Los números complejos

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1 Los úmeros complejos

2 Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació Forma polar z = r α siedo r el módulo y α el argumeto. r = z = a + b α arcta b = a Operacioes si z = a + bi y z = a + b i si z = r α y z' = Suma z + z = (a + a ) + (b + b )i z z = (a a ) + (b b )i s β Resta z z = (a a ) + (b b )i

3 Multiplicació z z = (aa bb ) + (ab + a b)i r s = ( r s) α β α + β Divisió z' a' a+ b' b ab' a' b = + i z a + b a + b r s α β = ( r/ s) α β Potecia z = ( rα ) = ( r ) α 1 1 ( ) ( ) r = r = r = r α α α α+ k + k k va desde 0 hasta 1

4 Qué es u úmero complejo? U úmero complejo, z, está formado por ua parte real, a = Re(z), y ua parte imagiaria, b = Im(z), y se escribe a + bi, o bie, (a, b). U úmero complejo es ua expresió co dos sumados: uo es u úmero real y el otro es u úmero real por ua letra i. Por ejemplo, z es u ejemplo de úmero complejo: z = 3 + i El sumado si la i se deomia parte real, mietras que el úmero que acompaña a la i se deomia parte imagiaria del úmero complejo. E el ejemplo aterior, 3 es la parte real y se idica 3 = Re(z); mietras que es la parte imagiaria y se idica = Im(z). U úmero complejo tambié puede escribirse e forma de par ordeado; e el ejemplo, el úmero complejo z = 3 + i tambié puede escribirse como (3, ), siedo la primera coordeada la parte real, y la seguda coordeada la parte imagiaria. Así pues, u úmero complejo es u úmero formado por ua parte real, a, y ua parte imagiaria, b, que se escribe a + bi o bie, (a, b) Cómo se represeta u úmero complejo? Para represetar u úmero complejo puede utilizarse los ejes coordeados cartesiaos, el eje X para la parte real y el eje Y para la parte imagiaria. Para represetar u úmero complejo puede utilizarse los ejes coordeados cartesiaos, el eje X para la parte real (eje real) y el eje Y para la parte imagiaria (eje imagiario). Así, por ejemplo, el úmero z = 3 + i, o tambié (3, ), se represeta por el siguiete vector: 1

5 So ecesarios los úmeros complejos? Los úmeros complejos so imprescidibles, ya que permite que cualquier ecuació poliómica tega solució. Para ello, se requiere que los úmeros reales sea completados co el deomiado úmero i, cuyo valor es i = 1. Es fácil observar que existe ecuacioes que o tiee solució real. Por ejemplo, la ecuació x + 1 = 0 o tiee solució, ya que si aislamos la x : x = 1 y o existe igú úmero real que elevado al cuadrado sea 1, porque debería suceder que: x = 1 y ya sabemos que o existe la raíz cuadrada de u úmero egativo. Para permitir que ecuacioes del tipo aterior tambié tega solució, se completa los úmeros reales añadiedo la raíz cuadrada de 1, co lo que obteemos los úmeros complejos. A la raíz cuadrada de 1 se le deomia i: i = 1 es decir i = 1 y, cualquier úmero complejo se puede expresar de la forma: z = a + bi Veamos que la ecuació aterior tiee solució compleja: x = 1 por lo tato, x = ± 1 = ± i Es decir, las solucioes de la ecuació so +i y i. Veámoslo: i + 1 = = 0 ( i) + 1 = = 0 De este modo, cualquier ecuació poliómica tiee solució compleja. Cómo se represeta las potecias de i? Las potecias de i so fáciles de hallar y de represetar. Ta sólo es ecesario calcular las cuatro primeras porque el resto a partir de la quita potecia de i, i 5, se repite cíclicamete. Las potecias de i so fáciles de hallar: i 1 = i i = 1 i 3 = i i = i i = (i ) = ( 1) = 1 i 5 = i i = i vemos que a partir de i 5 se vuelve a repetir los valores, es decir, i 5 = i i 6 = i i 7 = i 3 i 8 = i

6 Cómo se calcula el opuesto y el cojugado de u úmero complejo? El opuesto de u úmero complejo z = a + bi, se idica z y es igual a z = a bi. El cojugado de dicho complejo z, se idica z, y es z = a bi Dado u úmero complejo z = a + bi, su opuesto, que se idica z, es el úmero complejo co los sigos opuestos, es decir, z = a bi. El cojugado de dicho complejo z, que se idica z, se costruye cambiado de sigo la parte imagiaria de z; así pues, z = a bi. Por ejemplo, el opuesto de z = 3 + i es z = 3 i. Mietras que su cojugado es z = 3 i. E este gráfico puede observarse el opuesto y el cojugado de z = 3 + i: 3

7 Cómo se realiza la suma y la resta etre complejos? Para sumar dos úmeros complejos z = a + bi y z = a + b i, se suma las partes reales e imagiarias, z + z = (a + a ) + (b + b )i. La resta se realiza de maera similar: z z = (a a ) + (b b )i. Para sumar dos úmeros complejos z = a + bi y z = a + b i, se suma las partes reales e imagiarias de la siguiete maera: z + z = (a + a ) + (b + b )i Por ejemplo, si z = + i y z = 1 + i z + z = ( + 1) + (1 + )i = 1 + 5i como puede verse gráficamete: La resta se realiza de modo similar, restado las partes reales e imagiarias: z z = (a a ) + (b b )i Por ejemplo, si z = + i y z = 1 + i z + z = ( 1) + (1 )i = 3 3i Cómo se realiza el producto de úmeros complejos? El producto de dos úmeros complejos z = a + bi y z = a + b i es igual a z z = (aa bb ) + (ab + a b)i. La multiplicació de dos úmeros complejos se realiza de maera semejate a la multiplicació de poliomios: si los úmeros so z = a + bi y z = a + b i, para obteer el resultado se sitúa uo sobre el otro, y se multiplica factor a factor, teiedo e cueta que i i = i = 1: a + bi a + b i aa + ab i bb i + a bi (aa bb ) + (ab + a b)i es decir, z z = (aa bb ) + (ab + a b)i Así, por ejemplo, si z = + i y z = 1 + i z z = ( 1 1 ) + ( + 1 1)i = 6 7i

8 Cómo se realiza el cociete de úmeros complejos? El cociete de dos úmeros complejos z = a + bi y z = a + b i es igual a z' a' a+ b' b ab' a' b = + i. z a + b a + b Para realizar el cociete de dos úmeros complejos se debe multiplicar umerador y deomiador por el cojugado del deomiador. Si los úmeros so z = a + bi y z = a + b i, y teiedo e cueta que i i = i = 1: z' a' + b' i ( a' + b' i)( a bi) ( a' a+ b' b) + ( ab' a' b) i = = = = z a + bi ( a + bi)( a bi) a + b aa ' + bb ' ab' ab ' = + i a + b a + b aa ' + bb ' ab' a ' b es decir, la parte real del cociete es y la parte imagiaria es. a + b a + b Así, por ejemplo, si z = 3 + i y z = 1 + i z ' 1 ( 3) ( 3) = + i = 0, + 1, i z

9 Cómo se represeta u úmero complejo e forma polar? U úmero complejo z = a + bi puede represetarse por z = r α, siedo r el módulo de z, y α el argumeto o águlo que forma co el eje real. Observado la represetació de u úmero complejo, es fácil comprobar que el úmero z puede tambié caracterizarse por la logitud del vector, deomiada módulo, z, y el águlo que forma co el eje real, deomiado argumeto. Si el úmero es z = 3 + i, la logitud del segmeto es z = 3 + = 5, mietras que el águlo puede establecerse buscado el arcotagete del cociete etre la parte imagiaria y la aparte real: α = arcta 0,93 rad. 3 E geeral, pues, u úmero complejo z = a + bi, o (a, b), puede represetarse por z = rα, siedo r el módulo de z, y α el águlo que forma dicho segmeto co el eje real: r = z = a + b α arcta b = a Cabe destacar que el argumeto debe ser u águlo etre 0 y p (e ocasioes es mejor utilizar águlos etre -p y p); si fuese mayor o meor, debe buscarse el águlo etre 0 y p que se correspoda; por ejemplo: el águlo p se correspode co el águlo p. el águlo 9p/ se correspode co el águlo p/. Cómo se trasforma u complejo de forma polar a forma biómica? La forma biómica de u úmero complejo e forma polar, z z = r cos α + i r se α. = r α, es Si z es u úmero complejo e forma polar, z = r α, para hallar su forma biómica, ta sólo debe calcularse las coordeadas del eje real e imagiario, (a, b): a = r cos α b = r se α es decir, la forma biómica es z = r cos α + i r se α. 6

10 Cómo se realiza la multiplicació y la divisió e forma polar? Para realizar el producto de dos úmeros complejos e forma polar, r α y s β, debe multiplicarse ambos módulos y poer por argumeto la suma de argumetos, r s ( r s) =. Para realizar la divisió, debe dividirse α β α +β ambos módulos y poer por argumeto la diferecia de argumetos, r α = ( r/ s) s. α β β La suma y la resta o suele realizarse e forma polar porque es mucho más fácil realizarlas e forma biómica. E cambio, la multiplicació y la divisió so más secillas e forma polar que e forma biómica. Para realizar el producto de dos úmeros complejos e forma polar, r α y s, debe β multiplicarse ambos módulos y poer por argumeto la suma de argumetos: rα sβ = ( r s) α + β Por ejemplo, el producto de z = y z ' = 3 es igual a 3 ( ) 7 z z' = 3 = 3 = como puede observarse e este gráfico: Para dividir dos úmeros complejos e forma polar, r α y s β, debe dividirse ambos módulos y poer por argumeto la diferecia de argumetos: rα = ( r/ s) α β s Por ejemplo, el cociete de z = y β 3 z 3 = = = z ' 3 z ' = 3 es igual a ( /3) ( /3) 3 1 7

11 Cómo se realiza la potecia de u úmero complejo e forma polar? La potecia de expoete de u úmero complejo r α es ( rα ) ( r ) =. α Para realizar la potecia de u úmero complejo, r α, debe observarse lo siguiete: ( r ) ( α = rα rα = r ) α ( r ) 3 ( ) ( ) ( 3 α = rα rα = rα r = r ) es decir, e geeral, ( rα ) = ( r ) α α 3α Esta expresió es válida tato para expoetes positivos como egativos. Por ejemplo: ( ) ( ) 3 = 3 = 81 = 81 = 811,7 8 8 todos los águlos debe estar etre 0 y = = = = ( ) 3 3 ( 3 3 ) ,8 todos los águlos debe estar etre 0 y Cómo se realiza las raíces de u úmero complejo e forma polar? La potecia de expoete de u úmero complejo r α es ( rα ) ( r ) =. α Ua raíz o es más que ua potecia de expoete quebrado. El proceso es, pues, similar a la obteció de ua potecia, auque el úmero de raíces de u úmero complejo es igual al ídice de la raíz. Por ejemplo: 1 1 ( ) = = = 1 8

12 Esto es así porque: = Ahora bie, es fácil observar que tambié: 3 = 3 = Así pues, para hallar las raíces de u úmero complejo e forma polar se lleva a cabo lo siguiete: 1 1 r ( ) α = r α = r = ( r) α + k k va desde 0 hasta 1 α+ k Por ejemplo, para hallar las raíces de ídice de la uidad, es decir, del úmero real 1, que e forma polar se escribe 10, debe hacerse lo siguiete: 1 1 ( ) ( ) 1 = 1 = 1 = 1 = k k 0+ k Para k = 0 1 = 1 = Para k = 1 1 = 1 = Para k = 1 = 1 = 1 0 Para k = 3 1 = 1 = k va desde 0 hasta 1 = 3 Por lo tato, las raíces de ídice de la uidad so: 10,, 1 y

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