Movilidad Mediante las Ecuaciones de Clausura de Lazos.

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1 Movilidad Mediante las Ecuaciones de Clausura de Lazos. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E. Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista. CP 36730, Salamanca, Gto., México Tel , Fax: Introducción. Otro importante criterio de movilidad de eslabonamientos, se basa en el número de variables necesarias para determinar la posición del eslabonamiento así como las ecuaciones que restringen esas variables, es debido a Paul y se estudia a continuación. El método requiere de formular las ecuaciones vectoriales de clausura del eslabonamiento cuya movilidad se desea determinar, descomponer las ecuaciones vectoriales de clausura en sus componentes escalares, que se convierten en las ecuaciones escalares de clausura, y determinar cuantas de ellas son linealmente independientes. Puesto que las ecuaciones escalares de clausura son, también, el punto de partida para resolver el análisis de posición de mecanismos planos, el estudio de la movilidad de cadenas cinemáticas mediante ecuaciones de clausura permite adelantar el estudio del análisis de posición de mecanismos planos. 2 Ejemplo 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ 2,θ 3,θ 4. Estas variables cinemáticas se conocen también como coordenadas Lagrangianas, ó coordenadas generalizadas. Es importante reconocer que estas variables no son independientes sino que están obligadas a satisfacer las ecuaciones de clausura del lazo o lazos del eslabonamiento. En el caso particular del mecanismo plano de cuatro barras la ecuación de clausura en forma vectorial es a 2 + a 3 = a 1 + a 4 (1) y las ecuaciones escalares resultantes son a 2 Cosθ 2 + a 3 Cosθ 3 = a 1 Cosθ 1 + a 4 Cosθ 4 a 2 Senθ 2 + a 3 Senθ 3 = a 1 Senθ 1 + a 4 Senθ 4 (2) sustituyendo θ 1 =0, y reagrupando los términos las anteriores ecuaciones pueden escribirse como f 1 ( θ 2,θ 3,θ 4 ) = a 2 Cosθ 2 + a 3 Cosθ 3 a 1 a 4 Cosθ 4 =0 f 2 ( θ 2,θ 3,θ 4 ) = a 2 Senθ 2 + a 3 Senθ 3 a 4 Senθ 4 =0 (3) Entonces, el número de grados de libertad, F,seráelnúmero de coordenadas Lagrangianas o generalizadas, C, menos el número de ecuaciones independientes E. Es decir F = C E (4) 1

2 Figure 1: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Cuatro Barras. En particular, para el mecanismo plano de cuatro barras, F =3 2=1. (5) Este resultado comprueba el resultado obtenido previamente mediante el criterio de Grübler. 3 Ejemplo 2. Mecanismo de Biela Manivela Corredera. Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 2. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ 2, θ 3, y la coordenada s. Debe notarse que las dimensiones a 2, a 3, e, θ e, θ s son parámetros constantes. Figure 2: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo de Biela Manivela Corredera. Las ecuación de clausura, en forma vectorial, está dadapor a 2 = e + s + a 3. (6) 2

3 Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son f 1 (θ 2,θ 3,s) = a 2 Cosθ 2 s a 3 Cosθ 3 =0 f 2 (θ 2,θ 3,s) = a 2 Senθ 2 e a 3 Senθ 3 =0 (7) Entonces, el número de grados de libertad será F = C E =3 2=1 (8) De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grübler corrobora el resultado. 4 Ejemplo 3. Mecanismo Plano de dos Lazos. Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 3. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ 2,θ 3,θ 4,θ 5,θ 6. Debe notarse que las dimensiones a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, b 1, b 2, θ 1, δ y γ son parámetros constantes. Figure 3: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos. Las ecuaciones de clausura, en forma vectorial, son Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son a 2 + a 3 = a 1 + a 4 a 2 + b 2 + a 6 = a 1 + b 1 + a 5 (9) f 1 (θ 2,θ 3,θ 4,θ 5,θ 6 ) = a 2 Cosθ 2 + a 3 Cosθ 3 a 1 Cosθ 1 a 4 Cosθ 4 =0 f 2 (θ 2,θ 3,θ 4,θ 5,θ 6 ) = a 2 Senθ 2 + a 3 Senθ 3 a 1 Senθ 1 a 4 Senθ 4 =0 f 3 (θ 2,θ 3,θ 4,θ 5,θ 6 ) = a 2 Cosθ 2 + b 2 Cos( θ 3 + δ)+a 6 Cosθ 6 a 1 Cosθ 1 b 1 Cos( θ 4 γ) a 5 Cosθ 5 =0 f 4 (θ 2,θ 3,θ 4,θ 5,θ 6 ) = a 2 Senθ 2 + b 2 Sen( θ 3 + δ)+a 6 Senθ 6 a 1 Senθ 1 b 1 Sen( θ 4 γ) a 5 Senθ 5 =0 (10) Entonces, el número de grados de libertad está dado por F = C E =5 4 = 1 (11) 3

4 De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grübler corrobora el resultado. Sin embargo, una revisión de la figura 3, revela que existen otros posibles lazos que conducen a otras ecuaciones vectoriales, por ejemplo a 4 + b 3 + a 6 = b 1 + a 5 (12) No obstante, puede probarse que esta ecuación vectorial, al igual que cualquier otra ecuación que se pueda obtener, son linealmente dependientes de las dos ecuaciones vectoriales que ya se han obtenido. En particular, si se resta la primera ecuación (9) de la segunda ecuación (9), se tiene que a 2 + b 2 + a 6 a 2 a 3 = a 1 + b 1 + a 5 a 1 a 4 (13) o b2 a 3 + a 6 + a 4 = b 1 + a 5 (14) Sin embargo, de la figura 3, es evidente que b2 a 3 = b 3 (15) Por lo tanto, la ecuación puede escribirse como a 4 + b 3 + a 6 = b 1 + a 5 (16) Es claro, pues, que la aplicación de este criterio requiere de la determinación de un conjunto de ecuaciones vectoriales linealmente independientes y que representen totalmente las ecuaciones de clausura del eslabonamiento. Información completa acerca de este problema puede encontrarse en el libro de Paul, vea [1]. 5 Ejemplo 4. Mecanismo Plano de Dos Lazos, que Clarifica Porque Falla el Criterio de Grübler. En este ejemplo se usará el criterio de Paul para dar una nueva interpretación a algunos de los casos en los que el criterio de Grübler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 4. Figure 4: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos que Permite Ilustrar Porque Falla el Criterio de Grübler. La posición del eslabonamiento queda únicamente definida si se conocen los ángulos θ 2, θ 3, θ 4, θ 5. Existen dos ecuaciones vectoriales de clausura, que están dadas por a 2 + a 3 = a 1 + a 4 b2 + a 5 = a 3 + b 4 (17) 4

5 Las ecuaciones escalares son a 2 Cosθ 2 + a 3 Cosθ 3 = a 1 Cosθ 1 + a 4 Cosθ 4 a 2 Senθ 2 + a 3 Senθ 3 = a 4 Senθ 4 + a 1 Senθ 1 b 2 Cosθ 2 + a 5 Cosθ 5 = a 3 Cosθ 3 + b 4 Cosθ 4 b 2 Senθ 2 + a 5 Senθ 5 = a 3 Senθ 3 + b 4 Senθ 4 (18) Debe notarse que a 1, a 2, a 3, a 4, b 2, b 4,yθ 1 son parámetros cuyo valor no cambia durante el movimiento del eslabonamiento. Por lo tanto, el número de grados de libertad o movilidad del eslabonamiento será F = C E =4 4 = 0 (19) De aquí que, en general, el eslabonamiento sea una estructura. Considere, sin embargo, el caso particular del eslabonamiento que satisface las siguientes condiciones a 1 = a 3 = a 5, a 2 = a 4 y b 2 = b 4. (20) Analize, por el momento, las ecuaciones escalares de clausura correspondientes al lazo inferior, vea las dos primeras ecuaciones de las de la ecuación (18), donde se han sustituido las igualdades indicadas en la ecuación (20). a 2 Cosθ 2 + a 1 Cosθ 3 = a 1 Cosθ 1 + a 2 Cosθ 4 a 2 Senθ 2 + a 1 Senθ 3 = a 2 Senθ 4 + a 1 Senθ 1 (21) Elevando al cuadrado ambos lados de las dos ecuaciones anteriores y sumando los términos correspondientes, se tiene que a 2 (C 2 θ 2 + S 2 θ 2 )+a 1 (C 2 θ 3 + S 2 θ 3 )+2a 1 a 2 (Cθ 2 Cθ 3 + Sθ 2 Sθ 3 ) = a 2 (C 2 θ 4 + S 2 θ 4 )+a 1 (C 2 θ 1 + S 2 θ 1 )+2a 1 a 2 (Cθ 1 Cθ 4 + Sθ 1 Sθ 4 ) o, reduciendo aún mas, C (θ 3 θ 2 )=C (θ 1 θ 4 ). (22) Figure 5: Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Determinación de la Longitud AN. Por otro lado, para cualquier mecanismo de cuatro barras, vea figura 5, la determinación de la longitud AN conduce a la ecuación 5

6 a a2 2 2 a 1 a 2 C (θ 2 θ 1 )=a a2 4 2 a 3 a 4 C (θ 4 θ 3 ), sustituyendo las igualdades dadas por (20), la ecuación se reduce a a a2 2 2 a 1 a 2 C (θ 2 θ 1 )=a a2 2 2 a 1 a 2 C (θ 4 θ 3 ), o, finalmente, C (θ 2 θ 1 )=C(θ 4 θ 3 ). (23) Las ecuaciones (22) y (23), conducen a las siguientes posibilidades θ 3 θ 2 = θ 1 θ 4 o θ 3 θ 2 = (θ 1 θ 4 ) (24) θ 2 θ 1 = θ 4 θ 3 o θ 2 θ 1 = (θ 4 θ 3 ) (25) Si se toma la primera posibilidad de ambas ecuaciones (24) y (25), se obtiene que 1 θ 3 = θ 1 y θ 4 = θ 2. (26) Puesto que θ 4 = θ 2,unanálisis mucho mas simple para el lazo superior conduce a θ 5 = θ 3 = θ 1. (27) El eslabonamiento que se obtiene bajo estas restricciones se muestra en la Figura 6. Figure 6: Caso Especial del Mecanismo Mostrado en la Figura 4. Bajo estas circunstancias, las ecuaciones de restricción se reducen a a 2 Cosθ 2 + a 1 Cosθ 1 = a 1 Cosθ 1 + a 2 Cosθ 2 a 2 Senθ 2 + a 1 Senθ 1 = a 1 Senθ 1 + a 2 Senθ 2 b 2 Cosθ 2 + a 1 Cosθ 1 = a 1 Cosθ 1 + b 2 Cosθ 2 b 2 Senθ 2 + a 1 Senθ 1 = a 1 Senθ 1 + b 2 Senθ 2 (28) Es fácil notar que estas ecuaciones se satisfacen idénticamente. Por lo tanto, F = C E =1 0 = 1 (29) El grado de libertad, indicado por la ecuación anterior, es evidente cuando se observa que el conjunto puede rotar alrededor de un eje perpendicular al plano del papel. 1 Un análisis de las restantes posibilidades conduce a soluciones en las que las condiciones solo se satisfacen momentaneamente. 6

7 6 Ejemplo 5. Mecanismo Plano de Dos Lazos Independientes, que Clarifica Porque Falla el Criterio de Grübler. En este ejemplo se usará el criterio de Paul para dar una nueva interpretación a algunos de los casos en los que el criterio de Grübler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 7, que se emplea en mecanismos de prensas mecánicas e hidraúlicas. En particular, debe notarse la simetría de la geometría y de la topología. Esta simetría se emplea para aplicar de manera mas uniforme la fuerza de prensado mediante el dado superior representado por el eslabón 6. Figure 7: Ecuaciones Vectoriales en otro Mecanismo Plano de Dos Lazos Que Permite Ilustrar Porque Falla el Criterio de Grübler. El mecanismo de la figura 7, tiene 9 eslabones y 12 pares de la clase I, 10paresderevolutay 2prismáticos, si se aplica el criterio de Grübler, se tiene que F =3(N 1) 2 P I P II =3(9 1) 2(12) 0=24 24 = 0. (30) De manera semejante, si se emplea el criterio de Paul, debe notarse que θ 1 = 180 θ 2 = 270 θ 3 =90 + γ 3 θ 4 =90 + γ 4 θ 5 = 270 θ 6 = 180 θ 7 =90 γ 7 θ 11 =0 θ 12 = 270 θ 13 =90 γ 3 θ 14 =90 γ 4 θ 16 =0 θ 17 =90 + γ 7 Además, las siguientes magnitudes son constantes a 1 = a 11,a 3 = a 13,a 4 = a 14,a 6 = a 16,a 7 = a 17. Por lo que, las únicas coordenadas generalizadas son a 2,a 12,a 5,juntoconγ 3,γ 4,γ 7. 7

8 Las ecuaciones vectoriales de clausura, están dadas por a 1 + a 2 = a 3 + a 4 a 5 + a 6 + a 7 = a 3 a 11 + a 12 = a 13 + a 14 a 5 + a 16 + a 17 = a 13 (31) Puesto que, en general, cada ecuación vectorial genera 2 ecuaciones escalares, a primera vista el criterio de Paul conduce a F = C E =6 8= 2 (32) Ambos resultados, nos indican que el eslabonamiento es una estructura, aún cuando el criterio de Paul, nos indica que la estructura es estaticamente indeterminada. En la parte final de este ejemplo, se analizarán, con mas detalle, las ecuaciones escalares que resultan de las ecuaciones vectoriales (31), para de esa forma descubrir el número correcto de grados de libertad del eslabonamiento. Las ecuaciones vectoriales están dadas por a 1 î a 2 ĵ = a 3 C (90 + γ 3 )î + a 3 S (90 + γ 3 )ĵ + a 4 C (90 + γ 4 )î + a 4 S (90 + γ 4 )ĵ a 5 ĵ a 6 î + a 7 C (90 γ 7 )î + a 7 S (90 γ 7 )ĵ = a 3 C (90 + γ 3 )î + a 3 S (90 + γ 3 )ĵ a 11 î a 12 ĵ = a 13 C (90 γ 3 )î + a 13 S (90 γ 3 )ĵ + a 14 C (90 γ 4 )î + a 14 S (90 γ 4 )ĵ a 5 ĵ + a 16 î + a 17 C (90 + γ 7 )î + a 17 S (90 + γ 7 )ĵ = a 13 C (90 γ 3 )î + a 13 S (90 γ 3 )ĵ (33) Sustituyendo las condiciones de igualdad entre los eslabones, las ecuaciones escalares son a 1 = a 3 Sγ 3 a 4 Sγ 4 (34) a 2 = a 3 Cγ 3 + a 4 Cγ 4 (35) a 6 + a 7 Sγ 7 = a 3 Sγ 3 (36) a 5 + a 7 Cγ 7 = a 3 Cγ 3 (37) a 1 = a 3 Sγ 3 + a 4 Sγ 4 (38) a 12 = a 3 Cγ 3 + a 4 Cγ 4 (39) a 6 a 7 Sγ 7 = a 3 Sγ 3 (40) a 5 + a 7 Cγ 7 = a 3 Cγ 3 (41) Un análisis muy simple de las ecuaciones revela que las siguientes parejas de ecuaciones, la (34) y la (38), la (36) y la (40), la (37) y la (41) son redundantes por lo tanto, el sistema de ecuaciones se reduce a a 1 = a 3 Sγ 3 a 4 Sγ 4 (42) a 2 = a 3 Cγ 3 + a 4 Cγ 4 (43) a 6 + a 7 Sγ 7 = a 3 Sγ 3 (44) a 5 + a 7 Cγ 7 = a 3 Cγ 3 (45) a 12 = a 3 Cγ 3 + a 4 Cγ 4 (46) De esa manera, se tiene que el número de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul, está dadopor F = C E =6 5 = 1 (47) Además es interesante notar que las ecuaciones (43) y (46) conducen a a 2 = a 12 (48) Este resultado permite verificar la completa simetría del mecanismo, que es la causante de los errores iniciales en el cálculo de los grados de libertad del mecanismo. 8

9 7 Ejemplo 6. Mecanismo Plano Complejo, Que Constituye Una Excepción del Criterio de Grübler. Considere el mecanismo plano mostrado en la figura 8, el mecanismo está formado por cinco eslabones y seis pares de la clase I, cuatro pares prismáticos y dos pares de revoluta. Si se aplica el criterio de Grübler, el resultado es F =3 (N 1) 2 P I P II =3 (5 1) 2 6 0= =0. (49) De acuerdo con este resultado el eslabonamiento parece ser una estructura. Si se consideran las ecuaciones de clausura dadas por y las ecuaciones escalares correspondientes son s 1 + s 2 = a 2 + b 3 a 2 + a 3 = s 3 + s 4 (50) s 1 Cθ s1 + s 2 Cφ 2 = a 2 Cθ 2 + b 3 C (θ 3 + γ) s 1 Sθ s1 + s 2 Sφ 2 = a 2 Sθ 2 + b 3 S (θ 3 + γ) a 2 Cθ 2 + a 3 Cθ 3 = s 3 Cθ s3 + s 4 Cφ 4 a 2 Sθ 2 + a 3 Sθ 3 = s 3 Sθ s3 + s 4 Sφ 4 (51) Figure 8: Mecanismo Plano Complejo que Constituye una Excepción del Criterio de Grübler. Además, las siguientes magnitudes son constantes a 2, a 3, b 3, φ 2, φ 4, γ, φ s1, φ s3. Por lo que, las únicas coordenadas generalizadas son, a primera vista, θ 2, θ 3, s 1, s 2, s 3 y s 4. De esa manera, se tiene que el número de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul, está dadopor F = C E =6 4=2. (52) Sin embargo, debe notarse que el eslabón triangular está conectado al eslabón fijo mediante dos pares prismáticos de modo que el movimiento relativo del eslabón triangular respecto al 9

10 eslabón fijo es unicamente de traslación, por lo tanto la variable θ 3 es en realidad un parámetro. Por lo tanto, volviendo a aplicar el criterio de Paul, se tiene que la movilidad está dadapor El mecanismo tiene un grado de libertad. F = C E =5 4=1. (53) 8 Ejemplo 7. Mecanismo Plano Que Incluye Pares Superiores. En los tres ejemplos anteriores se mostró que la movilidad de mecanismos planos puede determinarse substrayendo al número de variables necesarias,para determinar la posición de todos los eslabones del mecanismo, el número de ecuaciones independientes obtenidas a partir de las ecuaciones de clausura de los lazos. Sin embargo, todos los ejemplos ilustrados contienen exclusivamente pares de revoluta y prismáticos. En esta pequeña nota, se muestra como se puede determinar, empleando este mismo método, la movilidad de mecanismos planos que contienen pares de leva, en particular una pareja de engranes. Considere el mecanismo mostrado en la figura 9, el mecanismo está formado por un eslabón fijo, una pareja de engranes y dos bielas. Por lo tanto, el número total de eslabones del mecanismo es N =5,además el mecanismo tiene P I =5paresdelaclaseI, todos ellos de revoluta, finalmente el mecanismo tiene un par de leva, representado por la pareja de engranes, por lo tanto, P II =1. Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que F =3 (N 1) 2 P I P II =3 (5 1) 2 5 1= =1. (54) Figure 9: Mecanismo Plano con un Par de Leva, Formado por una Pareja de Engranes. Considere ahora la ecuación vectorial mostrada en la figura 9. La ecuación está dadapor a 1 + a 2 + a 3 = a 5 + a 4 (55) las componentes escalares de esta ecuación están dadas por a 1 Cθ 1 + a 2 Cθ 2 + a 3 Cθ 3 = a 5 Cθ 5 + a 4 Cθ 4 (56) a 1 Sθ 1 + a 2 Sθ 2 + a 3 Sθ 3 = a 5 Sθ 5 + a 4 Sθ 4 (57) 10

11 Figure 10: Relación Entre los Ángulos de Giro de los Engranes. los parámetros de estas ecuaciones son a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, r 2 y r 5 donde estos dos últimos parámetros son los radios de los engranes. Además θ 1 =0, las variables son θ 2, θ 3, θ 4 y θ 5. Sin embargo, los engranes introducen una nueva ecuación, sean θ 20 y θ 50 las posiciones iniciales, o de ensamble, de los eslabones 2 y 5. Entonces, las ángulos θ 2 y θ 5, vea la figura 10, están relacionados por θ 2 θ 20 = r 5. (58) θ 5 θ 50 r 2 o (θ 2 θ 20 ) r 2 = (θ 5 θ 50 ) r 5. (59) En algunos libros, esta ecuación se denomina ecuación auxiliar. Concluyendo, el número de variables necesarias para determinar la posición del mecanismo es V = 4, mientras que las ecuaciones escalares independientes son las ecuaciones (56,57,59). Es decir, E =3,porlotanto F = V E =4 3=1. (60) El mismo número de grados de libertad que el determinado empleando el criterio de Grübler. Bibliografía [1] Paul, B. [1979], Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. 11