Señales: Tiempo y Frecuencia PRÁCTICA 1
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- Encarnación Castellanos Figueroa
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1 Señales: Tiempo y Frecuencia PRÁCTICA 1 (1 sesión) Laboratorio de Señales y Comunicaciones
2 PRÁCTICA 1 Señales: Tiempo y Frecuencia 1. Objetivo El objetivo de esta primera práctica es revisar: las principales características de las señales discretas (secuencias) de interés; y la representación de señales, tanto continuas como discretas, en el dominio de la frecuencia; 2. Contenido Teórico La teoría necesaria para desarrollar esta práctica puede encontrarse en los Capítulos 1-5 del libro: Signals and Systems (Second Edition), de Oppenheim and Willsky. Su estudio previo es condición indispensable para el correcto aprovechamiento de las horas de laboratorio.
3 3. Cuestionario previo 1. Estudie el siguiente código MATLAB: x = [0; l; l; 0; 0; 0] * ones(1,7); x=x(:); length(x) % devuelve la longitud del vector Escriba la expresión de la secuencia x[n] así generada. 2. Considere una secuencia sinusoidal de la forma: x[n] = A cos(ω 0 n +φ) Dicha señal se multiplica por la secuencia y[n] = (-1) n = cos(πn); determine la pulsación (ω 1 ) en el intervalo [0,π] de la secuencia sinusoidal resultante y su dependencia de la frecuencia angular ω 0. Aplique el resultado obtenido al caso en que f 0 = 3/ (opcional) Sean y R [n] e y I [n] respectivamente las partes real e imaginaria de la solución de la ecuación en diferencias empleada en el Ejercicio 4. Escriba un par de ecuaciones en diferencias reales que expresen y R [n] e y I [n] en términos de y R [n-1], x[n], r, cosθ y senθ. 4. Obtenga el Desarrollo en serie de Fourier de la siguiente señal: 5. Determine la transformada de Fourier de: - con qué propiedades de las transformadas están relacionadas cada una de ellas?
4 4. Secuencias Básicas 4.1. Secuencias Reales Ejercicio 1. Genere y dibuje (haciendo uso del comando stem) las siguientes secuencias. El eje de abscisas debe extenderse exclusivamente en el rango indicado. Dibuje ahora la señal Reflexión 1: x l [n] = 0.9 δ[n-5], 0 < n < 20 x 2 [n] = 4.5 δ[n+7], -10 < n < 10 x 3 [n] = 4.5 δ[n+17], 0< n < 20 Es necesario modificar ambos vectores (abscisas y ordenadas) respecto a los de la señal x 2 [n]? A qué se debe esto? Ejercicio 2. Sea s[n] como sigue Genere una secuencia s[n] de longitud 50 (empezando en n=0) para P=5. Utilice una o dos operaciones con vectores en vez de bucles for para situar los impulsos. Reflexión 2: Encuentra alguna ventaja en la velocidad de procesamiento utilizando este procedimiento en lugar de los mencionados bucles for? Ejercicio 3. Escriba una función MATLAB, sinus.m, que genere una sinusoide de longitud finita. La función recibirá 5 parámetros: amplitud, pulsación ω 0, fase, y dos números que especificarán el primer y último valor de n para los que se genera la sinusoide: x[n] = A cos (ω 0 n + φ), n 0 < n < n 1 La función debe devolver dos vectores: el de índices y el de valores de la sinusoide. Ejercicio 4. a) Escriba una función MATLAB, expon.m, que genere una secuencia exponencial (de longitud finita) : x[n] = b n,. La función debe admitir como parámetros el núcleo de la exponencial (b), el valor del índice de comienzo (n 0 ), y la longitud de la misma (L). Como en casos
5 anteriores, devolverá dos vectores: la secuencia y los índices correspondientes. Emplee esta función para generar la secuencia x[n] = (0.9) n, 0 < n < 20. b) Como usted sabe, existe una fórmula cerrada para la suma de una exponencial de longitud finita. Utilizando la función anterior genere una exponencial de longitud arbitraria, y súmela. Reflexión 3: Compare el resultado con el obtenido evaluando la fórmula, encuentra alguna diferencia? Qué pasaría si la señal fuese infinita? c) Otra forma de generar una exponencial es resolviendo recurrentemente una ecuación en diferencias. La secuencia y[n] = a n u[n] es la solución de la siguiente ecuación en diferencias cuando la entrada, x[n], es un impulso: y[n] - a y[n-1] = x[n] Condición inicial: y[- 1] = 0. En MATLAB, la función filter implementa una ecuación en diferencias; emplee filter para generar la secuencia inicial: y[n]= (0.9) n, 0 < n < Señales Complejas Aunque en el mundo real las señales toman valores reales, a menudo resulta extremadamente útil generar, procesar e interpretar parejas de señales reales como señales complejas: combinando ambas señales reales como partes real e imaginaria de una compleja. Las exponenciales complejas responden a la siguiente formulación general: donde G = Ae j φ es la amplitud compleja y z 0 = re j θ es el núcleo de la exponencial. Ejercicio 5. Genere y dibuje cada una de las siguientes secuencias. Exprese las sinusoides mediante exponenciales complejas y genere los vectores con la función exp. En el caso de señales complejas dibuje mediante subplot las partes real e imaginaria. Utilice además subplot para dibujar el módulo y la fase.
6 Ejercicio 6 Genere las mismas señales del Ejercicio 5 utilizando filter para resolver recurrentemente una ecuación en diferencias análogamente a como se hizo en el caso de señales reales. Reflexión 4: Es posible hacer esto con todo tipo de señales? Qué condiciones se han de cumplir para que sea posible? 5. Representación de Señales en el Dominio de la Frecuencia 5.1. Secuencias Ejercicio 8. Escriba una función (llámela dsf_analisis) que partiendo de una secuencia x[n] y de un período N, implemente la fórmula de análisis: devolviendo un vector X que contenga X[k], para 0 k N-1. Ejercicio 9. Escriba una función (llámela dsf_sintesis) que partiendo de un vector de coeficientes, a, y de un período N, implemente la ecuación de síntesis: devolviendo un vector x que contenga x[n], para 0 n N-1. Compruebe que es la función inversa de la utilizada en el ejercicio anterior. Ejercicio 10. Modifique la función anterior para obtener versiones sintéticas de x[n] construidas a partir de sólo P ( ) coeficientes (haga variar k entre P/2 y P/2). Aplique la nueva función a la señal siguiente para P = 4, 8, 16, y 32: Dibuje los resultados obtenidos. Se observa el fenómeno de Gibbs?
7 5.2. Señales continuas Ejercicio 11. Ejecute el programa fasores y observe cómo es la representación fasorial de un seno y un coseno. Observe cómo se sintetiza una señal periódica cuadrada. Sintetice una señal periódica triangular (utilice para ello el resultado del ejercicio 3. 4). Ejercicio 12. Observe mediante el programa tfc la transformada de Fourier de las siguientes señales (para ello modifique la función decayexp.m apropiadamente): Explique los resultados y relaciónelos con las propiedades de la transformada de Fourier que observó en el ejercicio 5 del cuestionario previo. En qué consiste el escalado en el tiempo que realiza el programa? Expréselo matemáticamente. Cómo afecta al módulo del espectro?, y a la fase? Qué representa realmente la operación de desplazamiento temporal? Reflexión 5: Es posible representar estas señales utilizando MATLAB? Y sus transformadas de Fourier? Qué tipo de señales podemos representar en MATLAB? Y qué transformadas? Reflexione sobre este problema.
3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL
11 ÍNDICE INTRODUCCIÓN 13 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 19 Corriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm. Ley de Joule. Fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff.
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