Jesús Eduardo pulido Guatire, marzo 2011 Conceptos Básicos de Estadística.

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1 Jesús Eduardo pulido Guatire, marzo 011 Conceptos Básicos de Estadística. La experiencia de quienes nos ha correspondido facilitar procesos para que los alumnos de pregrado y postgrado adquieran competencias en el manejo de la estadística nos indica que por lo general cuando se hace referencia al estudio de los métodos estadísticos sienten mucha ansiedad y temor al fracaso. Asocian esta disciplina con la aplicación de procesos matemáticos muy complejos, con la utilización de largas fórmulas en las cuales cada autor asume una simbología distinta y con la utilización de ejemplos relacionados con juegos de azar que, por lo general, no guardan relación con el interés del estudiante; en fin, todas estos acontecimientos pudieran generar un ambiente poco esperanzador a sus expectativas. Asumir una actitud negativa hacia la estadística por estas causas es lo menos indicado, porque pese a que van a manejar matemática no es la que a su juicio es la más complicada sino la del uso cotidiano, tales como suma, resta, multiplicación, división, fracciones, proporciones y porcentajes, sumatoria simple, raíz cuadrada, redondeo, números positivos y negativos, valor absoluto y relativo, ecuaciones lineales y gráficos. En cuanto a las fórmulas, se manejan con un sentido práctico y no con el exhibicionismo matemático; siempre su aplicación estará relacionada con el quehacer educativo. Pasemos de las palabras a los hechos; cuando nos trasladamos de una ciudad a otra, por decir lo menos, encontramos algunos términos cuyo significado desconocemos, porque son propios de la región y para que se produzca el proceso de la comunicación sin barreras tenemos que preguntar por su significado; por ejemplo, en el oriente del país los lugareños suelen expresar: tengo una tibiera que no la aguanto y en el Táchira cuando dicen le presté a mi compadre Bs. F. 800,00. En el primer caso, el oriental está manifestando que tiene una rabia que no la soporta; en el segundo, el andino está señalando que le pidió prestado a su compadre la cantidad de dinero indicada. 1

2 En el caso de la estadística también hay una serie de términos que necesitamos conocer su significado para poder entender a aquellos estudiosos que nos han legado sus aportes importantes. Uno de ellos es el de Estadística, en el cual, por cierto, no hay mucho consenso, pero la tendencia es a concebirla como el conjunto de métodos que permite recolectar, agrupar y presentar datos para analizarlos e interpretarlos y hacer predicciones e inferencias, con un determinado margen de error. El objetivo fundamental y último de la Estadística consiste en tratar de explicar la ocurrencia de ciertos fenómenos mediante el establecimiento de las posibles relaciones entre dos o más variables. En la estadística se presentan dos grandes actividades; una, cuando el propósito del estudio consiste en recoger información sobre una determinada variable para resumirla en pocas cifras matemáticas, gráficos o tablas (tablas de frecuencias, porcentaje, promedios, distribuciones de frecuencia, etc.), esta es la actividad de la estadística descriptiva. La otra actividad corresponde a la estadística inferencial o inductiva, la cual tiene como propósito extraer conclusiones válidas acerca del comportamiento de una variable en una población a partir de una muestra representativa de esa población. Se utiliza cuando se requiere mostrar relaciones de causa efecto así como someter a prueba hipótesis y teorías científicas. El siguiente ejemplo seguramente podrá aclarar un poco más lo planteado; imaginemos que tres de los docentes que trabajan con 130 alumnos de noveno grado están interesados en conocer el porcentaje de estudiantes que logró un promedio superior a quince puntos, cuando cursaron matemática de séptimo grado. Para ello, los profesores proceden a revisar las planillas de Resum en de Rendim iento Estudiantil del año correspondiente y detectan que 80 alumnos alcanzaron un promedio superior a quince en esta asignatura; esta cantidad de alumnos la dividieron entre 130 y multiplicaron por 100 [(80/130) *100] y el resultado obtenido fue de 61,54%. Este proceso permitió a los docentes, mediante la estadística descriptiva, resumir en una cifra (61,54%.) la característica en estudio (calificación promedio en matemática). Una vez realizada esta actividad surge la pregunta Qué significa este resultado? Una de las formas de interpretarlo

3 es que el 61,54% de los estudiantes de séptimo grado logró un promedio superior a 15 puntos en matemática. Supongamos que por variadas razones el estudio no lo pueden hacer los docentes con los 130 alumnos sino con una parte (es decir, una muestra), pensemos en 50 estudiantes del séptimo grado; si de esos 50 sólo 0 tienen calificaciones mayores de quince puntos, entonces el 40 % [(0/50)*100] de la muestra tiene promedios superiores a quince. Este resultado no indica que de los 130 alumnos el 40% tiene un promedio superior a 15 puntos en matemática; lo que nos permite es determinar, mediante procedimientos de estadística inferencial, el intervalo que contiene el porcentaje de estudiantes en la población con promedios superiores a 15 puntos. Para ello se requiere el manejo de los aspectos fundamentales de probabilidad, de los niveles de confianza y significación y de los procedimientos para hacer estimación puntual y por intervalos; estos aspectos serán tratados en sesiones académicas posteriores. Variables. Si se analiza cuidadosamente las planillas de Resumen de Rendimiento Estudiantil de los alumnos de séptimo grado, se advierte que no todos los alumnos tienen el mismo promedio, ni pertenecen al mismo sexo ni a la misma sección, no tienen la misma edad ni la misma talla, hay un código que indica si el estudiante aprobó todas las asignaturas o se le quedó materias; esta serie de características se denominan variables porque se presentan en grados y magnitud diferentes entre ellos. En palabras de Briones (1998) una variable es una propiedad, una característica o un atributo que puede presentarse en ciertos sujetos en grado o modalidades diferentes (p.49). En los análisis de datos las variables se suelen representar con las últimas letras del alfabeto: U, V, W, X, Y, Z. En la práctica se encuentran diversas modalidades de variables: dicotómicas y categóricas, según su escala y nivel de medición y según su función en la investigación. Las dicotómicas son las que tienen dos categorías, entre otras tenemos el sexo (mujer hombre), cumplimiento con la entrega de una actividad (entregó no entregó) asistencia a un evento (asistió no asistió), situación actual laboral (empleado desempleado), tipo de plantel 3

4 donde realiza estudio el alumno (público privado). Las variables categóricas son las que tienen más de dos categorías; por ejemplo, el estado civil (casado, divorciado, viudo, unido), color de los ojos (negro, marrón, azul, verde, pardo), creencia religiosa (católico, protestante, judío, adventista, musulmán, cienciología), grado de acuerdo (total acuerdo, de acuerdo, indeciso, en desacuerdo, total desacuerdo), etc. Las variables cuantitativas se clasifican en discretas y continuas. Una variable es discreta cuando entre dos valores consecutivos no puede haber otro valor, es decir, asume un número finito de valores; por ejemplo, los hijos en una familia, docentes por categoría académica, el personal obrero de un centro educativo, etc. Entre sus ventajas está el que siempre proporciona una medida exacta del fenómeno en estudio. En los casos del ejemplo no hay posibilidad de que una familia tenga hijos y medio, o que hay 1,75 profesores en la categoría Docente V, de igual modo es poco lógico aseverar que en un centro educativo trabajan 6,5 obreros. Este planteamiento lleva a la creencia de que esta variable se expresa exclusivamente con números naturales, no es verdad, se puede visualizar a través del siguiente ejemplo, el porcentaje de respuestas correctas en una prueba de 19 ítems de selección simple, de los cuales 11 fueron respondidos acertadamente, es 57,89% 11 * En este caso no hay posibilidad de que alguien responda correctamente once con setenta y cinco centésimas (11,75) de ítems de selección, pero sí un porcentaje del total. Variable continua, toma un número ilimitado de valores entre dos valores, por lo tanto la medida real en este tipo de variable no se puede lograr ya que nunca llega a coincidir con el valor exacto, sólo constituye un estimado de este valor. Por ejemplo, entre la estatura de un alumno de séptimo grado que mide 1,70 m y otro con 1,71 m, están los alumnos que miden 1,701 m; 1,703 m; 1,7048 m; 1,7099 m; etc. Hay casos en que una variable continua puede agruparse en categorías y tratarse como una variable discreta; por ejemplo, la Edad se transforma en discreta al agrupar sus valores en categorías de manera tal que se corresponda con Niños, Jóvenes y Adultos. En el caso de Años de Antigüedad 4

5 se pueden agrupar en categorías de modo que se correspondan con Mucha Antigüedad, Mediana Antigüedad y Poca Antigüedad. Nivel de medición nominal. De acuerdo con el nivel de medición las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas; entre las cualitativas se encuentran las variables con nivel de medición nominal o clasificatorio y ordinal o de rango y entre las variables cuantitativas o métricas está el nivel de medición de intervalo, de razón o proporción. El nivel de medición nominal se realiza a un nivel elemental, los números o símbolos asignados sólo permiten clasificar los objetos, personas o características; la magnitud de los números no reflejan algún orden inherente a las cosas a los que fueron asignados, sólo constituyen un código de identidad; por ejemplo, si vamos a estudiar la variable sexo, podemos utilizar el número 1 para identificar a los hombres y el número dos para las mujeres o al revés; si el estudio incluye la variable color, se puede utiliza el número 1 para el color azul, para el verde y 3 para el color violeta. Las técnicas estadísticas que son factibles de utilizar en este nivel de medición son la frecuencia absoluta, frecuencia relativa porcentual, el modo o moda; en prueba de hipótesis se puede utilizar el Chi-Cuadrado (X ) y el coeficiente de contingencia, cuando se trate de medidas de asociación. Nivel de medición ordinal, los atributos de este tipo de variable participan de las características antes referidas y se le suma la posibilidad de poderse ordenar en el sentido de mayor que o menor que, pero aún persiste la imposibilidad de conocer la magnitud exacta que diferencia un atributo de otro. También podría decirse que un nivel de medición de este tipo se logra cuando los resultados de las observaciones se pueden colocar en un orden o jerarquía con relación a la característica que se evalúa. En este nivel la magnitud de los números sólo representa el orden del rango del atributo observado; por ejemplo, los números 10 y 5 representan el rendimiento de dos alumnos, esto significa que el que tiene 10 logró mayor rendimiento (mayor que) que el que obtuvo 5 (menor que), pero no tendría sentido afirmar que el alumno con promedio 10 es doblemente inteligente que el que tiene 5. Entre otros ejemplos tenemos la clase social (1 para la Clase Alta; para la Clase Media y 3 para la Clase Baja) y categoría académica (1 para Instructor, para Asistente, 3 para 5

6 Agregado, 4 para Asociado y 5 para Titular). Obviamente la categoría académica Titular es mayor que la de Agregado, pero lo que no es obvio es que la categoría Asistente más Agregado dé como resultado la categoría académica Titular ( +3 = 5). Las técnicas estadísticas apropiadas en este nivel de medición son la mediana, percentiles, los coeficientes de Spearman, Kendall y Gamma y todas las estadísticas no paramétricas en las pruebas de hipótesis. Nivel de medición de intervalo, este nivel posee las características de los niveles anteriores y además se puede cuantificar la distancia exacta que separa cada valor de la variable; esto es posible gracias al establecimiento de alguna unidad de medición física estándar, tales como Edad, Temperatura, Horas, Estatura, etc. Por ejemplo, la distancia que separa a un grupo de docentes con 0 y 5 años de edad es igual a la distancia que existe entre los docentes con 4 y 47 años (la distancia es de 5 años); otro de los aspectos fundamentales de este nivel es que el cero que se asigna a la escala para medir cierta característica es arbitrario, en ningún caso indica ausencia de la característica; por ejemplo, si se va estudiar la inflación del costo de la vida durante el segundo trimestre de un determinado año, se toma marzo como mes base (marzo = 0) y con la inflación registrada en los meses abril, mayo y junio se determina la inflación del segundo trimestre del año. De este ejemplo surge una pregunta En marzo no hubo inflación? Obviamente que si hubo, sólo que para este estudio ese mes se utilizó como punto de partida y se la asignó un cero arbitrario. Similar análisis se puede hacer para la temperatura, el 0 no significa su ausencia y la distancia que hay entre 0 y 5 grados centígrados es igual al la que existe entre 30 y 35 grados centígrados. En esta escala se pueden utilizar técnicas y pruebas estadísticas paramétricas teles como la media aritmética, desviación típica o estándar, correlación de Perrazo, prueba t y prueba F. Nivel de medición de razón, este nivel contiene todas las características del nivel de medición de intervalo y agrega la presencia de un cero absoluto (cero real) en la escala que se utilice para hacer la medición; el hecho de tomar en cuenta la ausencia de la característica en estudio permite comparar los valores que tome la variable mediante proporciones; por ejemplo, una persona 6

7 que pesa 100 kg duplica a quien pesa 50 Kg; la razón es a 1 (100 Kg/50 KG), de manera análoga sucede con quien tiene 0 años de antigüedad con relación al que tiene 10, su razón es a 1 (:1). Este nivel, para algunos estudios en educación y en psicología presenta ciertas limitaciones; por ejemplo, un estudiante que responda correctamente 8 preguntas de matemática no sabe el doble de matemática que quien responde 4; una persona con un cociente intelectual de 10 no es doblemente inteligente que el que tiene 60; como se puede advertir en estos casos la ausencia de rendimiento y de inteligencia carecen de sentido, no hay un cero real. En el caso de Matemática, aquel alumno que no respondió ningún ítem no tiene cero de conocimiento, algún conocimiento debe tener, adquirido por otros medios distintos a los que proporciona la escuela; es probable que la forma como se redactó las preguntas influyó para que el alumno no demostrara sus logros en esta disciplina; otro hecho igualmente importante es que la escala vigente de calificación no parte del punto cero sino de uno. La escala de razón admite todas las técnicas y pruebas estadísticas mencionadas en el nivel de medición de intervalo y adiciona la medía geométrica y el coeficiente de variación, dicho en otros términos, las estadísticas y pruebas paramétricas. Las variables según su función en la investigación las hay independientes, dependientes, entre otras. Variable independiente (se simboliza con X), constituye las condiciones que manipula el investigador para obtener ciertos efectos. Expresada en otros términos, la variable independiente viene a ser la fuente primaria de variabilidad en relación con la variable objeto de estudio (variable supuestamente dependiente). Variable dependiente u objeto de análisis (se representa con Y), constituye el efecto producido por la variable independiente, la cual maneja el investigador. Ejemplos: La motivación de los estudiantes influye en su rendimiento; el estudio a distancia genera un clima de soledad en el alumno; La normativa interna de los centros educativos genera agresividad en los estudiantes. En estos ejemplos las variables independientes son: motivación, estudio a distancia y normativa interna; las variables dependientes son: rendimiento, soledad y agresividad. 7

8 Constante. Durante el análisis de datos vamos a encontrar algunas características que permanecen inalterables (constantes), según el tipo de análisis que se realice. Por lo general, las constantes se representan con las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d, etc.) Ejemplo, Promedio en Castellano de las hembras de Octavo Grado. En este planteamiento hay dos características que permanecen inalterables, el Grado y el Sexo; se pueden representar con las letras a y b, respectivamente. Para ahondar un poco más en lo planteado, en el cuadro 1 se ubican las variables y constantes del siguiente planteamiento: analizar el Rendimiento Académico en Castellano de los alumnos de ambos sexos del Séptimo Grado de educación básica del Estado Miranda. Cuadro 1 Distinción entre variable y constante VARIABLES Rendimiento Académico Sexo CONSTANTES Séptimo Grado Estado Miranda Otros de los conceptos a ser tomados en cuenta en el análisis estadístico de datos es el de población, muestra, parámetro y estadístico. Población (N), es un conjunto de unidades para las que se desea recolectar una información específica; estas unidades pueden ser personas, centros educativos, viviendas, familias, vehículos, etc. a los cuales se les mide una o más de una característica; ejemplo, el cociente intelectual promedio y el rendimiento académico en Matemática de los alumnos de la tercera etapa de educación básica del Estado Miranda. Las poblaciones pueden ser finitas e infinitas, son finitas cuando están conformadas por unidades o menos e infinitas si exceden de esa cantidad (Sierra - Bravo, 1985). Muestra (n), es un subconjunto representativo de una población en estudio; el subconjunto de individuos u objetos debe seleccionarse de manera que contenga las características que van a ser estudiadas en la población para que sea representativo, por ejemplo, de la población de alumnos de la tercera etapa 8

9 de educación básica del Estado Miranda se seleccionó 100 alumnos para estudiar su rendimiento en Matemática y su cociente intelectual promedio. La muestra de una población puede extraerse por procedimiento probabilístico o no probabilístico; en el primer caso todas las unidades de la población tienen la misma posibilidad de pertenecer a la muestra y en el segundo, predomina el sano juicio del investigador para seleccionar las unidades. Parámetro, es cualquier medida que se obtiene en una población; supongamos que se aplica un test para medir el nivel de inteligencia de la población de alumnos, de la tercera etapa de educación básica del Estado Miranda, y se observa que el 40% tiene un cociente intelectual promedio inferior a 10. Este porcentaje corresponde a un parámetro, porque la medida se obtuvo en la población. Los parámetros se representan con letras griegas: N, número de casos en la población; X, promedio de la variable X en la población; X, desviación típica de la variable X en la población, xy, coeficiente de correlación entre las variables XY de la población. Estadístico, es cualquier medida obtenida en una muestra de la población; ejemplo, si de la población de alumnos de la tercera etapa de educación básica del Estado Miranda se extrae una muestra del 100 alumnos, se mide la estatura de cada uno y se observa que 53% mide menos de 1,70 m., este porcentaje es un estadístico, porque fue obtenido de una muestra de la población en estudio. Los estadísticos se representan con letras itálicas: n, número de casos en la muestra; X, promedio de la variable X en la muestra; s x, desviación típica de la variable X en la muestra; r xy, coeficiente de correlación entre las variables XY de la muestra. Matemática Básica para el Análisis Estadístico. Como ya se indicó anteriormente, entre las funciones de los métodos estadísticos está la de resumir los datos del fenómeno en estudio para poner de manifiesto las características de mayor importancia. Este proceso implica 9

10 convertir los valores absolutos de los datos en valores relativos; esta conversión es fundamental porque los valores relativos pueden encerrar toda la información de interés, lo que no se logra con los absolutos. Llevar a cabo esta conversión en el análisis estadístico requiere del manejo de algunos de los aspectos básicos de la matemática: razones, proporciones, porcentajes, valor absoluto, raíz cuadrada, operaciones con números positivos y negativos y sumatoria simple. Razón (R), está determinada por un valor que señala la relación cuantitativa que existe entre dos cantidades; por ejemplo, si la población docente en una universidad es de (.400 mujeres y hombres), la razón de mujeres con respecto a los hombres, expresada en valor real, es de 1,5 (.400/1.600) y la misma razón expresada en valor relativo es de 3/ (.400/1.600), lo que indica que por cada 3 profesoras hay profesores. Proporción (P), es una razón que considera en el denominador todos los datos indicados; en el ejemplo anterior la proporción de profesoras en la universidad está dada por.400/ =0,6 Porcentaje (P%), se obtiene al multiplicar la proporción por 100; este procedimiento elimina la dificultad que confrontan algunas personas al trabajar con decimales. En el caso que nos ocupa, el 60% de las mujeres (0,6*100) conforman la plantilla del personal docente de esta universidad. Valor absoluto, es la distancia del origen al punto que representa al número sin tomar en cuenta su signo positivo o negativo (+ o ) ; expresado en otros términos, el valor absoluto de un número es su valor sin tomar en cuenta su signo ((+ o ). El valor absoluto de un número H, con frecuencia se representa mediante el símbolo H ; por consiguiente el valor absoluto de 1 y -1 es 1; si se trata de determinar el valor absoluto de 10 y 1 4 = 8, en cada caso. Raíz cuadrada, se denota mediante el radical. La raíz cuadrada de un número Y es aquel valor X que multiplicado por si mismo, produce ese número Y; ejemplo, la raíz cuadrada de 144 es 1 porque 1*1 = 144; expresado con el radical tenemos ; si 64 entonces 64 ; otro ejemplo 10

11 de uso frecuente en estadística es el siguiente B C B C B C ; si B = 4 y C = 7, tenemos que ,57; este resultado, a su vez, nos permite concluir que cuando el numerador de una fracción está constituido por un número entero menor que el número entero del denominador su resultado será menor de 1; por ejemplo ,777; 1 0,809; ,94; etc. Cuando el numerador y denominador están constituidos por números decimales menores que 1 y el decimal del denominador es menor que el del numerador el resultado será mayor de 1; ejemplo, 0,54 = 1,5; 0,36 0,54 0,487 1,108; 0,54 0, ,00004; etc., etc. Operaciones con números positivos y negativos. En el caso de la suma tenemos ( ), en este caso se suman los valores positivos y se obtiene un resultado, luego se suman los negativos y se obtiene otro resultado y finalmente se hace la diferencia para obtener el resultado final: 7 = - 5 Respuesta: - 5. Otro de los casos que debe tenerse en cuenta cuando se suma es la relación lógica de la suma algebraica, donde la afirmación (+) es la negación ( ) de la negación ( ). Ejemplo, 18 ( 0) = 18 + (0) = 38. Si se trata de multiplicar (-16) (4) = - 64, porque ( ) (+) = (menos). Si se trata de dividir un valor positivo entre un negativo su resultado será 15 negativo ( 5), porque positivo entre negativo es igual a negativo (o 5 15 también, porque -5 * -5 = +15); si el caso es 5. El resultado tiene 5 signo positivo porque menos entre menos da un resultado con signo más (o porque -5 * 5 = -15); como se observa en estos casos igualmente ocurre cuando se multiplica. 11

12 Referencias Bibliográficas. Briones, G. (1998). Metodología y técnicas de investigación para las ciencias sociales (3ª ed). México: Trillas. Sierra-Bravo, R. (1985). Técnicas de investigación social. (4ª ed). Madrid: Paraninfo S. A. 1