Distribuciones Continuas de. Probabilidad. Dr. Víctor Aguirre Torres, ITAM. Guión 7.

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1 Distribuciones Continuas de Probabilidad 1

2 Contenido 1. Ejemplo. 2. Diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. 3. Diferencia de f(x) entre variables aleatorias discretas y continuas. 4. Valor Esperado, Varianza y Desviación Estándar de una Variable Aleatoria Continua. 5. Propiedades de Valor Esperado y Varianza de una Variable Aleatoria Continua. 6. Distribución de Probabilidad Normal. 2

3 1. Ejemplo. Compañía productora de quesos de México. Planta de manufactura de Quesos procesados de Vallejo, Ciudad de México. Se lleva a cabo un muestreo para la variable peso en la presentación de 180gm, de queso tipo Crema. El objetivo es el de observar el comportamiento de la precisión del operador-maquina para la variable peso. De una producción de 27,000 Kg. diarios se tienen alrededor de 152,000 cajas. 3

4 1. Datos Muestrales. Muestra Aleatoria Fecha Operador Peso en Grs /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 FERNAN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 FERNAN /11/2003 FERNAN /11/2003 FERNAN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 FERNAN /11/2003 JQUIN /11/2003 JQUIN /11/2003 FERNAN /11/2003 FERNAN /11/2003 JQUIN /11/2003 FERNAN /11/2003 JQUIN 181 4

5 2. Diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. VA Discretas: Solo toma los valores 0,1,2,...,etc VA Continuas: Conceptualmente podrían tomar TODOS los valores sobre un intervalo Experimento Inspección de una muestra de 50 radios Llenado de un formato Intento de venta de un bien raíz Funcionamiemto de una agencia de autos un día Experimento Fabricación de barras de jabón Manufactura de un detergente Llenar un botella de cerveza. (max 365 ml) Variable Valores posibles de la aleatoria variable aleatoria Número de radios defectuosos 0, 1, 2,..., 49, 50 Número de errores en el llenado 0, 1, 2,... Resultado del intento 0, 1 Número de autos vendidos 0, 1, 2,... Variable aleatoria Humedad de la pasta de jabón. Concentración de ingrediente activo Volumen de líquido Valores posibles de la variable aleatoria 0<x<100% 0<x<30% 0<x<365 ml 5

6 3. Diferencia de f(x) entre variables aleatorias discretas y continuas. Discreta Función de Probabilidad. f(x)=probabilidad de observar x Continua Función de Densidad de Probabilidad. f(x)= NO da directamente una probabilidad P( a<x<b)=área bajo f(x) encima de (a,b) P(x)=0 6

7 3. El Área Bajo la Curva como Medida de Probabilidad f ( x ) f(x) 0.1 P( 2 < X 4 < 4 ) = 2 f ( x )dx Valores de de la VA 7

8 3. Distribución Continua de Probabilidad Da la Probabilidad de que el valor de la VA continua caiga en un intervalo P( a < X < b ) = Probabilidad= Area bajo la curva f(x) Condiciones de consistencia i ) f ( x ) 0 ii) f ( x )dx = 1 b a f ( x )dx 8

9 4. Valor Esperado de una VA Continua Valor esperado de una VA: valor promedio de la VA si se observa una infinidad de veces. Da una medida de tendencia central de la distribución de probabilidad. Fórmula de cálculo: E( x ) = µ = xf ( x )dx 9

10 4. Varianza y Desviación Estándar de una VA Continua Varianza: Es una medida de variabilidad cuadrática promedio alrededor del valor esperado. Fórmula de cálculo: 2 2 Var ( x ) = σ = ( x µ ) f ( x )dx = E( x µ ) Desviación Estándar: Es una medida de variabilidad promedio alrededor del valor esperado σ = 2 σ 2 10

11 5. Propiedades de Valor Esperado y Varianza de una VA Continua. Si a es una constante entonces: ( ax ) ( a + Var( E = ( ae( x ) E x ) = a + ax ) = a Var a + x ) = 2 E( Var( Var( x ) x ) x ) 11

12 6. Distribución de Probabilidad Normal. La distribución más importante de probabilidad. Gran variedad de aplicaciones. Mediciones biológicas, físicas, astronómicas, industriales, etc. Se utiliza en Inferencia Estadística para resultados de muestreos planeados científicamente. 12

13 3. Función de Densidad de Probabilidad Normal. f ( x ) = ( x µ ) / 2σ e 2πσ µ=valor esperado de x. σ=desviación Estándar de x. µ= 15 σ= f(x) 13

14 Ejemplo. Para la variable peso del envase de queso, un posible modelo sería una distribución Normal con 0.35 µ= σ= f(x)

15 3. Características Distribución Normal de Probabilidad. 1. Es una familia de distribuciones de probabilidad. Para cada valor distinto de µ y σ se tiene un modelo distinto. 2. f(x) es simétrica acampanada alrededor de µ. Los extremos se extienden teóricamente hasta infinito en ambas direcciones. 3. µ = E(x). f(µ) alcanza la máxima altura. 4. µ puede ser positivo, cero ó negativo. 5. σ solo puede ser +, determina el ancho y el alto de f(x). 15

16 3. Características Distribución Normal de Probabilidad Densidades Normales f1 µ= 0 σ= f1(x) f1(x) f2(x) f2 µ= 2 σ=.33 16

17 3. Características Distribución Normal de Probabilidad. 6. Área total=1. Área total a la izquierda de µ= Área total a la derecha de µ=0.5. Por lo tanto µ=mediana. 7. Porcentajes de intervalos de uso común. Son válidos para cualquier µ y σ. (Regla Empírica) a) P(µ -σ<x< µ +σ ) = ó 68.26% b) P(µ -2σ<x< µ +2σ )= ó 95.44% c) P(µ -3σ<x< µ +3σ )= ó 99.72% 17

18 3. Distribución de Probabilidad Normal Estándar. P(0<z<1)= Es el caso en que µ=0, σ=1. Se encuentra en la TABLA f(x) z

19 3. Distribución de Probabilidad Normal Estándar. Calcular 1. P( z < 1.65) 2. P(-0.5< z). 3. P(-1< z <1). 4. P(1< z <1.58). 5. El percentil del 75%. 6. El percentil del 15%. 19

20 3. Determinación de Probabilidades para Cualquier Distribución Normal. Las probabilidades de todas las distribuciones normales se determinan con las probabilidades de la normal estándar. Supongamos que x tiene una distribución normal con µ, σ arbitrarios. Conversión a la distribución normal estándar. P( a < x x µ z = σ a µ < b ) = P( < z σ < b µ ) σ 20

21 3. Determinación de Probabilidades para Cualquier Distribución Normal. Supongamos que x tiene una distribución normal con µ=10 y σ=2. Deseamos calcular P(10<x<14) Haciendo la conversión: P(10 < x < 14 ) = = P( < z 2 P(0 < z < 2 ) < ) =

22 3. Determinación de Probabilidades para Cualquier Distribución Normal. Supongamos que x tiene una distribución normal con µ=10 y σ=2. Deseamos calcular el pocentil del 60% Haciendo la conversión: x P( x < x0.6 ) = 0.6 = P( z < ) 2 De la tabla P( z < 0.26 ) = entonces x = 2 x = ( 2 ) =

23 3. Ejemplo. Grear Tire Co. x=millas que dura una llanta. Supongamos que x tiene una distribución normal con µ= millas y σ= 5000 millas. Qué % de neumáticos durarán más de millas? Deseo garantizar solo un 10% de las llantas cuál debe ser el millaje de garantía? 23

24 3. Ejemplo. Grear Tire Co. Primer pregunta. Lo que se pregunta es la probabilidad de que la variable aleatoria exceda millas P( < x ) = P( < z ) 5000 = P( 0.70 < z ) = = Entonces la proporción de llantas que excederán millas es de 24.2 %. 24

25 3. Ejemplo. Grear Tire Co. Segunda pregunta. Se desea encontrar un millaje tal que la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor que ese millaje es de 0.1. Ese millaje debe ser el percentil del 10%. P( x 0.1 x De la < x 0.1 tabla ) por simetría x = 0.1 = P( z < ) 5000 P( z < 1.28 ) = entonces P(z < 1.28 ) = 0.1 = 1.28 x 0.1 = ( 5000 ) = Entonces, si la garantía es de millas, ésta se pagará a lo más al 10% de las llantas. 25

26 3. Distribución de Probabilidad Normal. Cálculo con Excel. Distribución acumulada =DISTR.NORM(40000,36500,5000,1) Percentiles x µ σ Acumulado (0=no, 1=si) =DISTR.NORM.INV(0.1,36500,5000) p µ σ 26

27 Problemas recomendados Capítulo 6 Distribución Normal de Probabilidad: 13, 15,18, 24. Ejercicios complementarios: 39,

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