SEMEJANZA SEMEJANZA. APM Página 1

Transcripción

1 SEMEJANZA 1. Figuras semejantes. 2. Cómo construir figuras semejantes Método de la cuadrícula Método de la proyección. 3. Planos, mapas y maquetas. 4. Perímetro y área de figuras semejantes. Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 2º ESO citados Decreto 69/2007, de , por el que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM ). Figuras con la misma forma y distinto tamaño. La semejanza. Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de semejanza. Ampliación y reducción de figuras. Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies de figuras semejantes Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. APM Página 1

2 1. FIGURAS SEMEJANTES. De manera intuitiva, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente. Matemáticamente, dos figuras semejantes cumplen: a) Los ángulos correspondientes son iguales (misma forma). b) Los segmentos correspondientes son proporcionales, es decir, cada longitud en una de las figuras se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra figura por un número fijo, llamado razón de semejanza (k). Por tanto, la razón de semejanza es el cociente entre dos longitudes correspondientes. Veamos un ejemplo. Observa las siguientes figuras: Cada ángulo y su transformado s on iguales. El cociente de un lado y su transformado es la razón de semejanza. APM Página 2

3 2. CÓMO CONSTRUIR FIGURAS SEMEJANTES. Para construir una figura semejante a otra conocida con una cierta razón de semejanza, debemos seguir algún proceso que garantice que las longitudes de la nueva figura guardan la relación deseada con la original. Veamos dos métodos para reproducir figuras planas semejantes Método de la cuadrícula. Para reproducir la figura inicial al tamaño deseado, la cuadriculamos. Reproducimos una cuadrícula semejante al tamaño deseado. Tomando como referencia la cuadrícula, es sencillo reproducir el dibujo inicial. La relación entre tamaños (razón de semejanza) es igual a la relación entre los lados de las dos cuadrículas. APM Página 3

4 2.2. Método de la proyección. Deseamos ampliar la figura 1 al doble de su tamaño. También deseamos ampliar la figura 1 y hacerla cuatro veces mayor. Para ello, tomamos un punto O cualquiera. Trazamos rayos que pasen por O y por los puntos clave de la figura 1 (en este caso, los vértices de la figura) y obtenemos los puntos correspondientes a una distancia doble y cuádruple. El punto A está, desde el punto O, a doble distancia que A, es decir: Del mismo modo: Y así sucesivamente De la misma manera, si observamos la figura 1 y la figura 3, se obtiene que el punto A está, desde el punto O, a cuádruple distancia de A, es decir: y así sucesivamente Observa la representación gráfica y entenderás mejor la explicación. Observación: Si elegimos como punto de proyección O un vértice de la figura, la ampliación se realiza con mucha comodidad. APM Página 4

5 3. PLANOS, MAPAS Y MAQUETAS. Habrás observado, que siempre que observas un mapa aparecen unos números en la parte inferior. Por ejemplo, 1: Qué significan estos números? Estos números son muy importantes, porque nos indican las distancias en la realidad. En un plano, mapa o maqueta nos interesa no solo la forma, la composición, el colorido, sino que también son importantes los tamaños y las distancias en la realidad. Por eso, todo plano o mapa siempre va acompañado de la escala en la que está construido. Escala es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano y maqueta) y la correspondiente longitud de la realidad. Es decir, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Por ejemplo, vamos a observar el siguiente mapa de Albacete, cuya escala es 1: Es decir, cada centímetro del mapa corresponde a cm en la realidad ( cm = 10 km) Queremos calcular la distancia que hay desde Albacete a Villarrobledo. Debemos señalar las ciudades con un punto negro y, con una regla, medir la distancia que separan dichas ciudades en el mapa. Hay varios itinerarios posibles. Nosotros vamos a elegir ir desde Villarrobledo a Albacete pasando por Barrax. Hemos señalado el trayecto con un trazo negro grueso. Observa el mapa: APM Página 5

6 La distancia del trazado es 7,4 cm, aproximadamente. Como hemos señalado anteriormente, la escala es 1: , eso significa que 1 cm = 10 Km, por tanto 7,4 cm = 74 km. Luego la distancia entre Villarrobledo y Albacete es de 74 km. APM Página 6

7 4. PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS SEMEJANTES. Observa los siguientes rectángulos: Los rectángulos R1 y R2 son semejantes. La razón de semejanza es 3. Vamos a ver la relación existente entre sus perímetros y sus áreas. Perímetro Área R1 R2 Por tanto: El perímetro de una figura semejante a otra es igual al perímetro de la primera por la razón de semejanza. El área de una figura semejante a otra es igual al área de la primera por el cuadrado de la razón de semejanza. APM Página 7