UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CLAVE DE EXAMEN. CURSO: Matemática básica 1

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CLAVE DE EXAMEN CURSO: Matemática básica 1 SEMESTRE: Primero CODIGO DE CURSO: 101 TIPO DE EXAMEN: Segundo parcial FECHA DE EXAMEN: 4 de marzo de 011 NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIO EL EXAMEN: José Francisco Sánchez Sánchez NOMBRE DE LA PERSONA QUE DIGITALIZO EL EXAMEN: José Francisco Sánchez Sánchez

2 Segundo examen parcial Tema 1: (5 puntos) Dadas las funciones f ( x) x = 8 y g( x) = 5 x (a) Determinar el dominio y rango de cada función. (b) Calcule ( f g ) (x) (c) Determine si la función f es uno a uno, si no lo es, haga las restricciones necesarias para que lo sea (d) Encuentre f 1 ( x ), indique cual es su dominio y su rango. (e) Dibuje la representación gráfica de f y f en un mismo sistema de coordenadas. Tema : (5 puntos) La figura muestra la representación gráfica de una función h(x) (a) Determine el dominio y rango de la función. (b) Grafique y = h( x + ) + 3 (c) Encuentre el valor de ( h h)( x) (d) Encuentre el valor de h(0) Tema 3: (0 puntos) Una compañía de televisión por cable da servicio a 5,000 usuarios y cobra una tarifa de Q 0 por mes. Un estudio de mercado indica que por cada quetzal menos en la tarifa mensual, se suscribirán 500 nuevos clientes. Si I (x) representa el ingreso mensual de la compañía. (a) Construya una función que modele el ingreso I(x) (b) Determine el precio que debe tener el servicio para que el ingreso de la compañía sea máximo. (c) Calcule el ingreso máximo, Tema 4: (15 puntos) Construya una función polinomial de grado 4 que tenga como raíces x =, x = 3 y x =1 de multiplicidad. Además la gráfica del polinomio corta al eje y en 5. Dibuje la representación gráfica. Tema 5: (15 puntos) 4 3 Para el polinomio p( x) = x + 5x 1x 0x + 1 (a) Liste los posibles ceros racionales. (b) Determine los ceros de la función.

3 SOLUCION DEL EXAMEN Tema 1: (5 puntos) Dadas las funciones f(x) = 8 x y g( x) = 5 x (a) Determinar el dominio y rango de cada función. f ( x) x = 8 g( x) = 5 x D = Todos los reales D= 5 x 0 x 5 R= (-,8] D=(-,5] R=(0, ) (b) Calcule ( f g ) (x) ( f g ) (x) equivale a valuar la función g en x y luego sustituir esta función en la x de la función f, de esta forma: ( f g)( x) = 8 ( 5 x) = 8 (5 x) = 3 + x (c) Determine si la función f es uno a uno, si no lo es, haga las restricciones necesarias para que lo sea De acuerdo a la prueba de la recta horizontal esta función no es uno a uno ya que la recta toca dos puntos de la función, para que esta función sea uno a uno se debe restringir al dominio D =[ 0, ). (d) Encuentre f 1 ( x ), indique cual es su dominio y su rango. f ( x) = 8 x x = 8 ( f x 8 = ( f 8 x = ( f 8 x = f D = (,8] R = [0, ) ) ) ) (e) Dibuje la representación gráfica de f y f en un mismo sistema de coordenadas.

4 Tema : (5 puntos) La figura muestra la representación gráfica de una función h(x) La función h(x) esta dada por: x 4 para 5 x 4 h x 4 para 4 x 0 x ={ x para 0 x (a)determine el dominio y rango de la función. D= [-5,] R= [-1,3] (b) Grafique y= h x+ 3 la grafica de esta función estará trasladada espacios a la derecha 3 hacia arriba y reflejada sobre el eje x (c) Encuentre el valor de h h 3

5 h h 3 Equivale a valuar la función h en 3 y luego valuar la función h en el resultado de h(3) ya que h es una función dada por partes las funciones varías dependiendo de el intervalo que se esta trabajando. h h 3 =h h 3 h 3 = 3 4= 1=1 h h 3 =h 1 h 1 =1 =0 (d) Encuentre el valor de h 0 h 0 =0 = Tema 3: (0 puntos) Una compañía de televisión por cable da servicio a 5,000 usuarios y cobra una tarifa de Q 0 por mes. Un estudio de mercado indica que por cada quetzal menos en la tarifa mensual, se suscribirán 500 nuevos clientes. Si I x representa el ingreso mensual de la compañía. (a)construya una función que modele el ingreso I x I(x)=Tarifa*# de usuarios Por cada x menos en el precio aumenta en 500*x la cantidad de usuarios I(x)= (0-x)( *x) I(x)= x-5000x-500x I(x)= -500x +5000x (b) Determine el precio que debe tener el servicio para que el ingreso de la compañía sea máximo. Sabemos que el máximo de esta función estará en b/ª -5000/(*(-500))=-5000/-1000=5 Y este número representa el descuento que debe hacerse para obtener la ganancia máxima, al ser el precio original Q0 con un descuento de Q5 el precio que hace máxima la ganancia es de Q15. (c) Calcule el ingreso máximo. I(x)=-500(5) +5000(5) =11500 El ingreso máximo será de Q 11,500.

6 Tema 4: (15 puntos) Construya una función polinomial de grado 4 que tenga como raíces x=, x= 3 y x=1 de multiplicidad. Además la gráfica del polinomio corta al eje y en 5. Dibuje la representación gráfica. f(x)=a(x-)(x+3)(x-1) Debido a que se nos dice que la gráfica del polinomio corta al eje y en 5 sabemos que f(0)=5. Entonces 5=a(-)(3)(-1) 5=a*-6 a=-5/6 Entonces f(x)=(-5/6)(x-)(x+3)(x-1) f(x)=(-5/6)(x +x-6)(x -x+1) f(x)=(-5/6)(x 4 -x 3-7x +13x-6) f x = 5 6 x4 5 6 x x 65 6 x 5

7 Tema 5: (15 puntos) Para el polinomio p x =x 4 5x 3 1x 0 x+1 (a)liste los posibles ceros racionales. 1 =±1,±,±3,±4,±6,±1 =± 1 ±1,±,± 3,±1,±,±3,±4,±6,±1 (b) Determine los ceros de la función. Mediante la división sintética Al obtener los factores (x-) y (x+) se tiene el polinomio factorizado (x-)(x+)(x -5x -3) entonces los otros factores se pueden obtener mediante la fórmula cuadrática. x= b± b 4 ac a 5± = 5± = 5± 49 = 5±7 4 4 Y esto es igual a: =1 4 =3 y = 4 = Entonces el polinomio tiene ceros en, -, -3 y 1/ f x = x x x 3 x 1

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