FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

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1 VARIABLE ALEATORIA Se llama varable aleatora a toda fucó defda e el espaco muestral de u epermeto aleatoro que asoca a cada elemeto del espaco u úmero real X : E R El cocepto de varable aleatora surge ate la ecesdad de cuatfcar los resultados de los epermetos aleatoros para poder realzar u estudo matemátco de dchos resultados Tpos de varables aleatoras Segú como sea los recorrdos de las varables, estas se puede clasfcar e dscretas y cotuas Ua varable aleatora es dscreta cuado solo puede tomar certos valores aslados Ua varable aleatora es cotua cuado puede tomar, al meos teórcamete, todos los valores posbles detro de u certo tervalo Ejemplo Se realza u epermeto aleatoro que cosste e lazar dos moedas El espaco muestral es: E = { XX, CX, XC, CC } Cosderemos la fucó X que asga a cada suceso el úmero de caras XX 0 CX XC CC Esta fucó, que se deota por X, se le llama varable aleatora, y su recorrdo es el cojuto {0,, } Ejemplo Se cosdera el epermeto aleatoro que cosste e elegr al azar a 0 membros de u club de atletsmo y se mde el tempo que tarda e correr 00m La ley que asoca a cada atleta el tempo que tarda e correr 00 m es ua varable aleatora El recorrdo de esta varable puede ser cualquer valor de los ftos que hay, por ejemplo, e el tervalo [0, 5] segudos FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Sea ua varable aleatora dscreta X, asocada a u epermeto aleatoro, que toma los valores,, 3,, Se llama fucó de probabldad de la varable aleatora dscreta X, a la fucó que asoca a cada uo de los valores que toma la varable, la suma de las probabldades de los resultados que hace que la varable aleatora tome el valor P( X = ) = p Propedades - 0 p para todo =,,, - p 3- P(a X b) = P(X = a) + P(X = a+) +P(X =b ) + P(X = b) - P(X > a) = P(X a) Meda o esperaza de la varable X Se le suele represetar por X y más usualmete por μ μ = p + p ++ p = p Varaza p p p p Desvacó típca p

2 p p p X p p p = P(X = ) p p = P(X = ) p p = P(X = ) p p p Ejemplo Se laza ua moeda tres veces y se cosdera la varable aleatora X: úmero de caras Meda μ = Espaco muestral X p p p p XXX 0 / CXX, XCX, XXC 3/ 8 3/ 8 3/ 8 CCX, CXC, XCC 3/ 8 6// 8 / 8 CCC 3 / 8 3/ 8 9/ 8 / 8 = 3/ / 8 = 3 p = 3/ Varaza p 3 3 0, Desvacó típca p 0, 8660 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Al defr la fucó de probabldad de ua varable aleatora cotua o tee setdo hacerlo e cada puto de esta, como se hzo e la dscreta, pues toma ua fdad de valores e u tervalo Se defe medate ua fucó f(), llamada fucó de desdad, que tee que verfcar: f() 0 para todo puto e el que esté defda El área lmtada por la gráfca de f() y por el eje X vale La P(X a) vedrá dada por el sguete área P(a X b) = P(X b) P(X a) P(X = a) = 0 para cualquer valor de a P(X > a) = P(X a)

3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS IMPORTANTES Dstrbucó de Beroull Se cooce como epermeto de Beroull a u epermeto aleatoro co dos úcos resultados A y A C, cada uo de ellos co probabldades: P(A) = p y P(A C ) = p = q Al suceso A se le suele llamar éto y al A C fracaso Meda S llamamos X a la varable aleatora úmero de étos, esta tomará los valores {0, } co probabldades: P(X = 0) = p = q y P(X = ) = p μ = 0q +p = p Varaza σ = 0 q + p μ = p p = p( p) = pq Desv típca pq Ejemplos: E el lazameto de ua moeda, obteer cara E el lazameto de u dado, obteer u dos E la fabrcacó de ua peza, s esta es correcta o defectuosa Al sacar bolas de ua ura, comprobar s es egra o o Dstrbucó bomal Cuado u epermeto de Beroull se realza u úmero de veces, y todas las pruebas so depedetes, es decr, el resultado de u epermeto o depede de lo que ha ocurrdo e los aterores, se dce que es u epermeto que sgue el modelo de la dstrbucó bomal U epermeto aleatoro se dce que sgue el modelo de la dstrbucó bomal cuado tee las sguetes característcas: Se realza pruebas El resultado obtedo e cada prueba es depedete de los resultados obtedos e las pruebas aterores E cada prueba del epermeto solo so posbles dos resultados, el suceso A que se llama éto, y su cotraro A C, al que se le llama fracaso La probabldad del suceso A es costate, por tato o varía de ua prueba a otra Se represeta por p a la probabldad de A (éto), y por q a la de A C (fracaso) La varable X que represeta el úmero de étos obtedos e las pruebas, se le llama varable aleatora bomal Esta varable puede tomar los valores: 0,,, 3,, étos Fucó de probabldad de la dstrbucó bomal r P(obteer r étos) = P(X = r) = p r q r! dode: y! ( -) ( - )3 r r!( r)! Meda μ = p Varaza σ = pq Desvacó típca pq Como podemos observar, ua dstrbucó bomal queda perfectamete defda coocedo y p A estos valores se les llama parámetros de la dstrbucó bomal, y a esta se le represeta abrevadamete por B(, p) Ejemplo Se laza ua moeda cco veces al are Calcular la probabldad de obteer tres caras, úmero medo de caras esperado, desvacó típca Solucó Al lazar ua moeda al are cosderemos los sucesos: Éto C = salga cara y Fracaso C C = o salga cara = salga cruz co probabldades: P(C) = / = 0,5 P(C C ) = ½ = ½ = 0,5 El resultado de cada lazameto de la moeda es depedete de los resultados aterores, y e cada uo de ellos la probabldad de cara es costate y vale / Cosderemos la varable aleatora X que os da el úmero de caras e los 5 lazametos, esta toma los valores: 0,,, 3,, 5 Esta varable sgue ua dstrbucó bomal de parámetros 5 y ½ B(5, / ) P(X 3) 0,5 0,5 0 0,5 0 0,035 0, ! 5! !(5 3)! 3!! 3 Meda μ = p = 5 0,5 =,5 5 0 Desvacó típca pq 50,5 0,5,5, 80 3

4 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL Ua varable aleatora X sgue ua dstrbucó ormal de meda μ y desvacó típca σ y se desga por N(μ, σ) s se cumple las sguetes codcoes: La varable puede tomar cualquer valor real, es decr (-, + ) La fucó de desdad f() de la dstrbucó ormal es: f () e dode: e =,78 costate π = 3,5 costate = abscsa, valor cualquera de la varable μ = meda de la varable aleatora X (parámetro) σ = desvacó típca de la varable aleatora (parámetro) f() = ordeada de la curva Característcas de la fucó de desdad Domo o campo de esteca; toda la recta real, es decr (-, + ) Smetrías: la fucó es smétrca respecto de la recta = μ Cortes co los ejes: Corta al eje Y Co el eje X o hay putos de corte Astotas: s tede a, f() se acerca a 0 Por tato, el eje es ua astota Crecmeto y decrecmeto: la fucó crece hasta = μ y decrece desde = μ Mámos y mímos: la fucó f() preseta u mámo e = μ Putos de fleó: la fucó preseta dos putos de fleó I e I para los valores de la varable = μ σ y = μ +σ Área ecerrada bajo la curva: el área del recto determado bajo la fucó f() y el eje de abscsas es gual a la udad, ya que es ua fucó de desdad Al ser smétrca respecto al eje que pasa por = μ, dcho eje deja u área gual a 0,5 a la zquerda y otra del msmo valor a la derecha Famla de dstrbucoes ormales La forma de la curva ormal depede de los parámetros μ y σ La meda μ determa la stuacó del cetro de la dstrbucó, y la desvacó típca σ epresa la cocetracó de los datos de la dstrbucó alrededor de la meda Así para cada valor de μ y de σ tedríamos ua fucó de desdad dstta

5 Cuado la desvacó típca es elevada aumeta la dspersó y, por tato la gráfca es meos estlzada y meos cocetrada e toro a la meda Por el cotraro, para valores de σ pequeños, la dspersó dsmuye y la gráfca es más estlzada y cocetrada etoro a la meda S mateemos la desvacó típca costate y hacemos varar la meda, obteemos ua famla de dstrbucoes ormales co la msma cocetracó alrededor de la meda, eactamete co la msma forma, pero desplazadas e el eje X Dstrbucó ormal estádar N(0, ) De etre todas las dstrbucoes N(μ, σ) tee especal terés la dstrbucó N(0, ), es decr, la que tee de meda 0 y desvacó típca Esta dstrbucó se le llama dstrbucó ormal estádar o dstrbucó ormal reducda Su fucó de desdad es: f (z) e El terés de esta dstrbucó está e que cualquer ormal N(μ, σ) se puede trasformar e ua N(0, ) medate el sguete cambo de varable: z Z X Esta trasformacó se le cooce co el ombre de tpfcacó de la varable Los valores de P(X a), co a postvo se ecuetra tabulados Uso de las tablas N(0, ) Cálculo de P(X a), co a postvo Se mra drectamete e la tabla S el valor de a o se ecuetra e la tabla, se puede hacer dos cosas: - Iterpolacó leal - Apromarlo al más prómo de la tabla Nosotros seguremos este procedmeto P(Z > a) P(Z > a) = P(Z a) P(Z < -a) P(Z < -a) = P(Z a) P(Z -a) = P(Z a) P(a Z b), co a y b postvos 5

6 P(a Z b) = P(Z b) - P(Z a) P(-a Z -b) = P(b Z a) P(-a Z b) = P(Z b) - P(Z -a) = P(Z b) - P(Z a) = P(Z b) - [ - P(Z a)] Ejemplos E ua dstrbucó N(0, ) calcula las sguetes probabldades: a) P(Z 0,3) = P(Z 0,3) = 0,557 = 0,83 b) P(Z -,8) = P(Z,8) = - P(Z <,8) = 0,8997 = 0,003 c) P(Z -,37) = P(Z,37) = 0,99 d) P(,5 < Z,57) = P(Z,57) P(Z <,5) = 0,999 0,89 = 0,005 e) P(0 Z 0,75) = P(Z 0,75) P(Z 0) = 0,773 0,5 = 0,73 f) P(-,05 Z ) = P(Z ) P(Z -,05) = P(Z ) - [ P(Z,05)] = P(Z ) + P(Z,05)] - = 0,957 Caso verso Coocda la probabldad calcular el valor de a Vamos a dstgur tres casos P(Z a) = p co compreddo etre 0,5 y E este caso a es postvo y para su cálculo basta co mrar la tabla el valor de p y leer el correspodete valor de la varable, s el valor de p se ecuetra compreddo etre dos valores, se toma el valor de la varable correspodete al más prómo a p P(Z a) = p co p meor que 0,5 E este caso a es egatvo P(Z -a) = - P(Z a) = p ( p es mayor que 0,5) Se mra e las tablas, como e el caso ateror, y se obtee -a, sedo a el opuesto 3 P(-a Z a) = p (Itervalos característcos) Habtualmete, la probabldad p se desga por α, y al valor a por P( z Z z ) = α sedo α = p α = p como P( Z z ) = y P( Z z ) = z p teemos que P( Z z ) = α + > 0,5 Se mra e la tabla y se obtee z Ejemplo: E ua dstrbucó N(0, ) calcula el valor de k: a) P(Z < k) = 0,9 Mramos e las tablas de la N(0, ), y k =,3 b) P(Z k) = 0,56 Como 0,56 < 0,5 k es egatvo P(Z k) = P(Z -k) = P(Z -k) = 0,56 P(Z -k) = 0,56 = 0,538 -k = 0, k = - 0, c) P(Z > k) = 0,036 P(Z > k) = P(Z k) P(Z k) = P(Z > k) = 0,036 = 0,956 k,7 Itervalos característcos a) P( z Z z ) = 0,9 α = 0,9 α = 0, 05 0, El tervalo es: (-,65,,65) b) P( z Z z ) = 0,95 α = 0,95 α = 0, , El tervalo es: (-,96,,96) P( Z z ) = 0,9 + 0,05 = 0,95 z, 65 P( Z z ) = 0,95 + 0,05 = 0,975 z, 96 6

7 c) P( z Z z ) = 0,99 α = 0,99 α = 0,0 0, 005 El tervalo es: (-,575,,575) d) P( z Z z ) = 0,8 α = 0,8 α = 0, 0, El tervalo es: (-,8,,8) P( Z z ) = 0,99 + 0,005 = 0,995 z, 575 P( Z z ) = 0,8 + 0, = 0,9 z, 8 Cálculos e ua ormal N(μ, σ) Ejemplos: Como ya djmos se tpfca, hacedo el cambo Z X, y pasamos a ua N(0, ) La estatura de 600 estudates está dstrbuda segú u ormal co meda 75 cm y varaza 5 cm Determa: a) Porcetaje de estudates que tedrá ua estatura compredda etre 7 80 cm b) Número de estudates co ua estatura superor a 85 cm Solucó: a) Varaza σ = 5 cm Desvacó típca: 5cm 5cm Meda: 75 cm S llamamos X a la varable estatura, esta se dstrbuye segú ua N(75, 5) X X 75 Nos pde P(7 < X < 80) Tpfcamos, hacedo el cambo Z P(7 < X < 80) = P( ) P( 0,6 Z ) P(Z ) P(Z 0,6) = 0,83 0,73 = ,567 P(Z < ) = 0,83 P(Z < -0,6) = P(Z > 0,6) = P(Z < 0,6) = 0,757 = 0,73 Solucó: P(7 < X < 80) = 0, b) P(X > 85) = P(Z ) P(Z ) P(Z ) = 0,977 = 0,08 5 EL,8% de los estudates tee ua estatura superor a 85 cm Calculamos el,8% de ,08 =3,68 Solucó: Catorce estudates tee ua estatura superor a 85 cm E ua ormal N(00, 0,3) calcula el tervalo característco correspodete a ua probabldad de 0,9 Solucó: P( a X b) = 0,9 Tpfcamos: X a b z ; z, z μ = 00 y σ = 0,3 a X b P( a X b) = P( ) P( z Z z ) = 0,9 z, 65 a 00,65 a 00,65 0,3 99,5065 a z 0,3 b 00,65 b 00,65 0,3 00,935 b z 0,3 Solucó: (99,5065; 00,935) Nota Observa que los tervalos característcos e ua N(μ, σ) so de la forma: z ; z 7

8 ESTADÍSTICA INFERENCIAL DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO INTODUCCIÓN La estadístca ferecal se ocupa de deducr o ferr las característcas de la poblacó, parámetros, a partr de las característcas de la muestra, estadístcos La estadístca ferecal se dvde e: Estadístca Iductva Estadístca deductva La estadístca ductva se ocupa de estmar los parámetros de la poblacó a partr de los estadístcos muéstrales, be: Medate u úco valor, estmacó putual Medate u tervalo, estmacó por tervalos La estadístca deductva que se ocupa de tomar decsoes sobre la poblacó a partr de los datos obtedos e ua muestra La técca que utlza so los cotrastes de hpótess Parámetro poblacoal o parámetro Es u valor umérco que descrbe ua característca de la poblacó, la meda, desvacó típca, proporcó, etc Parámetro muestral o estadístco Es u valor umérco que descrbe ua característca de ua muestra La meda, desvacó típca, proporcó, etc Parámetros de ua dstrbucó teórca So valores umércos que defe a dcha dstrbucó, así: E ua dstrbucó bomal, B(, p) los parámetros so y p E ua dstrbucó ormal, N(μ, σ) los parámetros so μ y σ DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES Como usualmete el estudo de las característcas de ua poblacó se hace a través de muestras etraídas de ella Los estadístcos (meda, varaza, proporcó, etc) que se obtee de las muestra os va a permtr ferr sobre el correspodete parámetro poblacoal co u certo grado de apromacó Para ello es ecesaro coocer las relacoes estetes etre los estadístcos muéstrales y los parámetros poblacoales, así como la dstrbucó de los estadístcos muéstrales, ya que al ser las muestras aleatoras los estadístcos també será aleatoros Dstrbucó muestral de las medas Cosderemos ua poblacó, fta de tamaño N o fta, e la estudamos ua certa varable X que tee de meda μ y desvacó típca σ Formemos todas las muestras aleatoras smples de tamaño, cada muestra estará formada por elemetos de la poblacó, (,, 3,, ) co respecto a la varable X objeto de estudo Cada muestra tedrá ua meda, desgamos por X a la meda de cada ua de las muestras de tamaño, X es ua varable pues cada muestra tedrá ua meda Dchas medas, que vee desgadas por la varable X, forma ua dstrbucó que se le llama Dstrbucó Muestral de las Medas, que como tal dstrbucó tedrá ua meda y ua desvacó típca que desgaremos por y, es la meda de las medas muéstrales y la desvacó típca de las medas muéstrales) La relacó estete etre la meda y desvacó típca de la poblacó y la dstrbucó de las medas muéstrales es respectvamete,( la sguete: La meda de la poblacó μ cocde co la meda = μ La desvacó típca poblacoal σ y la desvacó típca sguete relacó: de la dstrbucó muestral de las medas de la dstrbucó muestral de las medas tee la, sedo el tamaño de la muestra Además, al ser X ua varable aleatora, pues las muestras so aleatoras, tedrá ua dstrbucó: S la varable X e la poblacó se dstrbuye segú ua ley ormal de meda μ y desvacó típca σ, N(μ, σ), las medas muéstrales de tamaño, X, se dstrbuye segú ua ormal de meda μ y desvacó típca X sgue ua N(μ, σ) X sgue ua N(, ) sea cual sea el tamaño de la muestra 8

9 S la varable X e la poblacó tee ua dstrbucó descoocda de meda μ y desvacó típca σ, las medas muéstrales de tamaño, X, se aproma a ua ormal de meda μ y desvacó típca a medda que crece el tamaño de la muestra (Teorema Cetral del Lmte) E la práctca se cosdera que la apromacó es buea para tamaños de muestra superores o guales a treta, ( 30) Ua varable X e ua poblacó de meda μ y desvacó típca σ X se aproma a ua N(, ) s 30 Ejemplo Ua poblacó está formada por los úmeros sguetes: 3, 7,, 5 a) Ecuetre todas las muestras aleatoras smples posbles, de tamaño b) Halle la meda y la desvacó típca de la dstrbucó muestral de medas c) Halle la meda y la desvacó típca de la poblacó f) Compare los resultados obtedos e los apartados b y c Solucó: a) Las muestras aleatoras smples de tamaño so: (3, 3) (3, 7), (3, ), (3, 5), (7, 3), (7, 7), (7, ), (7, 5), (, 3), (, 7), (, ), (, 5), (5, 3), (5, 7), (5, ), (, 5) b) Muestra 3,3 3,7 3, 3,5 7,3 7,7 7, 7,5,3,7,,5 5,3 5,7 5, 5,5 Meda ( X ) Para facltar los cálculos de la meda de sguete tabla: X ( ) y su desvacó típca Meda de las medas muéstrales: 9 6 X X X Totales 6 56, agrupamos los valores de Desvacó típca de las medas muéstrales: X e la c) Meda de la poblacó 9 Desvacó típca de la poblacó N N d) Relacó etre las medas: Relacó etre las desvacoes típcas: = μ = 9 E efecto: Ejemplo Sea la poblacó {-, -, 3, } Forme todas las muestras, s reemplazameto, de tamaño y calcule la meda y varaza de las medas muéstrales, comparado los resultados obtedos co la meda y varaza de la poblacó Solucó: 9

10 Muestras s reemplazameto de tamaño : (-, -), (-, 3), (-, ), (-, 3), (-, ), (3, ) Muestra -, - -, 3 -, -, 3 -, 3, Meda ( X ) -3/ 3/ / 7/ Meda de las medas muéstrales: Desvacó típca de las medas muéstrales: 3 3 ( ) ( ) 3 Meda de la poblacó Desvacó típca de la poblacó Relacó etre las medas: = μ = N N 6 7 ( ) N Relacó etre las desvacoes típcas: El factor N reemplazameto ( ) N se debe a que las muestras so s N E efecto N 6 3 N Ejemplo 3 La edad de los ños que va a u parque sgue ua ley Normal de meda 8 años y desvacó típca años E u mometo determado hay 5 ños e ese parque Cuál es la probabldad de que la edad meda de ese grupo esté etre 85 y 9 años? Solucó: a) X: edad de los ños que va al parque, se dstrbuye segú ua N(8;,), X5 o X : Meda d las edades e las muestras de tamaño 5, se dstrbuye segú ua N8, N8; 0, 5 Tpfcacó: X 8 Z 0, 8, 5 8 X P( 8, 5 X 9) P p( 9, Z, 38) P(Z, 38) P(Z 9, ) 0, 993 0, , 083 0, 0, 0, Ejemplo Los resultados de u test de sesbldad muscal realzado a los alumos de u Coservatoro se dstrbuye segú ua ley Normal de meda 65 y desvacó típca 8 a) (075 putos) Cuál es la dstrbucó de la meda muestral para muestras de tamaño 5? b) (5 putos) Para muestras aleatoras de tamaño 00, halle la probabldad de que su putuacó meda esté compredda etre 63 y 67 putos a) Como la poblacó se dstrbuye segú ua Ley Normal, la meda muestral se dstrbuye segú ua Ley Normal de meda 8 65 y desvacó típca 3, 6 5 b) La meda muestral Tpfcacó: 8 X para muestras de tamaño 00 se dstrbuye segú ua Ley N65, N( 65;, 8) 00 X 65 Z, X P( 63 X 67) P p(, Z, ) P(Z, ) P(Z, ) P(Z, ) P(Z, ) 8, 8, 8, P(Z,) P(Z,) 0,8665 0,8665 0,

11 Ejemplo 5 Ua empresa de teléfoos móvles ha hecho u estudo sobre el tempo que tarda sus baterías e descargarse, llegado a la coclusó de que dcha duracó, e días, sgue ua ley Normal de meda 38 y desvacó típca Se toma ua muestra de 6 móvles de esta empresa Halle la probabldad de que: a) La duracó meda de las baterías de la muestra esté compredda etre y 3 días b) La duracó meda de las baterías de la muestra sea feror a 335 días a) Como la duracó de las baterías, e días (X), se dstrbuye segú ua Ley N(3,8; ) La meda muestral ( X) de las muestras de tamaño 6 se dstrbuye segú ua Ley N3,8; N(3,8;0,5) 6, 3,8 X 3,8,3 3,8 P(, X,3) P p(, Z ) P(Z ) P(Z,) 0,977 0,889 0,093 0,5 0,5 0,5 Tpfcacó: X 3,8 Z Solucó: 0,093 0,5 X 3,8 3,35 3,8 b) P(X 3,35) P P(Z,8) P(Z,8) P(Z,8) 0,96 0, ,5 0,5 Ejemplo 6 La meda de edad de los alumos que se preseta a las pruebas de acceso a la Uversdad es de 8 años y la desvacó típca 06 años a) Cuál es la dstrbucó de la meda muestral para muestras de tamaño 00? b) De los alumos aterores se elge, al azar, ua muestra de 00, cuál es la probabldad de que la meda de la edad de la muestra esté compredda etre 79 y 8 años? Solucó a) La dstrbucó de la poblacó es descoocda y el tamaño de la muestra es 00 mayor que 30 E cosecueca es aplcable el Teorema Cetral del Límte, y la meda muestral se dstrbuye segú ua ley Normal de meda 8 años y 06 desvacó típca años 006 años 00 b) Meda muestral: X N(8,;0,06) Tpfcacó: X 8, Z 0,06 7,9 8, X 8, 8, 8, P(7,9 X 8,) P p( 3,33 Z,67) P(Z,67) P(Z 3,33) 0,06 0,068 0,06 P(Z,67) P(Z 3,33) P(Z,67) P(Z 3,33) 0,955 0, , Dstrbucó muestral de la proporcó 9507 Sea ua poblacó e la que estamos estudado ua característca o varable que solo puede tomar dos valores, éto o fracaso, co probabldades o proporcoes p y q respectvamete, co q = p Cosderemos las dsttas muestras aleatoras smples que se puede formar de tamaño, e cada ua de ellas la característca poblacoal aparecerá e ua proporcó o probabldad que vamos a desga por pˆ, e cada muestra pˆ tomará u valor que depederá de esta, lo que da lugar a ua varable aleatora que represetaremos por A la dstrbucó de los valores de se le llama dstrbucó e el muestreo de ua proporcó o probabldad La dstrbucó de tee las sguetes característcas: Meda p pq p( p) Desvacó típca: 3 A medda que crece la dstrbucó de se aproma a ua ormal, p q N p,, sempre que p o se aprome a 0 a E la práctca se cosdera que la apromacó es buea para tamaños de muestra superores o guales a treta, ( 30) p: proporcó poblacoal de ua característca ( proporcó muestral) sgue ua p q N p, co 30 E la práctca ocurre que la proporcó poblacoal p o se cooce y evdetemete q tampoco E estos casos se aproma por las respectvas de la muestra pˆ y qˆ

12 ( proporcó muestral) sgue ua pˆ qˆ N pˆ, para tamaños grades de Ejemplo Sea la poblacó {,, 3} Cosderemos e esta poblacó la característca úmero de cfras mpares a) Ecuetre todas las muestras aleatoras smples posbles, de tamaño b) Calcula la meda y desvacó típca de las proporcoes muéstrales de cfras mpares c) Calcula la proporcó de cfras mpares e la poblacó d) Comprueba las relacoes y ctadas aterormete e la teoría Solucó a) Las muestras aleatoras smples de tamaño so: (, ), (, ), (, 3), (, ), (, ), (, 3), (3, ), (3,), (3, 3) b) Muestra,,,3,,,3 3, 3, 3,3 Proporcó de cfras mpares ( ) 0,5 0,5 0 0,5 0,5 Para facltar los cálculos de la meda de ( tabla: Meda: Desvacó típca: P ) y su desvacó típca, agrupamos los valores de e la sguete ,5 Totales c) Proporcó de cfras mpares e la poblacó: d) Relacoes: p 3 pq E efecto, p 3 pq

13 RESUMEN DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA EN EL MUESTREO Poblacó se dstrbuye segú ua N(μ, σ) Meda muestral( X ) se dstrbuye segú N(, ), sea cual sea el tamaño de la muestra Dstrbucó de la poblacó descoocda, de meda μ y desv típca σ Meda muestral ( X ) se dstrbuye segú ua N(, ), s 30 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN p: proporcó poblacoal de ua característca ( proporcó muestral) sgue ua p q N p, co 30 E la práctca ocurre que la proporcó poblacoal p o se cooce y evdetemete q tampoco E estos casos se aproma por las respectvas de la muestra pˆ y qˆ ( proporcó muestral) sgue ua pˆ qˆ N pˆ, para tamaños grades de INTERVALOS DE CONFIANZA INTERVALO DE CONFIANZA es el tervalo (a, b) que cotee al parámetro que se está estmado co u certo vel de cofaza ( α) NIVEL DE CONFIANZA, ( α) sgfca que el ( ) 00% de los tervalos de cofaza cotee al parámetro poblacoal que se está estmado NIVEL DE SIGNIFICACIÓN o RIESGO DE ERROR DEL INTERVALO, α sgfca que el α00% de los tervalos de cofaza o cotee al parámetro poblacoal que se está estmado LIMITES DE CONFIANZA So los etremos a y b del tervalo de cofaza, a es el lmte feror y b el superor AMPLITUD DEL INTERVALO DE CONFIANZA, es la dstaca etre los límtes del tervalo Ampltud b a INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA μ DE UNA POBLACIÓN DE DESVIACIÓN TÍPICA σ CONOCIDA Se desea estmar la meda μ, de ua poblacó cuya desvacó típca σ es coocda Para ello se recurre a ua muestra,, 3,, de tamaño de la que se obtee su meda, (meda muestral) S la poblacó de partda es ormal, o s el tamaño de la muestra es 30, etoces el tervalo de cofaza de μ co u vel de cofaza ( ) 00%, es: z, z 3

14 Dode: Es la meda muestral z Es el valor crítco correspodete a la N(0, ) y que cumple: P( z Z z ) σ Es la desvacó típca de la poblacó Es el tamaño de la muestra Característcas del tervalo de cofaza Es u tervalo cetrado e y de rado Su ampltud es: Ampltud = z Error del tervalo o error mámo admsble Es el rado del tervalo, lo desgaremos por E z Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, meor es E Cuato mayor sea el vel de cofaza ( α), mayor es E z El error depede de y de α z y por tato mayor es el error Cálculo del tamaño de muestra, coocdos el error E y el vel de cofaza ( α) E z Se despeja aproma sempre al etero superor De la epresó de se deduce: aumeta al aumetar z aumeta al dsmur el error E z E z E, es decr, al aumetar el vel de cofaza ( α) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN p DE UNA POBLACIÓN S el resultado es u úmero decmal, se Se desea estmar la proporcó, p, de dvduos co ua certa característca e ua poblacó Para ello se recurre a ua muestra de tamaño, de la que se obtee ua proporcó muestral, pˆ de esa característca El tervalo de cofaza de p co u vel de cofaza ( ) 00%, es: Dode: pˆ z pˆ qˆ,pˆ z pˆ qˆ pˆ Es la proporcó muestral qˆ pˆ z Es el valor crítco correspodete a la N(0, ) y que cumple: P( z Z z ) Es el tamaño de la muestra Característcas del tervalo de cofaza Es u tervalo cetrado e pˆ y de rado Su ampltud es: Ampltud = z z pˆ qˆ pˆ qˆ Error del tervalo o error mámo admsble Es el rado del tervalo, lo desgaremos por E Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, meor es E pˆ qˆ E z El error depede de y de α

15 Cuato mayor sea el vel de cofaza ( α), mayor es z y por tato mayor es el error Cálculo del tamaño de muestra, coocdos el error E y el vel de cofaza ( α) pˆ qˆ E z Se despeja E z pˆ qˆ E z pˆ qˆ S el resultado es u úmero decmal, se aproma sempre al etero superor pˆ qˆ z E De la epresó de se deduce: aumeta al aumetar z aumeta al dsmur el error E, es decr, al aumetar el vel de cofaza ( α) Segú la RAE, el sgfcado hpótess y cotraste so: Hpótess f Suposcó de algo posble o mposble para sacar de ello ua cosecueca Hpótess de trabajo f La que se establece provsoalmete como base de ua vestgacó que puede cofrmar o egar la valdez de aquella Cotraste Accó y efecto de cotrastar Cotrastar Comprobar la eacttud o autetcdad de algo CONTRASTE (O TEST) DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS Las hpótess estadístcas so suposcoes o afrmacoes sobre los valores de los parámetros de ua poblacó, por ejemplo: La vda meda de los españoles ha aumetado sedo superor a 80 años El porcetaje de votates, de u determado partdo, es del 3% 3 E ua plata embasadora de u certo producto, el cotedo medo embasado es de 00 cc El porcetaje de fumadores e España es del 7%, y después de ua campaña publctara las autordades sataras afrma que este porcetaje ha dsmudo Para verfcar s estas afrmacoes o hpótess que se realza so certas tedríamos que tomar todos los dvduos de la poblacó y verfcarlo Pero esto e la mayoría de los casos o se puede hacer, por razoes ecoómcas, de tempo, etc, por lo que deberemos respoder a estas afrmacoes a partr de los datos de ua muestra de dcha poblacó y aplcado ua técca estadístca que se le deoma cotraste (o test) de hpótess El cotraste de hpótess da u procedmeto para decdr s ua afrmacó o hpótess sobre u parámetro de ua poblacó es aceptable a partr de lo observado e ua muestra de dcha poblacó El decdr sobre el valor de u parámetro de la poblacó a partr de los datos de ua muestra colleva como resgo que la coclusó a la que lleguemos sea falsa, por lo que debemos de teer u certo grado de precsó e caso de aceptar dcha hpótess Esta grado de precsó se le deoma vel de cofaza y se le represeta por, su complemetaro se le llama vel de sgfcacó Los cotrastes de hpótess que vamos a ver este curso so para la meda y proporcó de ua poblacó y los vamos a desarrollar co alguos ejemplos Ejemplo Hace cco años se realzó ua prueba de coocmeto a la totaldad de los soldados de u reemplazo El resultado fue ua meda μ = 0 putos y ua desvacó típca σ = Este año se pasado el msmo test a ua muestra de 00 soldados y la meda ha sdo 0putos Podemos supoer que o ha habdo cambo e los coocmetos de los soldados, y que por tato la dfereca observada es fruto del azar? Hacer u cotraste al 5% de sgfcacó º Se formula la hpótess ula H 0 y la hpótess alteratva H La hpótess que e prcpo se quere cotrastar se deoma hpótess ula y se represeta por H 0 Toda hpótess que dfera de la ula se deoma hpótess alteratva y se represeta por H, ormalmete es la cotrara a la ula Hpótess ula H 0 : μ = 0 Hpótess alteratva H : μ 0 5

16 º Se elge el estadístco del cotraste cuya dstrbucó e el muestreo es coocda Para cotrastar la meda poblacoal μ se elge como estadístco de cotraste la meda muestral X tpfcada Como sabemos este estadístco tee por dstrbucó e el muestreo ua N, ; por tato, e uestro caso sgue ua N 0, = 00 N 0;0,55 Tpfcado X Z que sgue ua N(0, ) Para la muestra elegda, el estadístco de cotraste, X, toma u valor partcular 0 La dfereca 0 0 puede ser debda al azar, e cuyo caso se dce que o es sgfcatva o puede ser debda a otras causa, e cuyo caso dremos que es sgfcatva Cómo saber cuado es sgfcatva o o? 3º Se elge el vel de sgfcacó α y se determa la regó de aceptacó El eucado os fja el vel de sgfcacó: 0,05 0,95 0,05 P(Z z ) 0,975 z, 96 La regó de aceptacó es el tervalo z ;z, es decr, (-,96;,96) Ala regó cotrara a la regó de aceptacó se le llama regó crítca o regó de rechazo El 95% de las medas muéstrales; ua vez que se haya tpfcado, caerá detro de la regó de aceptacó y u 5% fuera, es decr, e la regó de rechazo º Se toma ua muestra, se calcula u valor partcular del estadístco de cotraste y se efectúa los cálculos X sgue ua N(0;0,55) Tpfcamos, X 0 Z, sgue ua ormal N(0;) 0,55 00 Susttumos el valor partcular del estadístco 0 Z, 8 0,55 5º Se acepta o se rechaza la hpótess ula segú que el estadístco de cotraste obtedo después de tpfcarlo caga detro o fuera de la regó de aceptacó Como -,8 (-,96;,96) o se observa dferecas sgfcatvas etre la hpótess ula y la formacó obteda de la muestra, por tato se acepta la hpótess ula 6º Iterpretacó de la decsó La muestra es realmete compatble co la poblacó e el 95% de los casos Por tato, se puede cofrmar que o hay cambo e el coocmeto de los soldados co u vel de sgfcacó del 5% Qué ocurrría co u vel α = 0,0? A qué coclusoes llegaríamos? Repetr los cálculos para este vel 6

17 A los cotrastes dode la regó de rechazo está formada por dos cojutos dsjutos se les deoma cotrastes blaterales Ejemplo El cosumo medo e teléfoo móvl sgue ua dstrbucó ormal de meda 0 euros y desvacó típca euros E los últmos tempos parece que este cosumo medo se ha cremetado Para hacer u cotraste se toma ua muestra de 9 estudates y se obtuvo ua meda de 0, euros Hay u cremeto del cosumo a u vel α = 0? º Se formula la hpótess ula H 0 y la hpótess alteratva H Hpótess ula H 0 : 0 (o hay cremeto e el cosumo medo e teléfoo móvl) Hpótess alteratva H : 0 (hay cremeto) º Se elge el estadístco del cotraste cuya dstrbucó e el muestreo es coocda La meda muestral, X, como sabemos este estadístco tee por dstrbucó e el muestreo ua uestro caso sgue ua N 0, = N 0; 9 7 N, 3º Se determa la regó de aceptacó co el vel de sgfcacó α La regó de aceptacó es el tervalo ; z El eucado os fja el vel de sgfcacó: 0, 0,9 P(Z z ) 0,9 z, 8 ; por tato, e Por tato, la regó de aceptacó e uestro caso es :,8 El 90% de las medas muéstrales; ua vez que se haya tpfcado, caerá detro de la regó de aceptacó y u 0% fuera, es decr, e la regó de rechazo º Se toma ua muestra, se calcula u valor partcular del estadístco de cotraste y se efectúa los cálculos X 0 X sgue ua) N 0; Tpfcamos, Z, sgue ua ormal N(0;) 7 7 0,0 Susttumos el valor partcular del estadístco 0, Z, º Se acepta o se rechaza la hpótess ula segú que el estadístco de cotraste obtedo después de tpfcarlo caga detro o fuera de la regó de aceptacó se observa dferecas sgfcatvas etre la hpótess ula y la formacó obteda de la muestra, por tato se rechaza la hpótess ula Como,35 ;,8 7

18 6º Iterpretacó de la decsó A la vsta de los datos obtedos de la muestra se puede cofrmar, co u vel de sgfcacó del 0%, que hay u cremeto e el cosumo medo e el teléfoo móvl Ejemplo 3 La duracó de las bombllas de 00 vatos que fábrca ua empresa sgue ua dstrbucó ormal co ua varaza de 00 horas Su vda meda está garatzada durate u mímo de 800 horas Se escoge al azar ua muestra de 50 bombllas de u lote y, después de comprobarlas, se obtee ua vda meda de 750 horas Co u vel de sgfcacó de 0,0, habría que rechazar el lote por o cumplr la garatía? Varaza de la poblacó: 00 horas Desvacó típca: 00 horas 0 horas º Se formula la hpótess ula H 0 y la hpótess alteratva H Hpótess ula H 0 : 800 (o hay dsmucó e la vda meda de las bombllas) Hpótess alteratva H : 800 (hay dsmucó) º Se elge el estadístco del cotraste cuya dstrbucó e el muestreo es coocda La meda muestral, X, como sabemos este estadístco tee por dstrbucó e el muestreo ua uestro caso sgue ua 0 N 800, Tpfcamos, 50 X 800 Z, sgue ua ormal N(0;) º Se determa la regó de aceptacó co el vel de sgfcacó α La regó de aceptacó es el tervalo z ; El eucado os fja el vel de sgfcacó: 0,0 0,99 P(Z z ) 0,99 P(Z z ) 0,99 z,33 z,33 N, ; por tato, e Por tato, la regó de aceptacó e uestro caso es,33; El 99% de las medas muéstrales; ua vez que se haya tpfcado, caerá detro de la regó de aceptacó y u % fuera, es decr, e la regó de rechazo º Se toma ua muestra, se calcula u valor partcular del estadístco de cotraste y se efectúa los cálculos 0 X 800 X sgue ua) N 800, Tpfcamos, Z, sgue ua ormal N(0;) Susttumos el valor partcular del estadístco 750 Z, º Se acepta o se rechaza la hpótess ula segú que el estadístco de cotraste obtedo después de tpfcarlo caga detro o fuera de la regó de aceptacó Como,96,33; se observa dferecas sgfcatvas etre la hpótess ula y la formacó obteda de la muestra, por tato se rechaza la hpótess ula 6º Iterpretacó de la decsó Los datos muéstrales cofrma, al vel α = 0,0, que la vda meda de las bombllas es feror a 800 horas y e cosecueca habría que rechazar el lote por o cumplr la garatía E los ejemplos y 3 la regó crítca o de rechazo está formada por u sólo cojuto de putos, estos cotrastes se les llama ulaterales E el ejemplo cotraste ulateral derecho, y e el 3 cotraste ulateral zquerdo Cotraste ulateral derecho Cotraste blateral Cotraste ulateral zquerdo H 0 : μ μ 0 H 0 : μ = μ 0 H 0 : μ μ 0 H : μ > μ 0 H : μ μ 0 H : μ < μ 0 8

19 ; z ( z ;z ) z ; RESUMEEN DE CONCEPTOS Hpótess estadístcas So suposcoes o afrmacoes sobre los valores de los parámetros de ua poblacó Cotraste de hpótess Procedmeto para decdr s ua afrmacó o hpótess sobre u parámetro de ua poblacó es aceptable a partr de lo observado e ua muestra de dcha poblacó Hpótess ula Se represeta por H 0 e dca la afrmacó sobre el parámetro poblacoal que se va a cotrastar Hpótess alteratva Cualquer otra hpótess que dfera de la formulada Geeralmete la hpótess alteratva es la egacó de la ula Estadístco de cotraste o de prueba Es ua fucó de los datos muéstrales, por tato, es ua varable aleatora cuya dstrbucó debe ser coocda bajo la hpótess ula y que toma u valor para cada muestra Regó de aceptacó Es el co juto de valores (tervalo) para el estadístco muestral que hace que aceptemos la hpótess ula Regó crítca o de rechazo Es el co juto de valores (tervalo) para el estadístco muestral que hace que rechacemos la hpótess ula Es la regó (tervalo) complemetara a la de aceptacó Nvel de cofaza Nos da la probabldad de la regó de aceptacó bajo la hpótess ula Represeta la probabldad que deseamos teer de aceptar H 0 cuado esta es certa Se le represeta por α Nvel de sgfcacó Es el complemetaro del vel de cofaza, es decr, α Nos da la probabldad de la regó crítca bajo la hpótess ula Represeta la probabldad de rechazar H 0 cuado esta es certa Cotraste blateral La hpótess ula se formula de maera que el parámetro poblacoal se le asga u úco valor y la regó crítca está formada por dos cojutos dsjutos Cotraste ulateral La hpótess ula se formula de maera que el parámetro poblacoal se ecuetra detro de u tervalo semaberto (μ 3 μ (- ; 3] ), la regó crítca está formada por u solo cojuto de putos Para coocer la dstrbucó del estadístco muestral se supodrá que el parámetro poblacoal toma el valor de uo de los etremos del tervalo (μ = 3) CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Sea ua dstrbucó ormal N(μ, σ) de varaza (σ ) o desvacó típca (σ) coocda Los dsttos cotrastes para la meda (μ) se recoge e el sguete cuadro Hpótess ula H 0 Hpótess alteratva H Tpo de cotraste Estadístco del cotraste Regó de aceptacó μ = μ 0 μ μ 0 blateral ( z ;z ) X Z μ μ 0 μ > μ 0 ulateral ; z 0 μ μ 0 μ < μ 0 ulateral z ; CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN Sea ua poblacó dode ua característca se preseta co ua proporcó o probabldad p Cosderemos las dsttas muestras aleatoras smples que se puede formar de tamaño, e cada ua de ellas la característca poblacoal aparecerá e 9

20 ua proporcó o probabldad que vamos a desga por pˆ, e cada muestra pˆ tomará u valor que depederá de esta, lo que da lugar a ua varable aleatora que represetaremos por Sabemos: que s 30 (proporcó muestral) sgue ua p q p N p, Tpfcamos Z sgue ua N(0;) p q Los dsttos cotrastes para la proporcó (p) de la poblacó se recoge e el sguete cuadro Hpótess ula H 0 Hpótess alteratva H Tpo de cotraste Estadístco del cotraste Regó de aceptacó p = p 0 p p 0 blateral ( z ;z ) Z p p p 0 p > p 0 ulateral ; z p 0 q 0 0 p p 0 p < p 0 ulateral z ; ERRORES EN LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS Cuado llevamos a cabo u cotraste de hpótess sempre teemos que tomar ua decsó, aceptar o rechazar la hpótess ula Las dsttas stuacoes que se os puede presetar so las sguetes: Aceptar la hpótess ula sedo verdadera Esta es ua decsó correcta Aceptar la hpótess ula sedo falsa Esta es ua decsó correcta y cometemos u error que se le llama error de tpo II 3 Rechazar la hpótess ula sedo falsa Esta es ua decsó correcta Rechazar la hpótess ula sedo verdadera Esta es ua decsó correcta y cometemos u error que se le llama error de tpo I Error de tpo I: Se comete este tpo de error cuado rechazamos la hpótess ula cuado esta es verdadera La probabldad de cometer este tpo de error es el vel de sgfcacó α y o depede del tamaño de la muestra Error de tpo II: Se comete cuado se acepta la hpótess ula sedo falsa La probabldad de cometer u error de este tpo depede del verdadero valor del parámetro (descoocdo) y del tamaño de muestra sedo meor cuato mayor es el tamaño de muestra Ejemplo E uas eleccoes se preseta tres partdos, A, B y C U cometarsta polítco afrma que los electores se reparte del sguete modo: A favor de A, el 0% A favor de B, el 0% o más A favor de C, el 0% o meos Se etrae ua muestra de 50 electores y se obtee los sguetes resultados: 3 a favor de A, 88 a favor de B y 30 a favor de C Los resultados obtedos e esta muestra cofrma al cometarsta a u vel α = 0,05? 0