Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo:

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1 Mapa conceptual Determinante de segundo orden Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a A = a a se llama determinante de A al número real: det (A)= A = a11 a 12 = a a a a a21 a = = 3 4 = -1 Determinante de orden 3 Regla de Sarrus Dada una matriz cuadrada de orden 3 A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del determinante de orden 3 y sus signos. se llama determinante de A, det (A) o A, al número real a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Aplicaciones a la regla de Sarrus Algunas definiciones El determinante de la matriz A = es Se llama matriz complementaria de un elemento ij a la matriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j Se llama menor M ij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima (o lo que es lo mismo, el determinante de la matriz complementaria) det(a) = 3. ( 2). ( 4) + 4. ( 3) ( 1). 2 [1. ( 2). 2 + ( 1). ( 3) ( 4)] = = 77 Se llama adjunto A ij del elemento a ij de la matriz A al número A ij = ( 1) i+j M ij. Se llama matriz adjunta a la formada por los elementos adjuntos 1

2 cálculo de la matriz adjunta Definición general de determinante Aplicación a un determinante de orden 2 Aplicación a un determinante de orden 3 Aplicación a un determinante de orden 3 a 11 a 12 a 13 El determinante de una matriz A = a 21 a 22 a 23 es igual a la suma de los elementos a 31 a 32 a 33 de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos: det (A) = ai1. Ai1 + ai2. Ai2 + ai3. Ai3 det (A) = a1j. A1j + a2j. A2j + a3j. A3j Determinante de cualquier orden Cálculo general de determinantes Por ejemplo: = Este método rebaja en una unidad el orden del determinante Para evitar el cálculo de muchos adjuntos conviene que haya muchos ceros en las filas o columnas por las que se desarrolla 2

3 Cálculo inmediato de determinantes (I) Cálculo inmediato de determinantes (II) I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero. Ejemplos: El determinante de una matriz A = es igual a cero porque la tercera y primera columnas son iguales. El determinante de una matriz A = es igual a cero porque la tercera fila es igual a la segunda multiplicada por 3. II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero. El determinante de una matriz A = es igual a cero porque la segunda columna es nula. III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero El determinante de una matriz A = es igual a cero porque la tercera columna es igual al doble de la primera menos la segunda. IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. El determinante de la matriz A = es igual 4. Cálculo inmediato de determinantes (III) Propiedades: operaciones con filas y columnas (I) V. El determinante de la matriz unidad es 1 Ejemplos: El determinante de la matriz I3 = es igual a El determinante de la matriz I5 = es igual a I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz se multiplica por ese número = = II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signos = Propiedades: operaciones con filas y columnas (II) Operaciones con determinantes (I) III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente, el valor del determinante no varía Si en A = sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por 1 más la segunda multiplicada por 2, obtenemos: B = ( 1) + 1( 2) ( 1) + 5( 2) 4 + ( 1) ( 1) + 2( 2) y se cumple que ambos determinantes son iguales: A = B I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al producto de los determinantes de cada una de ellas. Sean A = y B = Se tiene que A = 2 y B = 5. Como A. B = y A. B = 10 se observa que A. B = A. B II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1. Sea A = ; entonces A 1 = 1/3 0 1/3 1 Como A = 3 y A 1 = 1/3, se observa que A. A 1 = 1 3

4 Operaciones con matrices (II) Operaciones con matrices (III) III. Al trasponer una matriz su determinante no varía. Sea A = Entonces A t = Se cumple que A = A t VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número. Se cumple que: = = V. Si A = a 11 a 12 + b 12 a 13 a 21 a 22 + b 22 a 23 se cumple que: a 31 a 32 + b 32 a 33 a 11 a 12 + b 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 11 b 12 a 13 a 21 a 22 + b 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 21 b 22 a 23 = + a 31 a 32 + b 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 b 32 a Sea A =. Entonces se cumple que A = Y se tiene que: = = = (-70) Determinantes y rango de una matriz Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz por determinantes Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su determinante es cero. El rango de una matriz coincide con el orden del determinante de mayor orden distinto de cero. El rango de la matriz nula es 0. Si la matriz A no es nula rang(a) 1. Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(a) 2. Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3. En caso contrario rang(a) = Las columnas de la matriz A = son linealmente dependientes ya que A = La relación de dependencia es: la 3ª columna es igual a la 1ª más el doble de la 2ª. Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(a) 3. Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4. En caso contrario rang(a) = 2 Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(a) 4. En caso contrario rang(a) = 3 Y así hasta que no sea posible continuar Determinantes y rango de una matriz Inversa mediante determinantes (I) La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si A 0. Se cumple que si A 0 entonces la matriz inversa A 1 es igual a: A 1 = 1 A adj(a t 1 ) = A [adj(a)] t 4

5 Inversa mediante determinantes (II) Dada la matriz A = , pretendemos encontrar su inversa: Tipo I Tipo II Tipo III 5

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