PROPAGACIÓN DE INCERTEZAS

Transcripción

1 PROPGIÓN DE INERTEZS Sean ± y ± los resultados de dos mediciones, es decir que son dos intervalos: Si queremos hacer una cuenta con y, por ejemplo +, el resultado no será un único número ya que es todo un intervalo de valores y también En consecuencia + será el intervalo de todos los resultados que se pueden obtener si uno hace la cuenta con todos y cada uno de los valores de y Es decir que, en general, cualquier operación que hagamos con y nos dará como resultado un intervalo y ese intervalo lo expresaremos como un valor representativo ± una incerteza Para esto aplicaremos las siguientes reglas: El valor representativo de una operación es el resultado de efectuar dicha operación con los valores representativos Por ejemplo: + + Las incertezas para las distintas operaciones se obtienen a partir de las siguientes fórmulas: Suma: ( + ) + Resta: ( ) + Producto: e ( ) e + e ociente: e e + e R Potencia: e R con R R ( ) e Las fórmulas para Suma y Resta son exactas En cambio, las fórmulas para Producto, ociente y Potencia son aproximadas y dichas aproximaciones son válidas si las incertezas relativas de las mediciones son pequeñas Pero de dónde salen estas fórmulas para las incertezas? La idea que aplicaremos para demostrarlas es la siguiente: Sabemos que el resultado de una operación entre y (llamémoslo ) es un intervalo: Y consideraremos que el valor representativo de (o sea ) se obtiene al hacer la cuenta con los valores representativos de y de es el punto medio del intervalo La incerteza absoluta de ( ) es la distancia que hay desde el punto medio del intervalo hasta cada uno de los extremos, es decir: Entonces, para cada operación entre y calcularemos la diferencia entre el imo valor posible del resultado ( ) y el valor representativo de ( ) y eso nos dará la

2 Suma: Tenemos ± y ± y deseamos calcular: + El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: + Veamos ahora cuál es el imo valor posible de la suma de y, es decir números, cuanto mayor sea cada uno de ellos mayor será el resultado Entonces: l sumar dos + pero + (o sea el punto medio del intervalo de más lo que le tengo que sumar para llegar al extremo superior del mismo) y + En consecuencia: Ya tenemos y omo, sólo nos falta hacer la diferencia entre ambos Tenemos finalmente lo que queríamos: ( 2+ 3 ) +

3 Resta: Tenemos ± y ± y ahora deseamos calcular: El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: Veamos ahora cuál es el imo valor posible de la diferencia entre y, es decir l efectuar la diferencia entre dos números, el resultado será mayor cuanto mayor sea y cuanto menor sea Entonces: pero + y En consecuencia: + ( ) + + Ya tenemos y omo , sólo nos falta hacer la diferencia entre ambos Tenemos finalmente lo que queríamos: ( 2 3 ) +

4 Producto: Tenemos ± y ± y deseamos calcular: Por ejemplo, podríamos pensar que este es el cálculo de un área El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: Esto correspondería al área de un rectángulo de lados ; Veamos ahora cuál es el imo valor posible del producto entre y, es decir Para esto uno debería analizar distintos casos: >0 y >0; >0 y <0; <0 y <0 Haremos esto para uno solo de ellos: >0 y >0 y puede verificarse haciendo lo mismo para los otros casos que la fórmula que se obtiene para la incerteza es la misma l multiplicar dos números positivos, el resultado será mayor cuanto mayor sea cada uno de los factores Entonces: demás sabemos que + y + En consecuencia: ( + ) ( + ) Esto correspondería al área de un rectángulo de lados + ; + Ya tenemos y omo, sólo nos falta hacer la diferencia entre ambos { + + Esto corresponde al área del segundo rectángulo menos el área del primero

5 hora, como estamos analizando el caso >0 y >0 donde dice puedo poner y donde dice puedo poner + + Si dividimos ahora ambos miembros de la ecuación por el módulo del valor representativo de obtenemos: + + Notemos ahora dos cosas: Entonces tenemos: e + e y por otra parte e + e + e e quí efectuaremos una aproximación: supondremos que las incertezas relativas de y son pequeñas con lo cual consideraremos que el último término es despreciable frente a los otros dos Por ejemplo: si y tienen una incerteza del 0% cada una entonces e e 0, ; con lo cual e e 0,0 y eso es 20 veces menor que e + e 0,2 Observación: si miran de dónde viene cada término, notarán que esta aproximación equivale a decir que el área del rectangulito en rojo ( ) de la figura anterior es mucho menor que la suma de las áreas de los rectángulos azul y verde ( + ) Entonces, despreciando este último término frente a los otros dos, obtenemos lo que queríamos demostrar: e{ e + e omentario: ahora que tenemos las fórmulas para la suma y el producto podríamos haber demostrado la fórmula para la resta pensando a la diferencia entre y de la siguiente manera: + Entonces: ( ) + ( ) + e( ) omo ( ) ( ) y e ( ) e( ) + e aplicando la fórmula para el producto, nos queda que: 23 0 ( ) + e( ) + e + + Que es efectivamente la fórmula que dedujimos para la resta En este caso, como la ( ) 0 falta ninguna aproximación y la fórmula es exacta e no haría

6 ociente: Tenemos ± y ± y deseamos calcular: Uno podría aplicar aquí la misma idea que en la demostración para el caso del producto efectuando la misma aproximación Otra forma de demostrar la fórmula de propagación de incertezas en un cociente es pensarlo como un producto y aplicar la fórmula del producto: on lo cual sólo tenemos que ver cuál es la incerteza de omo siempre, el valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: Veamos ahora cuál es el imo valor posible de, es decir Para esto uno debería analizar los distintos casos posibles: >0; <0 Haremos esto para uno solo de ellos: >0 y puede verificarse haciendo lo mismo para los otros casos que la fórmula que se obtiene para la incerteza es la misma El inverso multiplicativo de un número positivo es mayor cuanto menor sea dicho número Entonces: pero En consecuencia: 23 Ya tenemos y omo, sólo nos falta hacer la diferencia entre ambos ( ) ( ) ( ) ( ) + Multiplico ahora a ambos miembros de la ecuación por: ( ) Notemos ahora dos cosas: como >0 entonces donde dice puedo poner y entonces: e y por otra parte e Entonces nos queda:

7 e ( e) hora efectuaremos la misma aproximación que para el producto: consideraremos que la incerteza relativa de es pequeña, esto quiere decir que es mucho menor que : e << o, lo que es lo mismo, << Entonces consideraremos que e Luego: e e ( e) 23 Tenemos finalmente que la incerteza relativa del inverso multiplicativo de una medición es igual a la incerteza relativa de la medición Observación importante: el hecho de que esto sea para mediciones con incerteza relativa pequeña nos garantiza que 0 [ ; ] y por eso no nos preocupamos por lo que podría pasar si fuese cero En conclusión tenemos que, como : e e + e e + e { Y esto es lo que queríamos demostrar

8 Potencia: Por último demostraremos la fórmula para la propagación de incertezas cuando tenemos el resultado de una medición ± y deseamos calcular una cierta potencia de : R ; R R omo siempre, el valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: R Debido a que la matemática necesaria para efectuar esta demostración para un R R cualquiera está más allá de nuestro actual alcance, nos dedicaremos a demostrarla para R Z, es decir R será un número entero R Si R > 0, entonces 2 3 R veces plicando la fórmula que ya demostramos para el producto (que requiere que la incerteza relativa de sea pequeña ) tenemos que: e e e R e R veces R omo R es positivo donde dice R puedo poner R Luego e{ R e probar Si R < 0, entonces Por ejemplo, si R 4 entonces R L 4243 R veces ( 4) veces que es lo que queríamos plicando la fórmula que ya demostramos para el producto (que nuevamente requiere que la incerteza relativa de sea pequeña ) tenemos que: e e + + e R e Notemos ahora dos cosas: como R es negativo R veces R R demás, utilizando lo que probamos cuando demostramos la fórmula de propagación para el cociente: e e R on lo cual tenemos que e{ R e que es lo que queríamos demostrar Ya demostramos la fórmula para todos los enteros positivos y los negativos El único entero que nos falta es el cero Demostremos entonces la fórmula para el caso R 0 0 x ; x R 0 Entonces, Sabemos que un número cualquiera x elevado a la potencia cero verifica { } si R 0, 0 es decir que todos los valores del intervalo [ ] dan como resultado el número, siempre y cuando 0 [ ; ] ; al elevarlos a la potencia 0 nos Entonces el conjunto de resultados posibles es simplemente el número, con lo cual 0 lo que implica que e 0 Pero esto lo puedo escribir de la siguiente manera: e 0e y donde dice 0 podemos escribir R ya que R 0 Esto finalmente nos da: e R e que es lo que deseábamos probar En este caso particular (y sólo en este) no hace falta pedir que la incerteza relativa ( e ) sea pequeña 0 ; o, lo que es lo mismo, que e < para que valga la fórmula, sólo necesitamos que [ ]