Métodos Numéricos: los números reales y su representación

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1 Métodos Numéricos: los números reales y su representación Eduardo P. Serrano Versión previa Feb Números reales Empleamos los números reales para expresar cantidades, valores, medidas o magnitudes. El conjunto de reales R es un cuerpo ordenado y completo. En correspondencia con la recta: punto número real. Incluye a los números racionales, enteros y naturales: N Z Q R. Operaciones aritméticas básicas: suma y producto. Otras: potencias, raíces, logaritmos... Las definiciones y propiedades se expresan en trece axiomas. Extensiones: R n, C. 2. Representaciones numéricas Con qué símbolos representamos los números? Representación posicional decimal (usual), para x 0: x = ± a k 10 N k = ± ( ) 1 a k 10 k 10 N siendo N un entero y a k {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} los dígitos decimales, a 1 0. ± indica el signo: + si x>0y six<0. El cero, se representa como 0 y no lleva signo. La sucesión infinita de dígitos (a 1 a 2...a k a k+1...) es el desarrollo decimal del número. El desarrollo decimal es periódico si a partir de cierto m resulta a k+p = a k para todo k my y algún p 1. La parte del desarrollo (a m...a m+p 1 ), que se repite indefinidamente, es el período. Si m>1, la parte (a 1...a m 1 ) es la parte no periódica. El desarrollo ( ) es periódico. El período es (457) y la parte no periódica es (1432). El desarrollo ( ) es periódico. El período es (32) y es puro, no hay parte no periódica. El desarrollo decimal es exacto si el período es 0. ( ) es exacto.

2 Período 9 equivale a período cero, modificándose apropiadamente los dígitos de la parte no periódica. o sea 9 10 N k =10 N+1 k ( ) = ( ) ( ) = ( ) Estos números, exactos, admiten las dos representaciones. Los números enteros tienen desarrollo decimal exacto. La representación posicional entera, para p Z, p 0, es: N p = ± a k 10 N k con N 1. Un número es racional, r Q, sí y sólo si es el cociente de dos enteros, r = p/q, q>0, o equivalentemente, si y sólo sí su desarrollo decimal es periódico. Los números racionales, pueden representarse entonces como fracciones: r = ± p q donde p y q son enteros positivos y coprimos, si r 0. Las fracciones pueden convertirse en desarrollos periódicos y visceversa. Los números son irracionales sí y sólo si su desarrollo decimal es infinito, no periódico. No pueden expresarse como fracciones. Todo número irracional es el límite de alguna sucesión de números racionales con desarrollos exactos. Algunos números pueden representarse mediante símbolos especiales, como π, e o expresiones aritméticas simples, tales como n, n! y otras análogas. La representación posicional puede realizarse con otras bases. Para un entero positivo β>1, la correspondiente representación para x 0: x = ± a k β N k siendo N un entero y a k {0, 1,..., β 1} los dígitos en esa base, a 1 0. En particular destacamos la base β = 2, o representación binaria. 3. Operaciones ariméticas con números reales. Dos operaciones fundamentales en R: la suma y el producto. La potencia con exponente entero es la iteración el producto. Pueden realizarse exactamente con números racionales, utilizando fracciones. El resultado es racional. La suma y producto se extiende a los irracionales, como límite de operaciones racionales.

3 Otras operaciones ariméticas derivan las fundamentales y se definen, en general como operaciones inversas o mediante desarrollos en series de potencias. La exponencial compleja se define como: e x = para todo x R. Las potencias y factoriales, se reducen a finitos productos. Para 1 <x 1, el logaritmo natural se define mediante la serie: + n=0 x n n! log(1 + x) =x x2 2 + x3 xn +( 1)n+1 3 n +... Combinando las definiciones, se tiene que la potencia de exponente real, para x>0: puede reducirse al cálculo de dos series. x y = e y log(x) 4. Notación o formato. En la escritura, o en pantalla los números pueden expresarse por medio de diversos formatos o notaciones. En todos los casos, debe tenerse en cuenta que sólo pueden emplearse finitos dígitos. Si N 1, los dígitos (a 1,...,a N ) corresponden a la parte entera del desarrollo. El resto a la parte fraccionaria. Si N<1, la parte entera es cero. También en el caso particular x =0. El formato entero, empleada para los números enteros, consiste en simplemente en escribir los dígitos de la parte entera, en forma ordenada y precedido por el signo, según corresponda. La parte fraccionaria es nula y no se escribe. Generalmente, el signo + se omite. x = (3) (2) (4) (5)10 0 = 3245 x = ((5) (0) (3) (1)10 0 )= 5031 El cero se escribe x =0 En la notación o formato de punto fijo el valor de N se indica implícitamente mediante un punto o una coma, separando la parte entera de la parte fraccionaria del desarrollo. El exponente N indica la posición, respecto del punto o coma, del primer dígito no nulo a 1. Si N>0, el dígito a 1 ocupa el lugar N a la izquierda del punto. N>0 a 1...a N a N+1... x = 4(10) 1 + 3(10) 0 + 1(10) 1 + 5(10) 2... = ; (N =2) x = (3(10) 1 + 2(10) 0 + 4(10) 1 + 7(10) 2...) = (N =2) Si N 0, el dígito a 1 ocupa el lugar 1 N a la derecha del punto precedido, por N ceros. N =0 0 a 1 a 2... N<0 0 0 }...0 {{} a 1 a 2... N x = 4(10) 2 + 3(10) 3 + 1(10) 4 + 5(10) 5... = , (N = 1) Cuando corresponde, la parte periódica se indica con una barra o tilde. x = =1.431

4 En el caso de las fracciones exactas, el período se omite. x = es un decimal exacto. En el formato fracción, para números racionales se indican el signo que corresponde, el numerador y el denominador, enteros positivos = 1/4 1.6 = 4/3 El formato exponencial odepunto flotante se aplica a desarrollos finitos, con M>1dígitos, denominado mantisa. Si M x = ± a k 10 N k su representación exponencial es x = ±a 1.a 2...a M E(N +1) Si el desarrollo es decimal, se entiende E(N + 1) = 10 N+1. x = = E = E 3 El formato exponencial con desarrollo en una base β, es análogo. En este caso se lee E(N +1)=β N Representación computacional. Las calculadoras y computadoras digitales acumulan los números electrónicamente. Los presentan en pantalla con distintos formatos. Cómo lo representan internamente? En general, utilizan un base binaria, β =2 p y una representación de punto flotante. Hay variantes, según el procesador. Algunas características básicas son las siguientes: La representación interna es independiente del formato de pantalla. En Matlab, podemos leer aproxiomacines del número π, con distintos formatos: pi = (formato short) pi = (formato long) pi = e ( fomato exponencial short) pi = e ( fomato exponencial long) pi = 355/113 (formato racional) pero todas ellas expresan una misma representación interna. La representación interna de los números reales emplea una mantisa finita y un rango limitado para el exponente. Hay por lo tanto, un número finito de números reales representables. Los números no representable intermedios, se aproximan por redondeo. En particular, los número irracionales. Existen un máximo y un mínimo números reales positivos representables. Si pretendemos calcular en Matlab cualquier número x , se comete un error (over float) y leemos en pantalla = Inf. Errores análogos (under float), se cometen si se toman número de valor absoluto menor que el mínimo. Podemos leer en pantalla 1/( )=0ó = e 309, ilustrando el error.

5 Los números representables se ditribuyen de manera no uniforme. Para cada número representable, la distancia al representable más próximo varía según el exponente. en Matlab, la distancia de 1 al número representable siguiente es aproximadamente e 016 pero la distancia de 1000 al siguiente es e 013. Para cada número representable x existe un valor, eps(x), que es el mayor, en valor absoluto, que es tomado como neutro (cero),en la operación interna de la suma. Esto es, x + eps(x) =x. Este valor es aproximadamente la distancia al siguiente número representable. en Matlab, eps(1) = e 016, eps(128) = e 014. Algunos procesadores emplean representaciónes internas especiales para los números enteros. 6. Operaciones computacionales. Cómo relizan las operaciones ariméticas las calculadoras o las computadoras? Depende de los procesadores, pero los lineamientos generales son los siguientes: Sólo se pueden realizar finitas operaciones elementales, funciones de máquina, prediseñadas y reducibles a sumas y productos. Sólo se pueden almacenar en memoria un número limitado de números representables. Se opera aritméticamente con los números representables de la siguente manera: Sean x, y R y denotamos fl(x) yfl(y) a sus aproximaciones representables. Se opera de la siguente manera: Se opera en doble precisión, de modo que cada operación aritmética elemental entre dos números representables arroja un resultado exacto fl(x) fl(y) = z El resultado exacto es aproximado al número representable, más próximo, por redondeo: z fl(z) La composición de operaciones se realiza de acuerdo a un orden establecido.por default yporla estructura inducida por el diseño del esquema de cálculo o programa. Se alternan, paso a paso, las operaciones elementales con el redondeo. Para calcular z =(a 2 +1)b + z se procede así: a fl(a) fl(a) fl(a) fl(fl(a) fl(a)) fl(fl(a) fl(a)) + 1 fl(fl(fl(a) fl(a)) + 1) La aritmética computacional no preserva las propiedades de las operaciones aritméticas con números reales. En general, fl(a) a fl(a + b) fl(a)+fl(b) fl(a b) fl(a) fl(b) fl(g(a)) g(fl(a)) para una función artimética g fl((a b)) fl(a) fl(b) para operaciones artiméticas elementales