Definición. Tema 12: Teoremas de Integración del Cálculo Vectorial. Gradiente de un campo escalar. Rotacional de un campo vectorial.

Transcripción

1 Tema 12: Teoremas de Integración del Cálculo Vectorial El operador nabla e conoce como operador nabla al pseudo-vector = ( x, y, ) Juan Ignacio Del Valle Gamboa ede de Guanacaste Universidad de Costa Rica Ciclo I Es un operador vectorial, que se aplica sobre campos escalares y campos vectoriales. En la forma definida anteriormente, sólo se puede utilizar sobre campos escalares y vectoriales definidos en coordenadas cartesianas. Existen otras expresiones para el operador nabla en coordenadas cilíndricas, esféricas, etc. Gradiente de un campo escalar El gradiente de un campo escalar w = f (x, y, z) se define como el vector: w = ( w x, w y, w ) El gradiente de un campo escalar es el campo vectorial que indica la dirección y magnitud de la máxima derivada direccional para los puntos del dominio de w = f (x, y, z). El vector gradiente de una función de dos dimensiones z = f (x, y) es perpendicular a las curvas de nivel de f. El vector gradiente de una función de tres dimensiones w = f (x, y, z) es perpendicular a las superficies de nivel de w. Rotacional de un campo vectorial e define como el rotacional del campo vectorial F(x, y, z) = (F x, F y, F z ) al vector rot F(x, y, z) = F rot i j k F(x, y, z) = x y F x F y F z rot F(x, y, z) = ( Fz y F y, F x F z x, F y x F x y )

2 Intepretación del rotacional Divergencia de un campo vectorial El valor del rotacional de un campo vectorial en un punto indica la circulación del campo por unidad de área en ese punto. En otras palabras, describe si las líneas de campo describen remolinos en ese punto, y en qué dirección sería el sentido de ese giro. e define a la divergencia de un campo vectorial F(x, y, z) = (F x, F y, F z ) a la expresión div F(x, y, z) = F div F(x, y, z) = F x x F y y F z Interpretación de la divergencia Laplaciano de un campo escalar La divergencia de un campo vectorial en un punto dado es positiva si ese punto es una fuente de líneas de campo, y será negativa si el punto es un sumidero de líneas de campo. e define como el Laplaciano de un campo escalar w = f (x, y, z) a la cantidad 2 w = w 2 w = 2 w x 2 2 w y Campo magnético Campo eléctrico

3 Orientación de superficies y sus curvas frontera El Teorema de tokes o del Rotacional Teorema Convención: curvas y superficies orientadas ea δ una curva cerrada simple que es la frontera de una superficie. i se recorre a δ en el sentido contrario a las manecillas del reloj, el lado positivo de quedará al lado izquierdo, siguiendo la regla de la mano derecha. Aplicación del Teorema de tokes La integral de línea de un campo vectorial F(x, y, z) a lo largo de una curva cerrada, simple y orientada δ es igual a la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie orientada para la cual δ es su frontera. I δ ~ = ~F ds Z Z ~ ( ~F) d El Teorema de Green Ley de Ampère i la densidad de corriente eléctrica está descrita por un campo vectorial ~J y el campo magnético ~ entonces la circulación de H ~ inducido es H, alrededor de la frontera C de una superficie es igual a la integral de ~J sobre. ~ H ~ = ~J Teorema El Teorema de Green es la simplificación del Teorema de tokes para las curvas, superficies y campos vectoriales en el plano R2. I Z Z ~ ~F) d ~ ( I Z Z F F y x ~ = ~F ds da x y C D C ~ = ~F ds D

4 El Teorema de Gauss o de la Divergencia Aplicaciones del Teorema de Gauss en Electromagnetismo Teorema El flujo neto de un campo vectorial F a través de una superficie cerrada δr orientada con sus normales hacia afuera, es igual a la integral triple de la divergencia de F evaluada sobre el volumen R encerrado por la superficie. δr F d = R ( F)dV E = ρ ɛ 0 La divergencia del campo eléctrico es la densidad de carga por unidad de volumen H = 0 La divergencia del campo magnético es cero: no existen los monopolos magnéticos Las Leyes de Maxwell: forma integral 1. Ley de Gauss: El flujo del campo eléctrico a través de superficie cerrada es igual a la carga E da = Q ɛ 0 2. Ley de Gauss: El flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es cero B da = 0 3. Ley de Faraday: Campos magnéticos variables inducen campos eléctricos. δ E ds = B da 4. Ley de Ampère: La corriente eléctrica induce campos magnéticos Las Leyes de Maxwell: forma diferencial 1. Ley de Gauss: La divergencia del campo eléctrico es la densidad de carga E = ρ ɛ 0 2. Ley de Gauss: La divergencia del campo magnético es nula B = 0 3. Ley de Faraday: El rotacional del campo eléctrico es la variación temporal del campo magnético. E = B 4. Ley de Ampère: El rotacional del campo magnético es la densidad de corriente eléctrica más la corriente de desplazamiento B d = µ 0 I µ 0 ɛ 0 d E da B = µ 0 J µ 0 ɛ 0 E

5 Anexo: Identidades básicas del análisis vectorial 1 1. (f g) = f g 2. cf = c f, para c R. 3. (fg) = f g g f 4. (f /g) = (g f f g)/g 2, para todo x tal que g(x) 0 5. div ( F G) = div F div G 6. rot ( F G) = rot F rot G 7. div (f F) = f div F F f 8. div ( F G) = G rot F F rot G 9. div rot F = ( F) = rot (f F) = f rot F f F 11. rot f = (fg) = f 2 g g 2 f 2( f g) 13. div ( f g) = div (f g g f ) = f 2 g g 2 f 1 Marsden, J. y Tromba, A. Cálculo Vectorial. 4 edición, Prentice-Hall Anexo: Divergencia en coordenadas cilíndricas 3 Anexo: Vector gradiente en coordenadas cilíndricas 2 ea w = f (r, θ, z) un campo escalar definido en función de las coordenadas cilíndricas. Entonces, w = e r 1 r r e θ θ e z 2 Anexo: Rotacional en coordenadas cilíndricas 4 ea W = [W r (r, θ, z), W θ (r, θ, z), W z (r, θ, z)] un campo vectorial W = 1 r r (rw r) 1 W θ r θ W z ea W = [W r (r, θ, z), W θ (r, θ, z), W z (r, θ, z)] un campo vectorial W = ( 1 W z r θ W ) θ ( Wr W z r [ 1 r e z ) e θ r (rw θ) 1 r W r θ ] e z

6 Anexo: Vector gradiente en coordenadas esféricas 5 Anexo: Divergencia en coordenadas esféricas 6 ea w = f (ρ, φ, θ) un campo escalar definido en función de las coordenadas cilíndricas. Entonces, ea W = [W ρ (ρ, θ, z), W φ (ρ, φ, θ), W θ (ρ, φ, θ)] un campo vectorial w = e ρ 1 ρ ρ e φ φ 1 ρ sin(φ) e θ θ W = 1 r 2 (ρ 2 W ρ ) ρ 1 [W φ sin(φ)] 1 A θ ρ sin(φ) φ ρ sin(φ) θ Anexo: Rotacional en coordenadas esféricas 7 ea W = [W ρ (ρ, θ, z), W φ (ρ, φ, θ), W θ (ρ, φ, θ)] un campo vectorial W = [ 1 (Aθ sin(φ) A ] φ e ρ ρ sin(φ) φ θ 1 [ ] Aρ ρ sin(φ) θ sin(φ) (ρa θ) e φ ρ 1 [ (ρaφ A ] ρ e θ ρ ρ φ 7