ACTIVIDADES INICIALES

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1 Determinntes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumer ls inversiones que precen en ls siguientes permutciones y clcul su pridd, comprándols con l permutción principl 34. ) 34 b) 34 c) 43 d) 34 e)43 f) 34 ) 3,4, pr d),3, pr b) 3,3,4,4, pr e) 4,4,4 3, impr c) 4,4,4 3,3,3,, pr f),3,4, impr II. Pr ls siguientes mtrices, form todos los posibles productos en los que prezc un único elemento de cd fil y column. ) A ), 3 b) B c) C 4 5 b) 5, ( 3 ) c) 3 5, ( ) ( 3 ), 4 0, 3, ( ) 0 5, 4 ( 3 ).. (TIC) Hll los siguientes determinntes. EJERCICIOS PROPUESTOS ) 3 7 b) ) () (3) b) Verific que pr ls mtrices de órdenes y 3: ) El determinnte de l mtriz unidd es. b) El determinnte de un mtriz tringulr es igul l producto de los elementos de l digonl principl. c) Pr el orden 3, l definición en términos de productos de elementos llev l regl de Srrus. ) b) c)

2 .3. (TIC) Desrroll el siguiente determinnte de orden 4 por l segund fil y hll su vlor. A ( ) + ( ) (TIC) Clcul el determinnte de l siguiente mtriz de orden 5 explicndo, rzondmente, cd uno de los psos ddos. B Desrrollmos por l últim column: B () (PAU) De un mtriz cudrd A se sbe que su determinnte vle, y que el determinnte de l mtriz A vle 8. Cuál es el orden de l mtriz? Si A es un mtriz de dimensión n, se sbe que ka k n A. Como A 8 A 3 A, result que n Escribe un mtriz genéric de orden 3 y comprueb que su determinnte coincide con el de su mtriz trspuest Los determinntes coinciden..7. (PAU) Obtén el vlor del siguiente determinnte explicndo rzondmente ls propieddes que plics en cd pso. bc b ² bc ² b² b bc ² ² bc ² 3bc Scndo el fctor b c de l primer column, el fctor b de l segund column y el fctor de l tercer column, se tiene: bc b ² bc ² b² b bc ² ² bc ² 3bc bc b b b b bc bc 3bc Ahor scmos el fctor de l primer fil, el fctor b de l segund y el fctor bc de l tercer, y se obtiene: b²c b b b bc bc 3bc b²c b bc 3 ² b 4 c² 33

3 .8. (TIC) Utiliz solo diferenci de fils (sin multiplicr por números), pr comprobr que el siguiente determinnte vle cero F F + F 3 F 4. Por tnto, (TIC) Trnsform el siguiente determinnte en otro que teng nulos todos los elementos de l primer fil 0 slvo el primero y clcul después su vlor C3 C3C 3 0 C4 C4C (TIC) Clcul el siguiente determinnte por el método de Guss F3F C C F3+ F F33 F F F F4+ 3F F4 6F F3 F (TIC) Trnsform l siguiente mtriz en un tringulr y clcul su determinnte. Explic rzondmente 3 3 cd uno de los psos ddos FF 0 0 F4 F+ F3+ F4 0 0 F3 F F F3 3 F4 3 F Clcul ls inverss de ls siguientes mtrices y comprueb los resultdos obtenidos: A 5 7 B A 9 0. Adj(A) 5 ; A ; 9 9 AA B 0 0. Adj(B) 4 3 ; B ; 0 0 BB

4 .3. (PAU) (TIC) Clcul l mtriz invers de I A siendo I l mtriz unidd de orden 3 y A B I A 0 ; det(b) ; 0 0 ( ) 0 0 ( ( )) 0 t Adj B 0 ; B Adj B 0 ; BB 0 0 I (TIC) Clcul, si es posible, l mtriz invers de ls siguientes mtrices: B 0, C B 6 0; Adj(B) ; 7 B C 3 0; Adj(C ) ; C (PAU) (TIC) Sen ls mtrices A 3 0 y B 4. Estudi, si existe, l mtriz invers de l mtriz (AB) y, en cso firmtivo, clcúll. AB Como det (AB) 0, l mtriz AB es singulr y, en consecuenci, no tiene invers..6. (PAU) Clcul, utilizndo el concepto de determinnte, el rngo de l mtriz A Como l mtriz tiene dimensiones 4 x 3, el myor rngo posible es 3. El determinnte , por tnto, el rngo de l mtriz es (PAU) Se considern los vectores de R 4 : u (, 0,, ); u (,,, 0); u 3 Son linelmente independientes? Por qué? (0,,, ). Los vectores u, u y u 3 serán linelmente independientes si el rngo de l mtriz formd por sus 0 coordends es tres. Se l mtriz M 0. Como 0 ddos son linelmente independientes rg(m) 3, los vectores 0 35

5 .8. (PAU) Ls mtrices A y B tienen 3 fils y columns, pero en el proceso de edición lguns de ests se hn borrdo: A B ) Se puede verigur lgo sobre los posibles vlores de su rngo? b) Si llmmos C l mtriz cuys columns son ls 4 que formn ls dos mtrices A y B, cuál será el rngo de C? ) Como y , el rngo de A es, como mínimo,, podrí ser 3, dependiendo de ls otrs columns. 3 Como , el rngo de B es 3. No puede ser myor pues solo tiene tres fils b) Est mtriz tiene 3 fils y 4 columns y su rngo, como máximo, será 3. Además podemos firmr que el 3 rngo es 3, y que podemos formr el determinnte (PAU) Clcul el rngo de l mtriz A según los vlores de k: A k k k De l mtriz dd extremos los siguientes determinntes: k k (k )(k + ) 0 k k k (k )(k ) 0 k k k Si k A. Como 3 0 rg(a) 3 Si k A 0, y que C 3 C y C 4 C ; Si k A ; como En resumen, si k, rg(a), y si k, rg(a) 3 0 rg(a) 3 0, por tnto, rg(a) α.0. (PAU) Hll el rngo de l siguiente mtriz según los vlores de α. A α α² α Clculmos det (C C C 3 ) α α ² α³ + 3α² α, cuys ríces son α 0, α, α 3. 0 Si α 0, obtenemos M 0 0 y como Si α, obtenemos M y como rg(m) 3 0 rg(m) 3 Si α, obtenemos M 4 y como F F3, se deduce que rg(m) En resumen: Si α, rg(m), y si α, rg(m) 3 36

6 .. (PAU) Dd l mtriz A ) Hll los vlores de pr los cules l mtriz A tiene invers. b) Pr, clcul l invers de A. ) L mtriz no tiene invers cundo su determinnte es 0: A ² ( ) ( 3). Esto ocurre cundo ó 3. b) Pr, A ; A ; Adj(A) ; (Adj(A)) t Por tnto, A (PAU) Hll pr qué vlores de m dmite invers l mtriz siguiente y clcul dich invers pr el menor vlor entero positivo de m que hce que exist. A m 5 det(a) m 5 m, m 0 m 0. El menor vlor entero positivo de m pr que exist invers es m. Clculemos l invers de A pr m. A 0 0 ; A ; Adj(A) ; (Adj(A)) t ; A (TIC) Resuelve ls siguientes ecuciones mtriciles siendo A, B y C ls siguientes mtrices de orden : A 3 4 B C 3 ) X A B c) X A + B C e) X A B X C C b) A X + B C d) A X + B X C f) A X B C 0 ) X BA b) X A ( C B) X C B A c) ( ) d) X ( A+ B) C e) X C( AB C) f) X A ( B C) 37

7 .4. (PAU) Hll l mtriz X² + Y², siendo X e Y ls soluciones del siguiente sistem mtricil: 4 X + Y 0 X Y 0 4 X + Y 0 3 3X X Y X 0 3 X Y X Y EJERCICIOS Cálculo y propieddes de los determinntes.5. Clcul los siguientes determinntes de orden. ) c) 0 3 e) 0 g) i) b) d) f) h) ) c) e) 0 g) i) b) d) 3 4 f) h) (TIC) Clcul los siguientes determinntes de orden ) b) d) 0 e) c) f) ) 5 c) e) b) d) f) (TIC) Clcul los siguientes determinntes de orden 4. ) b) ) b)

8 .8. Clcul el vlor del siguiente determinnte: b c d + + b c d b+ c d b c+ d Como F+ F3 F + F 4, el determinnte vle Sen A y B ls mtrices siguientes: x 3+ x x 3 A x 5 yb x x x Sbiendo que el determinnte de B vle 7, utiliz ls propieddes de los determinntes pr clculr el vlor del determinnte de A. x 3+ x x 3+ x x 3 x x A x 5 x 4+ x 4 + x ( 7+ 0) x x x (PAU) Se A un mtriz cudrd de orden verificndo que A² A. Clcul rzondmente los posibles vlores del determinnte de A. Si A² A A² A Al ser A un mtriz de orden, A² ² A² A 4 A ² A A (4 A ) 0 A 0 ó A 4 Así pues, los vlores posibles del determinnte de A son 0 y 4. b c.3. (PAU) Si l mtriz A d e f tiene determinnte n, verigu el vlor del determinnte de ls g h i 6d 4e f d + f e f + e siguientes mtrices: B 3g h i, C + c b c+ b. 9 6b 3c g + i h i + h Scndo fctores comunes de fils y columns e intercmbindo dos veces ls fils del determinnte, se obtiene: B 6d 4e f 3g h i 9 6b 3c 3 d e f g h i 3 3b 3c 3 3 d e f g h i b c (36) b c d e f g h i 36n A l column primer se le sum l segund y se le rest l tercer. C d + f e f + e + c b c+ b g+ i h i + h d e f + e b c+ b g h i + h d e f b c g h i + d e e b b g h h b c d e f g h i + 0 n.3. (PAU) Supongmos que C, C, C 3 y C 4 son ls cutro columns de un mtriz cudrd A, cuyo determinnte vle 3. Clcul rzondmente: ) El determinnte de l invers de A b) El determinnte de l mtriz A c) El determinnte de un mtriz cuys columns son: C C 3, C 4, 5C 3 y C. ) A A 3 b) A c, c, c 3, c 4 4 c, c, c 3, c 4 4 A c) c c 3, c 4, 5c 3, c 5 c c 3, c 4, c 3, c 5 c c 3, c, c 3, c 4 (sumndo l tercer column l primer) 5 c, c, c 3, c 4 0 c, c, c 3, c

9 .33. (PAU) Utiliz ls propieddes de los determinntes pr desrrollr el siguiente: Enunci ls propieddes que hs utilizdo. x x + 3x + x x + 3 3x + 4 x x + 5 3x + 6. x x+ 3x+ x x+ 3 3x+ 4 x x+ 5 3x+ 6 () x x+ 3x+ () () A ls fils segund y tercer se le rest l fil primer. () Ls fils segund y tercer son proporcionles, en consecuenci, el vlor del determinnte es cero..34. (PAU) Ddo el determinnte: ) Hll su vlor medinte el desrrollo por l primer fil. b) Clcul su vlor medinte el desrrollo por l curt column. c) Comprueb que los resultdos obtenidos coinciden. ) b) c) Los resultdos coinciden..35. (PAU) (TIC) Resuelve l ecución x + x + x + x x x 3 0. Aplicndo ls propieddes de los determinntes, result: x + x + x x x x 3 + F F F3 F F43F x + ( x+ ) x+ 0 0 ( x+ ) 0 x+ 0 x6 x3 x3 0 0 Extremos el fctor (x + ) de l segund y tercer fil y desrrollndo por l curt column, se obtiene: (x + )² 0 0 x6 x3 x3 0 (x + )² 0, por tnto, l solución es x. Cálculo del rngo por determinntes.36. (TIC) Clcul, por determinntes, el rngo de ls siguientes mtrices. ) A b) B c) C d) D ) A rg ; det ( A) 0 rg( A ) 3 c) ( C ) 3 b) rg( B ) 3 d) ( D) rg

10 .37. (PAU) Dds ls mtrices A 0 y B 0 3, es cierto que rg(ab) rg(a) rg(b)? Justific l respuest. rg(a), pues 0 0. rg(b), pues rg(ab) 3 y que l mtriz es de dimensión 3 3. Como rg(a) rg(b) 4 y rg(ab) 3, se deduce que l iguldd rg (AB) rg(a) rg(b) es fls. cos α sen α (PAU) Hll el rngo de l siguiente mtriz: sen α cos α A cosα senα 0 senα cos α (cos² α + sen² α) rg(a) 3 Cálculo de l mtriz invers por determinntes.39. (TIC) Clcul l invers de ls siguientes mtrices. A 4 6 B C D A B 3 t 6 4 ( Adj( A) ) 5 5 det ( A) t ( ( B) ) ( B) Adj 0 0 det 3 3 C D t ( ( )) Adj C det( C) (PAU) Siendo ls mtrices A 4 y B 0 3. ) Es cierto que det (AB) det (BA)? b) Clcul, si es posible, l invers de AB. ) , det AB 3, det BA 0. Son distintos. AB BA ; ( ) ( ) 3 5 b) ( AB)

11 sen x cos x 0.4. (PAU) Se A cos x sen x 0 Pr qué vlores de x existe l mtriz invers de A? sen x + cos x sen x cos x Clcul dich mtriz invers. Como A sen² x + cos² x 0, l mtriz A tiene invers culquier que se el vlor de x. sen x cos x sen x cos x 0 Adj (A) cos x sen x. L mtriz invers es: A cos x sen x (PAU) Dds ls mtrices A 0 y B 3, hll pr qué vlores de m l mtriz B + ma no tiene invers. 3 Clculmos l mtriz B + ma: B + ma + m 0 3+ m + m + m. 3+ m + m Est mtriz no tiene invers cundo su determinnte es 0: B + ma m² m m m ó m. Por tnto, l mtriz B + ma no tiene invers cundo m ó m. Mtrices con prámetros.43. (PAU) Clcul los vlores de los prámetros, b, c, pr los cules rg(b), donde B Pr que rg(b), ls dos columns de l mtriz hn de ser proporcionles, es decir: b 3, b, c 3 c b. 3 c.44. (PAU) Encuentr, en función de los vlores del prámetro, el rngo de l mtriz: A Clculmos el determinnte extrído de l mtriz ³ ² + ( )²( + ) Si y, el rngo de est mtriz es 3. Si, l mtriz A qued: A rg(a) Si, l mtriz A qued: A rg(a), pues F 3 F. x 0 x x.45. (PAU) Estudi, según los vlores de x R, el rngo de l mtriz: A x 0 x x 0 x 0 x 0 x x 0 x rg(a) rg x rg C+ C 0 x 0 x F4 F 0 x 0 0 x 3 0 x 0 0 x x x det A (x ) x (x ) (x³ + ) det (A) 0 si x ó x. Si x y x, rg(a) 4. 0 x x Si x, l mtriz trnsformd es: 0, como rg(a) Si x, l mtriz es: 0, como 0 rg(a)

12 .46. (PAU) Clcul el rngo de l mtriz A según los diferentes vlores del prámetro rel : A El rngo, l menos, es y que 5 0. Vemos qué debe psr pr que se 3. Pr ello, 4 3 clculmos los determinntes de orden 3 que contengn l que cbmos de clculr: si ( + 4) (3 + ) 0 si 4 o 3 En consecuenci: Si 4 todos los determinntes de orden tres son nulos, y rg(a). Si 4, rg(a) 3. b c.47. (PAU) Consider l mtriz A b 3c 3 0 4c donde, b y c son no nulos. ) Determin el número de columns de A que son linelmente independientes. b) Clcul el rngo de A y rzon si l mtriz tiene invers. ) Es evidente que l tercer fil es sum de ls otrs dos: F 3 F + F. por tnto, solo hy dos fils linelmente independientes. Consecuentemente, el número de columns linelmente independientes será tmbién dos, y que rg (A). b) Como rg (A), l mtriz A es singulr y, por tnto, no tiene invers..48. (PAU) ) Obtén λ pr que sen linelmente dependientes los vectores u (3,, 5); u (, 4, 7); u 3 (, 3, λ). b) Pr λ 3, expres el vector v (, 5, 5) como combinción linel de u, u y u 3. ) λ+ 7 0 λ 3 λ 8 3x+ y + z b) v xu + yu + zu 5 x+ 4 y 3z x, y, z v u u + u 5 5x + 7y 3z (PAU) ) Demuestr que l mtriz A y b son no nulos. b) Clcul A cundo b. 0 b tiene invers si, y solo si, los prámetros ) Pr que un mtriz cudrd teng invers su determinnte tiene que ser no nulo. Clculmos: A 0 b b. Por tnto, A tiene invers si 0 y b 0 b) Si b A 0 0 ; A Adj (A) 0 0 ; (Adj (A)) t 0 ; A

13 .50. (PAU) ) Hll rzondmente los vlores del prámetro p pr los que l mtriz A tiene invers. b) Hll l invers pr p. p 0 0 A p + 0 p ) Clculmos det A p (p ) (p + ). Por tnto, A no tiene invers pr p 0, p y p. Pr los demás vlores sí tiene invers. b) Si p, A y A m 3.5. (PAU) Se considern ls mtrices: A ; B m 0 0 los vlores de m pr los que AB es inversible. donde m es un número rel. Encuentr m 3 AB m 0 + m 3+ m 0 m. L mtriz AB es inversible si su determinnte es distinto de cero: AB + m 3 + m m² + 3m. L mtriz AB será inversible si m y m m..5. (PAU) Tiene invers siempre un mtriz cudrd digonl de dimensión 4? Justific l respuest. Tiene invers l mtriz B? En cso de que l teng, clcúll B 0 0 b 0, con, b, c R c Pr que un mtriz teng invers, es condición necesri y suficiente que su determinnte se no nulo. Por tnto, l mtriz B tiene invers cundo 0, b 0 y c 0. L mtriz invers es: B bc bc bc c b b c (PAU) Se considern ls mtrices A k y B k 0 0. ) Discute, en función de los vlores que pued tomr el prámetro rel k, si l mtriz AB tiene invers. b) Discute, en función de los vlores de k, si l mtriz BA tiene invers. ) Clculmos l mtriz AB: AB 0 k k 0 k 0 0 3k k + k Como AB 0, independientemente del vlor de k, l mtriz AB nunc tiene invers. b) Clculmos l mtriz BA: BA k 0 0 k 0 k 3 k + Como BA k² + k pr culquier vlor rel de k, l mtriz BA siempre tiene invers. 44

14 .54. (PAU) Se considern ls mtrices: A m y B Encuentr los vlores de m pr los que AB es inversible. 3 m 0, donde m es un número rel. 0 AB m 3 m m 3+ m m. L mtriz AB es inversible si su determinnte es distinto de cero: AB + m 3 + m m m² + 3m. Como m² + 3m 0 si m ó m, l mtriz AB será inversible pr culquier vlor m y m..55. (PAU) Se l mtriz A ) Clcul el vlor de su determinnte en función de. b) Encuentr su invers, si existe, cundo. ) Pr clculr el determinnte hcemos trnsformciones elementles: A () () () Summos l primer column ls otrs tres. () A cd fil se le rest l primer. b) Pr A, y su determinnte vle 5; por tnto, tiene invers. Clculmos l mtriz invers A : Adj A A (PAU) ) Demuestr que A² A I 0, siendo: A 0 0, I b) Clcul A utilizndo el prtdo nterior o de culquier otr form. ) Clculmos seprdmente los términos de l expresión A² A I A² , A² A I A² A I 0. b) Puesto que A² A I A ( ) A I I A (A I) Ecuciones mtriciles.57. (PAU) Resuelve l ecución mtricil AXB C, siendo A 0 0, B 3 y C 0 0. Como A I; l ecución mtricil es I X B C; XB C; XBB CB ; X CB, siempre que B dmit invers. Como B, l mtriz es regulr. B 3. X CB

15 3.58. (PAU) Clcul l mtriz A sbiendo que se verific l iguldd: A método seguido. L ecución dd es: AB C, multiplicndo l derech por B se obtiene A CB y explic el B : det(b) 6; Adj(B) 6 3 0; B A (PAU) Encuentr un mtriz X que verifique l ecución AX + B C, siendo: A 0 0 0; B ; C Como A tiene invers, y que A 0, despejmos l mtriz X: X A (C B). L invers de A es A ; y C B X (PAU) Dds ls mtrices: A y B , hll l mtriz X dd por AXA B. 0 0 A AXA A A BA X A BA. Como A 0, existe A, que es l siguiente: A , entonces: 0 5 X A BA (PAU) Dds ls mtrices A 3 0 3, B 0 0 y C 0. ) Hll l invers de A BC. b) Resuelve l ecución mtricil AX BCX A. ) BC A BC det (A BC) ; Adj(A BC) Luego (A BC) b) AX BCX A (A BC)X A X (A BC) A Esto es, X

16 .6. (PAU) Consider ls mtrices: A 0 0 y B ) Determin si A y B son inversibles y, si lo son, clcul l mtriz invers. b) Resuelve l ecución mtricil BA A² AB X ) A 3 existe invers. Clculmos A B 0 y, por tnto, no existe invers. b) De l ecución BA A² AB X, despejmos l mtriz X: X AB BA + A² (PAU) Resuelve l ecución mtricil B(A + I) AXA + B, siendo: A De l ecución B(A + I) AXA + B, despejmos l mtriz X: Como B(A + I) BA + B, entonces, sustituyendo en l ecución: BA + B AXA + B BA AXA B AX X A (B) 3 4 ; B Clculmos l mtriz A : A X A (B) PROBLEMAS.64. (TIC) Los números 0 604, 53 7, 5 755, 0 97 y 78 4 son divisibles por 7. Demuestr que tmbién es divisible por 7 el determinnte: () () A l quint column le summos C C + 00 C 3 +0 C 4, y este determinnte es múltiplo de 7, porque lo son todos los elementos de l últim column. 47

17 .65. (PAU) Si l mtriz A b c d tiene rngo y l mtriz B x y z w tiene rngo, explic qué vlores b 0 0 b 0 0 b 0 0 c d 0 0 c d 0 0 c d 0 puede tener el rngo de ls mtrices C, D y E. C 0 0 x y, D x y 0 0 y E x 0 y z w z w 0 0 z 0 w 0 b Si l mtriz A c d tiene rngo, l segund fil es proporcionl l primer, demás, 0 ó b 0. x y Si l mtriz B z w tiene rngo, entonces x y z w 0 L mtriz C tiene rngo 3, pues se cumple lgun de ls dos opciones siguientes: 0 0 b 0 0 x y 0 x y z w 0, si 0; x y 0 x y b 0, si b 0. z w 0 z w 0 z w L mtriz C no puede tener rngo 4, y que ls fils primer y segund son proporcionles. b 0 0 b c d 0 0 c d rg(d) rg x y 0 0 rg x y z w 0 0 z w b 0 0 b 0 c d 0 0 c d 0 b 0 rg(e) rg x 0 y 0 rg x 0 y rg x 0 y. Si b 0 rg(e) 3. Si b 0 rg(e). z 0 w 0 z 0 w z 0 w x.66. (PAU) Hll los vlores de x pr los cules l mtriz A x no tiene invers. L mtriz A no tiene invers pr los vlores de x que nulen su determinnte. x x x det A x x 0 x x x x+ x 3 Luego l mtriz A tiene invers pr todo vlor rel de x, excepto pr x y x (PAU) Sen A, B y X tres mtrices cudrds del mismo orden que verificn l relción A X B I, siendo I l mtriz unidd. ) Si el determinnte de A vle y el de B vle, clcul rzondmente el determinnte de X. 3 b) Clcul de form rzond l mtriz X si A 3 4 y B 3. ) Como AB A B, tomndo determinntes en l iguldd A X B I result: A X B I A X B X X b) A X B I X A B. A y B son inversibles, y que A y B. A 4 3 De este modo, X ; B (PAU) Se considern ls mtrices cudrds reles de orden, P 3 y Q Clcul: ) L mtriz P. b) L mtriz rel cudrd X de orden, tl que P XP Q. c) L mtriz (PQP )² ) Como P, entonces existe l mtriz invers de P: P 3 b) P X P Q X PQP X c) (PQP 6 )² X²

18 .69. (PAU) ) Sen P y Q dos mtrices cudrds de orden n que tienen invers: P y Q. Tiene invers l mtriz PQ? Rzon l respuest. b) Clcul l mtriz invers de l mtriz: P 0 3 ) L mtriz invers de PQ es b) P 6 P 6 Q P PQ Q P P QQ P PP I. En efecto, ( )( ) ( ).70. (PAU) Se A un mtriz cudrd de orden 3 digonl: ) Qué condiciones deben cumplir los elementos de A pr que dmit invers? b) Y cuáles pr que dich invers coincid con A? 0 0 ) Se l mtriz A 0 b 0. Pr que A teng invers tiene que ocurrir que det A 0; bc 0, es decir, 0 0 c pr que exist A tiene que ocurrir que ningún elemento de l digonl principl se nulo. b) Si A b 0 A 0 0 c Pr que A A b 0 0 c b b c c ² b² c² ± b ± c ± Luego ls mtrices que cumplen ests condiciones son: A D G B E H C F (PAU) Sen A, B y C mtrices cudrds del mismo orden con coeficientes en R. ) Prueb que de l iguldd AB AC no puede, en generl, deducirse que B C, buscndo dos mtrices x distints B, C tles que AB AC, siendo A. b) Demuestr que, sin embrgo, si det (A) 0 y AB AC, entonces B C. ) Consideremos, por ejemplo, ls mtrices B y C 0 0 que, no son igules, pero AB AC. b) Si det (A) 0, existe A y, multiplicndo l izquierd por A l iguldd AB AC, se obtiene: A AB A AC; IB IC; B C. 49

19 .7. (PAU) Encuentr dos mtrices, X e Y, de orden x con coeficientes en R, tles que AX + BY C, siendo: A AX Y 0, B 4 y C AX + BY C AX Y Y + BY C (I + B) Y C; Y (I + B) C. 0 Clculmos l mtriz I + B: I + B ; (I + B) 8 Sustituyendo en l expresión de Y: Y Clculmos X despejándol en l segund ecución: AX Y X A Y Hllmos l invers de A: A 0 A 0 Clculmos finlmente X: X 0,5 0,5 0,5 Solución del sistem: X 0 ; Y,5 0,5 0 0, ,5 0,5.73. (PAU) Dds ls mtrices reles A , B 3, C 3 4 y D 3 7. ) Clcul l mtriz M A BC. b) Justific que existe l mtriz D, invers de D, y clcul tl mtriz. c) Clcul ls mtrices X, Y que cumpln l siguiente relción: DX M YD. 5 8 ) M b) Como D, l mtriz D tiene invers. D c) DX M X D 7 M X M YD Y MD 9 4 Y (PAU) Hll, si existe, un mtriz A cudrd x que cumpl ls siguientes condiciones:. Coincide con su trspuest.. Verific l ecución mtricil: 3. Su determinnte vle 9. A De se deduce que l mtriz A debe ser simétric: A b b d. De se deduce: b b d b + d b d b 3 + d 3 De 3 se deduce que: A d b² 9 Resolviendo el sistem + b 3 + d 3, se obtiene ; b ; d 5. Por tnto, A d b²

20 .75. (PAU) Se llm dimensión de un espcio vectoril generdo por un grupo de vectores l rngo de l mtriz cuys fils son ls coordends de dichos vectores. Clcul l dimensión del espcio vectoril generdo por los vectores (,, 3, 3), (4, 5, 6 456), (7, 8, 9, 789) y (, 4, 6, 46) rg rg rg Por tnto, l dimensión del espcio vectoril generdo por esos vectores es. PROFUNDIZACIÓN.76. Sen A y B dos mtrices cudrds regulres de igul orden. Demuestr: ) (A ) A b) (A t ) (A ) t c) (AB) B A ) (A ) (A ) I; (A ) A I. Por ser A regulr (A ) A b) Multiplicmos por l derech los dos miembros de l iguldd por A t (A t ) A t (A ) t A t I (A ) t A t (A ) t (A t ) c) Multiplicmos por l derech por l mtriz AB. (AB) AB (B A ) AB (AB) AB B (A A) B B I B B B I, por tnto, l iguldd dd es ciert. b 3b x (PAU) Se consider l función: f(x) 0 x x Sbiendo que f(0) 3 y f() f(), determin y b.. Desrrollndo el determinnte, se tiene: f (x) x³ + bx² x + 3b Como f (0) 3 3b 3 b f () f () + b + 3b + b + + 3b Se llm determinnte de Vndermonde, determinntes de l form: b c ² b² c², b c d ² b² c² d² ³ b³ c³ d³. ) Comprueb que si, b y c son distintos entre sí, el determinnte es distinto de 0. b) Desrroll el primero y, prtir del resultdo, hll el segundo. b c ² b² c² ( ) 0 b c 0 b² b c² c 0 b c 0 bb ( ) cc ( ) ( ) b c bb ( ) cc ( ) ( 3) (b ) (c ) b c (b ) (c ) (c b). ) A cd fil le restmos l nterior multiplicd por. ) Desrrollmos por l primer column. 3) Scmos fctor común (b ) de l primer column y (c ) de l segund column. Rzonndo de form nálog, se obtiene: b c d ² b² c² d² ³ b³ c³ d³ (b ) (c ) (d ) (c b) (d b) (d c) Si, b, c y d son distintos entre sí, el vlor del determinnte es distinto de 0. 5

21 .79. (PAU) Resuelve l ecución: x x x x x 0 x x 0 x x x 0 0. Restmos cd column l primer: x x x x x 0 x x 0 x x x 0 x x x x 0 x x 0 x x 0 x x x x x 0 x 0 x 0 x x x(x³ ( x)³) 0 x 0ó x³ ( x )³ 0. x³ ( x)³, tiene como solución rel x. Así, x³ ( x)³ x³ 3x² + 3x se puede dividir por reles) son x ± 3 i. + 3i 3i Ls cutro soluciones son: 0,,,. x, y result x² x + 0, cuys ríces (no.80. (PAU)Averigu, según el vlor de, el número de ríces reles que tiene l ecución Summos l primer column ls otrs tres: x² x² x² x² 0. x² x² x² x² x² + 3 x² + 3 x² x² + 3 x² x² + 3 x² (x² + 3) x² x² x² (x² + 3) 0 x² x² x² (x² + 3)(x² )³ Por tnto, l ecución es: (x² + 3)(x² )³ 0 y sus ríces reles son: Si 0, un únic ríz: x 0. Si > 0, dos ríces: x ± Si < 0, dos ríces: x ± 3 0 b 0 b (PAU) Si A 0 b b ) Prueb que pr culquier vlor de y b, el rngo de l mtriz A es myor o igul que. b) Determin un pr de vlores reles de y b pr los cules se rg A 3 y otro pr de vlores de y b de form que rg A 4. ) Clculmos los siguientes determinntes de segundo orden, extrídos de l mtriz A: Δ b+ 0 ²; Δ b 0 b b²; Δ 3 b+ 0 b + (b + )² Si 0, Δ 0 rg(a) Si 0, y b 0, Δ 0 rg(a) Si 0 y b 0, Δ 3 0 rg(a). Por tnto, el rngo de A siempre es myor o igul. b) A 0 b 0 b b b 4 + b² (b + )²; 4 + b² (b + )² 0 4 b² (b + )² Pr b, sustituyendo se obtiene ±.Pr estos vlores l mtriz A es l siguiente: A ; rg(a) 3 y que y A 0 Si hcemos 0 y b A 0 y en consecuenci rg(a) 4. 5

22 .8. (PAU) Clcul l mtriz X en l ecución A 3 X B, siendo B 0 3 y A b c d con + d y A. Clculmos: A² c b d b c d ² + bc b+ bd c + dc cb + d² Del enuncido se deduce: ( A) det b bc + d + d ( ) bc d ² bc ;² + bc. Análogmente: ( A) det + d d bc + d ( d) d bc d d d² bc ; d² + bc d. Por otro ldo: b + bd b( + d) b; c + dc c( + d) c Sustituyendo en l expresión de A²: A² b c d b c d 0 0 A I Clculmos A 3 : A³ A² A (A I) A A² A A I A I. Luego: A³ I, (A³) (I) I De l expresión A³ X B, despejndo: (A³) A³ X (A³) B; X (A³) B (I) B B (PAU) Clcul el vlor del determinnte: log3 log30 log300 (log3)² (log30)² (log300)² Conviene recordr que: log 30 log (3 0) log 3 + log 0 + log 3 log 300 log (3 00) log 3 + log 00 + log 3 log3 log30 log300 (log3)² (log30)² (log300)² log3 + log3 + log3 (log3)² (+ log3)² ( + log3)² Restmos cd column l nterior, y se obtiene: 0 0 log3 (log3)² + log3 3 + log3 + log3 3 + log3 3 + log 3 log 3 Elige l únic respuest correct en cd cso: RELACIONA Y CONTESTA.. El rngo de l mtriz A 0 0 b es: A), si b C) 3, si b 0. E) Ningun de ls nteriores B), si b y b 0 D) 3, si b C) Pr que l mtriz A teng rngo 3 se tiene que cumplir l siguiente condición b 0... L mtriz djunt de l mtriz A 3 4 es l mtriz: A) 4 3 C) 4 3 E) 4 3 B) 3 4 D) 4 3 D) L mtriz djunt es Adj (A)

23 .3. Ls soluciones de l ecución x b b x b x 0 son: A) No tiene solución rel. C) x b E) x b, x, x 0 B) x D) x b; x ; x b D) x b b x b x x+ + b b x+ + b x x+ + b x (x + +b) x b x (x + + b) b 0 x b 0 0 x b (x + + b) (x ) (x b) 0 x ( + b); x ; x b..4. Si un mtriz es de orden 3 y A, el determinnte de 4A es: A) C) 8 E) Ninguno de los nteriores B) 6 D) 64 C) det (4A) 4 3 det A 4 3 () 8.5. Sbiendo que det (F, F, F 3 ) 4, el vlor de det (F 3, 5F + F, F ) es: A) 0 B) 8 C) 0 D) 8 E) 5 B) det (F 3, 5F + F, F ) det (F 3, 5F, F ) + det (F 3, F, F ) det (F 3, F, F ) det (F 3, F, F ) det (F, F 3, F ) det (F, F, F 3 ) 4 8 Señl, en cd cso, ls respuests corrects:.6. Se A un mtriz regulr de orden 3, entonces se verific: A) A A C) A 3 A E) A t A B) A 4 A 4 D) AA Son tods corrects..7. Dd l ecución x b b c x bc b c x c 0 A) x 0 es un solución. C) x + b + c es un solución. E) Ningun de ls nteriores. B) x es un solución. D) x b c es un solución. xb b c xbc b c xc x b x xbc b x xc x b xbc b xc x b 0 xbc xc x (x b c) 0 x 0 ó x + b + c. Son corrects A y C. 54

24 Elige l relción correct entre ls dos firmciones dds:.8. ) Un mtriz cudrd es inversible si su determinnte es no nulo. b) Un mtriz cudrd es inversible si su rngo coincide con su orden. A) b, pero b D) b y b B) b, pero b E) Ningun de ls nteriores C) b C) b. Ambs proposiciones son equivlentes, en consecuenci, b y b. Señl el dto innecesrio pr contestr:.9. Pr resolver l ecución mtricil XAB XC C, donde X es l mtriz incógnit, nos dn los siguientes dtos: ) Ls mtrices A y B son equidimensionles. b) Ls mtrices AB y l mtriz C tienen el mismo orden. c) L mtriz AB C es regulr. d) AB C 0 A) Puede eliminrse el dto. E) No puede eliminrse ninguno. B) Puede eliminrse el dto b. D) Puede eliminrse el dto d. C) Puede eliminrse el dto c. A) Puede eliminrse el dto y que no solo es innecesrio, sino que es posible resolver el ejercicio sin que ls mtrices A y B sen equidimensionles. Lo que es imprescindible es que A B teng el mismo orden que l mtriz C y demás que l mtriz A B C será regulr pr que teng invers. Anliz si l informción suministrd es suficiente pr contestr l cuestión:.0. L mtriz dd por A c tiene rngo. ) Si c 0 y 0 ó c 0 b) Si A) Cd firmción es suficiente por sí sol. D) Son necesris ls dos junts. B) es suficiente por sí sol, pero b no. E) Hcen flt más dtos. C) b es suficiente por sí sol, pero no. B) L firmción es suficiente por sí sol, pero no b. Obsérvese que b es insuficiente pues c puede ser distinto de 0, bstrí que c 0. 55