Lección 6. Campo magnético producido por corrientes cuasiestacionarias. Ley de Inducción de Faraday.

Transcripción

1 Lección 6 Capo agnético producido por corrientes cuasiestacionarias. Ley de Inducción de Faraday.. Flujo agnético. Ley de Gauss del agnetiso.. Ley de inducción de Faraday... Fuerza electrootriz inducida. Ley de Faraday... Capos eléctricos inducidos..3. Fuerza electrootriz de oviiento. Generadores y otores. 3. Autoinducción e inducción utua 3.. Coeficiente de autoinducción. 3.. Inducción utua.. Circuitos RL.. La bobina coo eleento de circuito.. Transitorios en circuitos RL 5. Energía agnética. 6. Descarga oscilante de un condensador

2 .- Flujo del capo agnético. Ley de Gauss del agnetiso. iguiendo la isa línea de razonaiento que en la lección, definios el flujo eleental del capo agnético a través de una superficie eleental!, coo: Φ = B = B cosα [6.] que es, evidenteente, una agnitud escalar. i la superficie es perpendicular al capo eléctrico θ = cos θ = y el flujo es áxio. i la superficie es paralela al capo θ = π cos θ = y el flujo es B! θ! nulo. Adeás, el flujo es positivo si θ < π y negativo si θ > π. La unidad de flujo agnético en el.i. es el T que recibe le nobre de weber (wb). Coo al definir el flujo del capo eléctrico, podeos generalizar la definición de flujo a una superficie arbitraria no eleental y a un capo agnético arbitrario dividiéndola en un gran núero de eleentos de superficie uy pequeños! i. Φ B! (t) d! i cada eleento es uy pequeño puede considerarse coo plano y puede despreciarse la variación del capo eléctrico en todo el eleento. El flujo total a través de la superficie será la sua de todos los flujos eleentales extendida a toda la superficie. = li B nˆ = B nd ˆ = B d [6.] i i i i El flujo agnético es proporcional al núero de líneas de capo que atraviesan la superficie. Coo no existen polos agnéticos aislados (no existe evidencia experiental de ellos), las líneas de capo agnético siepre son cerradas de (tal y coo se indicó en la lección anterior). Por tanto, si consideraos una superficie cerrada en un capo agnético, el flujo entrante debe ser igual al saliente ya que toda línea de capo que entra debe, forzosaente salir. Así, se cuplirá que:

3 B! d! = [6.3] Σ Es decir, este resultado que suele denoinarse Ley de Gauss del Magnetiso nos dice que el flujo del capo agnético a través de cualquier superficie cerrada es siepre nulo. Copárese esta expresión con el teorea de Gauss que indica que las fuentes del capo electrostático son las cargas. Llegados a este punto conviene resuir los resultados obtenidos hasta ahora para capos estáticos: Q E d = ; ε E d" = ; Σ Σ B d = Σ B d" = µ I Estas cuatro ecuaciones resuen todo los que sabeos hasta el oento de los capos electrostático y agnetostático. Coo veos nos indican que el capo electrostático es conservativo y está creado por cargas (positivas o negativas) y tiene las líneas de capo abiertas (que nacen en las cargas positivas y ueren en las negativas). El capo agnetostático no es conservativo, está creado por las corrientes estacionarias y sus líneas de capo son cerradas. Hasta el oento abos fenóenos (electricidad y agnetiso) no están ligados entre sí y las ecuaciones que los caracterizan están desacopladas. Las ecuaciones [6.] se suelen denoinar ecuaciones de Maxwell para capos estáticos. En este tea nos ocupareos de odificar una de ellas (la circulación del capo eléctrico) para incluir algunos hechos experientales..- Ley de inducción de Faraday...- Fuerza electrootriz inducida. Ley de Faraday. upongaos que un conductor eléctrico que fora una trayectoria cerrada o circuito está situado en una región donde hay un capo agnético. i el flujo agnético a través de la trayectoria cerrada varía con el tiepo, se observa una corriente en el conductor durante el tiepo que varía el flujo, lo que indica la existencia de un capo eléctrico que actúa sobre las cargas libres del conductor. Tal capo produce una fuerza electrootriz (fe) a lo largo del circuito, conocida coo fe inducida. La edida de ésta, uestra que depende de la rapidez con la que varía el flujo agnético. Cuando con ayor rapidez cabia el flujo, ayor será la fe inducida. El signo de la fe inducida depende de que el flujo a través de circuito auente o disinuya. La ley que recoge todos estos hechos experientales es la ley de Faraday Henry que dice: la fe inducida en un Σ [6.]

4 3 circuito cerrado colocado en un capo agnético variable se opone a la variación del flujo a través del circuito. Mateáticaente puede expresarse coo dφ ε = [6.5] En el caso particular de el flujo de una bobina de N vueltas idénticas (espira de N vueltas), si el flujo varía a la isa razón a través de cada vuelta, la fes inducidas son iguales y se deben suar. i φ es el flujo a través de una vuelta la fe total en la bobina será: dφ ε = N [6.6] El signo negativo de la Ley de Faraday indica que la fuerza electrootriz y la corriente inducidas por un flujo agnético variable se oponen a la variación que las produce. Este resultado suele denoinarse Ley de Lenz (por razones históricas ya que está englobado en la Ley de Faraday) y nos proporciona el sentido de las intensidades inducidas analizareos, a continuación, algunas experiencias que aclaren este resultado. Ejeplo. Cuando el ián en fora de barra se ueve hacia la espira, la fe inducida en ésta produce una corriente en el sentido indicado. El capo agnético debido a la corriente inducida en la espira (indicado por las líneas de puntos) produce un flujo que se opone al increento de flujo a través de la espira debido al oviiento del ián. La espira actúa coo un pequeño ián con su polo norte a la izquierda y su polo sur a la derecha. Coo los polos opuestos se atraen y los polos iguales se repelen, el oento agnético inducido de la espira ejerce una fuerza sobre la barra agnética hacia la izquierda que se opone a su oviiento.

5 La ley de Lenz es una exigencia de la ley de conservación de la energía. i la corriente de la espira fuera opuesta al sentido indicado, el oento agnético inducido de la espira atraería al ián al overse éste hacia la espira acelerándole. Este auento de velocidad provocaría un auento de la variación del flujo agnético y por tanto de la corriente inducida de esta fora se auentaría la energía cinética del ián y se generaría calor por efecto Joule en la espira sin la presencia de ninguna fuente de energía lo que violaría el principio de conservación de la energía. Ejeplo. En la figura, cuando se hace variar la corriente en el circuito, existe un cabio en el flujo que atraviesa el circuito. upóngase que el interruptor situado en el circuito está inicialente abierto careciendo por tanto de corriente este. Cuando se cierra el interruptor, la corriente en el circuito, no alcanza su valor estacionario ε /R, instantáneaente, sino que tarda un tiepo breve para variar desde cero a este valor final. Durante este tiepo ientras la corriente está auentando, el flujo del circuito está variando y existe una corriente inducida en dicho circuito en el sentido indicado. Cuando la corriente del prier circuito alcanza su valor estacionario, el flujo deja de ser variable y no existirá ninguna corriente inducida en el circuito. Cuando se abra el interruptor en el circuito y la corriente disinuya hasta cero, aparecerá oentáneaente en el circuito una corriente inducida en sentido opuesto. Es iportante tener uy en cuenta que existe una fe inducida sólo ientras el flujo está variando. La fe no depende de la agnitud del flujo, sino solaente de la rapidez con que se verifica el cabio. Un flujo estacionario grande a través de un circuito no produce una fe inducida. En la Ley de inducción sólo interviene la variación del flujo coo causa de la fe. Esta variación del flujo puede estar originada por variaciones del capo agnético o de la superficie. A continuación estudiaos las dos posibilidades.

6 5..- Capos eléctricos inducidos. Recordando las definiciones de fuerza electrootriz y de flujo del capo agnético, la ley de Faraday, tabién se puede escribir coo: d = E d" c Bd [6.7] L que es válida para cualquier caino arbitrario C aunque no coincida con un conductor eléctrico. Así veos que un capo agnético dependiente del tiepo iplica la existencia de un capo eléctrico cuya circulación a lo largo de cualquier curva cerrada es igual a la variación, por unidad de tiepo, del flujo agnético a través de la superficie liitada por la trayectoria. El capo eléctrico creado por la variación de un capo agnético es no conservativo ya que su circulación a lo largo de cualquier curva cerrada no es nula. A este tipo de capos se les suele denoinar capos electrootores. Las líneas de capo de los capos electrootores serán cerradas ya que no están producidos por cargas si no por variaciones del flujo agnético. A continuación ostraos algunos ejeplos de capos eléctricos obtenidos a partir de capos agnéticos variables en el tiepo. Ejeplo. Considereos una región del espacio donde existe un capo agnético dependiente del tiepo paralelo al eje Z, confinado en una región circular del espacio y con sietría axial; esto es, la agnitud del capo varía únicaente con la distancia r al eje Z. Deterinareos el capo eléctrico en cualquier punto del espacio. La sietría del problea sugiere que el capo eléctrico creado por este capo agnético variable en el tiepo debe depender sólo de la distancia r al eje, y en cada punto debe

7 6 ser perpendicular al capo agnético y al radiovector. Por tanto, las líneas de capo eléctrico son circunferencias centradas en el eje Z. a) Para calcular al capo eléctrico en la región interior seleccionareos un caino (C ) circular de radio r < R. Teniendo en cuenta que en todo punto del caino integración el capo y el eleento de trayectoria son paralelos, se cuplirá que: ε ( t) = dφ = E d" = Eπr C d db B d = πr C E = db r; r R b) Para calcular el capo en el exterior calculareos la circulación y el flujo a través de un caino (C ) tabién circular exterior a la región donde está definido el capo (r > R). i procedeos de fora análoga al caso anterior tendreos que: ε ( t) = E d" = Eπr C R db dφ d = db E = r R = B d πr ; [6.9] r C En la figura se representa el ódulo este capo electrootor inducido. [6.8] E(r) r = R Coo se puede apreciar en la figura, el capo auenta linealente en el interior de la zona donde hay capo y disinuye con la distancia en el exterior. Ejeplo

8 7 Una espira circular de radio a, y resistencia r está en presencia de un capo agnético perpendicular a la espira que varía teporalente según la siguiente expresión: Bt B = B sit si t > uponeos despreciable, frente a B el capo creado por la corriente inducida en la espira. a) Calcule la fuerza electrootriz inducida en la espira y representarla en función del tiepo. La gráfica del ódulo del capo agnético es la que se uestra a continuación B(t) B s s Coo se puede ver el capo varía linealente con el tiepo durante el intervalo [,] y después peranece constante. Dado que el capo es variable en el intervalo [,] durante ese tiepo el flujo en la espira será variable y, coo consecuencia, aparecerá una fuerza electrootriz inducida en la espira. la fuerza electrootriz inducida se deterina ediante la ley de inducción de faraday. calculareos priero el flujo en la espira, coo el capo es perpendicular al plano de! # la espira se cuplirá que B d y así: por tanto, el flujo es: φ dφ = B d = B d cos = &%$ () t = B td = B d = B πa ( ) Bd B tπa si t si t > t

9 8 la fuerza electrootriz será entonces φ ε = d () t ( ) Btπa = d ( B πa ) = = B πa si t si t > Coo era de esperar sólo aparece una fuerza electrootriz (constante en este caso) ientras el capo está variando. En la gráfica se uestra la fuerza electrootriz B(t) B ε(t) Bπa s s t s s t b) Deterine el valor del capo eléctrico en los puntos de la espira. El ódulo del capo eléctrico en la espira se puede calcular a partir de la definición de fuerza electrootriz. Coo se uestra en la figura, el capo y el eleento de longitud son paralelos en todo punto de la curva. Adeás, por sietría el capo eléctrico debe ser constante. Así con lo que ε = E! d! " B πa = Eπa C = B a E c) calcule la intensidad de corriente que circula por la espira. a! d" E! La intensidad de corriente en la espira vendrá dada, según la ley de oh, por:

10 9 ε Bπa I = = R R si t si t d) deterine la carga que atraviesa la resistencia r entre los instantes t = y t = s. Para calcular la carga pedida utilizaos al definición de intensidad: I dq Bπa = dq = I Q I = + = = R B πa R e) Calcule la energía disipada en fora de calor entre los instantes t = y t = s. Para calcular la energía disipada en fora de calor en el tiepo pedido utilizaos la ley de joule y la definición de potencia: P = du du = P = RI sustituyendo el valor de la intensidad obteneos: U = RI U = Bπa Bπ a RI = R + R( ) = R R.3.- Fuerza electrootriz de oviiento. La Ley de Inducción iplica la existencia de una fuerza electrootriz cuando el flujo agnético a través de un circuito cabia en el tiepo. La variación del flujo puede deberse a la variación del capo agnético, pero se obtienen los isos resultados cuando la variación del flujo se debe al oviiento o la deforación del circuito sin que el capo agnético cabie necesariaente en el tiepo. Veaos algunos ejeplos a) Conductor en oviiento en un capo agnético estático. upongaos un hilo conductor que se desplaza perpendicular a las líneas de capo de un capo agnético constante con una velocidad v!. Cada uno de los electrones libres del conductor estará soetido a una fuerza perpendicular a la velocidad del conductor y al vector capo agnético que provocará un oviiento de cargas coo el que se ve en la figura. Habrá una acuulación de carga en los extreos originándose así, en circuito abierto, una diferencia de potencial (que en este caso se identifica con una fe), el extreo superior se coportará coo el polo positivo de un generador y el inferior coo el negativo.

11 i la experiencia se hubiese realizado estableciendo contacto entre los extreos del hilo con otro que forando con él un circuito cerrado, hubiese circulado realente una corriente en el sentido que indican las polaridades positiva y negativa de la barra. Al aparecer una corriente en el circuito, la fuerza de Lorentz nos indica que sobre la longitud L del conductor actúa una fuerza F = ILB (ya que el capo agnético y la dirección de la corriente son perpendiculares entre sí), que se opone al desplazaiento del conductor. Para desplazar el conductor contra esta fuerza hay que realizar un trabajo que introduce energía en el sistea. Esta energía, suinistrada solaente ientras oveos el conductor, se disipa por efecto Joule en fora de calor en los conductores. A extreos de estos aparecerá una diferencia de potencial V=P/I que según la priera regla de Kirchhoff será igual a la fe ε originada en el circuito. Este tipo de FEM inducida, producida la over un conductor a través de un capo agnético se llaa fe de oviiento. u valor en este caso particular es: P Fv ILBv ε = = = = BLv [6.] I I I i calculaos el auento de flujo (producido por auentar la superficie del circuito) tendreos: Φ x Φ = B = BL x = BL = BLv [6.] t t que coincide nuéricaente con la fuerza electrootriz calculada. Adeás en la figura se observa que el auento de flujo entrante en el papel va asociado con una fe inducida que produce una intensidad en sentido contrario al de las agujas del reloj

12 que a su vez produce un capo agnético de inducción que se opone al auento de flujo. De esta fora veos que esta fe es una anifestación de la Ley de inducción de Faraday. En el caso general de un conductor de fora arbitraria que se ueve con velocidad en un capo agnético, la fuerza electrootriz que se induce en él esta dada por: ε = E d" = ( v B) d" E = v B C [6.] C b) Fuerza electro otriz inducida por rotación de una espira en un capo unifore. Considereos el caso en el que la espira no cabia de fora y el capo agnético en el que se encuentra es constante. En estas condiciones tabién se puede inducir una fe si cabia la orientación entre el vector superficie de la espira y el capo. En efecto, coo el flujo es un producto escalar se cuple que: si B! y d! son constantes pero θ () t tanto, una fe inducida dada por : φ = B d = B d cosθ [6.3] θ = habrá una variación teporal del flujo y, por d d dθ ε = B d = B d ( θ () t ) = B d senθ () t cos [6.] En la figura se uestra una espira rectangular de N vueltas y superficie total que gira con velocidad angular constante ω en un capo agnético unifore. ω Coo el capo agnético es unifore, el flujo a través de la espira es: Por tanto, θ(t) B!! φ!! () t () t = NB = NB cosθ () t [6.5] coo el oviiento es circular unifore: () = ωt ϕ θ t + [6.6] siendo ϕ el ángulo inicial (en ).

13 y la fe inducida será: () t () t = NB ( ωt ϕ) φ cos + [6.7] dφ d ε () t = = NB [ cos ( ωt + ϕ) ] = NBωsen( ωt + ϕ) [6.8] Heos obtenido coo resultado una fe inducida que varía en el tiepo de fora sinusoidal. Esta es la fora habitual de generar una fe alterna y la espira anterior constituye un alternador (o generador de corriente alterna) eleental. Es iportante hacer notar que la fe no depende de la fora de la espira sino únicaente de su superficie. La fuerza electrootriz áxia es: ε NBω = [6.9] y para una espira deterinada (superficie y núero de vueltas fijo) depende de la velocidad angular. Por tanto, la ecuación [6.8] puede escribirse coo: () = ε sen( ωt ϕ) ε t + [6.] Ejeplo. Un generador de corriente alterna consta de una bobina de vueltas de hilo conductor y tiene una superficie de.5. La bobina gira en un capo unifore de. T con una frecuencia de 5 Hz. Deterinar la fe áxia. La fe áxia estará dada por la ecuación [6.9] la velocidad angular se puede obtener a partir de la frecuencia según: ω = πf = π 5Hz = π rad s sustituyendo los valores en [6.9] obteneos: ε = NBω =.T 5 π rad s = π V 68 V Los grandes generadores de energía (denoinados alternadores) de las centrales eléctricas se basan en los principios que acabaos de analizar. Un alternador típico consta de un circuito que se utiliza para generar el capo agnético (circuito inductor) y que coo es fijo se denoina estator y de un circuito óvil en el que se induce la fe (circuito inducido) llaado rotor (debido a su oviiento de giro). Lo que distingue a los distintos tipos de centrales eléctricas es el étodo seguido para over el alternador. En las centrales téricas nucleares y de cobustibles fósiles se utiliza la fuerza otriz de una turbina de vapor para hacer girar el rotor del alternador, en las centrales hidráulicas el giro se obtiene a partir de una turbina hidráulica que se

14 3 ueve ipulsada por un salto de agua. En las centrales de fuel, se utiliza un otor Diesel para provocar le giro del rotor. Tabién encontraos alternadores ás pequeños en otras aplicaciones tecnológicas (coo por ejeplo el alternador de los coches). e puede utilizar tabién el fenóeno inverso por el que una espira en un capo oscilante tiende a girar este caso tendreos un otor eléctrico. En la inforática uchos dispositivos utilizan otores eléctricos, coo ejeplo teneos los ventiladores de la unidad y el procesador, los discos duros, los lectores de CD y DVD o las ipresoras. 3.- Autoinducción e inducción utua Coeficiente de autoinducción. Cuando por un circuito cerrado circula una corriente, ésta genera un capo agnético a su alrededor de fora que provoca un flujo del capo agnético a través de la superficie del circuito. Cuando éste flujo es variable (por deforación del circuito o por que la corriente que crea el capo es variable) se producirán en él corrientes de inducción que se opondrán a esta variación del flujo. Este fenóeno se denoina autoinducción. i el cerca del circuito que estaos considerando hay otros circuitos por los que tabién circulan corrientes variables, los capo creados por estas corrientes tabién influyen en el circuito provocando corrientes inducidas. Este fenóeno se denoina inducción utua. El flujo que atraviesa un circuito puede relacionarse con la corriente en el iso y con las corrientes que circulan por circuitos próxios. i consideraos una espira por la que circula una corriente I, ésta creará un capo agnético que en principio podría calcularse ediante el uso de la ley de Biot y avart. Coo el capo agnético en todo punto próxio a la espira es proporcional a la intensidad de corriente I, el flujo agnético a través de la isa lo será. Por tanto se puede escribir: φ LI [6.] = donde L es un coeficiente de proporcionalidad denoinado coeficiente de inducción utua (o inductancia utua). Este coeficiente es una constante que depende de la fora geoétrica de la espira y del edio en el que se encuentra. La unidad I de

15 inductancia es el Henrio (H) y según la ecuación [6.] debe ser igual a la unidad de flujo, el Weber, dividido por la unidad de intensidad de corriente, el aperio: H = Wb /A = T /A Ejeplo. Deterinar el coeficiente de autoinducción de un solenoide uy largo y de N espiras apretadas. I B! l egún la ecuación [5.39] el capo en el interior del solenoide es µ NI B = µ ni = [6.] " donde I es la intensidad que circula por el solenoide y l su longitud. El flujo que corta el solenoide debido al capo que crea el propio solenoide es N veces el flujo que corta una espira, por tanto: µ N I φ = NB = [6.3] " siendo la sección del solenoide. El coeficiente de autoinducción será, a partir de [6.], φ µ N L = = [6.] I " veos que es un coeficiente puraente geoétrico. i la intensidad que circula por una espira es variable, el capo agnético será variable y el flujo tabién los será y, por tanto, se inducirá una fe dada por: di ε = L [6.5]