MATRICES Y DETERMINANTES

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1 MATRICES Y DETERMINANTES. Introducción Ls mtrices y los determinntes son herrmients del álgebr que fcilitn el ordenmiento de dtos, sí como su mnejo. Los conceptos de mtriz y todos los relciondos fueron desrrolldos básicmente en el siglo XIX por mtemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cyley y el irlndés Willim Hmilton. Ls mtrices se encuentrn en quellos ámbitos en los que se trbj con dtos regulrmente ordendos y precen en situciones propis de ls Ciencis Sociles, Económics y Biológics. 2. Mtrices. Definición y primeros ejemplos Un mtriz de dimensión m x n es un conjunto de m x n números reles dispuestos en m fils y n columns, es decir: 2 n n m m2 mn Ls mtrices se representn con letrs myúsculs A, B, C, etc. Los elementos se representn con l mism letr que l mtriz pero en minúscul, seguido de dos subíndices, el primero de los cules indic qué fil pertenece y el segundo qué column. Por ejemplo, 25 es un elemento de l mtriz A situdo en l 2ª fil y en l 5ª column. Así el elemento 23 está en l 2ª fil y 3ª column. Abrevidmente un mtriz se puede expresr como A = ( ij ) con i m y j n. Ejemplos: Son ejemplos de mtrices los siguientes: A = B = C = En ls mtrices nteriores: A tiene 2 fils y 2 columns, diremos que es de dimensión 2 x 2. B tiene 2 fils y 3 columns, diremos que es de dimensión 2 x 3. C tiene 4 fils y 3 columns, diremos que es de dimensión 4 x 3. Dos mtrices, A y B, son igules cundo tienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugres: A = B ij = b ij i, j

2 3. Tipos de mtrices Alguns mtrices reciben nombres especiles de cuerdo con su dimensión o sus elementos: TIPOS DEFINICIÓN Y OBSERVACIONES EJEMPLO 2 3 Fil Mtriz formd por un sol fil; dimensión x n ( ) Column Mtriz formd por un sol column; dimensión m x Nul Cudrd Mtriz en l que todos sus elementos son igules cero. Se represent por O. Es un mtriz con el mismo número de fils que de columns, es decir, de dimensión n x n. En lugr de hblr de dimensión, se dice que un mtriz A con n fils y n columns es de orden n. ord (A) = n Los elementos de l form ii formn l digonl principl. L otr digonl recibe el nombre de digonl secundri. Tringulr Digonl Identidd Superior Inferior Mtriz cudrd en l que todos los elementos que hy por debjo de l digonl principl son cero. Mtriz cudrd en l que todos los elementos que hy por encim de l digonl principl son cero. Mtriz cudrd que tiene nulos los elementos situdos fuer de l digonl principl. Mtriz digonl en l que los elementos de l digonl principl son todos igul uno. Se represent con l letr I. A = n n I = n 2n nn En un mtriz cudrd, se llm trz de l mtriz l sum de los elementos de l digonl principl, es decir: Trz (A) = nn 4. Operciones con mtrices Vmos estudir ls operciones que pueden relizrse con ls mtrices: 4. Sum y diferenci Pr sumr (o restr) mtrices de igul dimensión, se sumn (o restn) los elementos que ocupn el mismo lugr, esto es, se sum (o rest) el elemento ij con el b ij, obteniéndose otr mtriz de igul dimensión: A + B = ( ij + b ij ) A B = ( ij b ij )

3 Pr poder sumr (o restr) mtrices, ésts hn de ser de l mism dimensión. En cso contrrio no se podrán sumr (o restr) = = Propieddes de l sum (y diferenci) de mtrices: ) Conmuttiv: b) Asocitiv: A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento neutro es l mtriz nul, O, del tmño correspondiente. A + O = O + A = A d) Elemento opuesto de A es l mtriz A, que result de cmbir de signo los elementos de A. A + ( A) = ( A) + A = O 4.2 Producto por un número rel Dd un mtriz culquier A y un número rel k, el producto k A se reliz multiplicndo todos los elementos de A por k, resultndo otr mtriz de igul dimensión que A. k A = k m 2 n 2 n De mner brevid se expres como k A = k ( ij ) = (k ij ) Propieddes: ) Distributiv respecto de l sum de mtrices: k (A + B) = ka + kb b) Distributiv respecto de l sum de números: (k + d) A = ka + da 2 22 m2 k k k 2n n = k k k mn km km2 km n c) Asocitiv: k (da) = (kd) A

4 d) Elemento neutro, el número : A = A 4.3 Producto de mtrices Hy que dejr clro y desde el principio que no tods ls mtrices pueden multiplicrse. Dos mtrices se pueden multiplicr cundo se cumple l siguiente condición: Pr multiplicr dos mtrices A y B, en este orden, A B, es condición indispensble que el número de columns de A se igul l número de fils de B. Si no se cumple est condición, el producto A B no puede relizrse, de modo que est es un condición que debemos comprobr previmente l propi multiplicción. Un vez comprobdo que el producto A B se puede relizr, si A es un mtriz m x n y B es un mtriz n x p (observemos que el número de columns de A, n, es igul l número de fils de B), entonces el producto A B, d como resultdo un mtriz C de tmño n x p del siguiente modo: El elemento que se encuentr en l fil i y l column j de l mtriz C = A B, se obtiene multiplicndo esclrmente l fil i de A por l column j de B. A = 5 3 B = Entonces: dim (A) = 3 x 2 ; dim (B) = 2 x 2 dim (C) = dim (A B) = 3 x 2 Así: 4 5 C = A B = 3 = y que: c = (ª fil de A) (ª column de B) = + ( ) 4 = 4 c 2 = (ª fil de A) (2ª column de B) = 3 + ( ) 5 = 5 c 2 = (2ª fil de A) (ª column de B) = + 4 = 5 c 22 = (2ª fil de A) (2ª column de B) = = 8 c 3 = (3ª fil de A) (ª column de B) = 5 + ( 3) 4 = 7 c 32 = (3ª fil de A) (2ª column de B) = ( 3) 5 = Propieddes del producto de mtrices: ) Asocitiv: A (B C) = (A B) C

5 b) Distributiv respecto de l sum: A (B + C) = A B + A C (B + C) A = B A + C A c) En el cso de ls mtrices cudrds de orden n, l multiplicción cumple un propiedd dicionl, l existenci del elemento neutro, que es l mtriz identidd correspondiente. Si A es de orden n, entonces el elemento neutro en l mtriz identidd de orden n, esto es I n : A I n = I n A = A d) En generl el producto de mtrices no es conmuttivo: A B B A e) El producto de dos mtrices no nuls A y B puede dr lugr un mtriz nul. Se dice que el conjunto de ls mtrices con l operción producto tiene divisores de cero, es decir, hy mtrices no nuls cuyo producto es nulo. A = B = A B = 2 3 En el conjunto de ls mtrices cudrds podemos definir l potenci de mtrices como: A 2 = A A A 3 = A 2 A = A A A A n = A n A = A A A A (n veces) 4.4 Trsposición de mtrices Dd un mtriz culquier A, se llm mtriz trspuest de A, y se represent por A t l mtriz que result de intercmbir ls fils y ls columns de A. Evidentemente, si A es un mtriz de dimensión m x n, su trspuest A t tendrá dimensión n x m, pues el número de columns ps ser el de fils y vicevers. Si l mtriz A es cudrd, su trspuest tendrá l mism dimensión. 3 t = A = A Propieddes: ) L trspuest de l trspuest es l mtriz inicil, es decir: (A t ) t = A b) Trspuest de l sum: c) Trspuest del producto: (A + B) t = A t + B t (A B) t = B t A t

6 En bse est nuev operción, podemos definir otrs dos clses de mtrices, que son: Mtriz simétric, que es quell pr l que se cumple que A t = A, por ejemplo l mtriz: 3 6 A = A t = Mtriz ntisimétric, es quell pr l que se cumple que A t = A. En un mtriz ntisimétric, los elementos de l digonl principl son siempre nulos y los restntes son opuestos respecto dich digonl. 6 6 A = 6 2 A t = 6 2 = A L mtriz invers Sbemos y multiplicr mtrices y hemos visto lguns de ls propieddes de est operción. Recordemos, en primer lugr, que no siempre es posible efectur l multiplicción de dos mtrices, y en segundo lugr, que unque se posible hcer est multiplicción, en generl no es conmuttivo, es decir A B es distinto de B A. En el cso prticulr de que trtemos con mtrices cudrds del mismo orden A y B, es clro que podemos efectur los productos A B y B A, que drán como resultdo otr mtriz del mismo orden, unque, como y se h dicho, ls mtrices resultntes serán, en generl, distints. Sbemos tmbién que el elemento neutro del producto de mtrices es l mtriz identidd I n. Nos plntemos hor si, dd un mtriz cudrd A, existe otr mtriz cudrd B que verifique que: A B = B A = I n Si B existe, diremos que es l mtriz invers de A. L representremos por A. Si A tiene invers, se dice que es un mtriz regulr. Si A no tiene invers, se dice que es singulr o no invertible. Si un mtriz tiene invers, dich mtriz invers es únic (sólo hy un). Pr clculr dich mtriz invers, podemos utilizr dos vís: 5. Método directo ( prtir de l definición): Se A = 2. Pr clculr l invers de A, A, debemos hllr un mtriz b tl que: 3 c d 2 3 b = = I2 c d

7 Efectumos el producto indicdo en el primer miembro de l iguldd, obteniendo: 2 c 2b d + 3c b+ 3d = Aplicndo l condición de iguldd de mtrices, obtenemos los siguientes sistems de ecuciones: 2 c= + 3c= y 2b d = b+ 3d = cuys soluciones son: = 3 7 b = 7 c = d = Luego l mtriz invers de A, A, es: A = El cálculo de mtrices inverss prtir de l definición conduce l resolución de sistems de ecuciones, lo que suele resultr lborioso. Obsérvese que éste método directo sólo se suele utilizr pr mtrices cudrds de tmño 2, puesto que pr ls de tmño 3 obtenemos un sistems de 9 ecuciones con 9 incógnits, que relmente es difícil de resolver. 5.2 Método de Guss-Jordn: Se puede obtener l mtriz invers de un mtriz dd A, prtir de trnsformciones elementles. Se llm trnsformción elementl en un mtriz : ) Multiplicr o dividir un fil por un número rel distinto de cero. 2) Sumr o restr un fil otr multiplicd por un número rel no nulo. 3) Intercmbir el lugr de dos fils entre sí. Pr plicr este método, procedemos como sigue: Prtimos de un mtriz formd por l mtriz A y un mtriz identidd del mismo orden que A. Est mtriz se llm mtriz mplid y se simboliz por (A I): 2 n n n n2 nn

8 Aplicmos ls trnsformciones elementles decuds pr llegr un mtriz (I B): b b2 b n b2 b22 b2 n bn bn2 b nn L mtriz B result ser A. Se A = 2. Prtimos de l mtriz mplid: 3 2 f f /2 2 2 f2 f2 f f2 f2: f f + f 2 / Por tnto, A 7 7 = f2 f2: 2 Not: Al plicr el método de Guss-Jordn pr clculr l invers de un mtriz A, puede que, l efectur lgun de ls trnsformciones elementles, se obtengn un o más fils nuls el l mtriz mplid (A I). En este cso, l mtriz A no tiene invers, es decir, es singulr. Cunto myor se el orden de l mtriz, mejor es este método frente l directo. Not: Más delnte, veremos otro método pr clculr l invers de un mtriz, utilizndo determinntes. 6. Rngo de un mtriz Un concepto muy importnte relciondo con ls mtrices es el de rngo. El concepto de rngo se encuentr ligdo l de independenci linel de fils o columns de un mtriz, pero no se introducirá de est mner porque se requieren conceptos que no conocemos. Bste sber que se define el rngo de un mtriz como el número máximo de fils o columns linelmente independientes. A continución veremos cómo signr un mtriz su rngo. Fíjte en ls siguientes mtrices:

9 A = B = C = 2 En ells se cumple que: Si hy fils nuls, están situds en l prte inferior de l mtriz. En ls fils no nuls, el primer elemento diferente de cero de un fil está situdo más l derech que el primer elemento diferente de cero de l fil inmeditmente superior. De ells se dice que son mtrices esclonds. En este cso se dice que el rngo de un mtriz esclond A es el número de fils no nuls de A. Lo denotmos por rg (A). Así pues, pr ls mtrices nteriores se tiene: rg (A) = 2; rg (B) = 3; rg (C) =. Los ejemplos nteriores ponen de mnifiesto que el rngo de culquier mtriz siempre es menor o igul que el número de fils de l mtriz. De hecho se verific que el rngo de culquier mtriz siempre es menor o igul que su número de fils y de columns. Esto permite, ntes de clculr el rngo de un mtriz, sber entre qué vlores v estr ese rngo. Si A es un mtriz de tmño m x n no nul se cumple que rg (A) min {m, n}. Nos preguntmos hor cómo podemos definir el rngo de un mtriz culquier. Pr ello, estudiemos el siguiente concepto. Dos mtrices son equivlentes si un de ells se obtiene prtir de l otr medinte trnsformciones elementles. Definimos entonces el rngo de un mtriz culquier como: El rngo de un mtriz A es el rngo de un mtriz esclond equivlente A. Por tnto, el cálculo del rngo de un mtriz lo bordremos desde l perspectiv del método de Guss. Supongmos que tenemos un mtriz culquier A, l que plicmos el método de Guss con el fin de simplificrl lo más posible (es decir, consiguiendo que teng el myor número de ceros posible), relizndo operciones elementles en ls fils. Clculemos el rngo de l mtriz A = Pr fcilitr los cálculos posteriores, hcemos el elemento se. Pr ello intercmbimos ls dos primers fils:

10 f f Hcemos que los demás elementos de l primer column sen nulos: f2 f2 2 f 2 3 f3 f3+ f Hcemos que el elemento 32 se cero: f 3 f 3+ 5 f Hemos obtenido un mtriz esclond con tres fils no nuls. Así pues, el rngo de l mtriz A es 3. B = Pr fcilitr los cálculos posteriores, hcemos el elemento b se. Pr ello dividimos l primer fil entre 3: f f / Hcemos que los demás elementos de l primer column sen nulos: 2 2 f2 f2 2 f f f + f 2 Hemos obtenido un mtriz esclond con sólo un fil no nul. Así pues, el rngo de l mtriz B es. 7. Determinntes Introduciremos continución el concepto de determinnte socido un mtriz cudrd. Este concepto permite simplificr operciones mtriciles tles como el cálculo del rngo o de l mtriz invers.

11 Si A es un mtriz 2 x 2 se define el determinnte de l mtriz A, y se expres como det (A) o bien A, como el número: det (A) = A = = A = 2 A = = = 4 6 = 2 4 Si A es un mtriz 3 x 3 se define el determinnte de l mtriz A como: 2 3 = ( ) ( ) A = A = = 2 ( 2) + ( ) + 3 ( ) 2 4 ( 2) 3 = Pr recordr l expresión de un determinnte de orden 3, result de utilidd l llmd regl de Srrus: Sumndos con signo + Sumndos con signo Pr definir determinntes de mtrices de orden myor que 3 es necesrio introducir previmente lgunos conceptos. Dd un mtriz cudrd A de orden n, definimos el menor complementrio de un elemento de A, ij, como el determinnte de l submtriz de orden n que se obtiene l suprimir de l mtriz A l fil i y l column j en l que se encuentr dicho elemento ij. Se represent por M ij. Dd un mtriz cudrd A de orden n, definimos el djunto de un elemento ij de A como el número: A ij = ( ) i + j M ij es decir, no es más que el menor complementrio correspondiente compñdo de un signo más o menos dependiendo de l.l y l column en l que se encuentre el elemento en cuestión.

12 Por ejemplo, pr l mtriz A = 4 2 3, los djuntos de los elementos de l primer fil son: 2 Adjunto de = : A = ( ) + M = ( ) 2 Adjunto de 2 = : A 2 = ( ) + 2 M 2 = ( ) = [2 ( 2) 3 ] = 7 = ( ) [ ( 2) 3 4] = 2 Adjunto de 3 = : A 3 = ( ) + 3 M 3 = ( ) = [ 2 4] = 8 De mner generl, dd un mtriz cudrd A de tmño n se define su determinnte como l sum del producto de los elementos de un líne culquier de l mtriz (fil o column) elegid, por sus correspondientes djuntos (Se puede demostrr, unque dich demostrción excede los contenidos del curso, que el vlor del determinnte no depende de l fil o column elegid pr clculrlo). L definición de determinnte es bstnte engorros y se hce mucho más pesd medid que ument el orden de l mtriz A. 2 2 Se A = Entonces: A = = ( 2) = ( 2) ( 8) 2 ( 3) = = 7. Propieddes de los determinntes Alguns propieddes importntes que tienen los determinntes, que se enuncin sin demostrción, son:. El determinnte de un mtriz es igul l de su trspuest: A = A t.

13 2. Si multiplicmos todos los elementos de un líne de un determinnte por un número, el determinnte qued multiplicdo por ese número. 3. Si un mtriz tiene un líne (fil o column) de ceros, el determinnte vle cero. 4. Si un mtriz tiene dos fils igules o proporcionles, su determinnte es nulo. 5. Si permutmos dos línes prlels de un mtriz cudrd, su determinnte cmbi de signo. 6. Si un líne de un mtriz es combinción linel de otrs línes prlels, el determinnte es igul cero. 7. Si un líne de un mtriz se le sum un combinción linel de otrs línes prlels, el determinnte no cmbi. 8. Si los elementos de un líne de un mtriz se descomponen en dos sumndos, su determinnte es igul l sum de dos determinntes obtenidos l considerr por seprdo cd sumndo de es líne, y el resto de línes igules ls del determinnte inicil Aplicciones 7.2. Clculo de determinntes de orden superior l 3 Un estrtegi tener en cuent en este cso de determinntes de orden 4 o superior, o incluso de orden 3 si l mtriz es complej, es el método de hcer ceros, puesto que el vlor del determinnte no vrí l relizr l mtriz cierts trnsformciones elementles en fils, si bien hemos de ser cuiddosos l plicr dich propiedd. Así pues l mejor form de clculr un determinnte es hcer ceros en un fil o column y desrrollr por dich fil o column, porque entonces sólo tendremos que clculr un djunto. 2 2 Se A = Entonces: f2 f f2 f2+ 2 f f3 f3 3 f f4 f4+ 5 f Desrrollndo hor por los elementos de l primer column, tenemos que: A = ( ) =

14 Como hemos dicho, hemos de tener especil cuiddo l plicr est regl con determinntes, puesto que no podemos hcer ls misms operciones que con ls mtrices, lo que puede confundir Clculo de l mtriz invers Hy un estrech relción entre l invers de un mtriz cudrd y su determinnte. De hecho se verific que, un mtriz cudrd A tiene invers si y sólo si A. Además, en este cso, l mtriz invers de A, A, se clcul de l mner: A t Adj ( A ) = A donde Adj (A t ) denot l mtriz djunt de A, es decir, quell que se obtiene de sustituir cd elemento de A por su djunto. Se A = 2. Entonces: 3 A = 2 3 ( ) = 6 + = 7 A t = 2 3 Adj (At ) = 3 2 A = t Adj ( A ) A = = Aplicción de los determinntes l cálculo del rngo Los determinntes tmbién proporcionn un form sencill de clculr el rngo de un mtriz culquier. Un definición lterntiv de rngo de un mtriz es: El rngo de un mtriz A es el tmño del myor menor complementrio no nulo que esté incluido dentro de l mtriz Se A = 4 2. L mtriz A no tiene rngo 3, y que sólo hy un menor de orden 3, que 6 5 es A, y se cumple que A = : = =

15 Pero de los 9 menores de orden 2 que se pueden formr, encontrmos uno no nulo, como por ejemplo: 3 2 = = 4 Por tnto rg (A) = Se A =. Podemos encontrr en A un menor de orden 2 no nulo, como por ejemplo: 3 3 = 3 = 2 Por tnto, rg (A) = A = 2 2. Si considermos de los 4 menores de orden 3 que se pueden forml, quel 4 3 compuesto por ls columns ª, 2ª y 4ª, tenemos que: 2 Por tnto, rg (A) = = 4