Física II: Termodinámica, ondas y fluidos

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1 Física II: Terodináica, ondas y fluidos Índice 5 - MOVIMIENTO PERIÓDICO OSCILACIÓN: DESCRIPCIÓN Y DEFINICIÓN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)... 4 Ej. 5.1 Resorte sin fricción DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN... 7 Ej. 5. Resorte sin fricción del Ej ENERGÍA DEL MAS... 9 Ej. 5.3 Resorte sin fricción de Ej. 5.1, con x = Ej. 5.4 Energía y oento en el MAS Masa vertical... 1 Ej. 5.5 Un coche viejo con aortiguadores gastados... 1 Masa angular: reloj ecánico Ej. 5.6 Molécula de Argón PÉNDULO SIMPLE PÉNDULO FÍSICO Ej. 5.7 Péndulo físico vs siple Ej. 5.8 Modelo de cainar de los aniales OSCILACIONES AMORTIGUADAS OSCILACIONES FORZADAS, RESONANCIA Y CAOS... 1 Oscilaciones caóticas... PROBLEMAS

2 5 - Moviiento periódico 5.1 Oscilación: descripción y definición Moviiento periódico u oscilación = oviiento que se repite en un ciclo regular Ej. Vibración de un cristal de cuarzo (reloj) Péndulo oscilante Sonido Un cuerpo que tiene un oviiento periódico siepre tiene una posición de equilibrio instable + fuerza para volver al equilibrio + una energía cinética para pasar el punto de equilibrio. Caso 1: un cuerpo con asa se ueve sobre un guía horizontal sin fricción. Una fuerza restauradora (resorte) tiende a regresar el sistea al equilibrio. Si no hay fricción, entonces E= cte. y el oviiento se repetirá eternaente.

3 Definiciones: Aplitud A : agnitud áxia del desplazaiento respecto al equilibrio. Unidad [ A ] = Ciclo : viaje copleto de ida y vuelta Periodo T : el tiepo que tarde un ciclo. Unidad [ ] T = s 1 Frecuencia f : nuero de ciclos en unidad de tiepo: Unidad Hertz, [ f ] = s 1 ciclo 1 1 Hertz= 1Hz = = s s Frecuencia angular ω : ω π f Relación entre periodo y frecuencia: ω = = ; Unidad [ ] rad s (5.1) f 1 = o T T = 1 f (5.) π ω = π f = T Vibración rápida f y ω grandes T pequeño Ej: Un transductor (porta voz) ultrasónico oscila con frecuencia de 6.7MHz. T 1 1 = = = 6 f Hz s 7 rad, ω = π f = 4. 1 s 3

4 5. Moviiento Arónico Siple (MAS) Cuando la fuerza restaurado es proporcional al desplazaiento, el oviiento es arónico siple (MAS). (5.3) F kx N kg = donde [ k ] = = Aceleración no es constante: s (5.4) d x k a = = x dt Cuerpo en MAS = oscilador arónico En general por A, las oscilación pueden ser considerada coo un MAS. Ecuaciones del MAS: Consideraos un fasor, un vector en rotación con velocidad angular ω = cte. Seguios la proyección del vector aplit ud A sobre el eje x. La coponente x del fasor en el instante t: (5.5) x = Acosθ La aceleración del punto del fasor, Q, es a q y es siepre dirigida hacia el origen. (5.6) v ω A aq = = = ω A A A 4

5 La coponente x de a q es la aceleración de la sobra de Q sobre el eje x: (5.7) ax = aqcosθ = ω Acosθ = ω x Característica del MAS: la aceleración es proporcional al desplazaiento y siepre al signo opuesto. k Coparando con (5.4) a = x = ω x (5.8) k k ω = ω= Cuando un cuerpo coienza a oscilar, ω es predeterinada por k y. Consistente con unidad: [ ω ] Según (5.): k = = = kg s kg s 1 (5.9) f ω 1 = = π π k (5.1) T 1 π = = = π f ω k Para un cuerpo con ayor, ayor es la inercia y enor es la aceleración. El cuerpo tarda, por tanto, ás tiepo a copletar un ciclo. Un resorte ás ríg ido ejerce una fuerza ayor y por tanto, el cuerpo copleta su ciclo ás rápidaente. En el MAS, el periodo y la frecuencia no depende de la aplitud. Diapasón: siepre vibra a la isa frecuencia cual sea la aplitud. Por esto el diapasón es un estándar por tono usical. 5

6 Ej. 5.1 Resorte sin fricción. Una fuerza de F = 6N hace avanzar el resorte de x =.3 a) F resorte 6N N k = = = x.3 Conectaos un cuerpo de =.5kg al punto x =. b) ω = k kg s rad =.5kg = s rad s f = ω 3.Hz π = π = e 1 T = =.31s f 6

7 5.3 Desplazaiento, velocidad y aceleración Si en t = el fasor fora el ángulo φ con el eje x: θ = ωt + φ (5.11) x= Acos( ωt + φ) Tabién podreos haber escrito (5.11) en térino de una función senoidal del tiepo: cos( α ) = sen( α + ) En MAS, la posición es una función periódica senoidal del tiepo. El valor del coseno siepre es entre 1 y 1, por lo tanto x varia entre A y A. π De (5.11) deducios la velocidad y aceleración: dx (5.1) v= = ωasen( ωt+ φ) dt (5.13) dv a = = = A t+ dt dt d x ω cos( ω φ) v oscila de vax =± ωa La coponente x es desplazado de 1 4 T, relativa a v y 1 T relativa a a. En el punto de equilibrio: x =, v=± vax y a = En el punto áxia: x=± A, v = y a = aax 7

8 Si conoceos la posición y velocidad iniciales, x y v, podeos deterinar A y φ. (5.14) x = Acos( φ) y v = ωasen( φ) v (5.15) φ = arctan ωx v x = = ωa sen( φ) A cos( φ ) ωtan( φ) Coo x = A cos ( φ) y v ω = A sen ( φ ) (5.16) v A = x + ω Ej. 5. Resorte sin fricción del Ej. 5.1 Posiciones iniciales: x =+.15 y v =+.4 rad a) T =.31s y ω = s s v (.4 ) A = x + = (.15) + =.5 s rad ω ( s ) v.4 arctan( ) arctan( s φ = = ) = 53 =.93rad ω x.15 rad s π = = y a ax = ω Acos( ) =± 1 s π π b) v ax ω A sen( ).5 3π s 8

9 5.4 Energía del MAS Coo la fuerza del resorte es conservativa E = cte. 1 Energía cinética: K = v Energía potencial: 1 U = kx 1 1 (5.17) E= K + U = v + kx 1 Cuando x=± A, v = y E= ka = cte De odo que: (5.18) E = v + kx = ka Podeos verificar esta relación usando las ecuaciones de la posición y veloc idad: k Recordaos que ω = ( ω sen( ωt+ φ) ) ( cos( ω φ) ) 1 1 E = A + k A t+ E= ka sen ( ωt+ φ) + ka cos ( ωt+ φ) = ka Usando 5.18 podeos deterinar la velocidad: k (5.19) v=± A x El signo ± significa que en un valor de x dado el cuerpo se puede estar oviendo en cualquiera de las direcciones. Ej. A k 3 x =± v=± 4 A k Tabién podeos encontrar la rapidez áxia, cuando x = vax = A= ω A 9

10 Ej. 5.3 Resorte sin fricción de Ej. 5.1, con x =. a) k vax =± A=± =±.5kg N..4 s k N b) a ax = ( ± A) =. = 8..5kg s c) A la itad del caino (dirección positiva): v =.35 s y a = 4 s A x = d) La energía total tiene el iso valor en todos los puntos durante el oviiento: E= ka = ( )(.) =.4J 1 1 N U 1 1 N = kx = ( )(.1) =.1J K = v = (.5kg)(.35 ) =.3J 1 1 s 1

11 Ej. 5.4 Energía y oento en el MAS Un bloc de asa M, conectado a un resorte horizontal con constante de fuerza k, se ueve coo un MAS. a) Cuando pasa por el punto de equilibrio, una asilla es agregada a la asa b) La asilla es agregada solaente al punto de áxia aplitud 1 a) Antes E = ka 1 1 Porque la posición es el del equilibrio y U 1 = e La cantidad de oviiento en x, es conservada P= cte. M Mv + = ( M + v ) v = v M v = k A 1 1 Mv1 = ka1 1 1 La energía cinética es reducida: M 1 1 M 1 M E = ( M + v ) = v = Mv = E M + M + M Coo 1 M 1 E = ka = ka 1 M + = M A A 1 M + Mayor es, y enor es A. Tabién cabia el periodo: T = π M + k Los cabios son consistentes con un cabio de inercia del sistea. b) En este secundo caso, P = 1 La energía y aplitud no cabia: E = E = ka 1 1 Pero el periodo si cabia: T = π ( M + / k 11

12 5.5 Ejeplos de diferentes MAS Masa vertical Al equilibrio: k l = g Sea x = la posición del equilibrio en dirección x > arriba, la distancia por encia del equilibrio = extensión = l x y la fuerza neta: F = k( l x) + ( g) = kx neta Cuando la asa es debajo de la posición de equilibrio, Fneta =+ kx asa oscila con MAS ω = k Miso se pasa cuando un peso se coloca sobre un resorte copresible. Ej. 5.5 Un coche viejo con aortiguadores gastados Cuando sube una persona de 98N coche baja de.8c F 98N k = = = x.8 4 N Cuando el coche golpea bache, coienza a oscilar coo MAS Masa de la persona: w 98N = = 1kg, Masa total: 1kg 1kg 11kg g = s M Periodo de oscilación: T = π = 1.11s k 1

13 Masa angular: reloj ecánico Moento de inercia I alrededor de su eje e equivalente a la asa en la segunda ley de Newton. Moento de torsión de restitución τ proporcional al desplazaiento, es equivalente a la fuerza. τ = κθ, donde κ es la constante de tensión. La segunda ley de Newton: d θ d θ d θ κ τ = Iα = I κθ = I = θ dt dt dt I Fora es idéntica a la ecuación (5.4): x θ y k κ = I (5.) κ ω = y I f 1 = π κ I Ecuación del oviiento MAS: θ =Θ cos( ωt + φ) Donde Θ es la aplitud angular. 13

14 Vibraciones de oléculas: Consideraos átoos separados por unos cuantos diáetros atóicos. Tiene una fuerza de atracción y cuando se acerca una fuerza de repulsión. Entre los líites hay una distancia de equilibrio en la que los átoos foran una olécula. Un ligero desplazaiento de los átoos hace vibrar la olécula. La fuerza es descrita con interacción de van der Waals. Toeos el centro de un átoo con origen y colocaos el otro a una distancia r. La distancia al equilibrio es r = R. (5.1) 1 6 R R U = U r r Donde U cte U = = > y [ ] J A grande separación, U = y a r = R U = U La fuerza: (5.) du 1R 6R U R R F = = U = dr r r R r r Consideraos un desplazaiento al equilibrio: x= r R r = R + x (5.3) F 13 7 U R R U 1 1 R R x R x R x x R R = 1 = Si consideraos solaente pequeña aplitud x 1 MAS R 14

15 Según el teorea del binoio: ( ) ( ) ( ) n n n 1 n n 1( n ) 1 1! 3! 3 + u = + nu+ u + u x x = 1 1 ( 13) x R R 1+ R 7 1 x x = 1 1 ( 7) x R R 1+ R Donde guardaos solaente los dos prieros térinos U x x U F 1 1+ ( 13) 1+ ( 7) = 7 R R R R x Esto es siilar a la ley de Hook para un resorte con k = 7 U R Modelo de átoos es coo asas ligados por un resorte horizontal. Ej. 5.6 Molécula de Argón U 1 =, y R = J U J N Para pequeña oscilaciones: k = 7 =.89 =.89 R Ésta es coparable a la constante de fuerza de los resortes de los juguetes poco rígidos. -7 kg 6 De la tabla periódica: Ar = u = kg u k f = = 1 11 π Hz En realidad, abos átoos deben oscilar: 11 f f Hz Esta frecuencia es la isa que cuando se usa la MQ. 15

16 5.5 Péndulo siple La fuerza restaurador es la coponente tangencial: (5.4) F = g sen θ El oviiento no es MAS Sin ebargo, si senθ es pequeño, podeos usar senθ θ. Por ejeplo, para θ =.1rad senθ.998 una diferencia de.%. Para pequeña aplitud: x g F = gθ = g = x= kx L L g g ω =, 1 f = y π T = π L L L g Nota que no aparece la asa. Esto es porque la asa aparece en abos lado de F = a y se cancela. Es el iso principio físico que hace que dos cuerpos de diferentes asas caen con la isa aceleración. Cuando la aplitud de la oscilación no es pequeña puede deostrarse que la ecuación general del periodo es: (5.5) T g L 1 θax 1 3 4θax = π 1+ sen + sen + 4 Para θ ax = 15 el periodo es ás largo en enos de.5%. 16

17 La grande utilidad del péndulo es que el periodo no depende de la aplitud. Así en un reloj, si el péndulo pierde su ipulso (enor aplitud) esto no afecta el periodo. El péndulo perite edir variación del capo de gravitación (g) con grande precisión. Este principio es usado en geofísica para poder encontrar depósitos de ineros y petróleo. 5.6 Péndulo físico Péndulo con cuerpo real de taaño finito. Moento de torsión: (5.6) τ = gdsenθ Donde d, es la distancia al pívot del centro de asa. Para pequeña oscilación: τ = gdθ La ecuación del oviiento: d θ d θ gd τ = I α gd θ = I = θ dt dt I (5.7) ω = gd I (5.8) T = π I gd La ecuación 5.8 es a la base de un étodo para edir el oento de inercia de cuerpo de fora copleja: 1. Localice el centro de asa por balanceo;. Suspende el cuerpo de odo que oscile libreente alrededor del eje (d); 3. Mide el periodo T Este étodo se usa en bioecánica para calcular oentos de inercia de iebros de aniales. 17

18 Ej. 5.7 Péndulo físico vs siple Una varilla unifora de asa M y longitud L que pivota en un extreo. Moento de inercia: 1 I = ML Distancia al pívot del centro de gravedad: d = L ML T = π = π MgL 3 L g El periodo es enor por un factor 3 que el periodo de un péndulo siple. Ej. 5.8 Modelo de cainar de los aniales Supongaos que el paso natural de cainar es igual al periodo de la pierna. Asuios que la pierna es siilar a una varilla unifore de longitud L con pívot en la cadera. T = π L 3g Coo cada paso corresponde a pasos, el rito de cainar es igual a f. Los aniales con patas enores cainan a un rito ás rápido que los aniales con piernas largas. Consideraos Tiranosaurus Rex: con L = 3.1 y una distancia de zancada S = 4. T L = π =.9s y la rapidez 3g S k v = = 1.4 = 5 T s h Más o enos la rapidez de caino de una persona. Para obtener un odelo ás real debeos toar en cuenta que las patas de los aniales son ahusadas: hay ás asa entre la cadena y rodilla. El centro de asa no esta a una distancia d > L, pero talvez L 4. El oento de inercia tan poco es real. Deberé ser ás pequeño, talvez ML 15 4L T = π = π = 1.5s MgL 4 15g 4. k La velocidad es por tanto ás grande: v = =.7 = s s h ML 15 18

19 5.7 Oscilaciones aortiguadas En los sisteas reales siepre hay una fuerza disipativa. En este caso, E cte y la aplitud disinuye con el tiepo; aortiguación Las oscilaciones son aortiguadas. Consideraos un oscilador arónico con una fuerza de fricción proporcional a la velocidad (Ej. Aortiguadores con flujo de fluidos viscosos). (5.9) Ff fuerza = bv donde dx v = y b es una constante que depende en la intensidad de la dt F = kx bv kx bv = a (5.3) dx d x kx b dt = dt o dx + bdx + k x = dt dt La ecuación 5.3 es una ecuación diferencial de segundo orden. La solución es: b t (5.31) x= Ae cos ( ω' t + φ) Verificaos que 5.31 es solución de 5.3 a la condición que: (5.3) k b ω ' = 4 Donde ω ' es la frecuencia natural del sistea. 19

20 La aplitud de la oscilación disinuye con el tiepo. Mayor es b, ás rápidaente disinuye la aplitud. Para ω ' =, b= k. Esto es la condición de aortiguación crítica. El sistea regresa al equilibrio sin oscilar. Para b> k, tapoco a oscilación, el sistea esta sobreaortiguado y vuelva al equilibrio ás lentaente que en el caso de aortiguación crítica. La solución en este caso es: at 1 at (5.33) x= Ce 1 + Ce donde C1 y C son constante que dependen de las condiciones iniciales y a1 y a son constante que depende de, k y b. Para b < k, el sistea esta subaortiguado y oscila a la frecuencia natural ω '. En un coche, los aortiguadores son aortiguados de anera crítica o ligeraente subaortiguados. Porque E cte, la pierda de energía E = 1 v + 1 kx por unidad de tiepo: de dv dx = v + kx = va ( + kx) dt dt dt dx Por la ecuación (5.3), a+ kx= b = bv dt La potencia aortiguador por tanto es igual a: (5.34) de bv dt =

21 5.8 Oscilaciones forzadas, resonancia y caos Una fuerza ipulsora es una fuerza variable y periódica que se aplica a un oscilador aortiguado para poder antener la aplitud constante. Cuando aplicaos una fuerza ipulsora que varia con una frecuencia ω d, el sistea se ete a oscilar a la isa frecuencia. Esto es una oscilación forzada. Cuando ωd ω ', la aplitud auenta. Consideraos una fuerza F( t) F ( ω t) =. ax cos Puede ostrarse (usando ecuaciones diferenciales) que la aplitud varia coo: d (5.35) A = F ax ( ωd) ωd k + b Si k ω d =, la aplitud es áxia y lejos de ω d = k, la aplitud es proporcional a 1 b. Para Fax ω d =, A = k El fenóeno físico que hace que hay un pico de aplitud áxia cuando la frecuencia ipulsora es cerca de la frecuencia natural se llaa: resonancia El fenóeno de resonancia es uy frecuente en la naturaleza. Ej. Una vibración a partir de una cierta rapidez en un coche; el ruido de altavoz cuando la nota es cerca de la frecuencia natural de la caja; un circuito sintonizador de radio y televisión. 1

22 Oscilaciones caóticas Un péndulo es forado por una asa unida a una varilla ligera de longitud L libre para F t = F ω t que hace oscilar la varilla a la girar. Aplicaos una fuerza ipulsora ( ) ax cos d g frecuencia ω d = y T L d π =. ω Si F ax auenta, A, auenta; d Si F ax no es grande, péndulo oscila a frecuencia ω d ; Cuando Fax g, teneos una duplicación del periodo T = T d ; Cuando Fax 1.5g la asa describe un circulo copleto; Para Fax > 1.5g, T = 4T d ; Para Fax g, T el oviiento parece aleatorio. El oviiento es caótico y el coportaiento es el caos. Muchos sisteas físicos pueden exhibir un coportaiento caótico: Ej. El agua que gota de un grito; Un flujo turbulento de fluido; Una asa que rebota sobre un pistón oscilando verticalente.

23 Probleas 3

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