2 Demostración. Por el Teorema 5 C n+ C n = ( )n +. Así C n+ C n = +. por el teorema 9 x esta entre c n y c n+ y por el teorema 0 x esta mas cerca de c n+ que de c n por lo tanto 2+. < x C n < +. (8) la relación (7) es una afirmación mas fuerte relativa a los limites superior e inferior del error cometido a usar c n como una aproximación a x. Como +.+. = q 2 n por lo tanto.+ q 2 n x p n < qn 2 24,

7 como los q i son una sucesión creciente; existe N Z tal que q 2 n < ε para cualquier ε > 0 pequeño; además n N < ε. qn 2 Así, si un número irracional es expresado como una fracción continua simple infinita, es posible obtener aproximaciones por medio de números racionales con cualquier grado de exactitud deseada. Ejemplo. Encontrar una aproximación correcta a la diez milésima del número irracional representado por la siguiente fracción continua simple infinita. Estimar el número irracional representado por la fracción continua [, 2 ] Solución. Hallando los convergentes tenemos: k a k p k q k C k para que sea < basta que sea q 2 qn 2 n > es decir > 4. Observando el cuadro tenemos que q 6 = 69 > 4 x p 6 q 6 = =.4420 aproximadamente es 2 25