MATEMÁTICAS. TEMA 1 Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss.

Transcripción

1 MATEMÁTICAS TEMA Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss.

2 ÍNDICE. Introducción. 2. Ecuaciones lineales.. Sistemas de ecuaciones lineales. 4. Sistemas de ecuaciones escalonado ó en forma triangular.. Métodos Algebraicos de resolución de un sistema: sustitución, método de Gauss, Sistemas Homogéneos. 7. Problemas. 8. Ejercicios. Introducción. Los sistemas de ecuaciones aparecen de forma natural en nuestra vida. Los métodos de solución de sistemas de ecuaciones son un recurso muy útil para resolver diversas situaciones de la vida que pueden ser traducidas a un modelo matemático y así ser solucionadas. Los métodos que utilizaremos para resolver sistemas de ecuaciones lineales serán sobre todo el Método de Gauss y el de Sustitución. La parte final del tema se dedicará a la resolución de problemas de sistemas. La resolución de sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro se explicará en el Tema cuando se haya estudiado el concepto de rango de una matriz. 2

3 2. Ecuaciones lineales. Una ecuación lineal con n incógnitas x, x2,..., x n se expresa de la forma ax + ax ax n n = b, donde a, a2,..., an, son los coeficientes y números reales, siendo b el término independiente y un número real. Se resuelven despejando una de las incógnitas. Ejemplo a) x+ y = 6. Encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones lineales b) 2x y+ z = 4 c) x 2y+ z+ w= 6 = 6 λ a) x+ y = 6 x= 6 y λ R y = λ 4+ λ μ x = 2 4+ y z b) 2x y+ z = 4 2x= 4 + y z x= y = λ λ, μ R 2 z = μ 6+ 2λ μ γ x = 6+ 2y z w c) x 2y+ z+ w= 6 x= 6+ 2y z w x= y = λ z = μ λ, μ, γ R w = γ. Sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales esta compuesto por o más ecuaciones lineales. + 2y = 7 + 2y+ z = 7 + 2y = + 2y z = Ejemplo: x+ y = 2x+ y 4z = x+ y = x+ y 2z = x y 6 + = x+ 2y = 6 Resolver un sistema de ecuaciones es hallar, si existen, los valores de las incógnitas que verifiquen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales según su solución: Sistemas Determinados (única solución) S.C.D. Compatibles (tienen solución) Indeterminados (infinitas soluciones) S.C.I. Incompatibles (no tienen solución) S.I.

4 Sistemas de ecuaciones equivalentes: son aquellos que tienen la misma solución. Criterios de equivalencia: Criterio : Si se multiplican o divide los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número real distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Criterio 2: Si se intercambian entre sí dos ecuaciones resulta un sistema equivalente. Criterio : Si a una ecuación de un sistema se le suma otra ecuación del mismo sistema, este resulta equivalente al dado. 4. Sistemas de ecuaciones escalonados ó en forma triangular. Un sistema es escalonado si en cada ecuación hay una incógnita menos que en la anterior. Para resolver estos sistemas se despeja una incógnita de la última ecuación y se utiliza para hallar otra incógnita en la penúltima ecuación y así hasta hallar todas las incógnitas. Ejemplo. Resuelve los siguientes sistemas escalonados y+ z = 2 y+ 2z = y+ z+ w= y+ 2z = y+ 2z = 2 y+ 2z+ w= 2 4z = 2 z = y+ z = 2 y+ z = 2 x + = x 9+ = 2 x= 4 z = y+ 2z = y+ 2z = y+ 2 = y+ 6 = y = Empezamos resolviendo 4z = 2 la última ecuación 4z = 2 z = 2 2z y+ 2z = x y+ 2z = x ( 2 2 z) + 2z = x+ 2+ 2z+ 2z = x= 4z y+ 2z = 2 y+ 2z = 2 y = 2 2z Empezamos resolviendo la última ecuación = 2λ y = 2 2 λ λ R z = λ y+ z+ w= y+ 2z+ w= 2 2z 2w y+ z+ w= x ( 2z 2 w) + z+ w= x+ 2z+ 2w+ z+ w= x+ z+ w= x= z w y+ 2z+ w= 2 y = 2z 2w Empezamos resolviendo la última ecuación = λ μ y = 2λ 2μ z = λ w = μ λμ, R 4

5 . Métodos Algebraicos de resolución de un sistema: sustitución, método de Gauss,... Para resolver sistemas de ecuaciones lineales podemos utilizar alguno de los siguientes métodos: ( los ejercicios los haré por el Método de Gauss o por Sustitución) Sustitución: Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en las otras dos. Se agrupan términos y se repite de nuevo el proceso hasta obtener una solución. Igualación: Se despeja la misma incógnita en todas las ecuaciones y se igualan en función de la incógnita despejada. Se agrupan términos y se repite el proceso de nuevo hasta obtener una solución. Reducción: Se multiplica o divide por un número una de las ecuaciones y se suma o resta, miembro a miembro, con otra de ellas para eliminar una de las incógnitas del sistema; luego, se repite el proceso hasta obtener una solución. Método de Gauss: consiste en transformar el sistema en uno equivalente escalonado. Ejemplo y 2z = ) Resolver el sistema: 2x+ y+ z = por el Método de Gauss. x + 2y + z E x y 2z = E x y 2z = x y 2z = E 2 2x + y+ z = E 2 y+ z = 9 y+ z = 9 E2 2 E E E2 E E E 2 6 x + 2y+ z E y + z = z = 2 z = x y 2z = x ( 2) 2 = x+ 2 6 = x= z = y+ z = 9 y+ = 9 y+ = 9 y = 2 2z = 6 z = Sistema Compatible Determinado

6 x+ 6y+ z = 4 2) Resolver el sistema: 4x 7y z = por el Método de Sustitución. x + y + z = MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO Paso. Despejar una variable en una de las ecuaciones. Despejamos la variable x en la 4 6y z primera ecuación: x = Paso 2. Sustituir la variable x por la expresión en las demás ecuaciones: 4 6y z 4 ( ) 7 y z = 4 6y z + y+ z = Paso. Agrupar los términos correspondientes a cada incógnita y los términos independientes en cada una de las nuevas ecuaciones. 4 6y z 4 ( ) 7 y z = 6 24y 4z z z = 7 9y 9z = 9 4 6y z 4 6y z+ y+ z = y+ 4z = + y+ z = Paso 4. Despejar una variable en una de las ecuaciones. Por ejemplo, despejo la variable y de la segunda ecuación: 9y 9z = 9 y + 4z = y = 4z y = + 4z Paso. Sustituir la variable y por la expresión despejada en la otra ecuación y resolver la ecuación. 9 ( + 4 z) 9z = z 9z = 9 26z 9z = z z Paso 6. Encontrar los valores de las otras incógnitas. 4 6 ( ) 0 0 z y = + 4 0= x = = = 2 + 4z 4 6y z x= = 2 y = z 6

7 + 2y z = ) Resolver el sistema: x + y 2z = por el Método de Gauss. 2x+ y+ z = 6 E x+ 2y z = E x+ 2y z = x+ 2y z = E2 x + y 2z = E 2 y+ z = 8 y+ z = 8 E E2 E E2 E 2 E 2 E 2 8 2x + y+ z = 6 E y + 7z = 26 z = y 2 z = 4 x+ 2y z = = x = x+ 4 4 = x = y+ z = y+ = y+ = y = y = 2z = 8 z =4 Sistema Compatible Determinado z = y+ z = 2 4) Resolver el sistema: x+ 4y 2z = por el Método de Gauss. x+ 0y+ 8z = E x+ y+ z = 2 E x+ y+ z = 2 x+ y+ z = 2 E 2 x + 4y 2z = E 2 y 7z = 7 y+ 7z = 7 E2 E Eliminó la E E última ecuación E E x + 0y+ 8z = y 7z = 7 7 7z 7 7z 2 z 2 z x+ y+ z = 2 x+ ( ) + z = 2 x+ + z = 2 x= 2 z 0 2+ z 2z + 26z x = = 7 7z y+ 7z = 7 y = 7 7 z y = + 26λ x = 7 7λ y = λ R z = λ Sistema Compatible Indeterminado ( infinitas soluciones) 7

8 ) Resolver el sistema: y+ z = 2x+ 2y z = por el Método de Gauss. x + y + 4z = 6 E x y+ z = E x y+ z = x y+ z = E2 2x + 2y z = E 2 4y z = 4y z = E 2 E2 E E2 E E E 0 2 Imposible! x y 4z 6 E 4y z = + + = = Sistema Incompatible ( no tiene solución) y 2z = 6 6) Resolver el sistema: 2x y+ z = 8 por el Método de Gauss. x + 2y + 7z = 0 E x y 2z = 6 E x y 2z = 6 E 2 2x y+ z = 8 E 2 7y+ z = 4 E2 2 E E +E E E x + 2y+ 7z = 0 7y+ z = 4 x y 2z = 6 7y+ z = 4 Eliminó la última ecuación 4 z 4 z z z 7 x y 2z = 6 x ( ) 2z = 6 x+ 2z = 6 x= 6 + 2z z+ 4z 22 z x = = z 7y+ z = 4 7y = 4 z y = 7 22 λ x = 7 4 λ y = λ R 7 z = λ Sistema Compatible Indeterminado ( infinitas soluciones) 8

9 6. Sistemas Homogéneos. Un sistema de ecuaciones lineales que tiene todos los términos independientes nulos se llama sistema homogéneo. Ejemplo: y 2z 2x y+ z x + 2y + 7z Todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles, ya que la solución ( 0,0,...,0) siempre verifica las ecuaciones del sistema. A esta solución se le llama solución trivial. Determinados SOLUCIÓN TRIVIAL ( 0,0,...0) S.C.D. (Unica solución) Sistemas Homogéneos Compatibles (Tienen solución) Indeterminados S.C.I. (Infinitas soluciones) y+ z ) Resolver el sistema: 2x+ 4y+ z. x 2y+ z E x y+ z E x y+ z E 2 2x+ 4y+ z E 2 4y+ z E2 2 E E E E x 2y z 0 + = E y 0 z x y+ z x x= 0 y =0 4y+ z z z y y Sistema Compatible Determinado, solución trivial ( xyz,, ) = (0,0,0) + 2y z 2) Resolver el sistema: 2x y+ 4z. x+ y+ z E x+ 2y z E x+ 2y z x+ 2y z E 2 2x y+ 4z E 2 y+ 6z y+ 6z E2 2 E Eliminó la E E E x y z 0 última ecuación + + = E y+ 6z 6z 6z 2z 2z z 2z 7z x+ 2y z x+ 2 ( ) z x+ z x= z = = 6z 6z y+ 6z -y = 6 z y = y = 7λ 6λ x = y = z = λ λ R Sist. Comp. Indeterminado ( infinitas soluciones) 9

10 7. Problemas. Veamos diversos problemas de sistemas de ecuaciones: MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO. La suma de tres números es 40. Se sabe que la suma de los dos mayores es igual a tres veces el menor, y que el mayor de los números es ocho unidades inferior a la suma de los dos menores. Halla dichos números Mayor = x Mediano = y Pequeño = z + y+ z = 40 E x+ y+ z = 40 x+ y+ z = 40 x+ y = z E 2 x+ y z 4z = 40 E2 E x 8 y z E E E x y z 8 + = + = 2y 2z = 48 4 z = 0 x+ y+ z = 40 x = 40 x= x= 6 4z = 40 z =0 = = = = = z =0 2y 2z 48 2y y y 28 y 4 2. Hallar las edades de un padre y de sus dos hijos sabiendo que actualmente las tres suman 88 años; que dentro de 0 años, la suma de las edades que tendrán el padre y el hijo menor será dos años más que el triple de la edad que tendrá el hijo mayor; y que hace 2 años, la suma de las edades que tenía el padre y el hijo mayor era 2 veces la edad que tenía el hijo pequeño. Edad Actual del Padre = x + y+ z = 88 Edad Actual del Hijo Mayor = y x+ 0 + z+ 0 = ( y+ 0) + 2 Edad Actual del Hijo Menor z = x 2 + y 2 = 2 ( z 2) + y+ z = 88 E x+ y+ z = 88 + y+ z = 88 x+ 0 + z+ 0 = y E 2 x y+ z = 2 4 y = 76 E2 E x 2 + y 2 = 2x 44 E E E x y 2z 20 + = z = z = = = = x+ y+ z = 88 x x x años 4 y = 76 y = 9 años z = 208 z = 6 años 0

11 . Juan y Pedro invierten 2000 euros cada uno. Juan coloca una cantidad A al 4 % de interés (anual), una cantidad B al %, y el resto C al 6 %, mientras que Pedro invierte la cantidad A al %, la B al 6 %, y la C al 4 %. Hallar las cantidades A, B y C, sabiendo que Juan obtiene unos interese anuales de 60 euros, y Pedro obtiene 70 euros. Cantidad A = x Cantidad B = y Cantidad C = z Dinero invertido x+ y+ z = 2000 Intereses de Juan 0'04x+ 0'0y+ 0'06z = 60 Intereses de Pedro 0'0x+ 0'06y+ 0'04z = 70 Multiplico por cien las dos últimas ecuaciones E x+ y+ z = 2000 x+ y+ z = y+ z = 2000 E 2 4x+ y+ 6z = 6000 E 2 y+ 2z = 000 y+ 2z = 000 E2 4E E E2 E E E x+ 6y+ 4z = 7000 E y z = 000 -z = y+ z = x+ + = x= z = 6000 y+ 2z = 000 y = 000 y 00 -z = 8000 z = z = Durante una hora, una agencia de viajes vende un total de 0 billetes de avión con destino a las islas de La Palma, Gran Canaria y Lanzarote. Sabiendo que los billetes para Gran Canaria representan el doble de los emitidos para las otras dos islas, y que los correspondientes a Lanzarote son la mitad de los emitidos para La Palma más cuatro: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar el número de billetes para cada una de las tres islas.

12 Billetes de avión a La Palma = x x+ y+ z Billetes de avión a Gran Canaria = y 2 ( x+ z) = y Billetes de avión a Economía z = x z = y+ z E x+ y+ z x+ y+ z 2x y+ 2z E 2 2x y+ 2z y = 60 E2 2 E 2z = x+ 8 E E +E x 2z 8 + = y+ z = 8 20 z = 6 + y+ z x x 20 6 x= 4 y = 60 y = y+ z = z = 8 z = 8 z = 6. Una empresa de juguetes fabrica bicicletas, triciclos y coches. Se sabe que va a necesitar 94 ruedas, que desea fabricar 280 juguetes en total y que se fabricarán 0 bicicletas menos que triciclos. Determinar el número de juguetes de cada tipo que va a fabricar. = nº de bicicletas y = nº de triciclos z = nº el de coche x+ y+ z = 280 E x+ y+ z = 280 E x+ y+ z = y+ z = 280 2x+ y+ 4z = 94 E 2 2x+ y+ 4z = 94 E 2 y+ 2z = 8 y+ 2z = 8 E2 2 E E 2E2 x+ 0 = y E E E x y = 0 E -2y z = 290 z = z = 60 + y+ z = 280 x = 280 x= bicicletas z = 60 y+ 2z = 8 y = 8 y+ 20 = 8 y = 6 triciclos z = 480 z = 60 coches 6. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 6 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamón serrano y 2 litros de aceite de oliva. Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para calcular el precio unitario de cada artículo, sabiendo que litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que un kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. 2

13 = precio de un litro de leche y = precio de un kg. de jamón z = precio de un litro de aceite 24x+ 6y+ 2z = 6 z = x y = 4z + 4x Sustituyendo z = x en la segunda ecuación, y llevando el valor a la primera se obtiene: 24x+ 6y+ 2z = 6 24x+ 6y+ 2z = 6 z = x z = x 24x+ 6 6x+ 2 x = 6 y 4 x 4x = + y = 2x+ 4x= 6x 24x+ 96x+ 6x = 6 6x= 6 x= Por tanto = precio de un litro de leche y = 6x = 6 = 6 precio de un kg. de jamón z = x = = precio de un litro de aceite 7. Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C se obtiene 0 años. El doble de la suma de las antigüedades de B y de C es igual al triple de la antigüedad de A. La diferencia de antigüedad entre B y C es igual al 0% de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado. Años de antigüedad del empleado A = x + y+ z = 0 Años de antigüedad del empleado B = y 2 ( y+ z) = x Años de antigüedad del empleado C z = y z 'x + y+ z = 0 + y+ z = 0 E x+ y+ z = 0 x+ y+ z = 0 2y+ 2z = x -x+ 2y+ 2z E2 -x+ 2y+ 2z y+ z = 0 E2+ E y z 'x 0y-0z x E + E E -x 0 y -0z 0 = + = y 7z = 0 x+ y+ z = 0 x+ y+ z = 0 y+ z y+ z E- E2 y 7z = 0-20z = z = 2 + y+ z = 0 x = 0 x= x= 20 años z= 2 y+ z y+ 2 y 2 y = 8 años -20z = 240 z = 2 años

14 8. Ejercicios. ) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a) + y+ z = 2x y+ z = x+ 2y+ z = 24 = 4 = z = 2 b) + y+ z = 2 2x+ y+ z = x y + 6z = 29 = = 2 z = c) 2x+ y z = x y+ z = 6 x + 4y + z = 20 = = 4 z = d) y+ z = 2y+ z = x+ y = 2 = = z = e) + y z = x y + z = x + y + z = = = z = f) 2y+ 4z = 8 2x+ y z = 4 x y z = 6 = 2 = z = g) + y z = 2x y+ z = 2 x 2y + 2z Sist. Incompatible h) (NO TIENE SOLUCIÓN) 2x+ y+ z = 4 x 2y + z = 2 8x + y + z = Sist. Incompatible (NO TIENE SOLUCIÓN) i) l) y = x + z = 2 2x y+ z = + y+ 2z = x + y + z = 0 2x+ 8y+ z = = 2 λ λ = λ R Sist. Comp. Indeterminado (INFINITAS SOLUCIONES) z = λ = + λ = λ λ R Sist. Comp. Indeterminado (INFINITAS SOLUCIONES) z = 2λ m) n) + y+ z = 2 x+ y z x+ 7y+ z = 4 + y z = x z = 2 2x+ y 2z = + 2λ x = 4 2λ = λ R Sist. Comp. Indeterminado 4 (INFINITAS SOLUCIONES) z = λ = 2 + λ = λ R Sist. Comp. Indeterminado (INFINITAS SOLUCIONES) z = λ o) x+ y 2z x y+ z 2x + y + z ( trivial) z 4

15 p) q) 4x+ y+ 2z 2x y+ z 8x+ y+ 4z 2x y z x 4y 2z x y+ z λ x = 2 : y λ R Sist. Comp. Indeterminado (INFINITAS SOLUCIONES) z = λ = 2λ = λ λ R Sist. Comp. Indeterminado (INFINITAS SOLUCIONES) z = λ PROBLEMAS ) Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, si al doble del tercero le restamos seis resulta la suma del segundo y el tercero, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho. º = x = 0 = 2º = y = 26 º = z = 20 2) Encontrar tres números x, y, z tales que su suma sea 20, la mitad del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 9 y la media de los dos últimos sea 80. º = x = 0 = 2º = y = 40 º = z = 20 ) En una reunión hay 40 personas. La suma del número de hombre y de mujeres triplica el número de niños. El número de mujeres supera en 6 a la suma del número de hombres más el número de niños. Averiguar razonadamente cuántos hombres, mujeres y niños hay. Hombres = x = 7 = Mujeres = y = 2 Niños = z = 0 4) Los 0 alumnos de un grupo de 4º de ESO cursan tres asignaturas optativas distintas: Francés, Cultura Clásica y Economía: Si dos de los alumnos de Francés se hubiesen matriculado de Cultura clásica, entonces estas dos asignaturas tendrían el mismo número de alumnos. Si dos alumnos de Cultura Clásica se hubiesen matriculado en Economía, entonces Economía tendría doble número de alumnos que Cultura Clásica. Halla el número de alumnos matriculado en cada asignatura Alumnos matriculados en Francés = x = 2 = Alumnos matriculados en Cultura Clásica = y = 8 Alumnos matriculados en Economía = z = 0

16 ) La suma de las tres cifras de un número es 8, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta 96 unidades. Calcula dicho número = Número = N = " xyz" = "468" x= 4 6 z= 8 6) Juan, Pedro y Luis corren a la vez en un circuito. Por cada kilómetro que recorre Juan, Pedro recorre 2 kilómetros y Luis recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro. Al finalizar, la suma de las distancias recorridas por los tres, fue de 4 kilómetros, cuántos kilómetros recorrió cada uno? Kilómetros recorridos por Juan = x = 0 = Kilómetros recorridos por Pedro = y = 20 Kilómetros recorridos por Luis = z = 7) Juana y Mercedes tenían cada una para invertir. Cada una de ellas distribuye su dinero de la misma forma en tres partes P, Q y R y las ingresan en una entidad financiera. Al cabo de un año, a Juana le han dado un 4% de interés por la parte P, un % por la parte Q y un 4% por la parte R y a Mercedes le han dado un % de interés por la parte P, un 6% por la parte Q y un 4% por la parte R. Juana ha recibido en total 80 de intereses, mientras que Mercedes ha recibido 90. De qué cantidad de euros constaba cada una de las partes P, Q, y R? Euros de la parte P = x = 000 = Euros de la parte Q = y = 000 Euros de la parte R = z = ) Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 92. La última versión del videojuego ha salido a la venta por un importe de 6. Además de la última versión ha vendido, con un descuento del 0% y del 40%, otras dos versiones anteriores del videojuego. El número total de ejemplares vendidos de las dos versiones anteriores ha sido la mitad del de la última versión. Cuántos ejemplares vendió de cada versión? Videojuegos última versión = x = 400 = Videojuegos al 0% = y = 20 Videojuegos al 40% = z = 80 6

17 9) Un individuo invirtió repartidos en tres empresas y obtuvo 400 de beneficios. Calcular la inversión realizada en cada empresa, sabiendo que en la empresa A hizo el doble de inversión que en la B y C juntas y que los beneficios de las empresas fueron del % en la empresa A, el 0% en la B y el 20% en la C. Inversión en la empresa A = x = = Inversión en la empresa B = y = 000 Inversión en la empresa C = z = 000 0) Una madre es 2 años mayor que su hijo y dentro de 6 años la edad del niño será veces menor que la edad de la madre. Dónde esta el padre? =????????????? 7