Cónicas y cuádricas. Álgebra con MATLAB: Práctica 4. Curso Reducción de la ecuación de una cónica

Transcripción

1 Cónicas y cuádricas Álgebra con MATLAB: Práctica 4 Curso Reducción de la ecuación de una cónica Vamos a utilizar MATLAB para pasar a forma reducida la cónica de ecuación x 2 + y 2 2xy + 2x 1 = 0. Como muchos de los cálculos que estamos aprendiendo a hacer con MATLAB, éste se puede plantear de forma numérica o simbólica. Vamos a hacerlo simbólicamente y de paso aprenderemos algunos de los comandos que se utilizan para reducir o expandir expresiones algebraicas. Como siempre, seguiremos los mismos pasos que daríamos para resolver el problema a mano. Escribimos la ecuación de la cónica de la forma ( x y ) ( ) ( x y ) + 2x 1 = 0 Creamos una variable matricial (simbólica) que contenga la matriz de los términos cuadráticos >> T=sym([1-1 ; -1 1]) T = [ 1, -1] [ -1, 1] Calculamos autovectores y autovalores de T >> [a,b]=eig(t) a = [ 1, -1] [ 1, 1] b = [ 0, 0] [ 0, 2] Los autovalores son 0 y 2; los autovectores correspondientes están en a pero vienen en columnas, y los necesitamos por filas, así que lo primero que hacemos es trasponer a 1

2 >> a=a a = [ 1, 1] [ -1, 1] y a continuación dividimos cada fila por su norma para obtener una base ortonormal de autovectores >> a(1,:)=a(1,:)/sqrt(a(1,:)*a(1,:) ) a = [ 1/2*2^(1/2), 1/2*2^(1/2)] [ -1, 1] >> a(2,:)=a(2,:)/sqrt(a(2,:)*a(2,:) ) a = [ 1/2*2^(1/2), 1/2*2^(1/2)] [ -1/2*2^(1/2), 1/2*2^(1/2)] El primer paso de la reducción (la eliminación del término en xy) consiste en cambiar a una base ortonormal de autovectores de T; es decir, aplicarle a la ecuación de la cónica un cambio de la forma ( x y ) = ( x y ) M (1) donde M es una matriz 2 2 cuyas filas forman una base ortonormal de autovectores de T, es decir, nuestra matriz a. Vamos a crear una variable simbólica que contenga la ecuación de la cónica, para hacer la sustitución por las nuevas variables. Llamaremos x e y a las variables originales x e y; X e Y a las nuevas x e y (no podemos usar el apóstrofe como parte del nombre de una variable de MATLAB). Las declaramos como simbólicas >> syms x y X Y Ahora almacenamos en una variable la ecuación de la cónica >> f=[x y]*t*[x;y]+2*x-1 f = (x-y)*x+(-x+y)*y+2*x-1 Vemos que MATLAB agrupa automáticamente los términos. Para reconocer mejor la expresión la podemos desarrollar; esto se hace con el comando expand: >> f=expand(f) f = x^2-2*x*y+y^2+2*x-1 2

3 En esta ecuación tenemos que sustituir [x y] por [X Y]*a, según la ecuación (1). Se puede hacer en un solo paso, pero la notación se complica debido a que estamos manejando variables simbólicas. Entonces vamos a cambiar primero la x y después la y. La x se obtiene como [X Y] multiplicada por la primera columna de a, que es a(:,1). Para sustituir cualquier variable en una expresión simbólica por otra variable, número o expresión simbólica se utiliza el comando subs. Así >> subs(f,x,[x Y]*a(:,1)) significa: sustituir en la expresión simbólica f la variable x por la expresión simbólica [X Y]*a(:,1). MATLAB devuelve (en la variable ans si no le hemos indicado otra, como es el caso) el resultado de hacer esta sustitución. Sobre este resultado hacemos la otra >> subs(ans,y,[x Y]*a(:,2)) Obtenemos una respuesta (de nuevo guardada en ans) que claramente necesita una simplificación. El comando que usamos para eso es simplify >> simplify(ans) ans = 2*Y^2+X*2^(1/2)-Y*2^(1/2)-1 Esta ecuación depende de las nuevas variables X e Y y no tiene término en XY. Si todavía nos resulta difícil de leer, podemos pedirle a MATLAB que nos la enseñe en un formato parecido al que nosotros usaríamos para escribirla, mediante el comando pretty >> pretty(ans) 2 1/2 1/2 2 Y + X 2 - Y 2-1 No es mala idea hacer una copia de seguridad de la ecuación en este punto, por si nos equivocamos en lo que sigue >> g=ans g = 2*Y^2+X*2^(1/2)-Y*2^(1/2)-1 A continuación completaremos los cuadrados (en este caso, un solo cuadrado) para eliminar términos lineales. Vamos a llamar de nuevo x e y a las variables de la ecuación reducida, en vez de x e y que no están permitidas como nombres de variables. En un caso general al llegar a este punto tendríamos una ecuación de la forma ax 2 + by 2 + cx + dy + f = 0. Para eliminar los términos en 3

4 X y en Y, completando cuadrados, haríamos los cambios de variable x = X + c/2a, y = Y + d/2b (comprobadlo). En este caso sólo tenemos cuadrado en Y. Con la notación de arriba, d = 2 y b = 2. Tenemos que hacer el cambio de variable y=y 2/4, es decir, en la ecuación hay que sustituir Y por y+ 2/4. >> subs(ans,y,y+sqrt(2)/4) ans = 2*(y+1/4*2^(1/2))^2+X*2^(1/2)-(y+1/4*2^(1/2))*2^(1/2)-1 >> simplify(ans) ans = 2*y^2-5/4+X*2^(1/2) >> pretty(ans) 2 1/2 2 y - 5/4 + X 2 En el caso general ya habríamos acabado, al reducir los términos en X e Y. Pero en este caso, como se trata de una parábola, no podemos reducir el término en X y a cambio podemos absorber el término independiente. Claramente eso se consigue definiendo la variable x=x 5/(4 2), es decir, sustituyendo X por x+5/(4 2) >> subs(ans,x,x+5/(4*sqrt(2))) ans = 2*y^2-5/4+(x+5/8*2^(1/2))*2^(1/2) >> simplify(ans) ans = 2*y^2+2^(1/2)*x >> pretty(ans) 2 1/2 2 y + 2 x que es la ecuación reducida buscada (igualada a cero, claro está). Ejercicio Si m y n son respectivamente la cifra de las decenas y la de las unidades del número de tu D. N. I., selecciona los términos cuadráticos (la primera mitad de la ecuación) del apartado (m) de los que siguen, y completa la ecuación con la segunda mitad que aparece en el apartado (n). Calcula la forma reducida de la ecuación resultante usando MATLAB, de forma simbólica, siguiendo el método indicado en esta práctica. 4

5 (0) 5x 2 + 5y 2 6xy 4x 4y 4 = 0 (1) 2x 2 4xy y 2 + 5x 7y 3 = 0 (2) x 2 + 2xy + y 2 6x + 2y + 4 = 0 (3) 5x 2 + 5y 2 + 2xy 6x = 0 (4) x 2 + y 2 xy 2x + 4 = 0 (5) x 2 + y xy 6x 6y + 2 = 0 (6) 6y 2 + 8xy 8x + 4y 8 = 0 (7) x 2 + 4y 2 4xy + 4y + 1 = 0 (8) x 2 + 4y 2 + 4xy 4x + 2y + 10 = 0 (9) 2xy + 4x 1 = 0 Gráficas sencillas en MATLAB Vamos a aprender a hacer gráficas 2D y 3D en MATLAB, aunque sólo veremos una parte de los comandos disponibles. Los que queráis ampliar conocimientos sobre las considerables capacidades gráficas de MATLAB, o producir una gráfica concreta que plantee más problemas de los que aprenderemos a solucionar aquí, podéis consultar la bibliografía, la ayuda del programa, o cualquiera de los numerosísimos tutoriales que hay disponibles en Internet. Curvas en el plano La forma más artesanal de generar gráficas 2D en MATLAB es usando el comando plot. Vamos a representar, por ejemplo, la función f(x) = sen x cos 2 x en el intervalo [ 5, 5]. Primero tenemos que crear dos variables vectoriales: una, que llamaremos por ejemplo x, y que almacenará los valores de x [ 5, 5] en los que evaluaremos la función f, y otra, que podemos llamar y, en el que se almacenarán las evaluaciones de f en esos puntos. En definitiva, se trata simplemente de crear una tabla de valores. Habitualmente los valores de x se escogen equiespaciados entre los dos extremos del intervalo. Como sabemos, si tecleamos >> x=-5:0.5:5; la variable x almacenará valores entre 5 y 5, cada uno a una distancia 0 5 del siguiente. Evaluamos la función en esos puntos: 5

6 >> y=sin(x)-cos(x).^2; Notar que cos(x) es una matriz fila y queremos elevarla al cuadrado en el único sentido posible, es decir, elemento a elemento; de ahí que antepongamos un punto al carácter ^. Ahora sólo queda pedirle al programa que represente los puntos (x,y) en un sistema de ejes coordenados. Esto se hace simplemente escribiendo >> plot(x,y) Vemos que se abre una ventana gráfica con la representación de la función. La gráfica no es muy satisfactoria: es una línea poligonal. Lo que hace el comando plot es pintar los puntos (x,y) que hemos creado y unirlos con segmentos de línea recta. Para que la gráfica aparezca más suave, por lo tanto, hay que tomar los puntos de x más cercanos unos de otros. Por ejemplo >> x=-5:0.1:5; crea un array con puntos desde 5 hasta 5 espaciados 0 1 (fijaos en el Workspace). Evaluando de nuevo la función en los puntos de x >> y=sin(x)-cos(x).^2; >> plot(x,y) se crea una gráfica más suave. Esta nueva curva sustituye a la anterior en la ventana gráfica. El comando plot se utiliza preferentemente para la representación de gráficas de funciones. Ese no es el caso, como sabemos, de prácticamente ninguna curva de la familia de las cónicas. Si queremos representar la cónica x 2 + 2xy 3x + 1 = 0, podremos utilizar plot ya que la ecuación permite despejar y en función de x fácilmente, 6

7 >> x=[-5:.1:5]; >> y=(3*x-x.^2-1)./(2*x); Warning: Divide by zero. >> plot(x,y) Pero si tenemos que representar una cónica cuya ecuación tiene todos los términos, como por ejemplo 4x 2 + 3y 2 5xy + 4x + 4y 3 = 0, al despejar y en función de x, o viceversa, obtenemos expresiones más complicadas y en general, con dos valores distintos para cada coordenada una vez fijamos la otra (la curva ya no es la gráfica de una función). En realidad la forma más cómoda de representar cualquier curva que venga dada en forma implícita es utilizar el comando simbólico ezplot. En este caso escribiríamos >> ezplot( 4*x^2+3*y^2-5*x*y+4*x+4*y-3 ) 4*x^2+3*y^2-5*x*y+4*x+4*y-3 es una cadena de caracteres que MAT- LAB ha de interpretar como la expresión analítica de una función. Las cadenas de caracteres (strings) han de introducirse entre apóstrofes. Este comando pinta por defecto el trozo de gráfica contenido en el rectángulo [ 2π, 2π] [ 2π, 2π]. Si queremos indicar nosotros el recuadro del plano donde nos interesa la gráfica, lo añadimos como argumento: >> ezplot( 4*x^2+3*y^2-5*x*y+4*x+4*y-3,[ ]) dibuja los puntos de la gráfica que están contenidos en el rectángulo [ 6, 2] [ 1, 1]. El comando ezplot también se puede utilizar para representar gráficas de funciones. Por ejemplo: para dibujar la función f(x) = exp(sen(x)) 1 en el intervalo [0, 10] basta teclear 7

8 >> ezplot( exp(sin(x))-1,[0 10]) Sin embargo ezplot no reemplaza a plot en todos los casos. En ocasiones es preferible utilizar este último comando, que es menos sofisticado pero también más versátil, sobre todo cuando la función a representar no viene dada por una expresión analítica sencilla. Se puede mejorar o modificar la gráfica desde la propia ventana gráfica, sin introducir comandos desde la Command Window. Desde los menús Edit e Insert, y haciendo click sobre los elementos de la gráfica que nos interesen, se puede modificar el color de la línea, su grosor, el aspecto de los ejes, ponerle etiquetas a los ejes X e Y, darle un título a la gráfica, insertar líneas, flechas, texto... Si investigáis un poco encontraréis éstas y otras herramientas típicas de un editor gráfico sencillo. Superficies Los comando análogos a plot para dibujar superficies son mesh y surf. Recordemos que para usar plot primero hay que generar una tabla de valores, y lo mismo ocurre con estos comandos. Vamos a usarlos para representar el paraboloide hiperbólico de ecuación 4x 2 y 2 + 2z = 0. Consideramos esta superficie como la gráfica de la función de dos variables f(x, y) = z = 1 2 (y2 4x 2 ). Vamos a pintarla para valores de x en el intervalo [ 1, 1] e y en el intervalo [ 2, 2]. Es decir, el dominio de la función será [ 1, 1] [ 2, 2]. Los puntos donde vamos a evaluar la función formarán ahora una malla bidimensional, es decir, los vértices de un casillero. Primero determinamos una serie de puntos equiespaciados en [ 1, 1] y guardamos el resultado en una variable, por ejemplo rx >> rx=-1:.05:1; y después hacemos algo parecido en el intervalo [ 2, 2] >> ry=-2:.05:2; Los puntos donde vamos a evaluar la función serán aquéllos cuya primera coordenada sea una de las contenidas en rx y la segunda, una de las de ry, es decir, el producto cartesiano de estos dos conjuntos de valores. Para generar todos estos puntos MATLAB dispone del comando meshgrid. Basta escribir >> [x,y]=meshgrid(rx,ry); y se crean dos variables matriciales x e y, del mismo tamaño. Examinándolas en el Workspace veréis que x es constante por columnas, y toma como valores los puntos rx generados en el intervalo [ 1, 1]; análogamente, y es constante por filas y toma como valores los puntos de ry. Si emparejáramos las x con las y que están en la misma posición obtendríamos todos los puntos de la malla donde queremos representar la función. Por supuesto eso lo hará MATLAB por nosotros. Ahora evaluamos la función en esos puntos 8

9 >> z=.5*y.^2-4*x.^2; (se crea una variable z, del mismo tamaño que x e y, con las evaluaciones de la función, es decir, las cotas de los puntos) y representamos la superficie correspondiente a esa tabla de valores mediante >> mesh(x,y,z) Se obtiene una gráfica de la superficie en forma de retícula de líneas de colores, vista en perspectiva. El coloreado lo hace automáticamente MATLAB, de forma proporcional a la coordenada z de los distintos puntos. Si queremos que la superficie tenga un aspecto más sólido teclearemos en cambio >> surf(x,y,z) que pinta, también con distintos colores, las distintas caras de la retícula (ver página siguiente). En ambos casos funciona un algoritmo de eliminación de líneas ocultas, aunque en un primer momento no nos demos cuenta de ello: según el punto de vista, habrá zonas que en principio tendrían que estar representadas pero han de quedar ocultas tras los pliegues que pueda formar la superficie. Más importante: el punto de vista se puede cambiar fácilmente en la propia ventana gráfica, haciendo click en el botón de la flecha circular y posteriormente 9

10 arrastrando sobre la superficie hasta dar con la perspectiva que nos interese. La apariencia de la gráfica se puede cambiar en muchos sentidos, tanto desde la ventana gráfica como utilizando comandos, pero no tenemos tiempo de estudiar cómo; de todas formas, las operaciones sencillas se pueden aprender enseguida a base de ensayo y error 1. También existe un comando análogo a ezplot en superficies, que es útil cuando no queremos complicarnos generando una malla de puntos. Se trata de ezsurf. Por ejemplo, vamos a representar un trozo del hiperboloide de una hoja x 2 +4y 2 9z 2 = 1. Desgraciadamente ezsurf no acepta ecuaciones 1 Para producir esta última gráfica hemos necesitado introducir y ejecutar sucesivamente cinco o seis líneas de comando. Es común que al ejecutar una sucesión de comandos en modo directo (que es el único que conocemos hasta ahora) nos confundamos en alguno de ellos y esa confusión haga necesario ejecutar de nuevo todos los comandos anteriores. Esto se puede hacer seleccionando los comandos en la ventana de Command History, pinchando con el botón derecho del ratón en la selección y escogiendo la opción Evaluate Selection del menú local que se abre. Pero está claro que la eficacia de este método es limitada y que llegará un momento en que necesitaremos programar, es decir, empaquetar una secuencia de comandos en un ejecutable para que cada vez que lo llamemos se ejecuten todos ellos, uno tras otro. Hacer esto en MATLAB es muy sencillo pero no tenemos tiempo de explicarlo aquí. Podéis consultarlo en cualquier manual, o en la página 21 de los apuntes de MATLAB que tenéis a vuestra disposición en la página web publicas/103/pdfs/matlab.pdf 10

11 implícitas, al contrario que su versión bidimensional. Tendremos que despejar z en función de x e y, es decir, poner la superficie como la gráfica de una función de dos variables. Notar que, aunque es muy fácil despejar z en este caso, la herramienta de cálculo simbólico de MATLAB puede hacerlo por nosotros: >> z= solve( x^2+4*y^2-9*z^2-1, z ) z = 1/3*(x^2+4*y^2-1)^(1/2) -1/3*(x^2+4*y^2-1)^(1/2) La superficie es simétrica respecto al plano XY, ya que salen dos valores opuestos para cada z. Vamos a representar la parte correspondiente a las z positivas, x entre 4 y 4 e y entre 2 y 2. >> ezsurf( 1/3*(x^2+4*y^2-1)^(1/2),[ ]) La gráfica que resulta no es muy satisfactoria; al menos en las zonas de la superficie cercanas al plano horizontal, el mallado debería ser más fino. Pero eso es algo que no podemos hacer con este comando. No siempre tenemos que resignarnos a despejar una de las coordenadas en función de las otras. Si disponemos de una parametrización de la superficie, podemos utilizar ezsurf sobre ella. Una parametrización de una superficie consiste en poner todos los puntos de la misma en función de dos parámetros reales; es una generalización de las ecuaciones paramétricas de un plano. Por ejemplo, el hiperboloide de antes, de ecuación implícita x 2 + 4y 2 9z 2 = 1, se puede parametrizar así: x = cosh s cos t y = (1/2) cosh s sen t z = (1/3) senh s Comprobad que al sustituir estos valores de x, y y z en la ecuación x 2 + 4y 2 9z 2 = 1, se llega a una identidad. A medida que los parámetros s, t van tomando distintos valores reales, los puntos (x, y, z) van recorriendo la superficie. Al ejecutar la siguiente línea de comando, MATLAB representa (ver página siguiente) el trozo de superficie que corresponde a los parámetros s [ 2, 2], t [0, 2π]: >> ezsurf( cosh(s)*cos(t),.5*cosh(s)*sin(t),... (1/3)*sinh(s),[ *pi]) 11

12 12