Estadística descriptiva

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1 UNIDAD Estadística descriptiva Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: eplicará el cocepto de estadística y otros relacioados (muestra, població, estadístico, parámetro, etcétera) describirá las diferetes técicas para seleccioar ua muestra calculará las pricipales medidas cetrales y de dispersió de u cojuto de datos o agrupados, ya sea muestrales o poblacioales dado u gra cojuto de datos, utilizará y costruirá las clases de frecuecia y sus gráficos para aalizar la distribució de dichos datos

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3 Itroducció A lo largo de su eistecia el ser humao ha llevado a cabo aálisis de ua gra catidad de datos o iformació, referetes a los problemas o actividades de sus comuidades. Por ejemplo, desde comiezos de la civilizació se hacía represetacioes gráficas y otros símbolos e pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para cotar el úmero de persoas, aimales o cosas. Hacia el año 3000 a. C., los babiloios usaba pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producció agrícola y los géeros vedidos o cambiados mediate el trueque. Mucho ates de costruir las pirámides, los egipcios aalizaba los datos de la població y la reta del país. Otro ejemplo de recopilació y aálisis de datos es el del imperio romao, cuyo primer gobiero, al verse e la ecesidad de mateer cotrol sobre sus esclavos y riquezas, recopiló datos sobre la població, superficie y reta de todos los territorios bajo su cotrol. Siguiedo co la historia de la recopilació de datos, a mediados del primer mileio, por el gra crecimieto de las poblacioes y para poder teer cotrol sobre éstas, se comezaro a efectuar cesos poblacioales, como los de la Edad Media e Europa. Por ejemplo, los reyes calorigios Pipio el Breve y Carlomago ordearo hacer estudios miuciosos de las propiedades de la Iglesia e los años 758 y 76, respectivamete. Coforme pasaba el tiempo, la recopilació y aálisis de datos comezaba a teer otro fi además de los cesos y coocimieto de diferetes propiedades. Por ejemplo, e Iglaterra a pricipios del siglo XVI se realizó el registro de acimietos y defucioes, co el cual e 66 apareció el primer estudio de datos poblacioales, titulado Observatios o the Lodo Bills of Mortality ( Cometarios sobre las partidas de defució e Lodres ). U estudio similar sobre la tasa de mortalidad e la ciudad de Breslau, e Alemaia, realizado e 69, fue utilizado por el astróomo iglés Edmud Halley como base para la primera tabla de mortalidad. E el siglo XIX, co la geeralizació del método cietífico para estudiar todos los feómeos de las ciecias aturales y sociales, los ivestigadores aceptaro la ecesidad de reducir la iformació a valores uméricos para evitar la ambigüedad de las descripcioes verbales.. Estadística Como se eplicó, el ser humao tuvo la ecesidad de crear ua ciecia que redujera la iformació a valores uméricos para la mejor iterpretació de los feómeos; se le llamó estadística. Defiició. La estadística es ua rama de las matemáticas aplicadas que proporcioa métodos para reuir, orgaizar, aalizar e iterpretar iformació, y usarla para obteer diversas coclusioes que ayude a tomar decisioes e la solució de problemas y e el diseño de eperimetos. Caroligia tambié llamada Carlovigia, fue ua diastía de reyes fracos que goberaro u vasto territorio de Europa Occidetal desde el siglo VII hasta el siglo X d. C.; su ombre fue tomado de su más reombrado miembro, Carlomago.

4 0 Actualmete la estadística es u método efectivo para describir co precisió los valores de datos ecoómicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y ua herramieta para relacioar y aalizar dichos datos. Por esta razó, la estadística se divide e diferetes ramas, etre las más aplicadas y que aalizaremos está la estadística descriptiva y la iferecial. La primera de ellas se aborda e la presete uidad y será descrita más adelate, mietras que la seguda será estudiada e las uidades 9 y 0. Por ahora se verá dos coceptos fudametales e el estudio de la estadística.. Població y muestra La materia prima de la estadística so los cojutos de úmeros obteidos al cotar o medir elemetos. Por tato, al recopilar datos estadísticos se debe teer especial cuidado para garatizar que la iformació sea completay correcta; de este modo, el primer paso es determiar qué iformació y e qué catidad se ha de reuir. Por ejemplo, e u ceso es importate obteer el úmero de habitates de forma completa y eacta; de la misma maera, cuado u físico quiere cotar el úmero de colisioes por segudo etre las moléculas de u gas, debe empezar por determiar co precisió la aturaleza de los objetos a cotar. Dado que la aturaleza de los feómeos e estudio es muy variada, es ecesario proporcioar ua serie de defiicioes referetes a los cojutos de datos que se ha de estudiar. Defiició. La població es el cojuto que icluye el total de elemetos o datos cuyo coocimieto es de iterés particular. Cada uo de los elemetos que iterviee e la defiició de població es u idividuo u objeto; se deomiaro de esta maera, ya que origialmete el campo de actuació de la estadística fue el demográfico. Dado que la iformació dispoible costa frecuetemete de ua porció o subcojuto de la població, itroducimos u segudo cocepto, el de muestra de ua població. Defiició.3 La muestra es cualquier subcojuto de la població. Ejemplo. Si el cojuto de datos de iterés está costituido por todos los promedios de u grupo de estudiates de liceciatura de ua uiversidad, cada uo de los estudiates será u idividuo estadístico, mietras que el cojuto de todos estos estudiates será la població y ua muestra podría ser el cojuto de todos los estudiates del tercer cuatrimestre de igeiería.. Si el cojuto de datos de iterés está costituido por todos los promedios de los grupos de liceciatura, cada uo de los grupos será u idividuo estadístico, mietras que el cojuto de todos estos grupos será la població y ua muestra podría ser el cojuto de todos los grupos del tercer cuatrimestre de igeiería.

5 3. Si se está estudiado el resultado de ciertos eperimetos químicos, cada uo de esos eperimetos será u idividuo estadístico y el cojuto de todos los posibles eperimetos e esas codicioes será la població, mietras que ua muestra podría ser u cojuto de resultados eperimetales posibles e ciertas codicioes. Más adelate se verá que el problema de muestreo o es ta simple, porque este cocepto tiee mayor importacia detro de la estadística iferecial; se profudizará e él e su mometo... Caracteres y variables estadísticas Cuado se defiió el cocepto població, se mecioaro sus elemetos, tambié llamados idividuos; además, e el ejemplo se observó que éstos puede ser descritos por ua o varias de sus propiedades o características. Defiició.4 El caracter de u elemeto, idividuo u objeto es cualquier característica por medio de la cual se Ejemplo. Si los idividuos so persoas, el seo, el estado civil, el úmero de hermaos o su estatura so caracteres.. Si el idividuo es ua reacció química, el tiempo de reacció, la catidad de producto obteido o si éste es ácido o básico, so caracteres que puede aalizarse. U caracter es cuatitativo si es posible medirlo uméricamete o cualitativo si o admite medició. Por ejemplo, el úmero de hermaos y la estatura so caracteres cuatitativos, mietras que el seo y el estado civil so caracteres cualitativos. Los distitos valores que puede tomar u caracter cuatitativo cofigura ua variable estadística. Las variables estadísticas se clasifica e discretas y cotiuas. Defiició.5 Ua variable estadística es discreta sólo cuado permite valores aislados, como úmeros eteros. Por ejemplo, la variable úmero de hermaos toma los valores 0,,, 3, 4 y 5. Este tipo de variables se caracteriza por obteerse mediate u proceso de coteo (ver semejaza co las variables aleatorias discretas e la uidad 5). Defiició.6 Ua variable estadística es cotiua cuado admite todos los valores de u itervalo. Por ejemplo, la variable estatura, e cierta població estadística, toma cualquier valor e el itervalo cm. Otro más es la temperatura de ua persoa. Este tipo

6 de variables se caracteriza por obteerse mediate medicioes (ver semejazas co las variables aleatorias cotiuas e la uidad 7). Las variable cualitativas puede ser omiales si se trata de categorias (seo, raza, etc.) y ordiales si implica orde (clase social, grado de preferecia)... Estadística descriptiva Como ya se dijo, la estadística se divide e varias ramas, ua de ellas es la estadística descriptiva. Después de haber estudiado los coceptos de població y muestra es posible defiirla. Defiició.7 La estadística descriptiva es la parte de la estadística que orgaiza, resume y aaliza la totalidad de elemetos de ua població o muestra. Su fialidad es obteer iformació, orgaizarla, resumirla y aalizarla, lo ecesario para que pueda ser iterpretada fácil y rápidamete y, por tato, pueda utilizarse eficazmete. El proceso que sigue la estadística descriptiva para el estudio de ua cierta població o muestra costa de los siguietes pasos:. Selecció de caracteres factibles de ser estudiados.. Mediate ecuesta o medició, obteció del valor de cada elemeto e los caracteres seleccioados. 3. Obteció de úmeros que sitetiza los aspectos más relevates de ua distribució estadística (más adelate a dichos úmeros los llamaremos parámetros para el caso de la població y estadísticos e las muestras). 4. Elaboració de tablas de frecuecias, mediate la adecuada clasificació de los idividuos detro de cada carácter (esto lo estudiaremos más adelate e el tema Clases de frecuecias ). 5. Represetació gráfica de los resultados (elaboració de gráficas estadísticas, a las que llamaremos histogramas)..3 Tipos de muestreo Los especialistas e estadística se efreta a u complejo problemacuado, por ejemplo, toma ua muestra para u sodeo de opiió o ua ecuesta electoral; seleccioar ua muestra capaz de represetar co eactitud las preferecias del total de la població o es tarea fácil, para tal efecto eiste diferetes tipos de muestreo, los más coocidos se mecioa eseguida. Muestreo aleatorio simple Este tipo de muestreo se caracteriza porque cualquier elemeto de la població e estudio tiee la misma posibilidad de ser seleccioado.

7 3 Por ejemplo, de la població estudiatil de ua uiversidad se puede seleccioar ua muestra aleatoria de 50 estudiates para aplicar ua ecuesta y obteer cierto tipo de iformació. E estos casos, eiste distitos métodos para respetar la aleatoriedad, el más comú es asigarle u úmero diferete a cada estudiate y luego, co la ayuda de ua tabla de úmeros aleatorios, elegir u bloque de tamaño 50 de ésta y realizar las etrevistas a los alumos seleccioados. Muestreo estratificado E este tipo de muestreo se divide la població e grupos que o se traslape es decir, que o tega elemetos e comú y se procede a realizar u muestreo aleatorio simple e cada uo de los grupos. Por ejemplo, la població estudiatil de ua uiversidad se puede dividir e grupos formados por diferetes especialidades (igeiería idustrial, igeiería e sistemas, admiistració, etc.) y después de cada ua de ellas se procede a seleccioar ua muestra aleatoria para llevar a cabo ua etrevista y obteer la iformació deseada. Además de los dos tipos de muestreo mecioados, eiste el muestreo sistemático y el muestreo por coglomerados. El problema de muestreo es más complejo de lo que parece; para u estudio más detallado del tema, el estudiate puede cosultar el libro Elemetos de muestreo, de Richard L. Scheaffer y William Medehall, de Grupo Editorial Iberoamérica..3. Uso de tablas de úmeros aleatorios Como se mecioó, las muestras aleatorias se puede obteer a partir de ua tabla de úmeros aleatorios. Se supoe que se tiee ua població de mil idividuos y se quiere hacer u muestreo de diez de ellos. E este caso, primero se asiga u úmero del 000 al 999 a cada miembro de la població y luego se elige de la tabla de úmeros aleatorios u puto de arraque y se hace el recorrido hasta obteer el tamaño de la muestra de diez. Debido a que el tamaño de la població es mil, de los úmeros que aparece e la tabla se cosidera sólo sus tres últimas cifras. Por ejemplo, sea los siguietes úmeros aleatorios elegidos de ua tabla Al elegir sus tres últimas cifras se obtiee los úmeros que formará la muestra: 06, 897, 08, 54, 975, 093, 35, 88, 499 y 605. Después se procede a seleccioar de la població a los idividuos que les correspode estos úmeros. De forma similar que e el caso de las mil persoas, primero se asiga u úmero a cada elemeto de la població desde 000 hasta 649 y posteriormete se elige u bloque de úmeros aleatorios dode las tres primeras cifras sea meores a 649.

8 4.4 Parámetros y estadísticos Los úmeros que sitetiza los aspectos más relevates de ua distribució estadística puede obteerse tato de ua població como de ua muestra y por cosiguiete debe clasificarse: los primeros, obteidos de la població, recibe el ombre de parámetros y los obteidos de ua muestra se llama estadísticos o estimadores. Los parámetros y estadísticos más comues de la estadística descriptiva que se estudiará e esta uidad se divide, a su vez, e dos tipos:. Medidas cetrales: media, mediaa, moda, media geométrica, media armóica, media poderada.. Medidas de dispersió: rago, variaza, desviació estádar, error estádar, coeficiete de variació, percetiles, rago itercuartil..5 Medidas cetrales Si el cojuto de datos uméricos de ua muestra de tamaño (o població de tamaño N) es de la forma,,..., (o para la població,,..., N ), os podemos pregutar por las características del cojuto de úmeros que so de iterés. E está secció se estudiará los métodos para describir su localizació y, e particular, el cetro de los datos..5. La media Cuado ua persoa tiee e sus maos u cojuto de datos para aalizarlos, geeralmete calcula, e primera istacia, u promedio de éstos. Por ejemplo, dicha persoa tiee las catidades mesuales que ha gaado e los últimos seis meses (0 800, 9 700, 00, 8 950, y 0 500) y desea coocer el valor que represeta su salario promedio. E este caso, obtedrá su igreso promedio al sumar las catidades y dividir etre el úmero de meses que trabajó = El sueldo promedio es $ Como el caso aterior, eiste ua ifiidad de problemas o casos prácticos e los que de u cojuto de datos se quiere coocer u valor cetral que refleje la ifluecia que tiee cada uo de los datos e él. La medida cetral más propicia para tales fies se defie a cotiuació. Defiició.8,,...,, la media muestral (promedio aritmético) o estadístico media del cojuto es el estadístico que represeta el promedio de los datos simbolizado por ( barra), y se calcula i i

9 5 De forma similar se defie el parámetro media para las poblacioes fiitas. Defiició.9 Dado el cojuto de datos poblacioales,,...,, se llama media poblacioal o parámetro N media del cojuto al parámetro represetado por (miu o mu), y se calcula N N N i N i Ejemplo 3 U fabricate de pistoes toma ua muestra aleatoria de 0 de éstos, para medir su diámetro itero promedio. Co la iformació que el fabricate obtuvo dada e cetímetros, se calcula su diámetro medio Como se trata de ua muestra, se calcula su estadístico = [ ] = La media represeta el valor promedio de todas las observacioes y por cosiguiete cada uo de los datos ifluye de igual maera e el resultado; e ocasioes, cuado se tiee pocos datos que se aleja cosiderablemete del resto, el valor promedio ecotrado o refleja la realidad del caso. Ejemplo 4 Se quiere calcular el sueldo promedio de los trabajadores de ua fábrica, eligiedo aleatoriamete a diez de ellos, co las siguietes catidades: Dato Sueldo Se calcula el sueldo promedio, y se tiee = [ ] = dode el estadístico o refleja la realidad de los datos, puesto que el sueldo de es mucho mayor a los demás e ifluye cosiderablemete e el valor promedio..5. La mediaa Por lo epuesto al fial de la subsecció es ecesario presetar otro tipo de medida cetral e la que valores muy etremosos, co respecto al resto, o tega ua ifluecia ta marcada como e la media. A dicha medida se le cooce, debido a su aturaleza, como mediaa. Defiició.0 La mediaa de u cojuto de datos es el valor medio de los datos cuado éstos se ha ordeado e forma o decreciete e cuato a su magitud.

10 6 Cálculo de la mediaa Dado el cojuto de datos muestrales,,...,, la mediaa muestral o estadístico mediaa del cojuto se represeta por ( tilde) y se obtiee ordeado primero e forma o decreciete estos datos, los que se reombrará segú su posició por medio de tildes de la siguiete forma Posteriormete se localiza el puto medio de los datos ordeados, co dos casos:. Cuado la catidad de observacioes es impar, el valor medio del ordeamieto es el dato que se ecuetre e la posició ( + )/.. Cuado la catidad de datos es par, de tal maera que resulta dos datos medios localizados e las posicioes / y / +, la mediaa se cosidera el promedio de éstos. Fialmete, se puede resumir el cálculo de la mediaa co las siguietes fórmulas, cuado la catidad de datos es impar, cuado la catidad de datos es par De forma similar se defie el parámetro mediaa. Dado el cojuto de datos poblacioales,,..., N, la mediaa poblacioal o parámetro mediaa del cojuto es el parámetro represetado por, y se calcula N N N,cuado la catidad de datos es impar, cuado la catidad de datos es par Ejemplo 5 Dado el cojuto muestral de datos del ejemplo aterior, referete al sueldo promedio, se calcula su mediaa. La siguiete tabla muestra el cojuto de los diez datos Dato Sueldo Ordeado los sueldos de meor a mayor y reombrádolos se obtiee Dato origial Sueldo Dato ordeado ~ ~ ~ 3 ~ 4 ~ 5 ~ 6 ~ 7 ~ 8 ~ 9 ~ 9 0

11 7 La catidad de datos es diez y éste es u úmero par, por cosiguiete la mediaa muestral se ecuetra co el promedio de los datos ordeados e las posicioes / y / +. Es decir, e las posicioes 0/ = 5 y 0/ + = E la mediaa se puede observar que el valor $5 000, el cual sobresalía co respecto a todos los demás, a diferecia de la media, o ifluye e el resultado de la mediaa. Puesto que si e lugar de $5 000 se elige $5 000 o $00 000, el sueldo medio de los diez trabajadores seguirá siedo $ 350. Por lo cual se dice que la mediaa es ua medida cetral isesible de los datos..5.3 La moda Para alguos estudios es ecesario ecotrar el valor cetral de u cojuto de datos, e dode la medida de iterés está basada e la repetició de éstos; por tato, igua de las dos medidas aalizadas es coveiete e este caso. Debido a su aturaleza, a esta medida se le da el ombre de moda y se defie a cotiuació. Defiició. La moda de u cojuto de datos es el valor que se preseta e su distribució co mayor frecuecia. La moda se simboliza por M o para las muestras y para las poblacioes. Ejemplo 6 E la siguiete lista se muestra las calificacioes de 0 eámees deligüística. Secalcula la calificació que más se repite, es decir, la moda de la distribució de las calificacioes Después del coteo de los datos, se tiee cico datos co valor 5 u dato co valor 6 y otro co valor 7 tres datos co valor 8 seis datos co valor 9 cuatro datos co valor 0 Por tato, la moda es igual a 9; ya que es la calificació de mayor frecuecia. Al calcular la moda es posible observar que es ua medida completamete opuesta a la mediaa e cuato a su sesibilidad. Por ejemplo, si e el caso de las calificacioes u alumo co calificació 9 hubiese obteido 5, la moda cambiaría a 5 (sería seis 5 y cico 9). Así que co la sola alteració de u dato cambia completamete la moda, por tato, se dice que ésta es sumamete sesible.

12 8 La moda tambié preseta los siguietes dos problemas:. La moda puede o eistir. Por ejemplo, se tiee las siguietes series de datos: 6, 7, 34, 4, 8 6, 3, 8, 9, 3, 8, 6 y 9 E ambas series de datos la frecuecia es la misma, es decir, o tiee moda. A los cojutos de datos como los ateriores se les llama amodales o si moda.. La moda puede o ser úica. Por ejemplo, se tiee la siguiete serie de datos 6, 7, 9, 4, 8, 6, 6, 8, 9, 6, 8, 6, 9, 3, 9 y 9 E esta serie está los valores 6 y 9 como los de mayor frecuecia, ambos se repite cico veces. Al cojuto de datos que tiee más de ua moda se le llama multimodal; bimodal si so dos modas, y trimodal si so tres, etcétera..5.4 Otros valores medios Ya se ha aalizado los tres valores cetrales más coocidos y utilizados e la estadística descriptiva. El primero de ellos fue el defiido e la secció.5. como ua media aritmética, si embargo, eiste distribucioes de datos para las cuales esta medida o es muy propicia, por lo que se defie y utiliza otro tipo de medidas cetrales, la mediaa y la moda. A cotiuació se verá otros tipos de promedios que so de utilidad e la estadística descriptiva. Valor geométrico o media geométrica La media geométrica de los datos,,..., se simboliza por MG y está defiida como la raíz -ésima del producto de las medicioes. MG Ejemplo 7 Se calcula la media geométrica de 0 calificacioes de eámees psicológicos MG Observació De la defiició de media geométrica se deduce que ésta o se puede aplicar cuado algú dato vale cero o la catidad de datos es par y eiste ua catidad impar egativa.

13 9 Valor medio armóico o media armóica La media armóica de los datos,,..., se simboliza por MA y está defiida como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos. MA i i La pricipal aplicació de ésta es promediar las variacioes respecto del tiempo, es decir, cuado la misma distacia se recorre a diferetes tiempos. Ejemplo 8 Si se viaja de ua ciudad a otra recorriedo los primeros 00 km a 80 kmph, los siguietes 00 km a 00 kmph y fialmete otros 00 km a 0 kmph, se calcula la velocidad media utilizado la mediaarmóica y se compara co las medias aritmética y geométrica. MA MG Observació Para tomar la decisió de qué media parece la más correcta, se calcula la velocidad promedio Velocidad promedio distacia total recorrida tiempo total La distacia total recorrida es igual a = 300 km. El tiempo total de recorrido es h. Ahora se compara co la distacia total real recorrida las distacias que recorrería el automóvil co cada ua de las velocidades promedio calculadas Media aritmética: = km Media geométrica: = km Media armóica: =300 km (Nótese que el mejor resultado se obtiee co la media armóica).

14 30 Valor medio poderado o media poderada Para los casos e que cada dato tiee ua importacia relativa e su distribució la cual se deomia peso, la media correspodiete más apropiada se obtiee sumado los productos de cada dato por su peso, llamado a dicha medida media poderada. Defiició. E u cojuto de datos,,..., se llama pesos o poderacioes respectivas de estos datos a las catidades w, w,..., w que cumple a) w i [ 0, ], para todo valor de i b) w + w w = La media poderada del cojuto de datos,,...,, co pesos respectivos w, w,..., w, se simboliza por MP y se calcula co la siguiete fórmula: MP i w i i Ejemplo 9 Se calcula la calificació promedio de u estudiate. La calificació está poderada de la siguiete forma: 0% tareas, 40% del primer eame bimestral y 50% del eame fial. Las calificacioes del estudiate so 8, 9 y 4, respectivamete. La calificació está poderada, por tato MP = = 6.4 Nota E el caso de poblacioes, los parámetros correspodietes se calcula co las mismas formulas cambiado por N. Al aalizar u cojuto de datos surge ua duda: teer las medidas cetrales es suficiete para coocer su distribució? Después de estudiar la siguiete secció esto quedará claro. Ejercicio. Calcula la media, mediaa y moda del siguiete cojuto de datos Calcula la media y mediaa de los tiempos de llegada de seis avioes que aterriza e u aeropuerto. Los tiempos (e miutos) so

15 3 3. Calcula la media geométrica del cojuto de datos del ejercicio aterior. 4. Calcula la media armóica del viaje redodo que realiza u chofer de ua líea de camioes cuya ruta es de 50 km, si de ida lo recorrió por ua autopista a 0 kmph y de regreso por otra a velocidad promedio de 75 kmph. 5. E ua muestra de 00 pistoes se ecotró que 55 teía u diámetro itero de 0.5 cm, 5 de 0.0 y el restate de Utiliza las frecuecias relativas de los pistoes para calcular la media poderada de su diámetro itero..6 Medidas de dispersió Para u aálisis más completo de la distribució de los datos, el estudio de sus medidas cetrales o es suficiete, puesto que e diferetes cojutos de datos puede haber medidas cetrales iguales, por tato, o se tedría coocimieto de la forma de su distribució. Por ejemplo, se tiee dos cojuto de datos, uo cotiee los valores 0,, 5, 6, 3 y 4, y el segudo 5, 0, 50, 7, 8 y 0; se calcula su media. Como se puede verificar e ambos casos se obtiee 5. Pero si se represeta los valores e ua recta, es otable que las observacioes del segudo cojuto tiee ua distribució (variació) mucho mayor. Por tato, es ecesario realizar u estudio de la distribució de los datos co respecto a su valor cetral, es decir, se ecesita u valor que idique ua medida para comparar las dispersioes de datos etre diferetes cojutos; estas medidas so valores de dispersió o variabilidad del cojuto de datos..6. Rago Es el primer valor que os muestra cómo está distribuidos (dispersos) los datos. El rago de las observacioes está simbolizado por r para la muestra y R para la població. El rago es ua medida de variació de los datos que lo úico que muestra es el tamaño o logitud del itervalo e el que los datos se ecuetra distribuidos y es: Defiició.3 El rago es igual a el valor mayor meos el valor meor de los datos.

16 3 Por ejemplo, para los datos muestrales de los dos cojutosde datos ateriores e el primer cojuto su rago vale r = 0 = 8, es decir, los datos de este cojuto está distribuidos a lo largo de u itervalo de logitud 8 e el segudo cojuto su rago vale, r = 50 0 = 50, es decir, los datos de este cojuto está distribuidos a lo largo de u itervalo de logitud 50 Los elemetos del segudo cojuto tiee ua separació mayor etre ellos, pero el resultado o muestra el comportamieto de los datos co respecto a su media..6. Variaza y desviació estádar Otra medida de dispersió de los datos que está relacioada directamete co la media del cojuto es la variaza. Defiició.4 Se llama variaza de u cojuto de datos al promedio de los cuadrados de las desviacioes de cada uo de los datos co respecto a su valor medio. Si se tiee datos muestrales,,,..., co valor medio igual a, los cuadrados de las desviacioes de cada uo de los datos co respecto a su valor medio será ( ), ( ), etcétera. Al igual que e los valores medios, la variaza puede defiirse co respecto a la muestra o a la població. Respecto a la muestra Defiició.5 La variaza muestral o estadístico variaza del cojuto de datos,,...,, se represeta por s datos co respecto a, y se calcula s ( i ) i Sobre la defiició aterior podemos decir que deota la iteció de ua medida variacioal de u cojuto de datos, sólo que más adelate (uidades 9 y 0) se verá que es coveiete defiir el estadístico variaza dividiedo etre e lugar de. Para distiguirlas, se les asiga ombres diferetes, los cuales se justificará hasta la uidad 9, cuado se aalice el tema Estimadores putuales. Mietras tato se defie La variaza sesgada como s ( i ) i

17 33 La variaza isesgada como s ( i ) i Pero, por qué dos defiicioes diferetes e lugar de ua?porque la variaza sesgada refleja perfectamete el sigificado de ua medida de dispersió y por cosiguiete tiee ua gra aplicació e el estudio de las probabilidades. Mietras que la variaza isesgada, es más propicia para los cálculos estadísticos y se emplea geeralmete para las muestras. Respecto a la població De forma similar para poblacioes fiitas se defie el parámetro variaza poblacioal, el cual está represetado por. Dado el cojuto de datos poblacioales,,...,, co valor medio, se defie la variaza poblacioal Variaza poblacioal * N ( i ) N i La variaza se calcula co los cuadrados de las desviacioes y, por tato, o está e las mismas uidades que los datos. Por cosiguiete, se itroduce ua ueva medida de dispersió de la siguiete forma: Defiició.6 Se llama desviació estádar de u cojuto de datos a la raíz cuadrada positiva de la variaza, es decir o s s Ejemplo 0 Se calcula la variaza isesgada y la desviació estádar de cada uo de los dos cojutos de la secció.6: Primer cojuto: 0,, 5, 6, 3 y 4. Ateriormete se ecotró que = 5. ( i ) i s ( 0 5) ( 5) ( 5 5) ( 6 5) ( 3 5) ( 4 5) La desviació estádar es s = * E las uidades 5 y 7 se preseta ua defiició más geeral, la cual se puede aplicar tato a poblacioes fiitas como ifiitas.

18 34 Segudo cojuto: 5, 0, 50, 7, 8 y 0. Ateriormete se ecotró que = 5. ( i ) i s 6 ( 5 5) ( 0 5) ( 50 5) (7 5) ( 8 5) ( 0 5) La desviació estádar es s = Cálculo de las variazas Para los cálculos se acostumbra emplear otra represetació equivalete a la de variaza, determiada por las siguietes fórmulas: Variaza sesgada s i i Variaza isesgada s i i Ejemplo Se calcula la variaza isesgada para los cojutos de datos del ejemplo 0, empleado las últimas fórmulas para la variaza, y se verifica que coicida los resultados. Primer cojuto: 0,, 5, 6, 3 y 4. i i s Segudo cojuto: 5, 0, 50, 7, 8 y 0. s ( 6 5 ) i i ( 6 5 ) E los cálculos ateriores se observa que e ambos casos coicide los resultados co los del ejemplo 0.

19 35 Ejercicio. Calcula el rago y la variaza isesgada del siguiete cojuto de datos: Calcula la desviació estádar de los tiempos de llegada de ocho avioes que aterriza e u aeropuerto. Los tiempos e miutos so 3.5, 4.,.9, 3.8, 4.0 y E los evases de leche, la catidad de líquido o es siempre u litro, por lo que se toma ua muestra de diez evases, y se obtiee los siguietes valores: Calcula la variaza..7 Clases de frecuecia Hasta ahora se ha trabajado sólo co muestras o poblacioes meores de 30 elemetos, cuyos cálculos o ha sido ta laboriosos; pero qué pasa cuado la catidad de datos es cosiderable o éstos proviee de medicioes que haga más laborioso el cálculo de sus medidas cetrales o de variació. Además de lo aterior, puede ser que sólo ecesitemos u resume más compacto del cojuto de datos o icluso teer ua represetació gráfica del comportamieto de su distribució, por lo que siedo u cojuto co gra catidad de datos (por ejemplo, 00) visualizarlos todos, para poder estudiar su distribució, o es factible, por cosiguiete, es ecesario emplear algua otra estrategia de aálisis. El problema mecioado se puede resolver fácilmete distribuyedo los datos por medio de itervalos, lo que da orige a la siguiete defiició: Defiició.7 Dado u cojuto de datos, se llama itervalos de clase o clases de frecuecia o simplemete clases a los itervalos que por parejas so ajeos o disjutos y cotiee todos los datos del cojuto. Ua pareja de itervalos so disjutos si o tiee elemetos e comú. Co respecto a la catidad de itervalos de clase, se pide que o sea ua catidad ecesiva o isuficiete. No eiste ua regla determiate para obteer la catidad de itervalos cuado se tiee datos. Alguos especialistas e estadística emplea el etero más cercao a la raíz de, otros el etero más cercao a log(), o bie la llamada regla de Sturges, e la cual se toma como el tamaño de la muestra el etero más cercao a 3.3log + co catidad de datos correspodietes a las observacioes. Para efectos de este libro, se empleará ua catidad de itervalos que, depediedo del valor de, se ecuetre etre cico y veite. Nota Co respecto a los itervalos de clase, o es u requisito que sea de igual logitud, si embargo, aquí habrá restricció a clases de igual logitud.

20 36.7. Costrucció de clases de frecuecia Para la costrucció de los itervalos de clase o clases de frecuecia eiste diferetes técicas, al igual que e la elecció de la catidad de clases o eiste u método determiate o ua fórmula geeral. Lo úico que debe respetarse es: u mismo dato o debe de perteecer a dos itervalos diferetes todos los datos debe de estar distribuidos e los itervalos formados Aquí se costruirá los itervalos de clase de u cojuto de datos {,,..., }, de acuerdo co los siguietes putos:. Se calcula el rago del cojuto de datos.. Se divide el rago etre la catidad de clases o itervalos que queremos teer y el valor calculado será la logitud decada ua de éstas e las que se distribuirá los datos. 3. Para formar las clases o itervalos se cosidera cerrados los etremos izquierdos de los itervalos y los derechos se cosidera abiertos, tomado a la última clase e ambos etremos cerrada. Ejemplo Dado u cojuto de datos dode el valor más pequeño es 5 y el más grade 75. Costruye diez itervalos de clase para dicho cojuto de datos. El rago del cojuto es: r = 75 5 = 70. Como queremos teer diez itervalos de clase dividimos el rago 70 etre diez y obteemos siete. Este valor será la logitud de cada ua de las clases de frecuecia. Por tato, las diez clases so [5,), [,9), [9,6), [6,33), [33,40), [40,47), [47,54), [54,6), [6,68), [68,75] Recuérdese que u itervalo de la forma [6,33) idica que se cosidera todos los valores que está etre 6 y 33, icluyedo el 6 y ecluyedo el Frecuecias relativas Empleamos la costrucció de los itervalos de clase para estudiar de forma simplificada la distribució de los datos, por tato, después de costruir los itervalos de clase, cotamos la catidad de datos que cae e cada uo. A dicha catidad se le llama frecuecia de la clase o frecuecia de clase o frecuecia absoluta y se simboliza por f i, dode i represeta el úmero de la clase y f i i Defiició.8 Se llama frecuecia relativa de ua clase i al cociete de la catidad de datos que se ecuetra e ésta co respecto del total de datos e el cojuto y se simboliza por dode represeta la catidad total de datos. f r f i

21 37 Ejemplo 3 Se cosidera lascalificacioes (co escala de cero a 00) de 80 estudiates e la materia física eperimetal, se distribuye e siete clases de frecuecias y se calcula las frecuecias relativas de las clases: Lo primero es costruir las siete clases de frecuecia, ecotrado el valor más grade 00 y el más pequeño 30, por tato, el rago vale r = = 70. Como se pide siete clases de frecuecias, se divide 70 etre siete y el resultado es diez. Es decir, la logitud de las clases de frecuecia será de diez uidades. El primer itervalo es [30, 40), es decir, todos los datos que sea mayores o iguales a 30 pero meores a 40; los datos so 30, 38, 30, 30, 30, 35, 36 y 30, ocho e total. Este proceso de coteo se cotiúa hasta llegar a la última clase. Al realizar el coteo de elemetos por clase se recomieda que los datos cotados se marque para evitar ua equivocació. Por ejemplo, después del primer coteo la tabla queda de la siguiete forma Fialmete, se calcula las frecuecias relativas por clase, dividiedo las frecuecias etre la catidad total de datos, e este caso 80, y se obtiee

22 38 Tato e estadística como e probabilidad tiee u iterés particular la acumulació de frecuecias, por lo que se defie dos uevas medidas e las clases de frecuecia: frecuecia acumulada y la frecuecia relativa acumulada. Defiició.9 Se llama frecuecia acumulada a la fució que represeta la suma de las frecuecias por clase, y se simboliza por F i. Defiició.0 Se llama frecuecia relativa acumulada a la fució que represeta la suma de las frecuecias relativas por clase y se simboliza por F r. Cálculo de las frecuecias acumuladas Dado u cojuto co datos, se divide e m itervalos de clase co frecuecias f, f,..., f m, tales que f + f f m = (catidad total de datos). Bajo estas codicioes la frecuecia acumulada está dada por F( ) i i f i Mietras que para el caso de la frecuecia relativa acumulada, las frecuecias relativas por clase so f f fm,,..., ; se cumple f f fm y, por tato, se tiee Frecuecia relativa acumulada de ua clase i es el cociete de la frecuecia acumulada de clase i etre la catidad total de datos, es decir F r Fi Debido a que e las frecuecias por clase o es de iterés el valor de cada elemeto sio sólo la catidad de estos e la clase, se acostumbra realizar el coteo por medio de las barras como atiguamete se llevaba a cabo; es decir, se poe ua barra vertical por elemeto cotado y cada vez que se llega a cuatro barras la quita se coloca e diagoal. Por ejemplo, para cotar ocho elemetos:

23 39 Co esta forma de coteo se puede costruir, a partir de la tabla., ua tabla similar que cotega las frecuecias acumuladas.7.3 Media, mediaa y moda e clases de frecuecia Al igual que se realizó co u cojuto de datos del cual se obtuviero sus medidas cetrales y de desviació, éstas se puede obteer para las clases de frecuecia empleado los putos medios de las clases y sus frecuecias de clase. Defiició. Sea k el úmero de clases, i el puto medio de la i-ésima clase y f i la frecuecia de la i-ésima clase, etoces el valor de la media aritmética se calcula co la fórmula i k fii Otro valor promedio importate es la mediaa (M d ), que divide la distribució e dos áreas iguales; uméricamete se compara co la media aritmética. Se puede obteer el cálculo de la mediaa co la siguiete fórmula: dode M L l d L = límite iferior de clase mediaa C l = logitud del itervalo de clase mediaa = mitad de las observacioes f C = frecuecia acumulada aterior a la clase mediaa f = frecuecia del itervalo de clase mediaa

24 40 La clase mediaa es el itervalo que icluye la mitad de las observacioes; es posible defiirla al calcular la frecuecia acumulada F. Ejemplo 4 Co los datos del ejemplo 3, se calcula la mediaa M d. El itervalo de clase mediaa es [70, 80), ya que F 5 = 46 icluye a la mitad de las observacioes / = 80/ = 40; l = = 0. M L l d C 70 0 f El valor promedio moda (M o ), que se comparará co los valores uméricos de la media aritmética y la mediaa M d, se calcula co la fórmula: dode M L l o d d d L = límite iferior de la clase modal l = logitud del itervalo de clase modal d = diferecia e frecuecia del itervalo de clase modal co el aterior d = diferecia e frecuecia del itervalo de clase modal co el posterior La clase modal es el itervalo que tiee e su frecuecia el úmero mayor. Ejemplo 5 Co los datos del ejemplo 3, se calcula el valor promedio moda (M o ). El itervalo de clase modal es [90, 00] ya que la mayor frecuecia está e F 7 = 9 co L = 90, l = 0, d = 9 5 = 4 y d = 9 0 = 9. M L l o d d d (. 739 ) Variaza e clases de frecuecia De forma similar a la media de clases de frecuecia se puede defiir las variazas sesgada e isesgada de las clases de frecuecia. Defiició. Si f i y i so la frecuecia y el puto medio de la i-ésima clase, respectivamete, y es la suma de las frecuecias, etoces la variaza sesgada s se calcula co la fórmula k fi( i ) i s

25 4 Defiició.3 La variaza isesgada s se calcula co la fórmula k fi( i ) i s La desviació estádar por clases de frecuecia seguirá siedo la raíz cuadrada positiva de la variaza correspodiete. Nota La media y variaza por clases de frecuecia geeralmete se emplea para observar la distribució de datos muestrales, pero e caso de querer defiir estas medidas para datos poblacioales se realiza de forma similar, sustituyedo la por N, por y s por, como se hizo e las seccioes.5 y.6. Ejemplo 6 Se calcula la variaza sesgada de las clases de frecuecia co los datos del ejemplo 3. Para realizar los cálculos más fácilmete se utilizará la tabla., ta sólo itroduciedo alguas columas: La suma de la quita columa dividida etre 80 correspode al valor promedio de la media aritmética Por la defiició de variaza sesgada se tiee s ( ). Mietras que la desviació estádar correspodiete es s s

26 4 Ejercicio 3. E la siguiete tabla se da los tiempos de llegada e miutos de 60 avioes a u aeropuerto a) distribuye los datos e cico clases de frecuecia b) calcula su media y variaza sesgada por medio de las clases ateriores. Ua máquia despachadora de refrescos de u cetro comercial parece estar fallado, puesto que el ecargado ha recibido varias quejas e la última semaa; él decide registrar la catidad de coteido e 40 vasos despachados por dicha máquia y dividirlos e tres clases de igual logitud, si 70% o más de los refrescos despachados se ecuetra e la clase media, el ecargado seguirá trabajado co la máquia, e caso cotrario la madará reparar. Los valores (e mililitros) medidos so: a) divide los valores e tres clases de frecuecia de igual logitud, calcula sus frecuecias relativas e idica si el ecargado tedrá que reparar la máquia o o b) calcula la catidad de líquido promedio que despacha la máquia, empleado las clases de frecuecia del iciso aterior 3. Si e el ejercicio aterior, además de la cosideració del porcetaje, se toma e cueta la desviació estádar de las clases de frecuecia, por medio del criterio la máquia se reparará e caso de que la desviació estádar sea mayor a seis, determia si el fabricate, segú los datos observados, tedrá que reparar la máquia. 4. Se estudió el tiempo de vida de 90 persoas co SIDA y se aotó su duració e meses, y se obtuvo Ordea e diez clases de frecuecia y calcula la media y variaza de los datos.

27 43.8 Gráficas Las gráficas a las que se hace referecia e estadística descriptiva debe mostrar la distribució de las frecuecias o frecuecias acumuladas del cojuto de datos, co lo cual se podrá eteder e iterpretar fácilmete su comportamieto. Por tato, es ecesario itroducir u uevo método gráfico para la iterpretació de datos, etre los gráficos más comues está diagrama de barras polígoo de frecuecias diagrama circular o de pastel.8. Diagrama de barras Uo de los gráficos que más se emplea para represetar u cojuto de datos es el diagrama de barras, dode se grafica ua serie de rectágulos sobre u sistema de referecia. Cuado se costruye los rectágulos co sus bases sobre cada uo de los itervalos de clase y co sus alturas las frecuecias correspodietes de clase, el gráfico se llama histograma. Defiició.4 U histograma La costrucció de histogramas comieza prácticamete igual que e las clases de frecuecia:. Se costruye los itervalos de clase.. Se ecuetra el puto medio de cada itervalo de clase. 3. E el plao cartesiao, e el eje de las abscisas, se distribuirá los putos medios de las clases de frecuecia, mietras que e el eje de las ordeadas se distribuirá las frecuecias de los datos. Fialmete, se costruye el histograma graficado ua barra por cada clase, y cuyo cetro será el puto medio de ésta, de tal maera que la altura de la barra es la frecuecia o frecuecia relativa y la base de los rectágulos está defiida por los límites de cada clase. Para facilitar la costrucció de u histograma es recomedable emplear sólo itervalos de clase de igual logitud, ya que e dado caso las frecuecias de las clases se grafica de maera proporcioal a las alturas de los rectágulos y además es mucho más fácil comparar las diferecias etre frecuecias cuado los rectágulos tiee la misma base. Ejemplo 7 Se costruye u histograma para las clases de frecuecia y la frecuecia acumulada del ejemplo 3.

28 44 Empleado la tabla.: Se grafica los putos medios de los itervalos (tercera columa) y se traza los rectágulos co sus bases iguales a la logitud de la clase y co las alturas correspodietes a su frecuecia, como se muestra e las siguietes figuras: f F () a) b) Nota Para las frecuecias relativas el histograma es el mismo, sólo se divide cada frecuecia etre el total de datos. Modelos de distribució de datos Los histogramas o sólo os ayuda a ubicar el cetro y visualizar la variabilidad de los datos, sio tambié la forma e que se distribuye; por tato, los podemos clasificar e simétricos sesgados hacia la izquierda o la derecha multimodales

29 45 Histogramas simétricos Preseta la distribució e forma de campaa, es decir, la mitad izquierda es ua image reflejada de la mitad derecha. Como muestra la figura.a, se cumple = M d = M o. Histogramas sesgados Preseta ua distribució e la que algua de las colas está más alargada e comparació co la otra. Se llama sesgados a la derecha o positivamete sesgados si la cola derecha es la que está más alargada. Como lo muestra la figura.b, se cumple M o < M d <. Se les llama sesgados a la izquierda o egativamete cuado la cola izquierda es la más alargada. Como lo muestra la figura.c, se cumple < M d < M o. Histogramas multimodales Tiee e su distribució más de u pico (ver figura.d). E caso de dos picos bimodal, e caso de tres, trimodal etcétera. a) b) c) d) Ejemplo 8 Retomado los datos del ejemplo 3 y comparado los valores promedio calculados = 7, M d = 75, M o = 9, el modelo asociado co las 80 calificacioes de física eperimetal es sesgado a la izquierda.

30 46.8. Polígoo de frecuecias E ciertas áreas de estudio se requiere que las represetacioes gráficas de la distribució de las frecuecias de datos sea hechas por líeas e lugar de barras. Por ejemplo, al realizar u estudio sobre los proósticos de algú eveto se visualiza mejor la distribució de sus frecuecias y sus tedecias si se ue sus putos medios co segmetos rectilíeos e lugar de trazar barras. Defiició.5 U polígoo de frecuecias uiedo por líeas los putos medios de cada itervalo, dode i es el puto medio de clase i y f i su frecuecia. Debido a su forma tambié se le suele llamar. Costrucció de u gráfico poligoal. Se crea los itervalos de clase.. Se ecuetra el puto medio de cada itervalo de clase. 3. E el plao cartesiao, e el eje de las abscisas, se distribuirá los putos medios de las clases de frecuecia, mietras que e el eje de las ordeadas se distribuirá las frecuecias de los datos. Fialmete, se costruye el gráfico poligoal uiedo los putos obteidos. Ejemplo 9 Se costruye u polígoo de frecuecias para las clases del ejemplo 3. Por medio de la tabla.4, si se grafica los putos obteidos de la tercera y la cuarta columas: f Los polígoos de frecuecia se emplea frecuetemete e el estudio de las series de tiempo, pues es comú querer coocer la tedecia de la distribució de los datos co respecto al tiempo. Además, e ciertas situacioes, cuado se quiere comparar las distribucioes de dos o más cojutos de datos, es mejor hacerlo por medio de los polígoos de frecuecias que mediate las barras, puesto que los primeros se puede sobrepoer y realizar ua observació mucho mejor, lo que o es aplicable co los histogramas.

31 47 Defiició.6 A los polígoos de frecuecia que se elabora co las frecuecias acumuladas o las frecuecias relativas acumuladas se les llama ojivas. Ejemplo 0 Se costruye la ojiva para las frecuecias relativas acumuladas del ejemplo Diagrama circular o de pastel Otro tipo de represetació gráfica de la distribució de datos muy empleado, cuado se quiere ilustrar las proporcioes de los datos de tal forma que llame la ateció, so los diagramas circulares. Defiició.8 U diagrama circular frecuecias relativas del cojuto de datos. Por su forma tambié se le suele llamar diagrama de pastel. Costrucció de u diagrama circular. Se crea los itervalos de clase.. Se calcula las frecuecias relativas por clase. 3. A partir del cetro de u círculo se traza sectores proporcioales al área que represete la frecuecia relativa por clase. Ejemplo Se costruye u diagrama circular que represete la distribució por clases de frecuecias relativas para las estaturas (e cetímetros) de la siguiete muestra de 50 persoas.

32 48 Como so 50 datos y se va a distribuir e siete clases, primero se calcula el rago del cojuto r = = 8 Se quiere obteer siete clases, por tato, se divide el rago 8 etre siete y el resultado es cuatro. Este valor será la logitud de cada ua de las clases de frecuecia. Es decir [58.4,6.4), [6.4,66.4), [66.4,70.4), [70.4,74.4), [74.4,78.4), [78.4,8.4), [8.4,86.4) Para obteer el área que represeta la frecuecia relativa e el digrama circular, se multiplica la frecuecia relativa por 360. Clase i Itervalo i Coteo Frecuecia f i Frecuecia relativa [58.4, 6.4) 0.04 [6.4, 66.4) [66.4, 70.4) [70.4, 74.4) [74.4, 78.4) [78.4, 8.4) [8.4, 86.4] % 4% 4% 4% 8 6% 5 0% 4% 4% 9 8% 6% 0% 4% 4% 8% a) b) Co el avace de la iformática y la creació de software, ha aumetado las represetacioes gráficas para las distribucioes de los datos; e esta uidad sólo se ha ilustrado alguas de ellas. A cotiuació se mecioa otros tipos de diagramas: aillos superficies cotizacioes cilídricas cóicas piramidales Todaséstas se puede ecotrar e software estadístico para computadora.

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