RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES

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1 RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Activiaes iniciales 1. Calcula las matrices inversas e las siguientes matrices: Las matrices buscaas son: 1/4 1/4 1/4 1/ /4 1/4 1/4 1/ /4 1/4 1/4 1/ /4 1/4 1/4 1/4 2. Calcula el rango e las siguientes matrices: Hacieno ceros escalonamos las matrices, obtenieno: , luego el rango es El rango es 2 El rango es 4. Activiaes e Enseñanza-Aprenizaje 1 Calcula los eterminantes e las siguientes matrices: a a 3 4 a b e) f) 2 5 b a g) Aplicano la efinición, se obtienen los siguientes resultaos: 2 22 a e) a 2 b 2 f) 0 g) 2 2a a 2 a 1 a+1 1 Calcula los eterminantes e las matrices que siguen utilizano la regla e Sarrus m 2 m m El rango es 3. F1 F3 F3 F2 F4 F a 1 e) 1 1 a f) a 1 1 m m m+1 m m Aplicano la regla e Sarrus, se obtiene: G UÍA D IDÁCTICA

2 79 a 3 3a + 2 e) m 2 4m + 1 f) m 3 + 3m 2 + 3m Encuentra el número e inversiones que existen en las sguientes permutaciones e números naturales el oren que se inica: oren 4: 1243, 3142 y oren 5: 13542, y oren 6: , y La permutación 1234 no presenta inversiones. La permutación 3142 tiene 3 inversiones. La permutación 1324 tiene una inversión. La permutación presenta 3 inversiones. La permutación tiene 7 inversiones. La permutación tiene 2 inversiones. La permutación presenta 4 inversiones. La permutación tiene 7 inversiones. La permutación tiene 4 inversiones. 4 Halla el signo e los términos que siguen pertenecientes al esarrollo e un eterminante e oren 5. a 25. a 51. a 44. a 13. a 32 a 51. a 22. a 35. a 43. a 14 a 12. a 23. a 34. a 45. a 51 a 45. a 54. a 12. a 21. a 33 El término a 25 a 51 a 44 aa 13 a 32 es el mismo que a 13 a 25 a 32 a 44 a 51 que se correspone con la permutación e oren cinco: Ésta tiene siete inversiones, por lo que es una permutación impar. Al término anterior le correspone un signo menos. De forma análoga al caso anterior, la permutación es 42531, que posee siete inversiones y también le correspone un signo menos. A este término le correspone la permutación 23451, que tiene cuatro inversiones y le correspone un signo más. En este caso la permutación es 21354, que tiene os inversiones y le correspone un signo más. 5 Prueba sin esarrollar que los eterminantes e las siguientes matrices son nulos: 1 b c + a + c 1 c a + b + c Sumamos la seguna y tercera columna y el resultao lo colocamos en la tercera columna. De la tercera columna sacamos factor común a + b + c. Obtenemos: 1 ab+ c 1 b c + a 1 ca+ b 1 + c 1 a a+ b + c 1 b a+ b + c 1 c a+ b + c a c + b (a + b + El último eterminante tiene os columnas iguales. bc 2/a ac 2/b ab 2/c 1 a 1 1 b 1 1 c 1 Sumamos la seguna y tercera columna y el resultao lo colocamos en la seguna columna. De la primera sacamos factor común a y e la segun + c +. Obtenemos: a b c 0 El último eterminante tiene os columnas iguales y, por tanto, es nulo. Multiplicamos (y iviimos) la primera fila por a, la seguna por b y la tercera por c. Sacamos factor común abc e la primera columna y os e la seguna. Obtenemos: El último eterminante tiene os columnas iguales. 6 Prueba sin esarrollar que los eterminantes siguientes son múltiplos e Puee observarse que los números 121, 198 y 506 son múltiplos e 11. Operano en caa fila, multiplicamos la primera columna por 100, la seguna por 10 y sumamos ambos resultaos en la tercera columna. Obtenemos: Proceieno e manera análoga, ac+ b ab+ c ab+ c bc 2/a ac 2/b ab 2/c 11 a b c c+ b + c+ c + c+ 1 abc abc 2 a 2 abc 2 b 2 abc 2 c 2 a (a + b a b c b 1 1 c G UÍA D IDÁCTICA 53

3 Tenieno en cuenta las propieaes et(a) et(a t ) y et(ab) et(a).et(b), se obtiene: et(aa) t eti (et(a)) 2 1 et(a) ± 1 La relación peia es et(ka) k 4 et(a) 7 Comprueba que el eterminante A 1 vale 0 y que el eterminante A 2 es ivisible por 5, sin calcularlos, a partir e las propieaes e los eterminantes, sieno A 1 2/5 3 2 A En el caso A 1, multiplicamos y iviimos la primera columna por 5, espués sacamos factor común 1 y obtenemos: 5 El último eterminante es nulo al tener os columnas iguales. En el caso A 2, multiplicamos la seguna columna por 2 y le sumamos la tercera colocano el resultao en la tercera columna. Poemos sacar factor común Cómo varía un eterminante e oren tres si a caa columna se le suma la columna anterior y a la primera se le suma la última? Y si el eterminante es e oren cuatro? En ambas situaciones, el eterminante tiene el mismo valor que el eterminante e partia / ( 5) ( 5) 2/5 ( 5) ( 5) La matriz A verifica A 2 A. Halla los posibles valores el eterminante e A. La matriz A verifica que AA t I. Halla los posibles valores el eterminante e A. Si A es una matriz cuaraa e oren cuatro, qué relación existe entre et (A) y et (ka)? Utilizano la propiea et(a.b) eta.etb, se tiene: et(a 2 ) et(a.a) et(a).et(a) (et(a)) 2. Por tanto, (et(a)) 2 et(a) (et(a)) 2 et(a) 0 et(a) (et(a) 1) 0. Luego, et(a) 0 o et(a) 1 10 Para los eterminantes b 1 2 A 1 b A 2 A 3 b b a Halla los menores complementarios e los elementos a 11, a 23, a 32 y a 12, cuano existan. Halla los ajuntos e los elementos a 11, a 23, a 32 y a 12, cuano existan. Atenieno a la efinición e menor complementario, se obtiene: b c α 11 a 2 + b 2 α 11 b α 11 b 0 1 b a b (1 c b 1 0 α 23 ab b 2 α 23 no existe α 23 b b -2ab a 2 b 0 a c α 32 ab b 2 α 32 no existe α 32 a c b b 2a 2 c + 2a a a c α 12 b b ab b 2 α 12 a α 12 a 0 1 b a a (1 + c + a Atenieno a la efinición e ajunto, se obtiene: A 11 a 2 + b 2 A 11 b A 11 b (1 c A 23 b 2 ab A 23 no existe A 23 2ab A 32 b 2 ab A 32 no existe A 32 2a 2 c 2a A 12 b 2 ab A 12 a A 12 a (1 + c + 11 Calcula los ajuntos e los elementos e la tercera columna e 5 2 a 5 3 b c Obtenemos: A c 0 1 a 2 b G UÍA D IDÁCTICA

4 A A A Halla las matrices ajuntas e las matrices: c b 1 a c 1 b c Las matrices ajuntas son: ac bc 0 b a b 2 c 2 c bc b c 2 ab b ca c 13 Encuentra una respuesta razonaa a las siguientes cuestiones: En un eterminante realizamos una cierta permutación e filas. Qué poemos ecir el valor el nuevo eterminante obtenio? Se sabe que et(a) 5, y que A es una matriz e oren os. Cuánto vale et(3a)? Dos matrices A y B son inversas. Si et(a) 3, cuánto vale et(b)? Si A es una matriz cuaraa e oren 3, cuánto vale el eterminante e la matriz Aj(A)? Si el número e permutaciones e filas es par, el valor el eterminante es el mismo y si es impar, el valor el eterminante cambia e signo. El valor e et(3a) 3 2.et(A), luego et(3a) 45. El eterminante buscao vale 1/3. Si a es una matriz cuaraa e oren 3, se cumple: et A A.(Aj(A)) t 0 et A 0 et [A.(Aj(A)) t ] 0 0 et A (et(a)) 3 et(a).et(aj(a)) (et(a)) 3 et(aj(a)) et(a) 2 14 Calcular los eterminantes: x x x x Hacieno ceros en la primera columna se obtiene: Hacieno ceros en la primera columna: x 1 1 x x x 15 Comprueba que las siguientes igualaes son veraeras: x + a x + b c x 2 (x + a + b + x + c a b c 2a 2a 2b b c a 2b (a + b + 3 2c 2c c a b 2a a + b a + c b + a 2b b + c 4 (a + (a + (b + c + a c + b 2c 1 + x 1 1 x 1 1 x 2 z 2 + z 1 1 z x + a x + b c x + c x + a + b + c b c 0 x x x x 2 2 (1 + 4) x x x + a + b + c b c x + a + b + cx+ b c x + a + b + c b x + c x 2 (x + a + b + G UÍA D IDÁCTICA 55

5 Hemos sumao toas las columnas colocano el resultao en la primera. Hemos restao, e las filas seguna y tercera, la primera. Se ha esarrollao el eterminante. Hemos sumao toas las filas colocano el resultao en la primera. Hemos restao, e la primera fila, la seguna y la tercera. Se ha esarrollao el eterminante. Efectua e forma cuiaosa los os miembros e la iguala y comprueba que ambos conucen a la misma expresión. z 0 z z La fila primera menos la seguna a la primera. La fila seguna menos la tercera a la seguna. La fila tercera menos la cuarta a la tercera. Desarrollano por la primera columna. Aplicano la regla e Cramer y operano. 16 a b c 2a 2a 2b b c a 2b 2c 2c c a b 1 + x 1 1 x z 1 1 z x Si 3/2 0 1 x z 0 0 z z 2a 5, calcula, sin esarrollar, los siguientes eterminantes: 2b 2c a + b + c a+ b + c a+ b + c 2b b c a 2b 2c 2c c a b a + b + c 0 0 2b a+ b + c 0 2c 0 a + b + c x z 0 a 1 b 1 c x x x z z z 1 z x 2 z 2 3a + 3 3b 3c + 2 a + 1 b + 1 c + 1 2a 2b 2c 3/ / / (a + b a + 1 b + 1 c + 1 a + 1 b + 1 c Calcula el valor el eterminante: log 3 log 30 log 300 (log 3) 2 (log 30 ) 2 (log 300 ) 2 Es un eterminante e Vanermone e oren tres, el tipo: (c (c (b a 2 b 2 c 2 Según lo anterior, tenemos: log 3 log 30 log 300 (log 3) 2 (log 30) 2 (log 300) 2 (log 300 log 30) (log 300 log 3) (log 30 log 3) log 300 log 300 log 30 log 10.log 100.log a + 3 3b 3c + 2 a + 1 b + 1 c + 1 a 1 b 1 c Obtén, simplificao, el esarrollo el eterminante: abc ab a 2 b 2 c2b 2 ab b 2 c 2 b 2 c 3abc abc ab a 2 b 2 c 2b 2 ab b 2 c 2 b 2 c 3abc 2 a2 b 5 c + F 2 F 1 F 2 ab 2 c 3a 3b 3c + a + 1 b + 1 c a a a b 2b b bc bc 3bc ab 2 c a 0 0 b b 0 bc 02b 56 G UÍA D IDÁCTICA

6 Hemos sacao factor común a e la tercera columna, b e la seguna y bc e la primera. La suma e la primera y seguna columna a la seguna. La iferencia e la primera y la tercera columna a la tercera. Desarrollano por la iagonal principal. x a x c b b c x a c b a x x + a + b + c x + a + b + c x c b x + a + b + c c x a x + a + b + c b a x 19 x Resuelve las ecuaciones: x 4 x 5 0 x 3 (x 1) 0. Las soluciones son x 0 y x 1. Las soluciones e la ecuación x son los números complejos 1, 1, i, i. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x x x x 1 x 1 0 x x x x x x x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x 1 x x x x 0 0 x x x 1 x x 3x 1 x x x 3x 1 1 x x 3x 1 x 1 x 3x 1 x x 1 3x 1 x x x 0 x (3x 1) (x + 1) x x + 1 Las soluciones e (3x 1) (x + 1) 3 0 son x 1/3 y x 1 x x x 1 x x x x x a x c b b c x a c b a x x 4 x 3 x x + a + b + c 0 a xb cc b 0 a cb xc a 0 a bb ac x a xb cc b (x + a + b + a cb xc a a bb ac x (x + a + b + (x + a + b + (x + a + b + (a + b c x) (a + c- b x) (b + c a x) Las soluciones e la ecuación son: x a b c x a + b c x a b + c x a + b + c 20 a x a+ b c x a+ c b x a c a+ b c x 0 a b 0 a + c b x c x 0 a + c b x a c a+ b c x 0 a b 0 a + c b x Calcula las matrices inversas e las sigueientes matrices: e) f) Las matrices inversas buscaas son: 2 1 2/3 1 3/2 1/2 1/3 0 La matriz tiene inversa si a bc es istinto e c cero. En ese caso la matriz buscaa es a bc b a bc c a bc a a bc c G UÍA D IDÁCTICA 57

7 x 1 1 La ecuación es 1 x x e) f) 21 Determina según los valores e m el rango e las matrices: m m Si m 6 el rango es os y si m 6, el rango es tres. Si m 1, el rango es uno. Si m 2, el rango es os. Si m 1 y m 2, el rango es tres. Si m 3, el rango es tres. Si m 3, el rango es cuatro. Si m 10, el rango es tres. Si m 10, el rango es cuatro. 22 Si A es una matriz e oren n tal que et(a) 2, calcula et (MAM 1 ), et(5a) y et(2a 1 ). Los eterminantes peios son: et (MAM 1 ) etm.eta.et(m 1 ) etm.eta. 1 eta 2 et m et(5a) 5 n.et(a) 5 n. et(2a 1 ) 2 n et(a 1 ) 2 n. 1 2 n. 1 2 n 1 et A Daa la matriz A Calcula A 1. Resuelve la ecuación et(a 1 xi) 0. El eterminante e la matriz A es et(a) 1. La matriz inversa es A m m m m Desarrollano el eterminante, obtenemos: (1 x) (1 + x) 2 0. Las soluciones e la ecuación son x 1 y x Para qué valores el parámetro no es invertible la matriz A 1 3 2? a 2 5 Al ser eta 19a + 57, este eterminante se anula para a 3. Para este valor e a la matriz A no es invertible. Activiaes propuestas en pruebas e acceso a la Universia 25 Calcula el valor e los siguientes eterminantes : x 3 x x x x 3 x x x x a 0 c b e) b c 0 a c b a 0 Sumano toas las columnas y el resultao a la primera. Restano e toas las filas la primera. Desarrollano. 3 x x x 0 3 x x x x 3 x x x x 3 x x x x 3 3x + 3 x x x 0 x x x x + 3 x x x 3x x x 3x + 3 x 33 x 3x + 3 x x a 1 1+a 1 1 +a 1 1+a (3x + 3)(x 3) La iferencia e las os primeras filas a la seguna fila. Desarrollano por la primera columna. Utilizano la regla e Cramer. 58 G UÍA D IDÁCTICA

8 , al tener os columnas iguales a + b + c a 0 c b a + b + c 0 c b b c 0 a a + b + c c 0 a c b a 0 a + b + c b a 0 a + b + c 0 cc b 0 a c b c a 0 a bb a c cc b (a + b + a c b c a a bb a c a b + c b c a+ b c (a + b + 0 b a+ b c a b + c b a 0 a b + c c 0 (a + b + 0 b a+ b c a b + c b a 0 (a + b + (a + b a b + c c a b + c b a (a + b + (a + b (a b + (a b 1 + a a + 4 e) a 1 1 a a a 1 a a a a a a a 0 0 a 3 (a + 4) 0 0 a a 26 Resuelve las siguientes ecuaciones: 1 x x x x x 4 0 Desarrollano el eterminante, obtenemos: 2x x 12 0 Las soluciones son x y x x x x x x x 4 9x 2 + 6x + 73 Las soluciones e 9x 2 6x 73 0 son x 3,38 y x 2, Supongamos que c 1, c 2, c 3 y c 4 son las cuatro columnas e una matriz cuaraa A, cuyo eterminante vale 3. Calcula razonaamente: El eterminante e la matriz inversa e A. El eterminante e la matriz 2A. El eterminante e una matriz cuyas columnas son: 2c 1 c 3, c 4, 5c 3 y c 2 Si el eterminante e la matriz A es 3, el e su inversa es 1/3. et(2a) 2 4 et(a) et(2c 1 c 3, c 4, 5c 3, c 2 ) et(c 1, c 4, 5c 3, c 2 ) et(c 1, c 2, 5c 3, c 4 ) 5et(c 1, c 2, c 3, c 4 ) Prueba que se verifica la iguala 1 sen a cos a 1 sen b cos b 1 sen c cos c El eterminante es: sen (b + sen (c + sen (a 1 sen a cos a 1 sen a cos a 1 sen b cos b 0 sen a sen b cos a cos b 1 sen c cos c 0 sen a sen c cos a cos c (sen a sen (cos a cos (sen a sen (cos a cos sen a cos a sen a cos c sen b cos a + sen b cos c sen a cos a + sen a cos b + sen c cos a sen c cos b (sen b cos c sen c cos + (sen c cos a sen a cos + + (sen a cos b sen b cos sen (b + sen (c + + sen (a. 29 sen a sen b cos a cos b sen a sen c cos a cos c Calcula los valores e t para los cuales el siguiente eterminante 2 t 0 t toma valores positivos. Calcula el mayor valor que alcanza. El valor el eterminante es t 2 3t 4. Este eterminante toma valores positivos en los intervalos (-, 1) y (4, + ). No existe el máximo valor buscao. 2x x x 4 G UÍA D IDÁCTICA 59

9 30 Respone a las siguientes cuestiones: Si A es una matriz cuaraa e oren n, A t su traspuesta y A t su inversa. Qué relaciones tienen los eterminantes A, A t y A 1? Por qué? Si el eterminante e una matriz cuaraa e oren n vale D, cuál es el valor el eterminante e la matriz que se obtiene multiplicano por 5 toos los elementos e la anterior? Toos los elementos e una matriz cuaraa e oren n se multiplican por 1. Cómo quea afectao el valor e su eterminante? Resolución e problemas 1. LUGAR GEOMÉTRICO. Sobre la recta y a se consiera un punto variable P. Llamamos Q a la proyección el punto P sobre el eje OX. Determina el lugar geométrico el punto M proyección e Q sobre la recta OP. P y a A t A, ya que, según la efinición e eterminante, los términos el esarrollo el eterminante pueen orenarse e igual forma atenieno a las filas o a las columnas. A 1 1 A ya que al ser A.A 1 I, tomano eterminantes, se obtiene la relación anterior. El valor es 5 n D. Este hecho es ebio a la propiea que ice: Si los elementos e una fila (column e una matriz se multiplican por un número, el eterminante e la matriz quea multiplicao por icho número. Debio a la propiea anterior, el eterminante quea multiplicao por ( 1) n. Es ecir, será el mismo valor si n es par y valor opuesto si n es impar. 31 Calcula las matrices inversas e las matrices A 2 1 2, B A 1 2/3 1/3 2/3 B Daa la matriz A /3 1/3 4/ m m averigua para qué valores el parámetro m existe A 1. Calcula A 1 para m 2. El eterminante e la matriz es et(a) m 2 + 4m 3. Los valores para los cuales la matriz A tiene inversa son los valores istintos e las soluciones e la ecuación m 2 + 4m 3 0. Para m 2 la matriz es A y su inversa es A /9 1/9 2/9 4/3 2/3 1/3 2/3 1/9 2/ /2 1/3 2/3 1/2 1/3 5/3 1/2 La recta OP es: y mx el punto P tiene e coorenaas P a. Luego el punto Q tiene e coorenaas Q a m, a m, 0 y el punto M es el punto e intersección e la recta OP y mx, y la recta perpenicular a ésta pagano por Q m 2 y + mx a, por tanto: y mx m 2 + mx a Luego el punto M tiene os coorenaas: x a m 3 + m x a m 3 + m y am m 3 + m La ecuación el lugar geométrico es: O M 2. PIRÁMIDES DE BOLAS. Un mago apilolas, toas iguales, para formar os pirámies tetraéricas. De pronto se a cuenta e que juntano las bolas e ambas pirámies puee formar una sola pirámie tetraérica mayor. Cuál es el mínimo número e bolas e que tenría que isponer el mago inicialmente? Al construir pirámies tetraéricas e bolas aparecen los números tetraéricos: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84,... que forman una progresión geométrica e 3 er oren e término general n (n + 1) (n + 2) 6 Si las os pirámies son iguales, el mínimo número es 20 bolas, con lo que formaría una pirámie tetraérica e arista 4 a partir e os tetraéricas e arista 3. Si las pirámies iniciales no son iguales, el número mínimo e bolas es 680, número obtenio al sumar las bolas e os pirámies tetraéricas e aristas 8 y 14 y bolas 120 y 560. La nueva pirámie tetraérica formaa por 680 bolas tiene e arista 15, pues n (n + 1) (n + 2) 6 Q y am m 3 + m y 3 + x 2 y x 3 a n G UÍA D IDÁCTICA