4 E.M. Curso: Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: Unidad de Aprendizaje: Probabilidad. Habilidad: Valores/ Actitudes:

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1 Curso: Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: Probabilidad Habilidad: Racionamiento Matemático/ Comprensión, Aplicación/ A.S.E. 4 E.M. 7 Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Escuchar con atención, Trabajo en equipo, Cumplimiento Aprendizajes Esperados: - Identificar funciones. - Calcular imágenes de funciones, cálculo de funciones inversas, - Traslados de gráficos de funciones. -Componer funciones -Analizan gráficos, para definir dominio y recorridos, o tipos de funciones Recursos TICs: Presentación de la unidad a través de POWERPOINT Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clases Tiempo: 3 bloques Profesor Responsable: Miguel Fernández R Contenidos: FUNCIONES (Parte 1) Nombre: 1

2 FUNCIONES Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: f: A B; f(x) = y x y , , Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es pre-imagen de f(x) = y. Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom( f ). Codominio: Es el conjunto de llegada (conjunto B) y se denota Cod( f ) Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se denota Rec (f ). OBSERVACIÓN: y se denomina variable dependiente a y y variable independiente a x. EJEMPLOS 1. Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo ]a, b[? A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguno de ellos 2. Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo ]a, b[? 2

3 3. Si f(x) es la función representada en el gráfico de la figura, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La pre-imagen de 0 es 2. II) Dom f = [-6, 6] III) Rec f = ]-2, 2] A) Solo II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas 2x 1 4. Si se define fx (), entonces el 2x 1 dominio de la función es A) lr B) lr { - 1/ 2} C) lr {-1/ 2, 1/ 2 } D) lr { 1/ 2} E) lr {-1, 1] EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Para encontrar las imágenes de una función, se reemplaza la variable independiente en la fórmula que define la función, por el número o expresión que corresponda, colocándola entre paréntesis. Algunos Tipos de Funciones Función Continua: Geométricamente es aquella que no presenta cortes en su gráfica. Si la función no es continua, se llama discontinua. Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor. EJEMPLOS 5. Sea f: lr lr, una función definida por f(x) = 2x 1. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(0) = -1 II) f(2) = 3 III) f(a + 1) = 2a + 1 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 3

4 6. Si f(x) = x 2, entonces f(x + 1) es A) 1 B) -1 C) (x + 1) 2 D) (x 1) 2 E) x Sea A) -17/ 10 B) -13/ 10 C) 13/ 10 D) 15/ 10 E) 17/ 10 2x 1 fx () 3x 5, entonces f(0) f(1) es 8. En la función f(x) = 2x + a, el valor de f(2) es 5, entonces f(3) es A) -7 B) -2 C) 1 D) 7 E) no se puede determinar. 9. El valor de f(1) en la función f(x + 2) = x es A) 0 B) 2 C) 9 D) 28 E) ninguna de las anteriores. 10. Con respecto al gráfico de la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) h(x) es decreciente. II) p(x) es creciente. III) q(x) es constante. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 4

5 MODELOS LINEALES Se denomina Función Afín a la función definida por f(x) = mx + n, con m y n números reales distintos de cero. Se denomina Función Lineal a la función definida por f(x) = mx, con m número real distinto de cero. Se denomina Función Constante a la función de la forma f(x) = c, con c un número real OBSERVACIÓN: La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades: Para todo a y b pertenecientes al Dom(f) se cumple que f(a + b) = f(a) + f(b) Para todo a perteneciente al Dom(f ) y k lr se cumple que f(k a) = k f(a) EJEMPLOS 11. Cuál es la ecuación de la función afín representada en el gráfico de la figura 1? A) f( x) 5x 3 3 B) f( x) x C) f( x) x D) f( x) x E) f( x) x Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función afín? A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III 5

6 13. La ecuación y a = 0, representa una función constante, cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) Su dominio es el conjunto de los números reales. II) Su recorrido es {a}. III) Su representación gráfica es una recta paralela al eje de las ordenadas. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 14. Cuál de las siguientes funciones cumple que f(a + b) = f(a) + f(b)? A) f(x) = x 2 B) f(x) = 3x 1 C) f(x) = 3x D) f(x) = x 3 E) f( x) x 2 APLICACIONES LINEALES En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación. Fórmula para encontrar la ecuación de la recta ( x x1) m y y1 EJEMPLOS 15. El costo fijo de un fabricante es $ y su costo variable es de $ por unidad. Si el fabricante produce A unidades, entonces el costo total (costo fijo más costo variable) es A) B = 1.250A B) B = A C) B = (A )/ D) B = A/ 120 E) B = 1250A El número de abejas en una colmena al cabo de w semanas es H(w) = w para valores de w de 0 a 8, tiempo en que las abejas se multiplican. Si al cabo de w semanas hay abejas, entonces w es igual a A) 3 semanas B) 3,5 semanas C) 4 semanas D) 4,5 semanas E) 5 semanas 6

7 17. Una agencia de viajes advirtió que cuando el precio de un recorrido turístico es US $6, el número promedio de boletos que se venden por viaje es 30, y cuando es US $10, el número de boletos vendidos es únicamente 18. Si la ecuación de demanda es un modelo lineal, el gráfico que representa mejor esta situación es 18. El agua se congela a 32 ºF o 0 ºC y hierve a 212 ºF o 100 ºC. Entonces, ºF expresado como función lineal de ºC es A) ºF = 9/ 5 ºC 32º B) ºF = 9/ 5 ºC + 32º C) ºF = 5/9 ºC + 32º D) ºF = 5/ 9 ºC 32º E) ninguna de las expresiones anteriores. 19. Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la situación anterior? A) B) C) D) E) 20. En la cuenta de energía eléctrica se consigna un cargo fijo de $ 641. Sabiendo que el modelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y que el valor del kwh es de $118 cuál es la función lineal que permite calcular el costo G de x kwh? A) G = 641x B) G = x C) G = x D) G = 118x E) G = x 7

8 21. Si por cada 12 kilómetros recorridos un automóvil consume 1 litro de bencina, cuál es la función lineal que permite calcular el consumo C de bencina en función de la cantidad de kilómetros x recorridos? A) C = 12x B) C = x/ 12 C) C = x + 12 D) C = x 12 E) C = 12/x 22. En una cuenta del agua potable se consigna un cargo fijo de $ 900. Sabiendo que el modelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y que por un consumo de 15 m 3 se facturó el mes pasado $ 6.000, cuál es la función lineal que permite calcular el costo G de x m 3 de agua? A) G = x/ 15 B) G = x C) G = x D) G = ( )x /15 E) G = 900 ( ) x/ Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la situación anterior? 24. Un plan telefónico mensual permite hablar hasta 6 horas pagando una cuota de $ Todo minuto extra tiene un costo de $ a. Si x es el tiempo de llamadas en minutos, cuál es la función que representa el costo mensual C para valores de x superiores al tiempo pactado? A) C = ax B) C = ax C) C = a(x 360) D) C = a(x 360) E) C = a(x + 360)

9 25. Para estucar un edificio, los albañiles hacen el siguiente detalle de gastos: a) La mano de obra vale $ la hora. b) La mezcla (cemento, arena y agua) vale $ 3200 la hora, y necesita 15 minutos por hora. c) El uso de equipos es un costo fijo de $ La ecuación para determinar el gasto (C) del trabajo en un cierto tiempo h, expresado en horas, es A) C(h) = 6.700h B) C(h) = h C) C(h) = 1.675h D) C(h) = 8.700h E) C(h) = 4300 h Cuál de los siguientes gráficos representa la función f(x) = x, si x 2 y f(x) =-2, si x > La tabla muestra una función lineal entre x e y que está representada por A) y = x + 3 B) y = 3x 3 C) y = 3x 1 D) y = 2x + 1 E) y = 3x x y En el conjunto de los números reales, el dominio de la función real g dada por x gx () 2 x 1 es A) {x lr / x 1} B) {x lr / x -1 y x 1} C) lr {1} D) lr E) lr {-1} 9

10 29. El gráfico de la función y = f(x), donde x es la longitud del lado de un cuadrado y f(x) la medida de una de sus diagonales, es 30. En un cuadrado de área A, la medida de la diagonal es d. Qué fórmula relaciona A con d? A) A = a 2 B) A = d 2 C) A = d 2 /2 D) A = 2d 2 E) A = 2d 31. En una secuencia se tiene que f(1) = 4 y f(n + 1) = 2 f(n) 1. Cuál es el valor de f(3)? A) 13 B) 10 C) 8 D) 7 E) Una función es simétrica con respecto al origen si se cumple que f(x) = -f(-x) para cualquier x del dominio. Cuál de las siguientes funciones es simétrica con respecto al origen de coordenadas? A) f(x) = x 3 B) f(x) = 2x + 1 C)f(x) = x 2 D) f(x) = x 4 E) f(x) = 2 x 2 10

11 33. Un computador comprado hoy en $9300 disminuye su valor linealmente a lo largo del tiempo transcurrido a partir de su compra. Si al cabo de 3 años de uso su precio será de $8100. a) Hallar la fórmula que expresa el precio (p) en función del tiempo (t). b) A cuánto podrá venderlo luego de 4 años de uso? 34. Un vino fino comprado hoy en $8.700 aumenta su valor linealmente a lo largo del tiempo transcurrido a partir de su compra. Si al cabo de 3 años de uso su precio será de $ a) Hallar la fórmula que expresa el precio (p) en función del tiempo (t). b) A cuánto podrá venderlo luego de 10 años de haberlo comprado? 35 Una empresa de fletes cobró $863 por un viaje de 27 km y por otro de 24 km cobró $770. Hallar la función lineal que expresa el precio del viaje en función de los km recorridos. Indicar el gasto fijo por viaje y el adicional por km recorrido. EJERCICIOS 36. Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función definida en el intervalo ]a, b[? A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 37. La figura, muestra el gráfico de una función y = f(x), definida en los reales. Cuál es el valor de f 3 f 6 f 6 f 0? A) -3 B) 18 C) 6 D) 0 E) Si f(x) = 3x- 1, cuál es el valor de f(-1)? A) -4 B) -2 C) 2 D) 3 E) 4 11

12 39. Si f(x) = x 2 1, cuál de las siguientes relaciones es FALSA? A) f(-1) = f(1) B) f(1) < f(3) C) f(-2) > f(1) D) f(0) < 0 E) f(0) > f(-1) 40. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, cuál de las siguientes alternativas es FALSA? A) f(-2) = -f(2) B) f(0) = f(0,5) C) f(1) > f(3) D) f es creciente en el intervalo [-2, 3]. E) f es decreciente en el intervalo [2, 3]. 41. En el gráfico de la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(-1) = f(2) II) f(3) = 0 III) f(-2) f(0) = 2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 42. Dada la función f(x)= 2x 2 x, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(1) = 1 II) f(2) = f(0) III) f(-2) = f(0) 2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 12

13 43. De acuerdo al gráfico de la función h(x) de la figura, se puede afirmar que: I) La función es estrictamente creciente en [-2, 4]. II) Dom h = [-2, 4] III) Rec h = [-2, 3] A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 44. De acuerdo a los siguientes gráficos, cuál de las opciones siguientes es FALSA? A) L es una función creciente. B) N es una función constante. C) M es una función decreciente. D) I, II y III son funciones continuas. E) P es una función constante. 45. Un plan telefónico cobra un cargo fijo de $ más $ 100 por minuto hablado, cuál de las siguientes funciones modela el cobro en pesos por un gasto de t minutos con dicho plan? A) f(t) = 2.100t B) f(t) = 2.100t C) f(t) = 100t D) f(t) = 1.900t E) f(t) = t 46. Si f(x) = 3x 8, y g(x) = x 2 2, entonces (f o g)(2) es A) 2 B) -2 C) 10 D) 14 E) 1/ Si f(x) = x 2 1 y g(x) = 2x + 1, entonces (f o g)(x) = A) 4x 2 + 4x B) 4x 2 4x C) 2x 2 1 D) 4x 2 E) 2x 13

14 48. La función y = f(x), cumple la siguiente propiedad: a valores distintos de x le corresponde valores distintos de y. Cuál es la gráfica que representa a dicha función 49. El gráfico de la función y = f(x), donde x es el lado de un cuadrado y f(x) es el área, está representado en 50. Sea f(x) = x + 2, entonces la gráfica de la función g que es simétrica a f(x) con respecto al eje y es 14

15 51. Un aerogenerador comienza a funcionar cuando la velocidad del viento es 4 m/s, generando una potencia p(v) que aumenta a través de un modelo lineal, hasta alcanzar su potencia máxima de 850 kw a una velocidad del viento de 12 m/s. El generador mantiene dicha potencia hasta que el viento logra una velocidad de 25 m/s, donde se detiene en forma instantánea por motivos de seguridad. Cuál de los siguientes gráficos representa de mejor manera la situación descrita? 52. Si f(x) = mx + n es una función afín, se puede determinar el punto de intersección de la gráfica de f(x) y el eje de las abscisas, si: (1) f(0) = 2 (2) f(1) = 0 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adiciona 53. Sea f(x) = ax 3, se puede determinar el valor de a, si: (1) f(a) = 16 (2) f(2) = 16 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 15

16 54. En una cuenta de agua potable se consigna un cargo fijo de $ 900. Sabiendo que el modelo de cálculo es lineal, se puede determinar cuánto paga una persona que consume 200 m 3, si: (1) Una persona que consume 100 m 3 de agua paga $ (2) Una persona que no consume agua paga $ 900. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 55. Sea f(x) = n a x, con a >0. Si (3, b) es un punto de la gráfica de la función f(x), se puede determinar el valor de b, si: (1) El punto (2, 9) pertenece a la gráfica de la función f(x). (2) El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función f(x). A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional TRASLACIÓN DE FUNCIONES Sea y = f(x) una función. La función y = f(x) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (fig. 1 y 2). La función y = f(x h) es la función f trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (fig. 3 y fig. 4). La función y = f(x h) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x. Si h y k son positivos, entonces: 16

17 Ejemplo 56. En la figura 1, se tiene la gráfica de la función f(x) = 3x. Cuál es la gráfica de la función f(x) = 3x + 3? 57. La figura, muestra la gráfica de la función y = x 2. Cuál es la gráfica de la función y = x 2 +1? 58. La figura 2 muestra la gráfica de la función y x Cuál es la gráfica de y 2 x 1? 17

18 59. La figura 3, muestra la gráfica de la función y = x 3, entonces el gráfico que mejor representa a la función y = (x + 2) 3? 60. La figura 4 muestra la gráfica de la función y = x. Cuál es la gráfica de y 1 x 1? 61. La figura 4, muestra la gráfica de la función f(x), entonces el gráfico de la función g(x) = f(x + 2) + 1? 18

19 SIMETRIA DE GRÁFICA DE FUNCIONES Sea y = f(x) una función. La función y = - f(x) es simétrica a la función f(x) respecto al eje x. (fig. 1). La función y = f(-x) es simétrica la función f(x) respecto al eje y. (fig. 2). 62. En la figura 2, tenemos representadas gráficamente dos funciones, al lado izquierdo la función f(x)= 1/x y al lado derecho la función g(x), la cual se puede obtener realizando una reflexión de f(x) con respecto del eje x o del eje y. Cuál(es) de las siguientes funciones tienen como gráfico g(x)? I) g(x) =f(-x) II) g(x) = f(x) III) g(x)= f(-x) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III FUNCIONES PARES Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan valores iguales. f(x) = f(-x) FUNCIONES IMPARES Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan valores opuestos. f(x) = -f(-x) OBSERVACIÓN: Las funciones pares tienen una gráfica que es simétrica respecto al eje de las ordenadas, mientras que las funciones impares tiene gráficas simétricas con respecto del origen. EJEMPLOS 63. Cuál de las siguientes funciones es impar? A) f(x) = x B) f(x) = x 3 + x C) f(x) = 3 + 2x 3 D) f(x) = 3x + 5 E) f(x) = x 2 +3x 4 19

20 64. Cuál de los siguientes gráficos representa una función par? 65. Una función es simétrica con respecto al eje OY (eje de las ordenadas) o par, si se cumple que f(x) = f(-x), para cualquier x del dominio. Cuál de las siguientes funciones es par? A) f(x) = x 2 4 B) f(x) = x 2 + 2x + 1 C) f(x) = x D) f(x) = 2x E) f(x) = x/ 2 COMPOSICION DE FUNCIONES La función compuesta de funciones f(x) y g(x) está definida por (f o g) (x) = f(g(x)) El Dominio de (f o g) (x) es el conjunto de toda x en el Dominio de g tal que g(x) está en el Dominio de f Propiedades de la Composición de Funciones Es asociativa: h o (g o f) = (h o g) o f No es conmutativa: (f o g) (g o f) x 3 Ejemplo Dada las funciones f( x) 3x 2 y g( x) 2x 1 Expresar las siguientes composiciones de funciones ( gof )(x), (f og )(x) 3x 2 3 3x 5 ( gof)(x) g(f(x)) g(3 x 2) 2(3 x 2) 1 6x 5 x 3 x 3 7x 11 (f og)(x) f(g(x)) f 3 2 2x 1 2x 1 2x 1 Expresar 66. ( f of)( x ) 67.( gog)( x) 20

21 68. Sea f(x) = 2x + 1 y g(x) = x 3, entonces (f o g)(1) = A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Si f(x) = 5 y g(x) = x 2, entonces (f o g)(x) es igual a A) 5 B) 25 C) -5 D) x 2 E) 5x Si f(x) = 3 x y g(x) = x 3, entonces f(g(x)) es A) x B) 3x C) 3 x D) x 3 E) Si f(x) = x 1 y g(x) = x 1, entonces f(g(x)) = A) x B) 2x C) 2x + 1 D) x E) x Sea f(x) = 5x + 2 y g(x) = 6x 1 si (f o g)(x) = 0, entonces x es A) 3 B) 1/10 C) 1/11 D) 11/30 E) Si f(x)= x y g(x) = x, entonces el dominio de (f o g)(x) es A) lr B) lr+ C) [0, +[ D) ]-, 0] E) IR 21

22 Ejercicios de problemas de Insuficiencia de datos 74. La función para calcular aproximadamente el área, en metros cuadrados, de la superficie corporal de una persona está dada por S(p) = 11 px/ 100, donde p es la masa de una persona en kilogramos y x una constante. La superficie corporal de una persona se puede calcular si: (1) x = 2/3 y la persona pesa 65 kg. (2) La estatura de la persona es 1,75 m. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 75. La inmobiliaria Pizarro y Pizarro tiene una ganancia G (en millones de pesos) que puede calcularse en función del tiempo t (en meses) mediante una función. Se puede determinar el tiempo que lleva funcionando la inmobiliaria si : (1) La ganancia total fue de 20 millones. (2) La función es G(t) = 40 2t. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 76. Se definen f(x) = 2x 2 y g(x) = -x + 3. Si g(a) = b, se puede determinar el valor numérico de f(b) si : (1) Se conoce a. (2) Se conoce b. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 77. El gráfico de la figura 9, corresponde a una función lineal. Se puede determinar la función de la forma f(x) = mx + n si : (1) Se conoce el área del ΔAOB. (2) Se conoce el valor de B/ A A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 22

23 LA FUNCIÓN POTENCIA es una función de la forma f(x) = a x n, con n número natural mayor o igual a dos. Estas funciones se pueden clasificar en funciones de exponente par y exponente impar, las cuales las llamaremos simplemente funciones pares y funciones impares Las funciones pares gráficamente tienen el siguiente comportamiento: La gráfica c corresponde a f(x)= x 2 La gráfica f corresponde a f(x)= x 4 La gráfica g corresponde a f(x)= x 6 Solamente la función f(x)= x 2 corresponde gráficamente a una parábola, identifíquelas Observaciones: Todas pasan por los puntos (-1, 1), (0, 0) y (1, 1) Estas funciones tocan al eje x (eje de las abscisa) solamente en el punto (0, 0). En la medida que exponente par aumenta la función pierde concavidad. Si estas funciones están fuera de contexto El Domino son todos los números reales y el Recorrido son [0, + [. Se observa una simetría en torno al eje y, la que se puede expresar anotando f(x) = f( x). Si c = f(x)= x 2, f = f(x)= x 4, g= f(x)= x 6, Ordenar las funciones c, f y g en cada intervalo de la tabla ]-, -1 [ -1 ] -1, 0 [ 0 ]0, 1 [ 1 ]1, + [ Las funciones impares gráficamente tienen el siguiente comportamiento: La gráfica f corresponde a f(x)= x 3 La gráfica g corresponde a g(x)= x 5 La gráfica h corresponde a h(x)= x 11 Observaciones: Todas pasan por los puntos (-1, -1) y (1, 1) 23

24 Estas funciones tocan al eje x (eje de las abscisa) solamente en el punto (0, 0). Si estas funciones están fuera de contexto El Domino y Recorrido son todos los números reales. Se observa una simetría central en torno al origen, la que se puede expresar anotando f(x) = -f( x). Si f = f(x)= x 3, g= f(x)= x 5, h= f(x)= x 11 identifíquelas Ordenar las funciones c, f, g y h en cada intervalo de la tabla ]-, -1 [ -1 ] -1, 0 [ 0 ]0, 1 [ 1 ]1, + [ 78. Dadas las funciones I. En,0 f(x) g(x) II. En 1 f(x) g(x) 3 2 f(x) x y g(x) 2x siempre se cumple que: III. En 2, f(x) g(x) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) Todas Identifique cada función, si todas son de la forma f(x) = a x g(x)= 80. h(x)= 24

25 Identifique cada función, si todas son de la forma F(x) = a x f(x) = 82. g(x)= 83. h(x)= f(x) h(x) g(x) 84. Con respecto a las funciones f(x) = x, g(x) = x 2 y h(x) = x 3, es correcto afirmar que I) h(x) g(x) f(x), para todo x en los lr. II) f(x) g(x) h(x), para todo x 0. III) f(x) g(x) h(x), para todo x 1. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Ninguna de ellas FUNCIÓN INYECTIVAS. Una función f con dominio A se llama Inyectiva si no existen dos elementos de A con una misma imagen; es decir f( x1) f( x2) x1 x2 Otra forma de expresarlo es: F es uno a uno si f( x1) f( x2) x1 x2 La última frase de la definición anterior significa que: Gráficamente una función es Inyectiva (o uno a uno) si y solo si ninguna recta horizontal corta a su gráfica más de una vez. 25

26 Ejemplo 2 f : IR IR, f( x) x es una función NO Inyectiva porque habría por lo menos 2 valores de x que tienen la misma imagen, f(-2) = 4 y f(2) = 4 Todas las funciones Lineales son Inyectivas La función y=x 3 Es Inyectiva OBS. Para que una función cuadrática sea función Inyectiva se debe restringir el dominio y codominio, el mayor dominio se logra a partir de vértice, puede ser ]-, h] o también [h, +[ FUNCIÓN SOBREYECTIVAS Una función se dice Sobreyectiva si el Recorrido de la función es igual al codominio. 2 Si en la función f( x) ( x 2) 1 se considera como Dominio a todos los números reales( IR ) y como Codominio a [1, +[ la función sería una función Sobreyectiva. 26

27 FUNCIÓN BIYECTIVA Una función se dice biyectiva si es Inyectiva y Sobreyectiva simultáneamente Vista en un diagrama de Venn sería La función definida por 2 f( x) ( x 2) 1 se define como una función biyectiva si: El dominio es [2, +[ y el codominio como [ 1, +[ Ésta es una de las múltiples restricciones que podemos hacer al dominio y al recorrido para que una función sea biyectiva. Otra podría ser: Dom (f)= [3, 4] y Cod (f)= [2, 5] FUNCION INVERSA Una función admite inversa solamente si ésta función es Biyectiva ( no todas las funciones tienen inversa) Visto gráficamente es La función inversa de f biyectiva definida de A en B es otra función denotada dominio B y codominio y recorrido A definida por la siguiente regla: 1 f( x) y f ( y) x 1 f que tiene Consideremos la función f(x) = 3x + 5, con dominio {1, 2, 3 } y cod. = {8, 11, 14} 27

28 Cómo se obtiene la fórmula de la función 1 f? Como la función es biyectiva admite inversa y su acción es f(x) = 3x + 5 1º de f(x) = 3x + 5 reemplazamos f(x) por y, quedando y = 3x + 5 y 5 2º de la expresión y = 3x + 5 despejamos x, quedando x 3 1 3º Esta nueva expresión representa a la fórmula de f quedando como f x () x º Finalmente se tiene que la función inversa será Comprobar la fórmula para los valores 8, 11, f 1 (8) 1 f : B A, f x () x f 1 (11) 87. f 1 (14) Ejercicios 88. Sabiendo que f es biyectiva, obtener la inversa de la función f(x) = -4x Sabiendo que f es biyectiva, encontrar la función inversa de g(x) = x De las funciones anteriores encontrar fof 1 () x y gog 1 () x 91. Qué puede concluir? 28

29 Al graficar f( x) 4x 3 y su inversa 1 3 x () x se observa que ambas graficas son f 4 simétricas respecto de la recta y = x lo mismo ocurre para f(x) = x y su inversa, ambas graficas son simétricas respecto de la recta y = x Ejercicios x 92. Dada la función biyectiva fx () deducir la x 3 función inversa A) 1 x f () x B) x 3 f x () x C) 1 x 1 3 f x () x D) 1 x 1 3 f x () x E) x x f () x x A partir de la gráfica dada elija la gráfica de la función inversa 29

30 94. Dada f biyectiva de transformación 3 2 f( x) x 3. Calcular el valor de f 1 (1) A) 1 B) 2 C) -1 D) 3 E) 3 2 SOLUCIONES 1 A 21 B 41 D 61 A 81 x 3 2 E 22 D 42 A 62 D 82 2x 3 3 A 23 D 43 D 63 B 83 5x 3 4 B 24 C 44 E 64 D 84 C 5 E 25 E 45 E 65 A C 26 D 46 B 66 9x C 27 C 47 A 67 7x x 7 8 D 28 B 48 C 68 E f () x 9 A 29 E 49 B 69 A E 30 C 50 A 70 A 90 1 () 11 D 31 A 51 A 71 D D 32 A 52 B 72 B 92 C 13 B 33 P(T)= t P(4)= B 73 A 93 D 14 C 34 y =1100t A 74 A 94 B P(10)=$ A 35 P(k)=31K C 75 C 16 D 36 C 56 B 76 D 17 C 37 B 57 C 77 C 18 B 38 A 58 E 78 D 19 A 39 E 59 B 79 2x 2 20 B 40 D 60 A 80 4x 2 y 4 f ( x) x 2 fof x x 30