GRADO EN INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES (GITI) GRADO EN INGENIERÍA DE ORGANIZACIÓN (GIO) GRADO EN INGENIERÍA QUÍMICA (GIQ)

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3 ESTADÍSTICA CURSO 6/7 GRADO EN INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES GITI GRADO EN INGENIERÍA DE ORGANIZACIÓN GIO GRADO EN INGENIERÍA QUÍMICA GIQ Departameto de geería de orgazacó, admstracó de empresa y estadístca. PROGRAMA. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Descrpcó de ua varable: datos y dstrbucó de frecuecas. Represetacoes gráfcas: hstogramas. Meddas de cetralzacó y dspersó. Meddas de asmetría y curtoss. Dagramas de cajas y dagrama de tallos y hojas. Trasformacoes leales y o leales. Descrpcó de varas varables. Gráfcos de dspersó. Covaraza y correlacó. Matrz de varazas y covarazas. Trasformacoes leales de varas varables.. PROBABILIDAD Y VARIABLE ALEATORIA. Probabldad. Defcó y propedades. Probabldad codcoada. Idepedeca de sucesos. Teorema de la probabldad total y teorema de Bayes. Varables aleatoras dscretas y cotuas. Fucoes de probabldad, desdad y dstrbucó. Esperaza, varaza y mometos. Trasformacoes leales y o leales. Geeracó de úmeros aleatoros Método de Mote Carlo. 3. MODELOS UNIVARIANTES DE PROBABILIDAD. Dstrbucó bomal y dstrbucó geométrca. Dstrbucó de Posso y dstrbucó epoecal. Dstrbucó ormal. 4. MODELOS MULTIVARIANTES. Dstrbucó cojuta. Dstrbucoes margales y codcoadas. Idepedeca de varables aleatoras. Esperaza de vectores aleatoros. Covaraza y correlacó. Matrz de varazas. Esperazas y varazas codcoadas. Suma de varables aleatoras. Teorema cetral del límte. Relacó etre bomal, Posso y ormal. Aplcacó a cotrol de recepcó. Plaes de muestreo smple por atrbutos. Resgo del comprador y resgo del vededor. La dstrbucó ormal -dmesoal. 5. ESTIMACIÓN PUNTUAL. Muestra y poblacó. Muestreo aleatoro smple. La detfcacó del modelo. Método de los mometos. Método de máma verosmltud. Propedades de los estmadores. Dstrbucó de medas, varazas y proporcoes muestrales. Dstrbucó χ. 6. INTERVALOS DE CONFIANZA. Itervalo para ua proporcó. Itervalo para la meda de la dstrbucó de Posso. Itervalos para medas de dstrbucoes ormales: varaza coocda y varaza descoocda. Dstrbucó t de Studet. Itervalo para varazas de dstrbucoes ormales. Itervalo geeral astótco para la meda. 7. CONTRASTES DE HIPÓTESIS. Cotraste para la proporcó, cotraste para la meda y la varaza de dstrbucoes ormales. Cotraste para la meda de la dstrbucó de Posso. Comparacó de dos medas y comparacó de dos varazas. Dstrbucó F. Cotrastes de bodad de ajustes de χ y Kolmogorov-Smrov.

4 LIBROS RECOMENDADOS Fudametos de Estadístca. Dael Peña, Alaza Edtoral. Problemas resueltos de Estadístca. J. Jua, J.G. Palomo, M.J. Sáchez, e I. Sáchez. Sítess.

5 . Estadístca descrptva Curso 6-7 Estadístca Datos Número Cosumo Cldrada Poteca Peso Aceleracó Año País Nº Cldros l/km cc CV kg segudos EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU Japó EEUU Europa EEUU Europa Japó Japó EEUU EEUU Europa Europa Japó 4 Estadístca Descrptva

6 Tpos de datos Cuattatvos Cotuos: cosumo, poteca,aceleracó, peso Dscretos: º de cldros Cualtatvos Ordales: categoría No ordales: país, gasola/gasol Estadístca Descrptva 3 Dstrbucó de frecuecas: cosumo l/ km Lmte Lmte Puto Frecueca Frecueca Clase Iferor Superor Medo Absoluta Relatva ,,5,5,,5 5, 3,75 6,53 3 5, 7,5 6,5 65,66 4 7,5, 8,75 6,33 5,,5,5 64,637 6,5 5, 3,75 6, , 7,5 6,5 36,9 8 7,5, 8,75 6,665 9,,5,5 4,,5 5, 3,75, Total 39, Estadístca Descrptva 4

7 Hstograma cosumo Estadístca Descrptva 5 Hstogramas para coches cldrada poteca 8 6 4,4,8,,6 peso aceleraco Estadístca Descrptva 6

8 Meddas de cetro s G, Meda + > para todo H,..., artmétca + + Meda geométrca Meda armóca s > para todo H G Estadístca Descrptva 7 Meddas de dspersó s,,..., Desvacó Típca s s Varaza : s Meda Estadístca Descrptva 8

9 9 Estadístca Descrptva Desdad de la terra Cavedsh, 798 5,5 5,47 5,55 5,75 5,9 5,7 5,57 4,88 5,34 5,9 5,34 5,85 5,4 5,6 5,3 5, 5,6 5,65 5,6 5,63 5,36 5,86 5,44 5,39 5,53 4,7 5,79 5,58 5,46 desdad Meda 5.4 Desv. Típ ,4 4,8 5, 5,6 6 Estadístca Descrptva Desgualdad de Chebychev k ks fr > s k s k + k ks fr k ks fr s k ks fr s k s s ks ks ks ks > > > > + > > >

10 Medaa y Cuartles,,..., Datos ordeados Medaa Cuartles Q r p + r p Q 3 p + p+ s s r + p + : mpar p : par Estadístca Descrptva Medaa y Cuartles,,..., Medaa : Med fr Med. 5 5% 5% 5% Cuartles fr Q Q. 5 fr Q Q 3 3 Q Med Q Estadístca Descrptva

11 Meddas característcas Cosumo Cldrada Poteca Peso Aceleracó Meda Desv. Típca Prmer Cuartl Medaa Tercer Cuartl Rago Itercuartílco Estadístca Descrptva 3 Dagrama de caja M { : LI} Q Q Q 3 Ma { : LS} atípcos LI Q -.5 RI cosumo RI Q 3 - Q LS Q RI Estadístca Descrptva 4

12 Desdad de la terra Cavedsh, 798 5,5 5,47 5,55 5,75 5,9 5,7 5,57 4,88 5,34 5,9 5,34 5,85 5,4 5,6 5,3 5, 5,6 5,65 5,6 5,63 5,36 5,86 5,44 5,39 5,53 4,7 5,79 5,58 5,46 4 4,4 4,8 5, 5,6 6 desdad Meda 5.4 Desv. Típ..338 Estadístca Descrptva 5 Dagrama de caja múltple EEUU Europa Japó cosumo Estadístca Descrptva 6

13 Dagrama de caja múltple EEUU Europa Japó peso Estadístca Descrptva 7 Cosumo segú año de fabrcacó cosumo Estadístca Descrptva 8

14 Dagrama de Caja Múltple OCDE Europa Oretal Asa/Pacífco Áfrca Orete Medo Amerca Lata Gabó Greca Barbados Japó EEUU Producto teror bruto per capta Estadístca Descrptva 9 Dagrama de tallos y hojas LO 4, Meda 5,49 Des. Típca,339 Mímo 4,7 Mámo 5,86 Cuartl 5.3 Medaa 5.46 Cuartl Estadístca Descrptva

15 frecueca Meddas característcas de forma: asmetría y curtoss C AS Coefcete de asmetría m3 3 s s 3 3 Coefcete de curtoss o aputameto m4 CAP 4 s s 4 4 a k Mometo Mometos respecto al orge respecto a la meda k mk k Estadístca Descrptva Modelo deal C AS C AP C AS > C AP < Estadístca Descrptva

16 Trasformacoes de datos Trasformacoes Leales y y a + b s y La " a + b b s forma" de la dstrbucó o camba Asmetría y curtoss o camba Trasformacoes o-leales y h y h Camba la " forma" de la dstrbucó coefcetes de asmetría y curtoss camba Estadístca Descrptva 3 Efecto de la trasformacó de datos Y y log Estadístca Descrptva 4

17 5 Estadístca Descrptva Trasformacoes Bo-Co -,5 - -,5,5,5 p y p p y log 6 Estadístca Descrptva Datos k k k k k Y Y Y Varables

18 Vector de Medas k ; Estadístca Descrptva 7 Covaraza 4 cosumo Coche Peso Cosumo y y y peso s y y y Estadístca Descrptva 8

19 9 Estadístca Descrptva Matrz de Varazas k k k k k k k k k k k k k k k k k k k s s s s s s s s s S 3 Estadístca Descrptva Gráfcos de dspersó: ejemplo coches cosumo cldrada poteca peso aceleraco

20 3 Estadístca Descrptva Matrz de varazas: ejemplo coches 7,6 38, 73,5.597,4 5, 38, 7.949,5 9.3, , 97,5 73,5 9.3,8.465, ,4 7,3.597, , ,4 6, ,4 5, 97,5 7,3 5.84,4 5, E S cosumo c.c. pot. peso acel. 3 Estadístca Descrptva Propedades de S ~ ~ ~ ~ ~, : es ~ ~ ~ R v postva semdefda k k k k k k k v v w S w w, v w w w w w S w w S w w S S T T T T T T T T Cuadrada k k Smétrca Semdef. postva

21 cosumo Correlacó peso r y s s y s y Obs. Var Var y y y y y y y Admesoal - r y + r y y a + b Estadístca Descrptva 33 Matrz de correlacoes ejemplo coches cosumo c.c. pot. peso Acel.,873 R,854,885,466,873,898,934,549,854,898,863,696,885,934,863,4,466,549,696,4 Las varables está muy correlacoadas Estadístca Descrptva 34

22 35 Estadístca Descrptva Trasformacoes Leales a S a a a a a a a a a a a T T T T T T T T T T T y y y y y y s y y a a a a a a y y k k k k 36 Estadístca Descrptva Trasformacoes leales II T T T T T T Y A AS A A A A A A y y y y S A A A y y A y a a a y a a a y a a a y T T k mk m m m k mk k k k mk m m k k m a a a a a a a a a y y y S

23 Coef. correlacó r r. 8 r.5 r Estadístca Descrptva 37 Falta de lealdad Mortaldad fatl muertes por acmetos v - - R Regó ecoómca R Amérca Lata Orete Medo Áfrca Asa / Pacífco Europa Oretal OCDE 4.5 Producto teror bruto per-capta Log de PIB_CAP Estadístca Descrptva 38

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25 Ejerccos propuestos Capítulo. Descrptva. Calcule la meda, medaa y desvacó típca de los datos sguetes: 8,, 35, 4, 44, 53, 58, 4, 4, 3, 3, 38, 37, 6, 5, 35. a Drectamete. b Costruya u dagrama de tallo y hojas y u hstograma de estos datos.. E u departameto cuatro profesores mparte clases e grupos co, 8, y 5 alumos respectvamete. S se preguta a los profesores por el tamaño de su clase cuál sería el valor medo y la desvacó típca obteda? Y s se preguta a todos los alumos del departameto?.3 S y, obteer epresoes apromadas para la meda y la varaza de y e fucó de las de..4 S y log, obteer epresoes apromadas para la meda y la varaza de y e fucó de las de..5 E u taller mecáco ua peza pasa prmero por ua máqua y luego por la máqua. La tabla muestra los tempos e Y e mutos empleados por dez pezas e cada máqua Y Se pde:. a Obteer la dstrbucó de frecuecas cojuta de los tempos de ambas máquas. b Obteer la dstrbucó margal de la máqua, dado su meda y su varaza. c Calcular la covaraza etre ambas varables, terpretado el resultado. d S el coste de cada peza e pesetas es.8 +.6Y, obteer la dstrbucó de frecuecas del coste, calculado su meda y su varaza..6 Es posble que la varaza de ua varable sea 4, la de y sea 9 y la de z +y sea gual a? Justfcar la respuesta..7 Demostrar que al multplcar por k e y por k, el coefcete de correlacó etre ambas o varía k y k debe teer el msmo sgo..8 Demostrar que s etre dos varables este ua relacó eacta y a+b, co b >, el coefcete de correlacó es uo..9 Demostrar que el coefcete de correlacó es sempre e valor absoluto meor que uo.

26 . E u proceso de fabrcacó se ha meddo tres varables y calculado la matrz de varazas co el resultado sguete: Podemos afrmar que hay u error e los cálculos? Por qué?. A la varable de meda se le ha aplcado ua trasformacó co el logartmo decmal obteédose la ueva varable y log. La meda de la ueva varable es y.5. Es posble este resultado?. Elafgurasepresetael dagramadetallos yhojas delos resduosobtedos deudseñofactoral. Represeta el dagrama de caja bo plot de los datos. Nota.- La rama -6 9 represeta los valores -.69 y

27 . Probabldad y varable aleatora Curso 6-7 Estadístca. Probabldad Probabldad y varable aleatora

28 Epermeto Aleatoro EL térmo epermeto aleatoro se utlza e la teoría de la probabldad para referrse a u proceso cuyo resultado o es coocdo de atemao co certeza. Suma de valores e el lazameto de dados. Probabldad y varable aleatora 3 Ejemplos Número de pezas defectuosas e ua muestra de pezas. Número de llamadas a ua cetralta telefóca e u día. Eergía eléctrca cosumda e Madrd durate u perodo de tempo. Probabldad y varable aleatora 4

29 Espaco Muestral Cojuto formado por todos los posbles resultados de u epermeto aleatoro. DISCRETOS: Lazameto de u DADO: S {,,3,4,5,6} Pezas defectuosas e ua muestra de S {,,,...,} Llamadas a ua cetralta durate u día S {,,,3,..., } CONTINUOS: Eergía cosumda e Madrd: S{[, } Probabldad y varable aleatora 5 Suceso Cualquer subcojuto del espaco muestral. Obteer u úmero par al lazar u dado : A {,4,6} Observar meos de 5 pezas defectuosas e ua muestra de : B {,,,3,4} Teer más de 5 llamadas de teléfoo e ua hora : C {5,5,..., } Teer ua demada de eergía eléctrca etre 3 Mwh y 4 Mwh : D 3,4 Probabldad y varable aleatora 6

30 Operacoes Sea A y B dos subcojutos de S Uó A B { : A o B} Iterseccó A B { : A y B} Complemetaro A A { : A} Probabldad y varable aleatora 7 A B A B A Probabldad y varable aleatora 8

31 9 Probabldad y varable aleatora Propedades B A B A C A B A C B A C A B A C B A C B A C B A C B A C B A A B B A A B B A S C A,B B A B A De Morga : de Leyes Dstrbutva : Asocatva : Comutatva : de u espaco muestral y tres sucesos Dados Probabldad y varable aleatora Aomas de Probabldad j A P A P j A A A A,A, PS PA cuado que cumple, ua secueca de sucesos Para 3... S y satsface: cada suceso A valores PA a asga ua fucó de probabldad Dado u espaco muestral S,

32 Problema fudametal Dado u espaco muestral dscreto co resultados A, A,..., A dsjutos, el epermeto aleatoro queda caracterzado s asgamos u valor PA o egatvo a cada resultado A de forma que PA +P A +...+PA. Ejemplo. Se laza dos veces ua moeda. {,C,C,CC} Se asga probabldad /4 a cada uo de los cuatro resultados. Es ua asgacó correcta? Probabldad y varable aleatora Propedades elemetales P. P A P A. S A B etoces PA PB. Para dos sucesos cualesquera A, B S, P A B P A + P B P A B. Para sucesos A,A,...,A P j> k > j A P A P A j> A j k S, P A A + + A + + j P A A A Probabldad y varable aleatora

33 Asgacó de probabldades. Clásca Laplace: Equprobabldad. Frecuecalsta vo Mses, Subjetva Probabldad y varable aleatora 3 Clásca: sucesos equprobables Sea u epermeto co u úmero fto N de resultados ecluyetes y equprobables, la probabldad del suceso A es P A N A, N dode N es el úmero de resultados posbles del epermeto y NA el úmero de resultados favorables al suceso A. Probabldad y varable aleatora 4

34 Ejemplos equprobabldad Lazameto de ua moeda. S{C,} P C Lazameto de u dado. S{,,3,4,5,6} Etraccó de ua de las 4 cartas de la baraja, S{ Oros, Oros,..., Rey Bastos} 3 P" Número par " 6 P Bastos Probabldad y varable aleatora 5 Lazameto de dos dados er Dado º Dado ,, 3, 4, 5, 6,,, 3, 4, 5, 6, 3,3,3 3,3 4,3 5,3 6,3 4,4,4 3,4 4,4 5,4 6,4 5,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5 6,6,6 3,6 4,6 5,6 6,6 P suma 7 6/36 /6 Probabldad y varable aleatora 6

35 Ura: Negras y 3 Blacas ª Bola B B B3 N N B B,B B3,B N,B N,B B B,B B3,B N,B N,B B3 B,B3 B,B3 N,B3 N,B3 N B,N B,N B3,N N,N N B,N B,N B3,N N,N Se etrae dos bolas al azar, ua detrás de otra, s reposcó. P ª Blaca y ª Negra 6/ 3/ Probabldad y varable aleatora 7 Ura: Negras y 3 Blacas ª Bola ª Bola B B B3 N N B B B3 N N B,B B,B B3,B N,B N,B B,B B,B B3,B N,B N,B B,B3 B,B3 B3,B3 N,B3 N,B3 B,N B,N B3,N N,N N,N B,N B,N B3,N N,N N,N Se etrae dos bolas al azar, ua detrás de otra, co reposcó. P ª Blaca y ª Negra 6/5 Probabldad y varable aleatora 8

36 Combatora: 5 objetos tomados de dos e dos SIN REEMPLAZAMIENTO CON REEMPLAZAMIENTO Prmera etraccó Prmera Etraccó , 3, 4, 5,,, 3, 4, 5,, 3, 4, 5,,, 3, 4, 5, 3,3,3 4,3 5,3 3,3,3 3,3 4,3 5,3 4,4,4 3,4 5,4 4,4,4 3,4 4,4 5,4 5,5,5 3,5 4,5 5,5,5 3,5 4,5 5,5 Número Número 5 Prmera etraccó Prmera etraccó ,,,, 3,3,3 3,3,3 3,3 4,4,4 3,4 4,4,4 3,4 4,4 5,5,5 3,5 4,5 5,5,5 3,5 4,5 5,5 Número Número 5 Probabldad y varable aleatora 9 Combatora: Número posble de reordeacoes de objetos tomados de r e r IMPORTA EL ORDEN NO IMPORTA EL ORDEN SIN REEMPLAZAMIENTO! r! r CON REEMPLAZAMIENTO + r r r Probabldad y varable aleatora

37 La prmtva. Se elge 6 úmeros dsttos del al 49, ambos clusve. Probabldad de acertar los 6. Probabldad de acertar 5. Probabldad de acertar 4. Probabldad de o acertar guo. Probabldad de que salga u úmero cocreto, por ejemplo el úmero. Probabldad y varable aleatora Prmtva PAcertar PAcertar ,7, PAcertar PNguo ,44, PSalga el ,4 Probabldad y varable aleatora

38 E ua estacó de metro hay 5 pasajeros esperado a u tre co vagoes, s cada pasajero elge u vagó al azar, cuál es la probabldad de que todos elja u vagó dferete? N A P A.34 N 5 De u lote co pezas se toma al azar, s todas las pezas elegdas so bueas se acepta el lote y se rechaza e caso cotraro. Cuál es la probabldad de aceptar u lote co pezas defectuosas? N N A P A N! ;!9! 9! 9! 8!! 9 9! N A 8!! Probabldad y varable aleatora 3 Cumpleaños Probabldad de que e u grupo de r 5 persoas haya al meos dos co el msmo cumpleaños A A... A r r A " No haya gua cocdeca" r + P A r 365 P A - PA, r 5 P A.578 Probabldad y varable aleatora 4

39 Probabldad y Frecueca Relatva La probabldad PA de u suceso A es el límte P A lm dóde A es el úmero de veces que ha ocurrdo A al repetr el epermeto veces e détcas codcoes. A Probabldad y varable aleatora 5 Frecueca relatva de caras Nº de Caras / Nº de Lazam etos,,5, 5 5 Nº de lazam eto Probabldad y varable aleatora 6

40 Total sorteos.38-4; - 74 Probabldad y varable aleatora 7 Probabldad y varable aleatora 8

41 Probabldad Codcoada Fumadores F No Fumadores N Mujeres Hombres M H,,8,39,3 TOTAL,3,7 TOTAL,5,49, P F,3 P F P F H M,8,49,,5,37,4 Probabldad y varable aleatora 9 Probabldad Codcoada Defcó. Sea B u suceso co probabldad dstta de cero, se defe probabldad del suceso A dado B a: P A B P A B. P B Probabldad y varable aleatora 3

42 Utldad Actualzar probabldad del suceso A e fucó de la formacó dspoble I PA I PA I/PI Cálculo de la terseccó de sucesos PA B PA BPB Cálculo de probabldad de u suceso P A P A B A B P A B P B + P A B P B Probabldad y varable aleatora 3 Ejemplo Ura Probabldad de ª Blaca y ª Negra S reemplazameto: PB N PB PN B 3/5/4 3/ Co reemplazameto: PB N PB PN B 3/5/5 6/5 Probabldad y varable aleatora 3

43 Cumpleaños Probabldad de que e u grupo de r 5 persoas haya al meos dos co el msmo cumpleaños A A... A r B r PB P B r " No haya gua cocdeca e r " r r PB P B r PB r, A P B 3 A r 5 P B A P B r r A.578 A A r Probabldad y varable aleatora 33 Ejemplo Ura U Ura U Se elge ua ura al azar y se etrae ua bola: PBlaca? P B P B U P U + P B U P U Probabldad y varable aleatora 34

44 Ejemplo cot. Ura U Ura U Se toma al azar ua bola de U y se mete e U. Se etrae ua bola de U: PBlaca? P B P B B P B + P B N P N Probabldad y varable aleatora 35 Idepedeca S el coocmeto de la ocurreca de u suceso B camba la probabldad de que ocurra otro A, se dce que A y B so depedetes, e ese caso PA B PA. Cuado el suceso A es depedete de B, la ocurreca de B o camba la probabldad de A, es decr PA B PA. Como PA B PA B/PB, A y B so depedetes PA B PA PB Probabldad y varable aleatora 36

45 Lazameto de dos moedas S {CC, C, C,} Hpótess: Moedas equlbradas: PC P Idepedetes P CC PC PC / / /4 P C PC P / / /4 P C P PC / / /4 P P P / / /4 Probabldad y varable aleatora 37 Idepedeca 3 o más sucesos Tres sucesos A, B y C so depedetes s PA B C PA PB PC PA B PA PB PA C PA PC PB C PB PC Los sucesos A, A,..., A so depedetes s cualquer subcojuto A, A,..., A k, cumple PA A... A k PA P A...PA k Probabldad y varable aleatora 38

46 39 Probabldad y varable aleatora Probabldad Total B B B3 B 4 B 5 B 6 B 9 B B 7 B 8 A S B B B j B B S B,...,B B,B j j, : Partcó. [ ] [ ] B P B A P B P B A P B P B A P A P B A P B A P B A P B A B A B A P B B B A P S A P A P Probabldad y varable aleatora Teorema de Bayes. : para cualquer etoces, cualquer suceso co y sea para, que tal espaco partcó del ua Sea > > j j j j PB PA B PB PA B PB A B PA A,...,, j PB S,...,B B,B

47 4 Probabldad y varable aleatora Ejemplo Bayes M- 5 % D M- % D M-3 % D ALMACÉN p/h p/h p/h El porcetaje de pezas defectuosas fabrcadas por tres máquas es 5%, % y %. La prmera fabrca pezas por hora y las otras dos pezas por hora. Todas las pezas fabrcadas se lleva a u almacé. Al fal del día se toma ua peza del almacé y es defectuosa, cuál es la probabldad de que proceda de M-? 4 Probabldad y varable aleatora D M P D M P D M P M P M D P M P M D P M P M D P M P M D P D M P M P M D P M P M D P M P M D P M P M D P D M P M P M D P M P M D P M P M D P M P M D P D M P

48 S ua persoa es portadora del vrus A, u aálss de sagre lo detecta el 99% de las veces. S embargo, el test també proporcoa falsos postvos, dcado la preseca del vrus e el 3% de persoas saas. S sólo 5 de cada persoas tee el vrus, cuál es la probabldad de que ua persoa tega el vrus realmete s el aálss ha dado postvo? V "Teer el Vrus" P V S P V S P S S "El aálss es postvo" P S V P V P S V P V + P S V P V Probabldad y varable aleatora 43 Ejemplo Vrus Aplcado a.. persoas SANOS ENFERMOS Total NEGATIVO POSITIVO Total Etre los 34.8 que ha dado postvo, sólo 4.95 tee el vrus PV S 4.95/ Probabldad y varable aleatora 44

49 . Varable aleatora Epermeto Aleatoro EL térmo epermeto aleatoro se utlza e la teoría de la probabldad para referrse a u proceso cuyo resultado o es coocdo de atemao co certeza. Suma de valores e el lazameto de dados. Probabldad y varable aleatora 46

50 Varable Aleatora Ua varable aleatora es ua fucó que asga u úmero real a cada uo de los resultados de u epermeto aleatoro. Lazameto de moedas s Número de CARAS s s CC C C Probabldad y varable aleatora 47 Varable Aleatora Dscreta Cuado los valores que toma ua varable aleatora so ftos o ftos umerables se dce que es dscreta. Resultado obtedo al lazar u dado {,,3,4,5,6} Número de veces que hay que lazar ua moeda hasta obteer ua CARA {,,3,4,...} Probabldad y varable aleatora 48

51 Dstrbucó de probabldad Sea {,,..., } los valores que puede tomar la varable aleatora. Se deoma dstrbucó de probabldad de la varable aleatora a P que cumple: P Σ P. Nº de Caras al lazar moedas P /4 / /4 Probabldad y varable aleatora 49 Dstrbucó de probabldad p / /4 Nº de Caras al lazar moedas 3 Probabldad y varable aleatora 5

52 Lazameto de u dado P / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 P / Probabldad y varable aleatora 5 Fucó de dstrbucó La fucó de dstrbucó F de ua varable aleatora se defe para todo úmero real como: F P. Ejemplo. Número de caras al lazar moedas F -, [, /4 [, 3/4 [, F 3/4 / /4 3 Probabldad y varable aleatora 5

53 3/4 / /4 Fucó de Dstrbucó 3 / /4 Dstrbucó putual de probabldad 3 Probabldad y varable aleatora 53 Lazameto de u dado F p / P / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / Probabldad y varable aleatora 54

54 Ua fucó F es ua fucó de dstrbucó s y sólo s cumple las sguetes codcoes: a. b. c. lm F F h > F es es cotua, ua y fucó o decrecete. lm F + h h lm + F. por la derecha : F. Probabldad y varable aleatora 55 Varable aleatora cotua Ua varable aleatora es cotua s su fucó de dstrbucó F es cotua. F /4 /.5 F, [, /4,5,5 Probabldad y varable aleatora 56

55 Fucó de desdad La fucó de desdad de probabldad f de ua varable aleatora cotua es la fucó que verfca F f t dt,. S F es dervable, además d F f. d Probabldad y varable aleatora 57 F 3/4 / Fucó de dstrbucó F, [, /4,5,5 f Fucó de desdad f, [,],5,5 Probabldad y varable aleatora 58

56 Ua fucó f es ua fucó de desdad de probabldad de ua varable aleatora s y sólo s cumple: a. f para todo. b. - f d. Área Probabldad y varable aleatora 59 Cálculo de probabldades f b a f d a b P a b F b F a b a f d

57 Esperaza Se defe esperaza o meda de ua varable aleatora dscreta y se represeta por E[] al valor E[ ] P. Ejemplo: Lazameto de u dado E[ ] / Cetro de la dstrbucó de probabldad Probabldad y varable aleatora 6 Esperaza Se defe esperaza o meda de ua varable aleatora cotua co fucó de desdad f y se represeta por E[] al valor Ejemplo E[ ] Probabldad y varable aleatora : Dstrbuc d E[ ] f d. ó uforme,5. f,,5 Cetro de la dstrbucó de probabldad 6

58 Propedades de E[] Trasformacoes leales Y a +b a y b costates E [ a + b] ae[ ] + b Probabldad y varable aleatora 63 Varaza Sea ua varable aleatora co meda µ, se deoma varaza a Var E[ - µ ]. Varable aleatora dscreta Var [ ] µ P. Varable aleatora cotua Var[ ] µ f d Probabldad y varable aleatora 64

59 Propedades de la varaza. Var E[ µ ] E[ ] µ.. Var a + b a Var Probabldad y varable aleatora 65 Ejemplos Var[ ] 35. Var[] Lazameto de u dado + 6 Dstrbucó uforme 3 3 d / Probabldad y varable aleatora 66

60 Desgualdad de Tchebychev Area k µ - k σ µ µ + k σ Para cualquer varable aleatora µ E[ ] σ Var[ ] P µ kσ > k. Probabldad y varable aleatora 67 Mometos de ua V.A. Mometos respecto al Orge µ E[ ] µ... µ E[ µ E[ p p ] ] Mometos respecto a la meda α E[... α α E[ p E[ µ ] µ µ ] σ p ] Probabldad y varable aleatora 68

61 Trasformacoes o leales zhy Desarrollo de Taylor para z h µ + h' µ y µ + h'' µ y µ La meda y varazas de z so apro. E[z] Var[ z] hµ + h''µ Vary [ h' µ ] Var[ y] z h y e µ E[y] Probabldad y varable aleatora 69 Trasformacoes Dada ua varable aleatora co fucó de desdad la fucó de desdad f vamos a ver como se obtee y de la varable aleatora Y, defda como Y g Casos a cosderar : * La fucó g es moótoa crecete * La fucó g es moótoa decrecete * La fucó g o es moótoa f Y Probabldad y varable aleatora 7

62 7 Probabldad y varable aleatora Fucó g crecete Y y y g - y g - y y g f dy y g d dy y df y f y g F y g P y g P y Y P y F Y Y Y 7 Probabldad y varable aleatora Fucó g decrecete y g - y g - y y g f dy y g d dy y df y f y g F y g P y g P y Y P y F Y Y Y

63 73 Probabldad y varable aleatora Fucó moótoa y g f dy y g d y f Y 74 Probabldad y varable aleatora Trasformacó o moótoa Y y P P P y Y P y F Y + + y

64 75 Probabldad y varable aleatora Ejemplo de trasformacó El rado de ua esfera es ua varable aleatora cuya fucó de desdad es Cuál es la fucó de desdad del volume? ; 4 3 ; de la esfera Volume π π π π y y g g Y Y Y., 3 f. 3 4, 4 3 π π y y g f y g dy d y f Y 76 Probabldad y varable aleatora y π., 3 f 4π/3. 3 4, 4 3 π π y y f Y y

65 U caso muy relevate del problema verso Dadas: Ua varable aleatora co dstrbucó uforme, Ua varable aleatora y co fucó de desdad f Y y Ecotrar la trasformacó yg que coverte e y Probabldad y varable aleatora 77 Solucó del problema d g y dy f Y y g F y Probabldad y varable aleatora 78

66 Represetacó gráfca co ejemplo f Y y λe λ y, λ,3,65, y / λlog 3,5 Probabldad y varable aleatora 79 Aplcacó: Smulacó de Mote Carlo Smulacó co ordeador de procesos aleatoros; tee dos vertetes: Pedagógca: como herrameta para eteder mejor los modelos de probabldad Computacoal: herrameta muy potete para resolver problemas o abordables por métodos covecoales Probabldad y varable aleatora 8

67 Ejemplo de problema resuelto por smulacó de Mote Carlo Problema de los cumpleaños: Se geera al azar co dstrbucó uforme dscreta e,,..,365, r valores fechas de acmeto de las r persoas Se cueta el úmero de cocdecas 3 Reptedo N veces los pasos y, se obtee ua apromacó de la dstrbucó del úmero de cocdecas Probabldad y varable aleatora 8

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69 Ejerccos propuestos Capítulo. Probabldad y varable aleatora. S la probabldad de que u terruptor cualquera de la fgura se ecuetre cerrado es decr, pase correte es p, calcular la probabldad de que pase correte de A a B para las dos cofguracoes sguetes:. Teedo e cueta que para cualquer par de sucesos, A, A se cumple que PrA A PrA +PrA, demostrar que la etesó a sucesos es PrA A...A PrA ı..3 La probabldad de que u compoete de ua máqua se averíe ates de horas es.. La máqua tee 5 compoetes; calcular la probabldad de averís de la máqua ates de horas e los casos sguetes: a La máqua se avería cuado lo hace uo o más compoetes. b La máqua se avería cuado falla dos o más compoetes. c La máqua sólo se avería cuado lo hace todos los compoetes..4 Sea A y B dos sucesos o dsjutos cualesquera de u epermeto aleatoro. Idcar cual de las sguetes probabldades es mayor P PAB A ó P PAB A B. Justfcar la respuesta..5 Dado dos sucesos A y B, tal que PA > y PB > dcar, justfcado la respuesta, s so certas o o las afrmacoes sguetes: a S A y B so sucesos mutuamete ecluyetes etoces o puede ser depedetes. b S A y B so depedetes etoces o puede ser mutuamete ecluyetes..6 Dos pueblos de alta motaña está comucados por cuatro tramos de carretera segú se muestra e la fgura a. Los días de vero debdo a la eve es frecuete que las carreteras esté cortadas. Cuado eva, la probabldad de que cualquer tramo sea trastable es.8 co depedeca de lo que ocurra co el resto. Cuál es la probabldad de que u vehículo pueda vajar de Vllarrba a Vllabajo u día co eve? Para mejorar las comucacoes se pesa costrur u uevo tramo de carretera etre los putos A y B. Cuado eva la probabldad de accesbldad es també.8 co depedeca del resto. Cuál es la probabldad de que ua persoa pueda hacer el vaje ateror co esta ueva cofguracó b?

70 .7 U cocursate debe elegr etre tres puertas, detrás de ua de las cuales se ecuetra u premo. Hecha la eleccó y ates de abrr la puerta, el presetador le muestra que e ua de las dos puertas o escogdas está el premo y le da la posbldad de recosderar su decsó. Qué debe hacer el cocursate?.8 Demostrar que s dos sucesos A y B so depedetes, també los so A y B, y A y B, dode A y B represeta los sucesos complemetaros de A y B respectvamete..9 Dos estudates A y B está matrculados e u curso. A asste a las clases el 8% de los días y B el 6%, sedo las asstecas de ambos depedetes. S eactamete uo de los dos está e clase u día cocreto, cuál es la probabldad de que sea A?. La probabldad de que u compoete se averíe e u período de tempo dado es.. Su estado averado o fucoado se comprueba co u esayo que cumple que cuado el compoete fucoa la probabldad de que el esayo dga lo cotraro es.5, pero s el compoete está averado el esayo o se equvoca. S el esayo dca que el compoete está averado, cuál es la probabldad de que realmete lo esté?. Cuatro fchas está marcadas co las letras A,B,C, ABC;se toma ua de ellas al azar. Se preguta s los tres sucesos cosstetes e la preseca de la letra A, la letra B o la C sobre la fcha so o o depedetes.. Tres persoas comparte ua ofca co u teléfoo. De las llamadas que llega, /5 so para A, /5 para B y /5 para C. El trabajo de estos hombres les oblga a frecuetes saldas, de maera que A está fuera el 5% de su tempo, y B y C el 5%. Calcular la probabldad de que : a No esté guo para respoder al teléfoo. b Esté la persoa a la que se llama. c Haya tres llamadas segudas para ua persoa. d Haya tres llamadas segudas para tres persoas dferetes..3 E u campeoato de tes usted tee la opcó de escoger la secueca de partdos AB A o la BAB, dode A y B dca sus opoetes. Para clasfcarse debe usted gaar dos partdos cosecutvos. El jugador A es mejor que el B. Qué secueca será preferda?

71 .4 U jurado de tres membros que decde por mayoría tee dos membros que decde depedetemete el veredcto correcto co probabldad p y el tercero laza ua moeda. S u juez tee probabldad p de acertar, cuál de los dos sstemas tee mayor probabldad de acertar?.5 Ua comudad de vecos ha cotratado u sstema de alarma para evtar robos e sus hogares. E caso de robo la alarma se poe e fucoameto co segurdad. La probabldad de que se produzca u robo e el vecdaro es.. Este además otras causas veto, golpes bruscos,... que poe e fucoameto el sstema de alarma, la probabldad de que e ua oche se produzca ua falsa alarma es.. S se declara ua señal de alarma, cuál es la probabldad de que sea falsa?.6 Sea ua varable aleatora co dstrbucó uforme e,. Calcular la probabldad de que Y >.8 s Y e..7 Se elge u puto al azar teror a la crcufereca de ecuacó +y r. Llamado Z a la varable aleatora defda por la dstaca etre el puto elegdo y el cetro de la crcufereca, calcular las fucoes de desdad y dstrbucó de Z..8 S es ua varable aleatora co meda µ. Demostrar que cuado m µ, E[m ] es míma..9 La fucó de desdad de la varable aleatora es { /k, s 5 5 f, e el resto. Obteer k, la meda y la varaza de.. De acuerdo co la teoría cétca de los gases, la velocdad V de ua molécula de masa m de u gas a la temperatura absoluta T es ua varable aleatora co la sguete fucó de desdad: fv 4 α 3 π v e v /α, v dode α kt/m, sedo k la costate de Boltzma. Además, EV α/ π y VarV 3/4/πα. a Calcular el valor medo de la eergía cétca, mv /, de ua molécula. A ua msma temperatura T, qué gas tee mayor valor medo de eergía cétca, uo lgero u otro más pesado? b Obteer la fucó de desdad de la eergía cétca de ua molécula. Idcar s depede de la masa molecular.. La fucó de dstrbucó de la varable aleatora es F. Obteer la fucó de desdad de la varable aleatora Y F.. U modelo que habtualmete se utlza e balístca para comprobar la correcta calbracó de las armas es f [ ] σ ep σ,,σ, dode la varable aleatora es la dstaca del puto de mpacto del proyectl al cetro del blaco al que ba drgdo y σ es el parámetro que mde la precsó. S para ua dstaca determada de dsparo la precsó del arma es σ cm, cuál es la probabldad de que al lazar proyectles, guo haya mpactado a ua dstaca meor de 5 cm del cetro del blaco? 3

72 .3 Adaptar la demostracó de la desgualdad de Chebychev y demostrar la desgualdad de Markov P > a a E[] dode es ua varable aleatora postva P >.4 La varable aleatora Z tee como fucó de desdad fz ep z πσ σ, < z <, σ > Obteer la fucó de desdad de y su meda. Y Z.5 Dada la varable aleatora dscreta, cuya fucó de probabldad vee defda por P k co,,..., Calcular el valor de la costate y E >..6 Dada la varable aleatora, cuya fucó de desdad es { k f, s < <, e el resto Obteer k, así como la meda y la varaza de la varable Y 3..7 El dámetro D de las bolas de acero para u determado tpo de rodameto sgue ua dstrbucó de meda µ y desvacó típca σ. Obteer, de forma apromada, la meda y la varaza de la dstrbucó de los volúmees de estas bolas..8 S es ua varable aleatora co dstrbucó uforme etre y θ, obteer la fucó de desdad de la varable aleatora Y +. 4

73 3. Modelos Uvarates de Probabldad Curso 6-7 Estadístca Modelos Uvarates

74 Proceso de Beroull El resultado de u epermeto admte dos categorías: Aceptable y Defectuoso. Se repte el epermeto veces. La probabldad de defectuoso es la msma p e todos los epermetos. Los epermetos so depedetes. Modelos uvarates 3 Ejemplos de procesos de Beroull Lazameto de moedas. Resultado: cara o cruz. Se etrae pezas al azar de u sstema cotuo de fabrcacó. Se clasfca las pezas e aceptables o o. Lazameto de u dado veces. E cada lazameto se clasfca como 6 o dstto de 6. Modelos uvarates 4

75 Dstrbucó Bomal,p Proporcó defectuosas p Nº de defectuosas al etraer pezas Modelos uvarates 5 Dstrbucó de probabldad bomal,p p 4 p 6 4 P p p 6 Modelos uvarates 6

76 Dstrbucó de probabldad bomal,p k k P k p p, k k,,,..., P k, k.,4,3, p. k p k k p k.,, Modelos uvarates 7 Propedades de la dst. bomal E[ ] k Var[ ] E[ k P ] E[ ] k p. p p,8,6,4, 5, p Modelos uvarates 8

77 Dstrbucoes bomales,6,,8,4,8,6,4, ,,6 5, p.5 5, p.,.5,8, ,,8, p.5, p.,6 4 5,4, Modelos uvarates 9 Ejemplo U cotrato estpula la compra de compoetes e lotes grades que debe coteer u mámo de % de pezas co algú defecto. Para comprobar la caldad se toma udades y se acepta el lote s hay como mámo pezas defectuosas. Es u bue procedmeto de cotrol? Número de defectuosas e la muestra PAceptar P Sea p la proporcó de pezas e u lote, p p P Aceptar p + p p + p 5% % 5% % p 5%.45 9 Modelos uvarates

78 Dstrbucó Geométrca p Y Proporcó defectuosas p Y Pezas etraídas hasta que aparezca ua defectuosa Modelos uvarates Dstrbucó de probabldad geométrca p 3... k p -pp -p p -p k- p P k p k p, k,,3,... Modelos uvarates

79 Propedades de la v.a. geométrca E[ Y ], p Var[ Y ] p p,3,5,,5 p.3,, Modelos uvarates 3 Dstrbucó de Posso Número de defectos aparecdos e tramos de logtud fja de hlos de cobre. Número de partículas por cetímetro cúbco e líqudos co sustacas e suspesó. Emsoes radactvas: úmero de partículas emtdas e tervalos de tempo fjo. Número de llamadas a ua cetralta de teléfoos e u día Modelos uvarates 4

80 5 Modelos uvarates Dstrbucó de Posso Ejemplo: Fabrcacó cotua de coductor de cobre. λ Número medo de defectos cada m Número de defectos e u tramo de m 6 Modelos uvarates Límte de la dst. bomal,,,...,!!!!!, + e lm lm P p p p P λ λ λ λ λ λ λ λ λ e

81 7 Modelos uvarates Dstrbucó de Posso,,,..,! e P λ λ,e+ 5,E-,E-,5E-,E-,5E λ3 8 Modelos uvarates Meda y Varaza λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ] [ ] [!!! ] [,,,...,! Var E e e e E e P e λ

82 Ejemplo Ua fuete radactva emte partículas segú la dstrbucó de Posso de meda partículas por muto. Se desea calcular: Probabldad de 5 partículas e u muto Probabldad de partículas e u muto Probabldad de más de 5 partículas e u muto. Probabldad de 3 o meos partículas e 5 mutos. Modelos uvarates 9 Ejemplo Posso.. P 5 e P e 3. P > 5 P 5 e 4. Y Nº de partículas e 5 mutos λ' 5 5 P Y 3 e ! !.933.!.6 Modelos uvarates

83 Posso de meda,4e-,e-,e- 8,E- 6,E- 4,E-,E-,E Modelos uvarates Dstrbucó Epoecal T t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 Ejemplo: Fabrcacó cotua de coductor de cobre. λ Número medo de defectos cada m T Dstaca etre dos defectos cosecutvos Modelos uvarates

84 Dstrbucó Epoecal T t F P T T t P e λt t P T e, t { defectos e el tervalo[, t } t λt t, t f T t λe λt, t. Modelos uvarates 3 Propedades Epoecal Fucó de desdad E[ T ] λte,,8,6,4, t f λt f T λt t λe, t λ T T t dt dt λ Var[ T ] E[ T λt e λt dt ] E[ T ] λ. λ. Modelos uvarates 4

85 Dstrbucó Normal Campaa de Gauss σ µ µ f ep, R πσ σ Modelos uvarates 5 Meddas Característcas σ N µ, σ E[ ] µ E[ µ 3 ] CA Asmetría µ E[ µ σ 3 3 ] Var[ ] σ E[ µ 4 ] 3σ E[ µ CAp Curtoss 4 σ 4 4 ] 3 Modelos uvarates 6

86 σ.68 µ µ - σ µ + σ µ - σ µ +σ µ - 3σ µ +3σ Modelos uvarates 7 Normal Estádar Z N, f Z z e π z /, z R Φ z z e π t / dt TABLAS Modelos uvarates 8

87 Estadarzacó N µ, σ µ P a P σ Nµ,σ µ Z N, σ a µ a µ P Z σ σ N, a µ Φ. σ µ a P a P Z z z a-µ/σ Modelos uvarates 9 TABLA Normal Estádar N, P Z z z Ejemplo. P Z z,,,3,4,5,6,7,8,9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Modelos uvarates 3

88 N, P Z z z z,,,,3,4,5,6,7,8,9 3, , , , , , , , , , Modelos uvarates 3 Ejemplo Normal La logtud de certos torllos es ua varable aleatora co dstrbucó ormal de meda 3 mm y desvacó típca. mm. Se acepta como váldos aquellos que cumple 9.5 < < 3.4. Proporcó de torllos o aceptables por cortos. Proporcó de torllos o aceptables por largos. Proporcó de torllos váldos. Modelos uvarates 3

89 Ejemplo Solucó. µ N3,. Z N, σ P 9.5 P.. P Z.5 Φ Tablas.5 Modelos uvarates 33. P 3. 4 P P Z P Modelos uvarates 34

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91 Ejerccos propuestos Capítulo 3. Modelos uvarates 3. S las llamadas telefócas a ua cetralta sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro λ 3llamadas/cco mutos, calcular la probabldad de: a Ses llamadas e cco mutos. b Tres llamadas e dez mutos. c Más de 5 e u cuarto de hora. d Dos e u muto. 3. La varable aleatora tee dstrbucó epoecal co meda. Obteer la fucó de dstrbucó y la fucó de desdad de W a /b, a >,b > 3.3 El úmero de averías daras de ua máqua sgue ua dstrbucó de Posso de meda.4 averías. Calcular la probabldad de que haya tres días sucesvos s averías. 3.4 A u puesto de servco llega de maera edepedete, por térmo medo, cletes/hora. Calcular la probabldad de que llegue 8 cletes e la próma meda hora sabedo que e la últma hora llegaro 4 cletes, y que la varable aleatora úmero de cletes que llega e u hora sgue ua dstrbucó de Posso. 3.5 E ua plata dustral dos bombas B y B e paralelo coduce agua desde u pozo a ua depuradora D, y posterormete otras dos bombas B 3 y B 4, també e paralelo, la traslada a u depósto como dca la fgura. Los tempos de vda de la depuradora y de las bombas so varables aleatoras depedetes co dstrbucó epoecal, sedo ml horas la vda meda de la depuradora y 3 ml horas la de cada bomba. Pozo B B3 D B B4 Depsto a Calcular la probabldad de que llegue agua al depósto después de ml horas de fucoameto.

92 b Calcular la probabldad de que ua depuradora que ha trabajado T horas falle ates de las ml horas sguetes. Es razoable que para evtar fallos de la depuradora se reueve ésta cada ml horas? Por qué? 3.6 U laboratoro de aálss realza pruebas de sagre para detectar la preseca de u tpo de vrus. Se sabe que ua de cada persoas es portadora del vrus. Se va a realzar u estudo e u colego, para abaratar las pruebas se realza u aálss combado que cosste e: E lugar de aalzar la sagre de cada dvduo, se toma las muestras de 5 y se aalza la mezcla. S el resultado del aálss es egatvo, se cocluye que los 5 dvduos está saos. S el aálss es postvo, se repte a cada persoa de maera dvdual. El aálss es falble. a Determar el úmero esperado de pruebas aálss que se tedrá que realzar s se sgue este tpo de estratega. b Cuál es la probabldad de que u dvduo determado sea portador del vrus, s el resultado del aálss realzado a su grupo de 5 ha resultado postvo? 3.7 De u lote co ua proporcó de pezas defectuosas p, se etrae peas co reposcó hasta que se observa la késma defectuosa. Obteer la dstrbucó de probabldad de la varable aleatora úmero total de pezas observadas. 3.8 La fucó de desdad de ua varable aleatora vee dada por la epresó { /8, s 4 f, e el resto Se geera secuecalmete valores de esta varable. Cuátos valores de habrá que geerar por térmo medo hasta obteer u valor mayor que 3? 3.9 Ua pareja decde teer hjos hasta el acmeto de la prmera ña. Calcular la probabldad de que tega más de 4 hjos. Supógase Pño Pña.5 3. La dstaca D etre dos vehículos cosecutvos es ua autopsta sgue ua dstrbucó epoecal co meda metros. Cuál es la probabldad de que e u tramo de km haya eactamete 5 vehículos? 3. Rcardo es u pescador eperto que ha comprobado, después de ua larga epereca practcado su deporte favorto, que el úmero de peces capturados por la mañaa puede ser represetado por ua varable aleatora de Posso de meda 3 peces a la hora. Quere r a pescar el sábado prómo, s empeza a las 7 de la mañaa, cuál es la probabldad de que capture el prmer pez ates de las 7 h. 5 m.? Cuál es la probabldad de que capture 5 peces durate dos horas de pesca? 3. La varable aleatora T represeta la duracó de vda de u compoete electróco. E teoría de la fabldad la probabldad de que u compoete falle e el state t sabedo que ha durado hasta t se deoma tasa de fallo y se represeta por λt, sedo su valor e fucó de t λt ft Ft, dode f y F so, respectvamete, las fucoes de desdad y de dstrbucó de la varable aleatora T. Obteer la tasa de fallo e caso que T sea ua varable aleatora epoecal de meda horas e terpolar el resultado.

93 3.3 U eame cosste e 5 cuestoes. E cada cuestó, el alumo debe elegr etre 5 solucoes propuestas, de las que ua y sólo ua es certa. El úmero mímo de respuestas correctas que debe teer u alumo para aprobar es a. El profesor decde fjar a co el sguete crtero: que la probabldad de aprobar para u alumo que coteste todas las cuestoes al azar sea meor de.5. Obteer a. Ua cuestó es respodda al azar s cada uo de los cco resultados propuestos tee la msma probabldad de ser escogdo. 3.4 Obteer la fucó de desdad de ua varable aleatora χ co u grado de lbertad. S N,,Y es ua χ. 3.5 Dada ua varable aleatora, cuya dstrbucó es N,σ, calcular la medaa de la varable Y. 3.6 La logtud L e mlímetros de las pezas fabrcadas e u proceso es ua varable aleatora que se dstrbuye segú ua N3,.3, cosderádose aceptables aquellas cuya medda se ecuetra detro del tervalo 3., 3.6. a Calcular la probabldad de que ua peza elegda al azar sea aceptable. b S se toma al azar ua muestra de tres pezas, cuál es la probabldad de que la prmera y la tercera sea aceptables y la seguda o lo sea? c Cuál es la probabldad de que e ua muestra de tamaño 3 al meos ua sea aceptable? d Las pezas se embala e lotes de 5. Calcular la probabldad de que u lote tega más de 5 defectuosas. 3.7 U cocesoaro de automóvles recbe peddos de u modelo segú u proceso de Posso de meda vehículos por semaa. Los peddos al fabrcate se debe realzar co ua atelacó míma de u mes, de forma que el cocesoaro pde e cada mes los vehículos que ecesta para el mes sguete. Cuátos automóvles dspobles ha de teer a prcpos de u mes para satsfacer co probabldad gual o mayor que.95 la demada mesual? Se cosdera que el mes tee cuatro semaas. 3.8 S la probabldad de que u dsparo mpacte ua daa es., cuál es la probabldad de mpactar e la daa 4 o más veces e 5 dsparos? Da u resultado umérco empleado la apromacó que cosderes más adecuada. Se supoe depedeca. 3.9 Para cotrolar la caldad de u proceso tetl se cueta el úmero de defectos que aparece e la tela fabrcada. Segú el fabrcate, cuado el proceso fucoa correctamete el úmero de defectos e ua boba de metros cuadrados es ua varable aleatora de Posso co meda 4. Se ha stalado u equpo de vsó artfcal para realzar el recueto que permte speccoar 9 m de tela cada hora. Cuál es la probabldad de que aparezca más de 5 defectos e ua hora s el proceso fucoa be? 3. U compañía compra chps para motar e placas de ordeadores clócos. Ua empresa de recclado le ofrece lotes de. chps a precos muy vetajosos pero co u porcetaje de defectuosos alto, alrededor del %. Para realzar el cotrol de caldad de los lotes recbdos está cosderado dos alteratvas: a Tomar udades al azar y rechazar el lote s este más de 5 defectuosas. b Tomar udades al azar, dvdrlas e grupos y s e algú grupo hay más de ua peza defectuosa rechazar el lote. Cuál es la probabldad de rechazar u lote co el % de chps defectuosos para cada uo de los métodos? Cuál es la probabldad de aceptar u lote co el % de chps defectuoso para cada método? 3

94 3. Ua compañía para comprobar la caldad de certos lotes de 3 pezas realza el sguete cotrol: toma ua muestra al azar de 3 pezas y s tee 5 o más pezas defectuosas rechaza el lote, aceptádolo e caso cotraro. La compañía cada mes aplca este cotrol a lotes, cuál es el úmero esperado de lotes rechazados s todos los lotes de u mes tee eáctamete u 4% de pezas defectuosas? 3. U servco telefóco de urgecas recbe por térmo medo llamadas cada muto, cuál es la probabldad de recbr más de 55 llamadas e ua hora? Se ha dseñado u call ceter co capacdad de respuesta de 65 llamadas a la hora, cuál es el úmero esperado de horas al año co úmero de llamadas superor a su capacdad? Se supoe que las llamadas so depedetes y todas las horas so smlares 3.3 A u cogreso de medca acude 5 persoas. U laboratoro farmaceútco va a regalar corbatas a los hombres y pañuelos a las mujeres. Desgracadamete o cooce el úmero eacto de cada seo, auque sabe de otros cogresos que la proporcó es smlar. Calcula el úmero mímo de corbatas y de pañuelos que debe teer dspobles los orgazadores para que todos los asstetes tega el regalo que les correspode co probabldad de.99 es decr gua mujer se quede s pañuelo y gú hombre s corbata. Se supoe que la probabldad de hombre o mujer es gual a.5 y que la probabldad de que u asstete sea de u determado seo es depedete del seo de los restates. 3.4 Federer y Nadal se ecuetra empatados, 4-4 e u juego e el que está sacado Nadal. Segú las estadístcas la probabldad de que Nadal gae u puto determado cuado tee el saque es.6. Cuál es la probabldad de que el juego lo terme gaado Nadal? Nota. Pesa e el desempate de la sguete forma: se juega dos putos: s los gaa u jugador ese jugador ha gaado el juego, s cada jugador gaa u puto se juega otros dos putos y se vuelve a aplcar la msma regla. 3.5 Cbeles Cocert es ua empresa que orgaza vajes e autobus para asstr a actuacoes muscales. Para u cocerto de Bruce Sprgstee e Pars ha ofertado 3 plazas que sale de Madrd y Sevlla. Las reservas se hace por Iteret, el preco del vaje para los de Sevlla es de 6 e y para los de Madrd 5e. Las 3 plazas se cubre co segurdad. S la probabldad de que u asstete salga de Sevlla es /3 y de Madrd /3, y se acepta depedeca etre las 3 reservas, calcula los gresos esperados por la compañía y la varaza de estos gresos. 4

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127 Ejerccos propuestos Capítulo 4. Dstrbucó cojuta de varas varables 4. Supógaseuadaacrcularco cetroeel orge decoordeadasyrador y, Y las coordeadas de u puto elegdo al azar por ejemplo, el lazameto de u dardo. Supógase que cualquer otro puto de la daa tee la msma probabldad de ser elegdo. Calcule f Y,y y f. 4. U gra almacé guarda cajas que cotee pezas de dstto tpo. La proporcó p de pezas de tpo A e ua caja se puede cosderar ua varable aleatora co fucó de desdad: fp kpp co p a Calcular el valor de k, la meda y la varaza de la varable aleatora p. b S se toma cajas al azar. Cuál es la probabldad de que gua de ellas cotega ua proporcó de pezas de tpo A gual o superor al 75%? 4.3 e Y so dos varables aleatoras depedetes co la msma fucó de dstrbucó F. Calcular la fucó de desdad de U ma,y. 4.4 Obté la dstrbucó de probabldad del mámo, del mímo y de la meda de los resultados obtedos al lazar dos dados equlbrados. Se acepta que los resultados de los dados so varables aleatoras depedetes. 4.5 Ua empresa de celulosa tee dos líeas para fabrcar pasta de papel e plachas de m m. Ua medda de su caldad es la lmpeza, que se mde e úmero de mpurezas partículas por m. La líea I, fabrca co ua tasa meda de 5 mpurezas por m y la líea II co 3 mpurezas por m. El úmero de mpurezas por placha es ua varable aleatora co dstrbucó de Posso. Las plachas de pasta se empaqueta e balas de udades y se almacea clasfcadas segú la líea de procedeca. Cuado por algú motvo se ecuetra e el almacé ua bala s clasfcar se adopta el sguete crtero: tomar ua muestra aleatora de plachas y determar el úmero medo de mpurezas. Asgarla al grupo de la líea I s el úmero medo de mpurezas es mayor que 4 y a la líea II e caso cotraro. Se supoe que la probabldad cal de perteecer a ua u otra lea es la msma. a Calcular la probabldad de clasfcar erróeamete ua bala. b E u caso cocreto, el úmero de mpurezas e cada ua de las dez plachas ha sdo,,3,3,4,4,5,5,6,8. Calcular la probabldad de que perteezca a cada ua de las líeas. 4.6 La fucó de desdad de ua varable aleatora bdemesoal vee dada por la epresó: { y +ce f Y,y, cuado < < y < y <, e el resto So depedetes las varables aleatoras e Y?