APUNTES DE MATEMÁTICAS

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1 APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 6:CÓNICAS 1º BACHILLERATO

2 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN SUPERFICIE CÓNICA CURVAS CÓNICAS CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN COMPLETA DE UNA CIRCUNFERENCIA Ecución reducid de l circunferenci Ejemplo Ejemplo Ejemplo Condición pr que un polinomio de grdo en, se circunferenci Ejemplo POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA Ejemplo POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS ELIPSE A. DEFINICIONES: Oservciones: ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA ELIPSE TEOREMA: TEOREMA: CASO 3. (CASO GENERAL) EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE Ejemplo HIPÉRBOLA DEFINICIONES... 15

3 .1.1. Oservciones: CASO 1. HIPÉRBOLA CON FOCOS F (-C, 0) Y F(C, 0) ; C > TEOREMA: CASO. HIPÉRBOLA CON FOCOS EN F (0, -C) Y F(0, C) ; C > TEOREMA: CASO 3. (CASO GENERAL) Oservciones: LA PARABÓLA DEFINICIONES Oservciones: ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA PARÁBOLA TEOREMA 1 (ECUACIONES DE LA PARÁBOLA) TRASLACIÓN DE EJES Teorem (Ecuciones de l práol. Form generl)... 3

4 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Superficie Cónic Se llm superficie cónic de revolución l superficie engendrd por un líne rect que gir lrededor de un eje mnteniendo un punto fijo sore dicho eje Apolonio de Perge o Apolonio de Perg (Perge, c. 6 - Alejndrí, c C.) fue un geómetr griego fmoso por su or Sore ls secciones cónics. Fue Apolonio quien dio el nomre de elipse, práol e hipérol, ls figurs que conocemos. Tmién se le triue l hipótesis de ls órits ecéntrics o teorí de los epiciclos pr intentr eplicr el movimiento prente de los plnets de l velocidd vrile de l Lun. Geómetr. Sus etensos trjos sore geometrí trtn de ls secciones cónics de ls curvs plns l cudrtur de sus áres. Recopiló su or en ocho liros fue conocido con el sorenomre de El Grn

5 1.. CURVAS CÓNICAS Ls curvs cónics se otienen l intersecr un superficie cónic con un plno. L posición de ese plno posiilit l otención de diferentes curvs cónics Elipse Práol Hipérol Circunferenci 5

6 . CIRCUNFERENCIA Se llm circunferenci l lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro C. El rdio de l circunferenci es l distnci de un punto culquier de dich circunferenci l centro Condición de lugr geométrico : d(p,c)r Ecución de l circunferenci : ( ) ( ) r.1. Ecución Complet de un Circunferenci Si desrrollmos l ecución nterior ( ) ( ) r Si relizmos los siguientes cmios r A- B- C - r Otenemos otr form de escriir l ecución de l cf: A B C 0 A B A B Donde el centro es: C, el rdio cumple l relción: r C.1.1. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA CIRCUNFERENCIA Si el centro de l circunferenci coincide con el origen de coordends l ecución qued reducid : r.1.. EJEMPLO Escriir l ecución de l circunferenci de centro (3, ) rdio. 6

7 7 ) ( 3) ( ) ( 3) ( EJEMPLO Dd l circunferenci de ecución - - 0, hllr el centro el rdio ) ( > r C r B A.1.. EJEMPLO Hllr l ecución de l circunferenci que ps por los puntos A(,0), B(,3), C(1, 3). Si sustituimos e en l ecución 0 C B A por ls coordends de los puntos se otiene el sistem: C B A C B A C A A-3 B-3 C SOL: CONDICIÓN PARA QUE UN POLINOMIO DE GRADO EN X,Y SEA CIRCUNFERENCIA Pr que un epresión del tipo: 0 C B A se un circunferenci dee cumplir que: 1. Los coeficientes de e sen igules l unidd. Si tuviern mos un mismo coeficiente distinto de 1, podrímos dividir por él todos los términos de l ecución.. No teng término en > C B A.1.6. EJEMPLO Indicr si l ecución: , corresponde un circunferenci, en cso firmtivo, clculr el centro el rdio.

8 1. Como los coeficientes de e son distintos l unidd, dividimos por : No tiene término en > 0 Es un circunferenci, que se cumplen ls tres condiciones. 1 1 > > 1 1 C (,1) r > r.. POSICIÓN reltiv de un rect un circunferenci Pr hllr l posición reltiv de un rect un circunferenci podemos comprr l distnci del centro de l cf l rect. Si d d(c,rect) rrdio de l cf - Si d>r L rect es eterior.- Si dr L rect es tngente c.- Si d<r L rect es secnte Pr hllr los puntos comunes un cónic un rect resolveremos el sistem formdo por ls ecuciones de ms. En generl se otiene un ecución de segundo grdo, que tendrá dependiendo del signo del discrimínnte, c, ls siguientes soluciones: Si Δ > 0 Dos soluciones: l rect l cónic son secntes. Si Δ 0 Un solución: l rect l cónic son tngentes. Si Δ < 0 8

9 Ningun solución: l rect l cónic son eteriores...1. EJEMPLO Clcul l posición reltiv de l circunferenci 3 0 l rect. 3 5 Centro > 1 0 C (1,0) r 1 0 ( 3) > r d( C, rect) 3(1) Como l distnci es ms cort que el rdio L rect es secnte (5 3) X 16 ± ± P (, ) Q (1, ) Secntes 5 5 9

10 .3. POTENCIA de un punto respecto un circunferenci L potenci de un punto P respecto un circunferenci de rdio r es el vlor π ( P) d r donde d es l distnci de P l centro del círculo. L definición lgeric permite dicionlmente el cálculo de l potenci de un punto medinte el uso de coordends. L potenci del punto P(,) respecto un circunferenci centrd en el origen, con rdio ritrrio r es... EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS Otro lugr geométrico que se puede considerr es quel formdo por los puntos cu potenci respecto dos círculos fijos (no concéntricos) es l mism. Es decir, quellos d r d puntos P tles que donde d 1,d son ls distncis desde P los centros del primer segundo círculo, mientrs que r 1,r son los rdios de los mismos. 1 1 r Este lugr geométrico es un líne rect, denomind eje rdicl de los dos círculos, perpendiculr l líne que une los centros de mos. Los detlles vrín dependiendo de l posición reltiv de los círculos (si se cortn, si son jenos o si uno contiene otro). El cso más sencillo, quí ilustrdo, es el que mos círculos se cortn. Denominndo por A,B los puntos de corte, se oserv que pr culquier punto de l líne AB se cumple que l potenci respecto culquier de los dos círculos es l mism: PA PB. Como consecuenci dicionl se otiene como consecuenci que dich rect tmién es el lugr geométrico de los puntos desde los cules se puede trzr tngentes de l mism longitud hci cd uno de los círculos. Esto es porque l potenci del punto P tmién es igul PF² PG², por lo que PFPG. 10

11 3. ELIPSE. Definiciones: c i. Sen F F dos puntos de un plno ( F F '. Se define l ELIPSE de focos F F como el lugr geométrico de los puntos del plno tles que l sum de sus distncis los focos es constnte e igul ( > 0). (>c) SIMETRÍA DE LA ELIPSE. ii. Ls rects: L que ps por los focos F F l rect meditriz del segmento FF ' se llmn EJES DE iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetrí, se llm CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A, A, B B se llmn VERTICES DE LA ELIPSE. Si el segmento AA ' es mor que el segmento BB ', mos segmentos se llmn respectivmente EJE MAYOR EJE MENOR de l elipse OBSERVACIONES: i. De hecho, culquier pr de puntos del plno pueden servir como focos de un elipse. Por simplicidd, solo se considerrán inicilmente quellos csos en los cules los focos están en el mismo eje (eje, eje ) son simétricos uno del otro con respecto l origen ii. Nótese tmién que como FB F ' B, se sigue que B' O OB c (teorem de Pitágors). 3.. Ecuciones Anlítics de l Elipse Cso 1. Elipses con focos. F (-c, 0) F(c, 0) ; c > 0 Eje mor: Longitud ( > 0) Eje menor: Longitud ( > 0) TEOREMA: L ecución de l elipse con focos en los puntos F (-c, 0) F(c, 0), eje mor, eje menor, 1 viene dd por: Not (>c) Demostrción 11

12 Si p(, ) es un punto que pertenece l elipse considerd, se tiene de cuerdo l definición i que FP F ' P ( c) ( c), equivlentemente, (fórmul de distnci entre dos puntos) Trnsponiendo el primer rdicl l segundo ldo elevndo mos miemros l cudrdo, se otiene: c c ( c) c c Simplificndo l últim iguldd se lleg : ( c) c Al elevr nuevmente mos miemros l cudrdo en l últim ecución, se otiene: ( c c ) c c L cul se reduce : ( c ) c ( c ) Recordndo demás que ( c > c últim iguldd por, se otiene finlmente pedid. Cso. Elipses con focos F (0, -c) F(0, c) ; c > 0 Eje mor: Longitud ( > 0) Eje menor: Longitud ( > 0) 3.3. TEOREMA: l dividir mos miemros de l 1 ;que corresponde l ecución L ecución de l elipse con focos en los puntos F (0, -c) F(0, c), eje mor,, eje menor, (>c),viene dd por: 1 Demostrción: Es similr l nterior, se dej por lo tnto como ejercicio. NOTA:Nótese que si en ls ecuciones (1) () de l elipse, se hce, ls ecuciones se trnsformn en l ecución de un circunferenci de centro en el origen rdio. 3.. Cso 3. (Cso Generl). Si en vez de considerr el centro de l elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos csos nteriores, se consider el punto C (h, k), l ecución de l elipse correspondiente, se trnsform utilizndo ls ecuciones de trslción (sección 6.1..) en: 1

13 13 1 ) ( ) ( k h Si >, el eje focl es prlelo l eje. (sore l rect k) Si >, el eje focl es prlelo l eje. (sore l rect h) 1 ) ( ) ( k h 1 ) ( ) ( k h 3.5. Ecentricidd de l elipse SE llm ecentricidd de l elipse l vlor ; c e ; c e 1 0 c e Al cociente entre su semidistnci focl su semieje mor. c0 e0

14 e3/5 e/5 e1 c EJEMPLO Hllr los elementos crcterísticos l ecución reducid de l elipse de focos: F'(-3,0) F(3, 0), su eje mor mide 10. Semieje mor 10 5 Semidistnci focl FF c6 c3 Semieje menor 5 9 Ecución reducid Ecentricidd e3/5 1

15 . HIPÉRBOLA.1. Definiciones i. Sen F F dos puntos de un plno (F F ). Se define l hipérol de focos F F como el lugr geométrico de los puntos del plno tles que l diferenci de sus distnci los focos es constnte e igul. ( > 0). ii. Ls rects: L que ps por los focos F F l rect meditriz del segmento F F se llmn: Ejes de simetrí de l hipérol. iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetrí, se llm CENTRO de l hipérol. Los puntos A A se llmn: VERTICES de l hipérol OBSERVACIONES: i. Como en el cso de l elipse, culquier pr de puntos del plno pueden servir como focos de un hipérol. Por simplicidd, solo se considerrán inicilmente, quellos csos en los cules los focos están en el mismo eje (eje ó eje ) son simétricos uno del otro con respecto l origen ii. Si F' P FP se otiene l rm derech de l hipérol; mientrs que si FP F' P se otiene l otr rm iii. Note que < c, que l diferenci de los ldos de un triángulo siempre es menor que el tercer ldo. Además, se tom. OB Ecuciones Anlítics de l Hipérol c 15

16 .. cso 1. Hipérol con focos F (-c, 0) F(c, 0) ; c > TEOREMA: CÓNICAS L ecución de l hipérol centrd en el origen cuos focos están en los puntos F(-c, 0) F(c, 0) viene dd por: 1 Demostrción: Si P(, ) es un punto que pertenece l hipérol considerd, se tiene de cuerdo l definición que: F' P FP ó FP F' P De donde, F' P FP ó F' P FP Es decir, ± F ' P ± FP Equivlentemente, usndo l fórmul de distnci, se puede escriir: ± ( c) ± ( c) Elevndo mos miemros l cudrdo en l últim iguldd simplificndo se otiene: c ± ( c) Elevndo nuevmente mos miemros l cudrdo en l últim iguldd después de simplificr fctorizr se puede escriir: ( c ) ( c ) Recordndo demás que últim iguldd por pedid. c, se otiene finlmente, (oservción iii.) l dividir mos miemros de l 1 que corresponde l ecución.3. Cso. Hipérol con focos en F (0, -c) F(0, c) ; c > TEOREMA: L ecución de l hipérol centrd en el origen cuos focos están en los puntos F (0, -c) F(0, c) viene dd por: 16

17 1 L demostrción es similr l nterior, se dej por lo tnto como ejercicio... Cso 3. (Cso Generl) Si en vez de considerr el centro de l hipérol en el punto (0, 0), como se hizo en los dos csos nteriores, se consider el punto C (h, k), ls ecuciones de l hipérol correspondiente, se trnsformrán utilizndo ls ecuciones de trslción (sección 6.1..) en: (3) () Según que el eje focl se un rect prlel l eje o l eje respectivmente...1. OBSERVACIONES: i. En l figur., se h trzdo l hipérol centrd en el origen focos en los puntos F1(c,0) F(-c, 0). Los puntos V1 V son los vértices de l hipérol sus coordends son V1(, 0) V(-, 0). Los puntos M, N, P Q tienen coordends: M (, ), N(-, ), P(-, -) Q(, -). El rectángulo MNPQ recie el nomre de rectángulo uilir de l hipérol. 17

18 18 ii. L gráfic de l hipérol es simétric con respecto l eje con respecto l eje. iii. Ls rects que psn, l primer por M P l segund por N Q, se llmn síntots olicus de l hipérol sus ecuciones vienen dds respectivmente por: Un form "nemotécnic" de otener ls ecuciones de ls los síntots de l hipérol es l siguiente: En l ecución de l hipérol, sustituir el 1 (uno) del segundo miemro por un 0 (cero). Así, en el cso prticulr de l hipérol 1, Hcemos: 0 0 (fctorizndo) 0 0 Ests son ls ecuciones de ls síntots. iv. En el cso prticulr, cundo, ls ecuciones de l hipérol se trnsformn en 1 ó 1 En mos, l hipérol se llm: Hipérol Equiláter tienen como síntots ls rects e -

19 Ejercicios Represent gráficmente determin ls coordends del centro, de los focos, de los vértices l ecentricidd de ls siguientes hipérols: ( ( 1) 3 1 1) ( 1) c 3 7 C(1,0) A( 1 3,0) A ( 1 3,0) F ( 1 7,0) 7 e F (A( 1 7,0) 3 Ejemplo 19

20 5. LA PARABÓLA 5.1. Definiciones Se DD un rect dd del plno F un punto del plno que no está en l rect dd. Se define l práol como el lugr geométrico de los puntos P del plno cu distnci l punto F es igul l distnci l rect DD. L rect dd DD se llm DIRECTRIZ el punto F se llm FOCO Frecuentemente se hce referenci l práol de directriz DD de foco F OBSERVACIONES: Foco:Es el punto fijo F. Directriz: Es l rect fij d. Prámetro:Es l distnci del foco l directriz, se design por l letr p. Eje:Es l rect perpendiculr l directriz que ps por el foco. Vértice:Es el punto de intersección de l práol con su eje. Rdio vector:es un segmento que une un punto culquier de l práol con el foco. Se A el punto medio del segmento QF. Como AFAQ, entonces el punto A pertenece l práol. V es llmdo VERTICE de l práol. 5.. Ecuciones Anlítics de l Práol En est sección sólo se considerrán práols con el vértice A en el origen de coordends cuos focos estrán loclizdos sore los ejes ó 0

21 Se P(, ) un punto de l práol entonces, p p Pero, PD PF PD PF. Luego, p p Elevndo l cudrdo mos miemros de l últim iguldd, desrrollndo los inomios, se otiene: p p p p, simplificndo qued finlmente, p 5.3. TEOREMA 1 (Ecuciones de l Práol) i. L ecución de l práol que tiene su foco en F(p/, 0) por directriz l rect -p/ viene dd por : p (3). Recíprocmente si un punto P del plno, stisfce l ecución (3) entonces P está en l práol p>0 p<0 ii. L ecución de l práol que tiene su foco en F(0, p/) por directriz l p rect es: p () iii. Recíprocmente, si un punto P del plno, stisfce () entonces P está en l práol 1

22 p>0 P<0 Oservciones: En l figur precen ls gráfics de dos práols ierts hci rri (en el cso de p>0) hci jo (p<0), respectivmente cuos focos están loclizdos en el punto F(0, p/) cu directriz es l rect de ecución -p/. Además, todos sus puntos son simétricos con respecto l eje : de quí que ls ecuciones que representn sus lugres geométricos, presentn únicmente l vrile elevd en un potenci pr Igulmente, ls gráfics de l corresponden ls gráfics de práols ierts hci l derech (p > 0) e izquierd (p < 0) respectivmente, con focos en el punto F(p/, 0) cu directriz es l rect de ecución -p/. Además todos sus puntos son simétricos con respecto l eje, de quí que ls ecuciones que representn sus lugres geométricos, poseen únicmente l vrile elevd su potenci pr 5.. Trslción de Ejes L ecución de l circunferenci con centro en C(,3) rdio 5 er: ( ) ( 3) Sin emrgo, si se encuentr l ecución con centro en C(0, 0) rdio 5. Se otiene 5 De lo nterior se conclue que veces puede cmir l ecución sin cmir l form de l gráfic

23 fig Si en el plno crtesino - se eligen nuevos ejes coordendos prlelos los ejes e, se dice entonces que h hido un "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de nlizr los cmios que se presenten en ls coordends de los puntos del plno l introducir un nuevo sistem de coordends e prlelo los ejes e, se tom un punto fijo o (h, k) que se llm: ORIGEN del nuevo sistem. Se hor, un punto P(, ) del plno, cus coordends están referids l sistem con origen O(O, O) Entonces ls coordends de P(, ) referids l sistem - vienen dds por ls relciones: h k llmds: ECUACIONES DE TRASLACIÓN DE EJES, que pueden deducirse fácilmente de l fig. Oservción: L trslción de ejes modific l ecución de un curv lguns veces l simplific, pero no lter l form de l curv. 3

24 Un plicción útil de l trslción de ejes se consigue cundo se otienen ls ecuciones generles de l práol, con vértice en el punto A (h, k) referido l sistem - pr ls cules l directriz es perpendiculr uno de los ejes. Si se tom como referenci los ejes e, hllr ls ecuciones de l práol con vértice en V(h, k), equivle encontrr ls ecuciones de l práol con vértice en (0, 0) referido l nuevo sistem. Ls ecuciones, ( ') p', ( ') p' permiten escriir ls ecuciones en form generl de l práol, como lo firm el siguiente teorem: 6. Teorem (Ecuciones de l práol. Form generl) i. L ecución de l práol con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco p en F [ h, k ] por directriz l rect: p k (fig.5) viene dd por: ( h) p( k) Fig 5. i. L ecución de l práol con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco p en F [ h, k] por directriz l rect: (fig. 6..) viene dd por: ()

25 fig. 6. Demostrción: Es similr l del teorem 1, plicdo l sistem - luego hcer e Oservción: Ls ecuciones (1) () del teorem, después de simplificrls, pueden epresrse en l form: (3) () En ls ecuciones (3) () puede notrse que un de ls vriles prece l cudrdo l otr linel. L práol siempre se re en l dirección del eje cu vrile prece linel. Así por ejemplo, l ecución (3) represent un práol que se re hci el semieje positivo (si p > 0) o hci el semieje negtivo (si p < 0). Igulmente, l ecución () represent un práol iert hci l derech (si p > 0) o hci l izquierd (si p < 0). EJERCICIO1: Dd l práol directriz. 8, clculr su vértice, su foco l rect 5

26 EJERCICIO Dd l práol ( ) 8( 3), clculr su vértice, su foco l rect directriz. 6