Números complejos. Actividades. Problemas propuestos. Matemáticas 1 Bachillerato? Solucionario del Libro

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1 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro Actvdades Dado el número complejo se pde: qué valor ha de tener x para que x? Calcula el opuesto de su conjugado Calcula el conjugado de su opuesto x x x El conjugado de es y su opuesto Su opuesto es ; el conjugado de este, Efectúa?770 0 Como 770?9 ; 0?0 y?0, se tene que?770 0? Expresa el número (cos 0ºsen 0º) en forma polar y bnómca (cos 0º sen 0º) [cos (0º) sen (0º)] que es su forma bnómca La forma polar será 0º ó 0º Tenendo en cuenta que º : 0º º calcula sen º y cos º Por una parte se tene que º º (cos º sen º) 0 cos º sen º Por otra parte, º (cos º sen º) 0 (cos 0º sen 0º) Igualando partes real e magnara de ambas expresones se obtene: cos º sen º Calcula y representa gráfcamente las solucones de la ecuacón 0 Las solucones de la ecuacón 0 son Para calcular esta raí cúbca, expresamos el radcando en forma polar; tene por módulo m () y por argumento aarctg º pues está stuado en el segundo cuadrante Por tanto, ( ) º ( ) ºk?0º ( ) ºk?0º ( ) º ( ) º ( ) º ( ) º Fg 9 ( ) º ( ) º Los afjos de estas raíces están stuadas sobre una crcunferenca de rado y son los vértces de un trángulo equlátero Encuentra la ecuacón que tene por raí a los números,, y La ecuacón buscada será ()?()?[( )]?[( )] 0 ( )?( 0) Problemas propuestos Tpo I Partes real e magnara del número complejo Representacón gráfca Representa gráfcamente el opuesto y el conjugado de: d) Fg 9 d)

2 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro 09 Representa gráfcamente los números complejos xy tales que: Su parte real sea Su parte magnara sea, y < d) 0 < x < e) < Son los números cuyos afjos están sobre la crcunferenca centrada en el orgen y rado Son los números cuyos afjos están stuados en la parte negatva del eje real Son los números cuyos afjos están stuados sobre la bsectr del prmer cuadrante d) Son los números y Representa gráfcamente los números complejos que verfcan la ecuacón:? Fg 9 d) e) S xy será xy Luego: La ecuacón es equvalente a y y La parte real x puede ser cualquer número, luego x x x Es decr, y? x y La solucón son los números stuados sobre la crcunferenca centrada en el orgen y de rado Son los números stuados sobre la recta vertcal x Son los números stuados sobre la recta horontal y Son los números comprenddos entre las rectas y e y (los stuados sobre la segunda recta pertenecen, no así los de la prmer d) Son los números comprenddos entre las rectas x0 y x (los stuados sobre ambas rectas pertenecen) e) Son los números de la crcunferenca centrada en el orgen de rado y los del nteror de dcha crcunferenca Representa gráfcamente los números complejos que: tenen módulo, tenen argumento 0º, tenen argumento º, d) satsfacen la ecuacón x 90 d) Indca qué condcón (o condcones) cumplen los números complejos xy cuya representacón gráfca se muestra: d) e) Fg 9 Fg 9! Fg 9 x y Su argumento es º d), y < e) x y < 9 <

3 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro Completa la tabla: / / Qué relacón exste entre el conjugado del opuesto de un número complejo, ab, yelopuestodelcon jugado del msmo número? Raone la respuesta Calcule los números x e y de modo que x y S ab, su opuesto es ab Y el conjugado de su opuesto es ab Por otra parte, el conjugado de es ab; y el opuesto del conjugado ab Luego, es decr, los dos números del enuncado son guales x (x)?() x ()?() x Como dos números complejos son guales s lo son sus partes real e magnara ha de ser: x y x x y7 Calculaencadacasoelvalorquehadetenerkparaqueel resultado de la operacón correspondente sea un número magnaro puro: ()(k) (k ) k ()(k)(k)(k) k0 k (k ) (k )k k 0 k k k k k 0 k 9 Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para queel resultado de la operacón correspondente sea un número real: (k)() k k (k)()(k)(k9) k90 k k k k0 k0 0 k k k k k k k 0 k k 0 Determna k para queelnúmero(k) sea: un número real, un número magnaro puro Como (k) ( k )k, se tene: para que sea un número real k0 k0, para que sea un número magnaro puro k 0 k Determna el valor de k para elnúmero k sea un número real sea un número magnaro puro tenga su afjo en la bsectr del prmer cuadrante Como k k 9k se tene que: para que sea un número real: 9k 9 0 9k0 k para que sea un número magnaro puro: k 0 k0 k para que tenga su afjo en la bsectr del prmer cuadrante: k 9k k Determna el valor de a y b para el número a sea gual b a ( ) º Como ( ) º, la relacón a ( ) º a(?() b (( ab, es decr a, b7 b Determna el valor de a para queelmódulodelnúmero a sea a a a 0 0 Su módulo es m a 0 a 0 a 0 S ha de ser m, será a 0 a 9, es decr a7 Determna el valor de k para que el módulo del número a sea a

4 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro 09 a a a a a a Su módulo es m a a a a a 0a 9 a a 7 Dados, y, calcula: ( ) d) e) ( )( ) a S queremos que valga, será 0a 9 a a, es decr a 0a 9 a a 0 a a a a La últma posbldad es mposble, luego a Tpo II Formas de un número complejo Operacones Reala lassguentesoperacones: ()? d) ()? e) ()? f) ()( ) ()? 7 d) () 9? 7 e) ()? f) Calcula: 0 () d) () 0 () d) Utlando el bnomo de Newton, () 7 ( ) 9 d) e) ( )( )9 Efectúa las sguentes operacones: ( ) e) () () g) j) d) f) ()? h) () El número Luego en polares es º ( º ) 0º En polares 0º Luego ( ) ( 0º ) ( )?0º 0 0º 0 0º 0 (cos 0º sen 0º) 0 d) e) 7 f) g) 0 h) 0 7 j) 9 Expresa en forma bnómca: (cos ºsen º)?(cos º sen º) (cos 0º sen 0º) (cos 0º sen 0º) p p cos sen? cos d) [(cos 0º sen 0º)] p p sen (cos º sen º)?(cos º sen º) º? º 0º 7

5 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro (cos 0º sen 0º) (cos 0º sen 0º) 0º 0º p cos sen? p p p 0º p p? cos sen 7p d) [(cos 0ºsen 0º)] ( 0º ) 0º 0 Reala lassguentesoperaconesyexpresa el resultado en forma bnómca: 0º? 0º 0º 0º? 0º 70º : 0º ( )? p : 0º 9 9 0º 0º ( )? ( ) p S 0º y º calcula: p p? d)? e)? f) ()? 0 (cos 0º sen 0º) (cos º sen º) ( )( )( )( )? 0º? º 0º ' 0º º º d)? ( 0º )? º 0º? º º e) 0ºº º ; luego? ' 0º? º º 7º f) 0º 0º 0º ; luego ()? 0º? º º Calcula las sguentes potencas y expresa el resultado en forma bnómca: p () [(cos 0º sen 0º)] () 9 º?º 0º (cos º sen º) º º [(cos 0º sen 0º)] (cos 0º sen 0º) Calcula y representa las sete prmeras potencas del número en polares es º Sus sucesvas potencas son: 70º; º; 0º; º; 90º y 7 º Gráfcamente: Fg 97 Halla las sguentes raíces: Las raíces cúbcas de son:, y 70º 70ºk?0 ºk?0 Luego las raíces sextas de son: º, 0º, º, º, º y º S ( ) 7º y, calcula?

6 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro 09 En forma polar, ( ) º, luego? ( ) 7º?( ) º 0º Por tanto,? 0º 0ºk?0º Dando a k los valores 0, y se obtenen las raíces cúbcas: 0º, 0º y 0º 0 Calcula y expresa en forma bnómca 0 Recordando las potencas de, será: 0? ; 0?0 Luego 0 ()?() 0 ()?() 0 0 Por tanto 0 0 0º 0º 0ºk?0º 0º 00º 7 Calcula y dbuja las raíces octavas de la undad 0º 0ºk?0º (k0,,,7) Susttuyendo k por estos valores, obtenemos 0º, º, 90º, º, 0º, º, 70º y º 0 Fg Utlando números complejos, calcula sen a y cos a en funcón de sen a y cos a Por la fórmula de Movre, para n, (cos asen cos asen a Desarrollando el prmer membro, (cos asen cos acos a sen acos a sen asen a e gualando las partes real e magnara de ambas expresones, obtenemos: cos acos acos a sen a y sen acos a sen asen a 9 Utlando números complejos, calcula sen a y cos a en funcón de sen a y cos a Por la fórmula de Movre, para n, (cos asen cos asen a Desarrollando el prmer membro, (cos asen cos acos a sen acos a sen asen a cos asen a e gualando las partes real e magnara de ambas expresones, obtenemos: cos acos acos a sen asen a y sen acos a sen asen a cos a 0 Utlando números complejos, calcula el seno y el coseno de 0º (observa que 0º 0ºº) Por una parte se tene que 0º? º 0º (cos 0ºsen 0º)cos 0º sen 0º Por otra parte, 0º? º (cos 0º sen 0º)?(cos º sen º)? Igualando partes real e magnara de ambas expresones se obtene: cos 0º sen 0º Tpo III Ecuacones con coefcentes complejos Encuentra la ecuacón que tene por raíces: y º, º y 90º,, y [( )]?[ ( )] 0 0 º ; º y 90º, luego la ecuacón es [( )]?[ ( )]?( ) 0 ( )?( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )?()?( )?( )0 0 Halla las solucones, reales o complejas, de las ecuacones: d) ( ) º 0ºk?0º 0ºk?90º Las solucones son:,, y, 0 S º ( ) ºk?0º cuyas solucones son ( ) 7º0 y ( ) 7º0 9

7 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro S º ( ) ºk?0º cuyas solucones son ( ) º0 d) ( ) y ( ) 9º0 ( ) 0ºk?0º ( ) 0ºk?90º Las solucones son: ( ) 0º ; ( ) 00º ( ) 0º ; ( ) 0º y Resuelve las sguentes ecuacones: d) 0 e) 7 0 0º 0ºk?0º k?7º Luego las solucones son: 0º ; 7º ; º ; º y º 0º 0ºk?0º 0ºk?0º Luego las solucones son: 0º ; 0º y 00º 0º 0ºk?0º 0ºk?90º Luego las solucones son: 0º ; 0º ; 0º y 0º d) º 90ºk?0º ; las solucones son º 0 ; º 0 ; 0º 0 y 9º 0 e) 7 0 S hacemos t, la ecuacón se transforma en una de segundo grado: t 7t0, de fácl solucón t 7t0 (t)(t)0 La ecuacón ncal, por tanto, se puede escrbr: 7 0 ( )( )0 Ahora, las solucones de 0 son: 0º, 0º y 0º ; las de 0 son: 0º, 0º y 00º Resuelve la ecuacón Qutando denomnadores, la ecuacón es equvalente a: El número es la raí cúbca de un número complejo Hallalaformabnómcadedchonúmeroydelasotras raíces cúbcas S ( ), luego el número buscado es ( ) Las raíces cúbcas de son: 90º 90ºk?0º 0ºk?0º En forma bnómca, 0º, 0 y 70º El número es una raí qunta de un número complejo Calcula las otras raíces y el número () 70º Las otras raíces son: 70º 70ºk?0º ºk?7º es decr, º, º, 9º, 70º y º 7 Halla dos números complejos cuya suma sea y su producto (Recuerda: una ecuacón de º grado es de la forma S P0, donde S y P son, respectvamente, la suma y el producto de las solucones) Los números buscados son las solucones de la ecuacón ()()0, es decr, y Determna los números complejos cuyo nverso sea gual al cuádruple de su opuesto S es uno de dchos números, la condcón del enuncado es que () 0 Los números buscados son 9 El producto de dos números complejos y la suma de sus cuadrados Calcúlalos S los números son y se verfca: {? ( ) ; de la prmera, y susttuyendo en la segunda, 0 o Susttuyendo estos valores en, se obtene que los números buscados son { o { 0 El producto de dos números es y su cocente Calcúlalos Sean y los números buscados Se tene el sstema:? Despejando en la segunda ecuacón es ; llevando esta expresón a la prmera ecuacón, se tene que? º 70

8 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro 09 Luego 9 0º 0ºk?0º Llevando cada uno de estos valores a la relacón obtenemos que dos pares de solucones Son: S º es S 9º es º º Halla dos números complejos sabendo que su producto vale yqueelcubodeunodvddoporelotroes Sean y los números buscados Se tene el sstema:? ( ) Despejando en la prmera es ; llevando a la segunda obtenemos la ecuacón 90º Luego 90º ( ) 90ºk?0 Llevando cada uno de estos va- lores a la relacón obtenemos los cuatro pares de solucones Son: S º0 es 7º0 S º0 es 7º0 S 0º0 es 7º0 S 9º0 es 7º0 Halla la longtud de los lados y el área del cuadrlátero cuyos vértces son los afjos de la ecuacón 0 Las solucónes de la ecuacón 0 son 0º ºk?90º Por tanto, los vértces del cuadrlátero son los afjos de los números º, º, º y º Dchos afjos, que están stuados sobre una crcunferenca de rado, forman un polígono regular, luego el cuadrlátero es un cuadrado Su dagonal d, que es el dámetro de la crcunferenca, mde d S l es el lado del cuadrado es dl, luego l y por tanto, el área vale Al u Calcula el área del pentágono cuyos vértces son los afjos de las solucones de la ecuacón 0 Las solucones de la ecuacón son los números 7º?k Al unr cada afjo con el orgen de coordenadas obtenemos cnco trángulos sósceles e guales entre sí En cada uno de ellos, los lados guales mden (el rado de la crcunferenc y el lado desgual, que es el lado del pentágono, lo calculamos por l/ la relacón sen º l?senº, u Como cos º h, la altura de cada trángulo vale h 0, Fg 99 l?h Por tanto, el área de cada trángulo es A T ø0, u últmo, el área del pentágono es S?A T, u y, por Los afjos de dos números complejos conjugados y el orgen de coordenadas determnan un trángulo Calcula esos dos números para que el trángulo sea equlátero de área S un número es ab, el otro es ab Para que el trángulo sea equlátero, a b b base?altura b?a El área es S ba, que como ha de valer se obtene otra ecuacón: ab Obtenemos, por tan to, el sstema a b b que podemos poner a b b ab a b 7 a b a b 7 Susttuyendo la ª en la ª se obtene b 9 b b y, por tanto, a Los números buscados son: y o y O Fg 90 O a b a b h 7 7 l 0 Un cuadrado con centro en el orgen tene uno de sus vértces en el punto A(, ) Calcula los demás vértces Sean B, C y D los otros vértces Dado que los lados de un cuadrado forman entre sí ángulos de 90º, para calcular B, tendremos que aplcar un gro de 90º al vértce A(, ) S gramos 90º este vértce B obtendremos C y s a C, lo gramos 90º más, obtendremos D Y como sabemos, grar 90º equvale a multplcar por el afjo correspondente Así: B es el afjo de ( )? Es decr B(, ) C es el afjo de ()? Es decr C(, ) D es el afjo de ()? Es decr D(, ) 7

9 Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro Un hexágono con centro en el orgen tene uno de sus vértces en el punto A(, ) Calcula los demás vértces El punto A(, ) es el afjo del número ( ) º Cada vértce se obtene del anteror grándolo 0º O lo que es lo msmo, multplcando por 0º el número que representa su afjo Así B es el afjo del número ( ) º? 0º ( ) 0º ; C es el afjo del número ( ) 0º? 0º ( ) º ; D es ( ) º? 0º ( ) º ; E es ( ) º? 0º ( ) º y F es ( ) º? 0º ( ) º 0 cuestones báscas Estas 0 cuestones debes contestarlas, aproxmadamente, en mnutos S fallas más de dos te recomendamos que estudes un poco más El conjugado del opuesto de es: El resultado de la operacón ()( ) es: El producto de dos números complejos conjugados es un número: real magnaro puro real Halla el nverso de : 0 0 El número 0 es gual que: 0 La forma polar del número es: 0º 00º 00º 00º 7 El producto 0º? 0º vale: (cos 0º sen 0º) (cos 0ºsen 0º) (cos 900ºsen 900º) (cos 0ºsen 0º) Con ayuda de la representacón gráfca contesta: multplcar por equvale a efectuar un gro de 90º? un gro de 0º? un gro de 90º 9 Las solucones de la ecuacón 0 son: y, y y y 0 Las raíces cúbcas de,,son: 0º, 70º y 0 0º, 0º y 70º 0º, 0º y 00º 0º, 0º y 00º cuestones para nvestgar Las raíces de la ecuacón 0 (queson y yse llaman raíces cuadradas de la undad) suman0ysuproducto vale Igualmente, las raíces cúbcas de la undad (es decr las solucones de la ecuacón 0) suman 0, pero su producto vale Qué pasa con las raíces cuartas de la undad? Y con las raíces de la ecuacón 0? Las raíces de 0 son,, y Su suma es 0 y su producto Las raíces de esta ecuacón son las raíces quntas de la undad, es decr los números complejos 0º 0º0º?k 7º?k (con k 0,,,, ) Estas cnco raíces son los números: 0º ; 7º ; º ; º y º Su suma vale: 0º 7º º º º 0º 7º ( 7º ) ( 7º ) ( 7º ) (obsérvese que estos números forman progresón geométrca de raón r 7º, luego puede aplcarse la fórmula S a n?r?a Por tanto, la suma pedda r ( 7º )? 7º 0º º? 7º 0º 0º 0º vale S 7º 7º 7º 0º 0º 0 0 Es decr, la sumavalecero 7º 7º Su producto vale: 0º? 7º? º? º? º 0º7ºººº 70º 0º Es decr, el producto vale En 90 el matemátco Helge von Koch do a conocer la que posterormente se conocó como curva de Koch o copo de neve En 97 Mandelbrot desgnó con la palabra fractal a este tpo de curvas Él msmo consguó unas mágenes maravllosas al terar, con ayuda de ordenadores, la funcón compleja f() c Investgasobrelosfractales(ysorpréndetecon sus mágenes) en la dreccón: ntrohtml Tambén merece la pena vstar: Fg 9 7

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