Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada"

Transcripción

1 POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. Una sri d aspctos d la gráfica d una función vistos antriormnt monotonía, máimos mínimos otros qu vrmos postriormnt, pudn studiars fácilmnt mdiant drivadas. La maor part d las funcions lmntals con las qu trabajamos son drivabls n casi todos los puntos d su dominio; s por sto por lo qu n l prsnt tma tratarmos d caractrizar dichos concptos mdiant drivadas. FUNCIONES MONÓTONAS. cordmos qu una función s monótona cuando s crcint, strictamnt crcint, dcrcint o strictamnt dcrcint. Sa f una función dfinida d D n sa a un punto prtncint a D. f crcint strictamnt crcint s n dcrcint strictamnt dcrcint a D V a, r : f f a > a < Tratmos ahora d caractrizar sta monotonía para funcions drivabls. D la tasa d variación mdia T.V.M. qu aparc n la dfinición d la monotonía, podmos pasar a la drivada sólo con tomar its. A partir d aquí, podmos nunciar l siguint TEOEMA. Sa f una función drivabl n un punto a D. Si f ' a >, ntoncs f s strictamnt crcint n l punto a. Dmostración. Pusto qu ist f ' a mdia también srá positivo: s positiva, ntoncs istirá l it d la tasa d variación f f a f ' a > a a Tnindo n cunta la rlación ntr l it l signo d una función: "Si una función tin it n un punto s distinto d cro, ntoncs ist un ntorno dl punto n l qu los valors qu toma la función tinn l mismo signo qu l it". Entoncs: f f a V a, r n l qu > a, por tanto, la función f s strictamnt crcint n a. Un torma análogo podríamos nunciar para l dcrciminto stricto. Sa f una función drivabl n un punto a D. Si f ' a <, ntoncs f s strictamnt dcrcint n l punto a. DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 7

2 La dmostración d st torma s haría d forma similar a la dl antrior para funcions strictamnt crcints. Tnindo n cunta los tormas antriors, para studiar la monotonía d una función sólo tndrmos qu calcular su drivada buscar los intrvalos dónd ésta sa positiva función strictamnt crcint dónd sa ngativa función strictamnt dcrcint. Si Si f '> f '< n un intrvalo f s strictamnt crcint n l intrvalo. n un intrvalo f s strictamnt dcrcint n l intrvalo. En los puntos cua drivada s nula no s pud afirmar nada, a qu la función pud sr crcint, dcrcint o ninguna d las dos cosas. El siguint critrio nos auda a studiar st caso: Sa a un punto dond una función f tin drivadas hasta l ordn n n ordn impar n un ntorno d dicho punto qu f ' a f '' a f a. Si n f a >, ntoncs la función s strictamnt crcint n a. Si n f a <, ntoncs la función s strictamnt dcrcint n a. EJEMPLOS.. Estudiar la monotonía d la función f. Calculamos la drivada d la función dada: f '. Entoncs: Si < f ' < f s strictamnt dcrcint n l intrvalo,. Si > f ' > f s strictamnt crcint n l intrvalo,. Si no s pud afirmar nada.. Estudiar los intrvalos d monotonía d la función f. La drivada d la función dada s f '. Para cualquir valor s vrifica qu >. Lugo, f ' > n toda la rcta ral nustra función srá crcint n todo su dominio.. Estudiar la monotonía d la función f L. Calculamos su drivada: f '. Como la función logarítmica sólo stá dfinida para valors d >, f ' > la función srá strictamnt crcint n todo su dominio. tndrmos qu. Estudiar los intrvalos d monotonía d la función f. DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 7

3 Su drivada s f '. Por tanto, la función s strictamnt crcint para cualquir. En no s pud aplicar l critrio antrior tndrmos qu vr cual s la primra drivada qu no s anula n él. Tnmos qu f ' f '' f ''' 6. Aplicando l critrio sgundo, como la primra drivada qu no s anula n l punto s d ordn impar s positiva, la función s strictamnt crcint n dicho punto, por tanto, n todo. 5. Estudiar los intrvalos d monotonía d la función f. Calculamos la drivada d la función: f ' Pusto qu l dnominador simpr s positivo, l signo d la drivada dpnd clusivamnt dl signo dl numrador. Como ést s anula n los puntos, l dominio s nos divid n los siguints trozos:,,,,,,. Estudimos l signo d la función drivada n cada uno d los intrvalos obtnidos:, : f ' > f s strictamnt crcint n l intrvalo,., : f ' < f s strictamnt dcrcint n l intrvalo,., : f ' < f s strictamnt dcrcint n l intrvalo,., : f ' > f s strictamnt crcint n l intrvalo,. TEOEMA DE OLLE. Si una función f vrifica qu: continua n un intrvalo crrado [ a, b] drivabl n l intrvalo abirto a, b f a f b : toma valors iguals n los trmos dl intrvalo ntoncs ist al mnos un punto c a, b tal qu f ' c. Gométricamnt, st torma prsa la istncia d un punto c a, b tal qu la rcta tangnt n c, f c s paralla al j OX. a b En l caso particular n qu f a f b, l torma d oll podría nunciars como sigu: Entr cada dos raícs d una función drivabl ist al mnos una raíz d la función drivada. A partir d st nunciado s podrá dducir cirta información sobr l númro d raícs rals d una función f cuando conozcamos las d f ': DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 7

4 EJEMPLOS. Si f ' no tin raícs rals, l númro máimo d raícs d f srá uno. Si f ' tin una raíz ral, l númro máimo d raícs d f srá dos. Y así sucsivamnt.. Dada la función f, comprobar qu condicions dl torma d oll s vrifican n l intrvalo [ a, a]. Sabmos qu la función valor absoluto s continua n todo su dominio, por tanto, también srá continua n l intrvalo [ a, a]. Por otra part, también sabmos qu la función valor absoluto no s drivabl n l punto, a qu sus drivadas latrals son f ' f '. En conscuncia, no srá drivabl n cualquir intrvalo qu contnga al punto, n particular, n nustro intrvalo a, a. Admás, s vrifica qu f a f a a qu dos númros opustos tinn l mismo valor absoluto. S cumpln las hipótsis primra trcra continuidad n l crrado toma valors iguals n los trmos dl intrvalo no s cumpl la sgunda drivabilidad n l abirto. Al no cumplirs todas las hipótsis, no s cumplirá la tsis.. Dada la función f vrifica las condicions dl Torma d oll n l intrvalo [,]? En caso afirmativo, ncontrar l valor c, dond s anula la drivada. Como la función dada s una función polinómica, srá continua drivabl n todo l conjunto d númros rals, n particular, srá continua n l crrado [,] drivabl n l abirto,. Admás, f f : toma valors iguals n los trmos dl intrvalo. Por tanto, s cumpln las hipótsis dl torma d oll, n conscuncia, s cumplirá también la tsis: c, / f ' c f ' c c c, Lugo l punto intrmdio dond s anula la drivada d nustra función s c.. Dmustra qu la función f tin como máimo una raíz ral. Supongamos lo contrario d lo qu qurmos dmostrar, s dcir, nustra función tin más d una raíz ral por jmplo, dos: a b, tals qu a < b. Estas dos raícs dtrminan un intrvalo [ a,b], n l cual s continua nustra función al sr polinómica. Por l mismo motivo srá drivabl n l abirto a, b. Admás, como hmos considrado qu a b son raícs d nustra función s cumpl qu f a f b. En conscuncia, s starían cumplindo las hipótsis d oll, por tanto, s tndrá qu cumplir la tsis: dbrá istir un punto c a, b / f ' c Si intntamos calcular l punto intrmdio, tndrmos: DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 75

5 f ' c c c no podrmos ncontrarlo, lo qu supon una contradicción. Por tanto, la suposición hcha inicialmnt s falsa nustra función no pud tnr más d una raíz ral.. Dmustra qu la cuación tin únicamnt una raíz ral n. Considrmos la función asociada a nustra cuación f supongamos qu, admás d la raíz dada, tin otra raíz. Estas dos raícs nos dtrminan un intrvalo [ ] o [, ]., En cualquira d stos intrvalos, la función f s continua n l crrado drivabl n l abirto, rspctivamnt, pusto qu s suma d funcions continuas drivabls n todo. Admás, toma valors iguals n los trmos dl intrvalo: f f En conscuncia, s starían cumplindo las hipótsis d oll, por tanto, s tndrá qu cumplir la tsis: dbrá istir un punto c, / f ' c Si intntamos calcular l punto intrmdio, tndrmos: c c f ' c c lo qu supon una contradicción, a qu l punto cro no prtnc al intrvalo abirto,. Por tanto, la suposición hcha inicialmnt s falsa nustra función no pud tnr más qu una raíz ral,. 5. Dmostrar qu la drivada d la función f a b c tin al mnos trs raícs rals ncontrar los intrvalos n qu s ncuntran. Sin calcular la drivada d f. La función f dada s una función continua drivabl n todo l conjunto d númros rals, por tanto, srá continua n cualquir intrvalo crrado d drivabl n l abirto d los mismos trmos. Si considramos los cros d la función f [, a, b, c], éstos nos dtrminarán trs intrvalos: [, a ], [ a, b] [ b, c] sindo f continua n cada uno d llos drivabl n l abirto corrspondint. Como s vrifica qu toma valors iguals n los trmos d cada intrvalo, pus todos llos son cros d la función, s starían cumplindo n cada intrvalo las hipótsis d oll, n conscuncia, s cumpliría también la tsis: n cada intrvalo tndríamos un cro para la función drivada d f trs cros. 6. Indica si s aplicabl l Torma d oll a la función Continuidad n l crrado [,5]. f 7 si si < 5 La función f stá dfinida n los intrvalos,,5 mdiant funcions afins, continuas n, n conscuncia, n dichos intrvalos. Por tanto la función f srá continua n llos. Estudiamos la continuidad n l punto dond ist un cambio d dfinición d f: DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 76

6 f f f 7 f Por tanto, la función f s continua n,5 nos faltaría por studiar la continuidad latral n los trmos: f f f f 5 Por tanto, la función f s continua n l crrado [,5]. Drivabilidad n l abirto,5. f s continua a la drcha n. f s continua a la izquirda n 5. La función f s drivabl n los intrvalos,,5 por star dfinida mdiant funcions afins, drivabls n. Estudiamos la drivabilidad n l punto : f ' 7 f ' Por tanto, las drivadas latrals n l punto son distintas la función no sría drivabl n s punto f no s drivabl n l abirto,5. Toma valors iguals n los trmos: f f 5 Al no cumplirs todas las hipótsis no s drivabl n l abirto, tampoco s cumplirá la tsis no istirá ningún punto n l abirto dond s anul la drivada d la función. TEOEMA DEL VALO MEDIO O DE LAGANGE DE LOS INCEMENTOS FINITOS Est torma gnraliza l torma d oll. Su nunciado s l siguint: Si f s una función continua n un intrvalo crrado [ a, b] drivabl n l intrvalo abirto a, b ntoncs ist al mnos un punto c a, b tal qu f b f a f ' c b a f b f a o también f ' c b a f a f b f b f a a c c b Gométricamnt podmos intrprtarlo d la siguint forma: a c b DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 77

7 f b f a s la pndint d la rcta qu un los puntos a, f a con b, f b b a f ' c, tnindo n cunta la intrprtación gométrica d la drivada, s la pndint d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto c, f c. Si s vrifica l torma dl valor mdio, stos dos valors srán iguals las dos rctas srán parallas por tnr la misma pndint. También podmos justificar l torma dl valor mdio por la siguint intrprtación física: Si ft s l spacio rcorrido por un móvil, ntoncs f t f t f ' t con t [ t, t ] t t l primr mimbro rprsnta la vlocidad mdia con qu s ha dsplazado l móvil ntr los instants t t. El torma dl valor mdio nos vin a dcir qu n algún momnto, la vlocidad instantána s igual a la vlocidad mdia. EJEMPLOS.. Aplicar l torma dl valor mdio, si s posibl, a la función f n [, ]. Calcular l valor corrspondint d c. Pusto qu la función f s una función cuadrática srá continua n [, ] drivabl n l abirto,. Por tanto, s cumpln las hipótsis dl torma d Lagrang, n conscuncia, s db cumplir la tsis; s dcir: f f 6 c, / f ' c c 6 c c Podmos obsrvar como l punto c,.. Compruba si la función f vrifica las condicions dl torma d Lagrang n l intrvalo [,] n caso afirmativo, ncuntra l punto intrmdio. La prsión analítica d la función dada srá: si < f si La función f s continua para valors maors mnors qu, pusto qu stá dfinida mdiant funcions afins, continuas n. Vamos si s continua n l punto : f f f f Por tanto, f s continua n, n conscuncia, n l intrvalo [,]. La función f s drivabl para valors maors mnors qu, pusto qu stá dfinida mdiant funcions afins, drivabls n. Vamos si s drivabl n l punto : f ' f f DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 78

8 f ' f f Como las drivadas latrals n l punto son distintas la función no s drivabl n dicho punto ni n cualquir intrvalo abirto qu lo contnga, n particular, n l intrvalo,. En conscuncia, la función f no vrifica las condicions dl torma d Lagrang n l intrvalo [, ], por tanto, no s vrificará la tsis d dicho torma no istirá punto intrmdio dond s cumpla la tsis.. Calcula a b para qu a si < f b si cumpla las hipótsis dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, 6 la tsis? DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 79 ] Dónd cumplirá La función f s continua drivabl para valors mnors qu por star dfinida como función afín para valors maors qu por star dfinida como función cuadrática. Para qu sa continua n l punto s tndrá qu vrificar: f a a 7 a b a b f b b La función drivada d f srá: a f ' si si < > Para qu sa drivabl n l punto s tndrá qu vrificar: f ' a a a f ' 8 Como para qu sa drivabl n, ants db sr continua n él, las dos condicions dbn vrificars simultánamnt: rsolvindo l sistma formado por llas obtndrmos los valors d los parámtros. a b 7 a Para stos valors d los parámtros, la función a b si < si < f f ' 9 si si s continua drivabl n todo, n conscuncia, continua n [,6] drivabl n,6. S cumpln las condicions dl torma dl valor mdio, por tanto, también s cumplirá la tsis: f 6 f 5 c,6 / f c f ' c f ' c 6 9

9 Si f ' c, c no pud sr mnor qu, pusto qu para stos puntos la drivada d la función s constant s igual a. En conscuncia, dbrá star n los maors qu : f ' c c 9 c,6 qu s l punto buscado. OBSEVACIÓN. Si n la tsis dl torma dl valor mdio hacmos: b a h b a h como a < c < a h c a θ h dond θ s un númro comprndido ntr. La fórmula d Lagrang s scrib ntoncs d la forma: f a h f a f ' a θ h h f a h f a f ' a θ h h < θ < rcib l nombr d Fórmula d los Incrmntos Finitos. Esta fórmula nos da l valor d la función n un ntorno dl punto a. APLICACIONES DEL TEOEMA DEL VALO MEDIO. FUNCIONES CONSTANTES. Sa una función f continua n [ a, b] drivabl n a, b. Si f ' n todos los puntos d a, b, ntoncs f s constant n [ a,b]. Dmostración. Si tomamos dos puntos cualsquira < d [ a,b], s cumpln las hipótsis dl torma dl valor mdio n [, ], por tanto, su tsis: c, / f f f ' c. Como l punto c, a,, ntoncs f ' c, n conscuncia, b f f f f Lugo la función toma l mismo valor n dos puntos cualsquira dl intrvalo [ b] por tanto, s constant n [ a,b]. FUNCIONES CECIENTES. ] a,, Sa una función f continua n [ a, b drivabl n a, b. Si f ' > n todos los puntos d a,b, ntoncs f s crcint n l intrvalo [ a,b]. Dmostración. Si tomamos dos puntos cualsquira < d [ a,b], s cumpln las hipótsis dl torma dl valor mdio n [, ], por tanto, su tsis: f f c, / f ' c Como l punto c, a,, ntoncs f ' c >, n conscuncia, b DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 8

10 f f > f f > a qu < Como los puntos, son dos puntos cualsquira dl intrvalo [ a,b], la función f s a,b. crcint n l intrvalo [ ] TEOEMA DE CAUCHY. Est torma s una gnralización dl Torma dl Valor Mdio tin gran intrés por sus aplicacions. Si f g son dos funcions continuas n l intrvalo crrado [ a,b], drivabls n l intrvalo abirto a, b, g a g b g' a, b ntoncs, ist al mnos un punto c a, b tal qu f b f a g b g a f ' c g' c NOTA: S pud obsrvar qu cuando g, l torma d Cauch s rduc al torma dl valor mdio. EJEMPLOS.. Compruba si s cumpln las condicions dl torma d Cauch para las funcions f g n l intrvalo [,], n caso afirmativo, hallar l valor dl punto intrmdio c. Tanto la función cúbica como la función afín son continuas drivabls n todo, por tanto, continuas n [,] drivabls n,. S cumpln las hipótsis dl Torma d Cauch, n conscuncia, s cumplirá la tsis: f f c, / g g f ' c g' c 7 c c 9 c c ± D los dos valors obtnidos, l qu vrifica la tsis prtnc al intrvalo, s l punto c.. ptir l jrcicio antrior para las funcions f sn g cos n l π π intrvalo,. 6 Las funcions sno cosno son continuas drivabls n todo, por tanto, continuas n π π π π, drivabls n,. 6 6 S cumpln las hipótsis dl Torma d Cauch, n conscuncia, s cumplirá la tsis: DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 8

11 c π, 6 π / π π π π f f sn sn 6 f ' c 6 π π g' c π π g g cos cos 6 6 π ctg c ctg c c cosc sn c ctg c EGLA DE L'HÔPITAL. DEFINICION.- S dic qu una función f prsnta n a una forma indtrminada, cuando no s pud sabr si tin it n dicho punto sin hacr un studio spcial d s it. Los casos d it indtrminado qu s nos pudn prsntar son:,,,,, Al prsntars alguna d stas situacions, s convnint transformar la prsión d la función n otra quivalnt a la qu pudan aplicars las rglas conocidas, o n caso contrario, calcularlo dirctamnt. Para funcions drivabls l Torma d L'Hôpital nos facilita l cálculo d its indtrminados. EGLA DE L'HÔPITAL. Si las funcions f g son drivabls n un ntorno d a tals qu f ' f f ' f a g a, ntoncs, si ist s vrifica qu a g' a g a g' La dmostración d st torma tin su fundamnto n l Torma d Cauch. La rgla d L'Hôpital también s pud aplicar cuando, pus hacindo l cambio d variabl staríamos n l caso antrior. Es válida la misma rgla cuando f g tindn a cuando a. EJEMPLOS. 6 Aplicamos L Hôpital: A vcs s ncsario aplicar más d una vz la rgla d L Hôpital para quitar la indtrminación: DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 8,

12 Entoncs: { aplicando L' Hôpital} Nuvamnt aplicaríamos la rgla d L Hôpital: 6 6 Aplicamos, otra vz, la rgla d L Hôpital: Para las otras indtrminacions tndríamos: Límits d la forma Suponindo qu pasaríamos a la indtrminación También s pud hacr Ejmplo:. L. L. f g, s fctúa l cambio f f g con l qu g, ntoncs, aplicaríamos la rgla d L'Hôpital. g f g nos qudaría la indtrminación. f Efctuando cualquira d las transformacions antriors, nos quda: L. L Aplicando L Hôpital: L. L Límit d la forma. Si suponmos qu f g tindn a para studiar l it d f g podmos hacr l g cambio: f g f qu sul sr un it más fácil d calcular. f Ejmplo: sn DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 8

13 En st caso, nos rsulta más cómodo fctuar la difrncia para pasar a la indtrminación aplicar la rgla d L Hôpital:.sn sn sn..sn.cos sn sn cos cos sn cos sn cos.sn sn sn Límits d la forma.,, Para quitar st tipo d indtrminación s sul utilizar la prsión: pasando así a alguna d las indtrminacions antriors. Lf g g f Ejmplo: cos 6 6. tg 6. 6 tg cos sn cos. cos. cos L L tg. cos sn sn sn ctg tg tg tg tg L L L L EJECICIOS. tg sn sn L L tg cos L π cos π tg tg L. a sn π π tg cos DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 8

14 PUNTOS CÍTICOS DE UNA FUNCIÓN MÁXIMOS Y MÍNIMOS ELATIVOS. Considrmos una función f : D / D f. Dcimos qu f tin un máimo absoluto n D si s vrifica qu f f D. Dcimos qu f tin un mínimo absoluto n D si s vrifica qu f f D. Dcimos qu f tin un máimo rlativo n D si s vrifica qu f f V. D Dcimos qu f tin un mínimo rlativo n D si s vrifica qu f f V. D Una función pud tnr varios máimos o mínimos rlativos o carcr d llos. Todo máimo mínimo absoluto s al mismo timpo rlativo, pro no al contrario. La palabra rlativo indica qu s compara l valor f con los valors qu toma la función n un ntorno d, mintras qu los máimos mínimos absolutos s rfirn a todo l dominio. Los máimos mínimos rlativos rcibn l nombr d PUNTOS CÍTICOS, PUNTOS ESTACIONAIOS o EXTEMOS. El studio d los trmos d una función s, n gnral, un problma complicado a qu no istn métodos gnrals para calcularlos. Sin mbargo, para funcions drivabls podmos hallarlos mdiant un procdiminto bastant sncillo como vrmos a continuación: TEOEMA. Sa f : D. Si f alcanza un trmo n ntoncs f '. D f s drivabl n, En fcto, si f ' no s anula n, f ', ntoncs la función s strictamnt crcint o strictamnt dcrcint n l punto no podría cumplirs la condición d máimo o mínimo. Gométricamnt, sta condición prsa qu la tangnt n l punto, f a la gráfica d la función f s paralla al j d abscisas, aunqu pud sucdr qu ista tangnt horizontal n un punto sin qu ista máimo o mínimo. Est torma nos prmit calcular los puntos dond pud habr un máimo o un mínimo, sin más qu rsolvr la cuación f '. Obtnidos stos puntos, los siguints critrios nos audan a dcidir si n llos ist un máimo, mínimo o ninguna d las dos cosas. CITEIO : Variación d la función n un ntorno dl punto. Sa un punto dond pud istir un máimo o un mínimo rlativo. S trata d studiar l comportaminto d la función n un ntorno dl punto: DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 85

15 Considrmos un valor h > suficintmnt pquño. Si s vrifica qu f ± h f, ntoncs la función tin un máimo rlativo n. f ± h f, ntoncs la función tin un mínimo rlativo n. Est critrio s la aplicación dircta d la dfinición d máimo mínimo rlativo, dada su gnralidad, pud aplicars a puntos n los cuals no ista drivada d la función. CITEIO : Variación d la drivada primra n l ntorno dl punto. Sa un punto dond la función pud alcanzar un máimo o un mínimo h > un valor suficintmnt pquño: Si f ' h > f crcint a la izquirda d f ' h < f dcrcint a la drcha d, ntoncs la función alcanza un máimo rlativo n. Si f ' h < f dcrcint a la izquirda d f ' h > f crcint a la drcha d, ntoncs la función alcanza un mínimo rlativo n. CITEIO : Valor d la drivada sgunda n l punto. Sa f D un punto d D. Si f ' ntoncs f pos n : un máimo mínimo rlativo. f '' < f '' >, En fcto, si f '' <, la función f ' s strictamnt dcrcint n l punto como n s punto s anula f ', a la izquirda srá positiva a la drcha, ngativa. Por tanto, a la izquirda d la función f srá strictamnt crcint a la drcha d srá strictamnt dcrcint por sr f ' ngativa. En conscuncia, la función tndrá un máimo rlativo n l punto. Si f '' <, la dmostración s análoga. Si f '', no pud aplicars l critrio antrior dbmos rcurrir a critrios antriors o aplicar l siguint critrio gnral CITEIO : Critrio d Talor. Sa un punto dl dominio d la función f. Considrmos qu f s drivabl hasta l ordn n ordn par n un ntorno d dicho punto, admás, s vrifica qu Entoncs, f ' n f '' f n Si f <, la función alcanza un máimo rlativo n. n Si f <, la función alcanza un mínimo rlativo n. DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 86

16 EJEMPLOS.. Calcular los máimos mínimos d la función f. Calculamos la drivada d la función: f ' 6 vmos dond s anula dobl 6 Para studiar cuals corrspondn a máimos cuals corrspondn a mínimos aplicarmos l critrio d la drivada primra con lo qu al mismo timpo s studian los intrvalos d crciminto o dcrciminto. El único punto dond la función drivada cambia d signo s st punto dscompon l dominio n dos intrvalos,,. En, s vrifica qu f ' < f s strictamnt dcrcint n dicho intrvalo. En, s vrifica qu f ' > f s strictamnt crcint n dicho intrvalo. En conscuncia, n l punto la función f tin un mínimo rlativo. NOTA: Dcimos qu n l punto la función drivada no cambia d signo porqu n él tin un cro dobl con lo qu cambiaría dos vcs d signo s qudaría con l mismo signo qu tnía ants d.. Calcular los máimos mínimos d la función f. L. Calculamos la drivada d la función: f '. L L Anulamos la función drivada para calcular dond la función tin los posibls trmos: L L Para dtrminar si st punto qu anula la drivada corrspond con un máimo o un mínimo, aplicarmos n st caso l critrio d la drivada sgunda. Empzarmos calculándola: f '' Si sustituimos l valor qu anula la drivada primra nos ncontrarmos qu: f '' >, por tanto, la función tin un mínimo n.. Dtrmina l parámtro k para qu l mínimo d la función f k sa igual a 8. Calculamos l punto dond la función tndrá l trmo; st punto tndrá qu anular la drivada d función: f ' Como nos dicn qu l valor mínimo s 8, tndrmos: f 8 k 8 k 9 En conscuncia, nustra función srá: f 9 DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 87

17 . Obtnr los parámtros a b para qu la función f a b alcanc un mínimo n l punto P,. Pusto qu n l punto P la función alcanza un mínimo, l punto P prtnc a la gráfica d la función s vrificará qu f a b a b Por otra part, por sr un trmo d función mínimo s tndrá qu anular la función drivada n él: f ' { f ' a} a a solvindo l sistma formado por las condicions obtnidas, nos quda: a b a a b Por tanto, la función buscada srá: f 5. Dtrmina todas las funcions f d la forma f a b c d con a, qu vrifican f ' f '. Alguna d las funcions dtrminadas antriormnt vrifica f f? azona las rspustas. Calculamos la drivada d la función dada f ' a b c aplicamos las condicions impustas por l nunciado: f ' a b c a b c f ' a b c a b c solvindo l sistma obtnido: a b c 6a c a c c a a b c a b a b b Sustitundo los valors obtnidos n la función dada, obtnmos: f a a d con a, qu sría la prsión d todas las funcions qu cumpln la condición impusta. Vamos si alguna función d sta familia vrifica qu f f. Podríamos tnr un dobl camino para comprobar sto: Aplicando dirctamnt las condicions obtnmos: f d d f a a d a a d a a Al obtnr qu a, ntramos n una contradicción a qu a ra distinto d cro. Por tanto, no ha ninguna función d las ncontradas qu vrifiqu qu f f. Aplicando l Torma d oll: f s continua n [,] drivabl n,. Admás, f f. S cumpln las hipótsis d oll, lugo s db cumplir la tsis, s dcir, c, / f ' c Esto no sría posibl a qu los únicos puntos dond s anula la drivada d f son stos puntos no prtncn a,. En conscuncia, no ist ninguna función d las ncontradas qu vrifiqu qu f f. DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 88

18 OPTIMIZACION DE FUNCIONES. El cálculo d máimos mínimos mdiant drivadas prmit rsolvr d una manra sncilla muchos problmas n los qu s trata d optimizar una función. Para rsolvrlos sguirmos l siguint squma gnral: Mdiant los datos dl problma s constru la función qu ha qu maimizar o minimizar. La maor part d las vcs nos qudará n función d dos o más variabls. Si la función tin más d una variabl dbmos rlacionar éstas dos cuacions a fin d consguir prsar la función inicial utilizando una sola variabl. S calculan los máimos mínimos d sta función. S intrprtan los rsultados obtnidos rchazando aqullos qu por la naturalza dl problma no san posibls. EJEMPLOS.. Hallar dos númros cua suma sa su producto l maor posibl. Supongamos qu los númros buscados son. S tndrá qu vrificar qu P,. máimo Entoncs, dspjamos una d las dos variabls sustituimos n la función a optimizar, qudándonos ésta n función d una sola variabl: P,. máimo P. P Obtnida la función a optimizar dpndindo d una sola variabl, buscarmos los trmos d sta función: P ' Por último, comprobamos si st valor corrspond con un máimo o con un mínimo: P '' P'' < Lugo, para l valor, la función alcanza un máimo los dos númros n los qu s pud dscomponr l númro d forma qu l producto d llos sa máimo srán.. Calcular las dimnsions dl maor rctángulo cuo prímtro s d m El maor rctángulo s l d maor ára. Si suponmos qu las dimnsions dl rctángulo son, tndríamos: Prímtro : Ára : S,. S,. Oprando igual qu n l jrcicio antrior, obtnmos: dspjamos una d las dos variabls sustituimos n la función a optimizar, qudándonos ésta n función d una sola variabl: DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 89

19 . máimo., P S S Obtnida la función a optimizar dpndindo d una sola variabl, buscarmos los trmos d sta función: ' S Por último, comprobamos si st valor corrspond con un máimo o con un mínimo: '' ' ' < S S Lugo, para l valor, la función alcanza un máimo l rctángulo buscado s un cuadrado d lado m.. D todos los rctángulos inscritos n una circunfrncia d radio, calcular las dimnsions dl qu tnga ára máima. azona l procso. d Oprarmos como n los casos antriors: n la rlación ntr las dos variabls dspjarmos una d llas para djar la función a optimizar dpndindo d una sola variabl: Suponindo qu las dimnsions dl rctángulo inscrito n la circunfrncia son, l ára d dicho rctángulo nos vndrá dada por: S., La rlación ntr las dos variabls habrá qu buscarla a través dl diámtro d la circunfrncia, a qu ést con los lados dl rctángulo forma un triángulo rctángulo:., S S Calculamos la drivada primra vmos dond s anula: ' S ± ± Vamos qu valor corrspond con l máimo: calculamos la drivada sgunda d la función: ' ' S Sustitundo n sta drivada los valors qu anulaban la drivada primra obtnmos: mínimo '' máimo ' ' > < S S DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 9

20 Por tanto, para obtnr ára máima l valor d dbrá sr qu sustituido dond tnmos dspjada la variabl obtnmos.. Dtrmina l punto d la curva cua cuación s A,. qu stá más crca dl punto P, A, Considrmos qu l punto d la curva qu stá más crca d A s l punto P, qu por sr d la curva vrificará su cuación, s dcir qu. Por otra part, como s l qu stá más crca d A, la distancia ntr llos tin qu sr mínima la mnor posibl: d A, P mínima d A, P Tnindo n cunta la rlación ntr las dos variabls nos quda: d d' Anulamos la drivada: no tin solución ral. Calculamos la sgunda drivada: En l punto : d'' d '' > corrspond con un mínimo. 5 En conscuncia, l punto d la curva dada qu stá más crca d A s l punto P,. 5. Dmustra qu la suma d un númro ral positivo no nulo su invrso s maor o igual qu. Sa un númro ral positivo no nulo sa f la función dfinida d la forma f Si qurmos dmostrar qu los valors qu toma sta función son maors o iguals qu, quir dcir qu l valor mínimo qu toma la función s. Vamos qu vrdadramnt s así para llo calcularmos, primramnt, dond alcanza l valor mínimo si ést s igual a : DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 9

21 f ' ± Hmos ncontrado dos valors qu anulan la drivada d la función d los cuals liminamos l valor ngativo a qu ra un númro ral positivo. Para l valor vamos qu signo tin la drivada sgunda: f '' f '' > tin un mínimo. El valor qu toma la función para srá: f qu s l valor mínimo qu toma la función. Ejrcicios.. Dscompón l númro 5 n dos sumandos tals qu l dobl dl cuadrado dl primro más l tripl dl cuadrado dl sgundo sa mínimo.. Hallar las dimnsions d un campo rctangular d.6 m d suprfici para podrlo crcar mdiant una valla d longitud mínima.. Un jardinro quir construir un partrr n forma d sctor circular con prímtro d m Cuál srá l radio qu da l partrr d ára máima? Cuál srá la amplitud n radians dl sctor?. La curva t t rprsnta un río. En l punto P, ha una ciudad dsd la qu s dsa construir una tubría rctilína hasta l río. En qué punto Q dl río db trminar la tubría para qu ésta sa lo más corta posibl? Compruba qu n dicho punto Q la tubría s prpndicular al río. 5. Entr todos los triángulos isóscls d prímtro cm, cuál s l d ára máima? 6. S quir construir un rcipint cónico d gnratriz cm d capacidad máima. Cuál db sr l radio d la bas? 7. Hallar l punto d la parábola 6 cua distancia al punto P, sa mínima. Máimos mínimos absolutos d una función continua n un intrvalo crrado, sin ramas infinitas. El problma gnral sul adoptar la siguint forma: Para qué valor d la función f dfinida n l intrvalo [ b] a, toma l valor máimo o mínimo? Un aspcto a tnr n cunta s si f tin alguna rama infinita n [ a,b], s dcir, si ha algún punto c [ a, b] para l cual s vrifica qu f ±. En st caso, lógicamnt, no ha máimo o mínimo. Considrmos qu no s da st caso. Entoncs l máimo absoluto stará ntr los máimos rlativos éstos sabmos qu son puntos dond s anula la drivada d la función, puntos sin drivada o los trmos dl intrvalo. c DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 9

22 En conscuncia, para obtnr l máimo absoluto d una función f n [ a,b], comprobarmos primramnt qu no istn ramas infinitas d la función n dicho intrvalo dspués obtndrmos: Puntos dond s anul la drivada rsolvindo la cuación f '. Puntos dond la función no s drivabl o no s continua. Etrmos a b dl intrvalo. Una vz obtnidos todos stos puntos, calculamos l valor d la función n cada uno d llos. El maor srá l máimo absoluto d la función n l intrvalo. EJEMPLOS. Para l mínimo absoluto procdrmos d forma análoga.. Dtrmina l máimo l mínimo d la función f n l intrvalo [,].. Calcula los máimos mínimos d la función f sn sn n l intrvalo [,π].. Sa la función f : dfinida por f Dtrmina los puntos dond f s drivabl halla sus máimos mínimos locals.. Sa la función f : dfinida por, si ; f, si < ;, si <. Halla los puntos n los qu f s drivabl. Estudia si istn los máimos mínimos rlativos d f, si istn, dtrmínalos. CUVATUA. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. La ida d lo qu, n la vida ral, llamamos cóncavo o convo s mu clara: cóncavo huco convo abultado En l momnto d aplicar stos concptos a una curva, habrá qu adoptar algún critrio para mirar la curva: adoptarmos l critrio d mirar la curva dsd abajo, dsd la part infrior dl j d ordnadas OY. cóncava conva Para caractrizar la concavidad o la convidad d una función n un punto, a, vamos a studiar l comportaminto d la curva con rspcto a las tangnts n cada uno d los puntos dl dominio d la función. cóncava conva DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 9

23 Podmos obsrvar qu las curvas cóncavas stán por dbajo d la tangnt, mintras qu las convas stán por ncima. Esto quir dcir qu la concavidad o convidad d una función dpndrá dl signo d la difrncia ordnada d la curva ordnada d la tangnt n las proimidads d a; s dcir, f [ f a f ' a a ] A partir d aquí podmos dar la siguint dfinición: Una función f drivabl n a, s cóncava n a, si s vrifica qu [ f a f ' a a ] f < En caso d qu la difrncia sa positiva s dic qu la función s conva. La drivada primra sgunda d la función f, si s qu istn, nos prmitn studiar la concavidad o convidad d la función f, tal como s indica n los siguints critrios: CITEIO. Drivada primra. Sa f una función drivabl n l intrvalo I: Si f ' s crcint n l intrvalo I, la función f s conva n I. Si f ' s dcrcint n l intrvalo I, la función f s cóncava n I. Utilizando l critrio para qu f ' sa crcint o dcrcint, obtnmos l siguint CITEIO : Drivada sgunda. Sa f una función con drivada sgunda n l intrvalo I. Si f '' < n l intrvalo I, la función f s cóncava n I. Si f '' > n l intrvalo I, la función f s conva n I. En los puntos n los qu la drivada sgunda s no s pud afirmar nada dl comportaminto d la función. Si f ' s utiliza l critrio d Talor para máimos mínimos, si f ' l critrio siguint: CITEIO : Critrio d Talor. Sa a un punto dond la función f pud sr cóncava o conva. Supongamos qu f s drivabl hasta l ordn n ordn par n un ntorno d a, admás, qu EJEMPLOS. n f ' f '' a f ''' a f a n Si f a <, ntoncs la función s cóncava n a. n Si f a >, ntoncs la función s conva n a. Estudia la curvatura d las siguints funcions: f f f 6 f 5 f f f f DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 9

24 f L f L f sn cos f. PUNTOS DE INFLEXIÓN. Los puntos d inflión tinn un comportaminto similar rspcto d la curvatura qu los máimos mínimos rlativos rspcto d la monotonía d una función. Una función f tin un punto d inflión n a si n dicho punto la función pasa d conva a cóncava o d cóncava a conva. Si la función pasa d conva a cóncava dirmos qu a s un punto d inflión convo-cóncavo. Si la función pasa d cóncava a conva dirmos qu a s un punto d inflión cóncavo-convo. Si la función s drivabl n a, la tangnt n a a la gráfica d la función dja una part d la gráfica por ncima otra por dbajo. Con sto podríamos dar otra dfinición quivalnt para l caso d funcions drivabls: S dic qu una función f tin un punto d inflión n a, si la tangnt n l punto a, f a atravisa la gráfica d la función. En l caso d qu la función f sa drivabl al mnos dos vcs, los valors candidatos a puntos d inflión son aqullos qu anulan la sgunda drivada, como nos indica l siguint: TEOEMA. Sa f : D. Si f tin un punto d inflión n mnos dos vcs n a, ntoncs f '' a. a D f s drivabl al En fcto, si f '' a ntoncs la función sría strictamnt cóncava o strictamnt conva n l punto a no podría cumplirs la condición d punto d inflión. Est torma nos prmit hallar los puntos n los qu la función f pud tnr un punto d inflión. Las abscisas d stos puntos son las raícs o cros d la cuación f ''. La condición f '' a s ncsaria para la istncia d un punto d inflión, pro no s suficint. Pud ocurrir qu f '' a qu, sin mbargo, s punto no sa d inflión, como ocurr n la función f qu tin drivada sgunda nula n, n s punto la función tin un mínimo. Obtnidos los puntos n dond s anula f '', vamos algunos critrios qu nos prmitirán dcidir si s trata d un punto d inflión cóncavo-convo o convo-cóncavo o ninguna d las dos cosas. CITEIO : Variación dl signo d la drivada sgunda. Sa f : D tal qu f '' a. DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 95

25 Si a la izquirda d a s f '' < función cóncava a la drcha d a s f '' > función conva, ntoncs a s un punto d inflión cóncavo-convo. CITEIO : Valor d la drivada trcra. Sa f : D una función drivabl al mnos hasta l ordn trs n a D. Si f '' a f ''' a >, ntoncs la función tin n a un punto d inflión cóncavo-convo. Si f '' a f ''' a <, ntoncs la función tin n a un punto d inflión convo-cóncavo. Si f ''' a, no pud aplicars st critrio tndríamos qu aplicar l critrio d la drivada sgunda o utilizar una gnralización dl critrio d la drivada trcra qu nos quda como sigu: CITEIO : Critrio d Talor. Sa a un punto dond la función f pud tnr un punto d inflión. Supongamos qu f s drivabl hasta l ordn n ordn impar n un ntorno d a, admás, qu f ' a n f '' a f ''' a f a. n Si f a >, ntoncs la función tin un punto d inflión cóncavo-convo n a. n Si f a <, ntoncs la función tin un punto d inflión convo-cóncavo n a. EJECICIOS.. Calcular los puntos inflión d las funcions propustas para studiar su curvatura.. Calcula la cuación d la rcta tangnt a la curva d cuación 6 n su punto d inflión.. Es l punto un punto d inflión d la función f? azonar la contstación.. Dtrmina a, b, c, d d modo qu la curva a b c d tnga un punto crítico n, un punto d inflión con tangnt d cuación n,. 5. Calcula los intrvalos d concavidad convidad los puntos d inflión d las funcions: f 6 f 6. Hallar los intrvalos d concavidad convidad d f compruba qu ist un punto d inflión n, a psar d qu no ist f ''. CONSTUCCIÓN APOXIMADA DE CUVAS. Aunqu la gráfica d una función f s un conjunto d puntos, no s un bun método para rprsntarla obtnr indiscriminadamnt las coordnadas d muchos puntos d la misma, por los siguints motivos:. S mplaría mucho timpo.. Los puntos calculados srían insuficints para dar una ida global d la curva, a qu las parts más intrsants d la misma s probabl qu s ncuntrn intrcaladas ntr llos o más allá dl tramo qu hmos studiado. DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 96

26 Las curvas, n gnral, prsntan algunos dtalls intrsants puntos críticos, ramas infinitas, saltos, inflions, simtrías,... fura d llos s comporta d forma anodina. En conscuncia, para rprsntarlas d una manra ficaz habrá qu sabr localizar todas las pculiaridads qu las caractrizan. Con todo lo visto antriormnt tnmos los suficints instrumntos matmáticos para rprsntar cualquir curva dada por su cuación n forma plícita f. Ponindo un poco d ordn n stos conocimintos para sistmatizar la rprsntación d la curva, podmos laborar l siguint squma a sguir: ESQUEMA A SEGUI PAA LA EPESENTACIÓN GÁFICA DE FUNCIONES Propidads d f obtnidas dirctamnt:. Dominio corrido d la función.. Simtrías: a Simtría rspcto dl j OY función par: f f Dom f b Simtría rspcto dl orign O función impar: f f Dom f. Priodicidad: f T f Dom f dond T priodo. Puntos d cort con los js: a Con l j OX: hacmos son los cros d la función b Con l j OY: hacmos obtnmos un punto único, f 5. gions d istncia zonas d la función: a Intrvalos d positividad: f > b Intrvalos d ngatividad: f < 6. amas infinitas: puntos n l infinito a Punto d partida d la gráfica:,? b Punto d llgada d la gráfica:,? 7. Asíntotas: a Horizontals b Vrticals c Oblicuas 8. Puntos d discontinuidad. Propidads d f obtnidas por las drivadas sucsivas. 9. Monotonía: a Intrvalos d crciminto... f '> b Intrvalos d dcrciminto... f '< c Puntos críticos máimos mínimos... f ' f ''. Curvatura: a Intrvalos d concavidad... f '' < b Intrvalos d convidad... f '' > DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 97

27 c Puntos d inflión... f '' f ''' EJECICIOS. prsnta las siguints funcions: f f f f f f f f L f L f. f. f sn cos DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 98

28 PUNTO MÍNIMO. Sa f : D drivabl al mnos dos vcs n un punto a D. Si f ' a f '' a >, ntoncs f tin un mínimo rlativo n a D. Dmostración: Aplicando la dfinición d drivada tnmos: Entoncs, f ' a h f '' a h h f ' a f ' a h > h h Si h < f ' a h < f s dcrcint a la izquirda d a. Si h > f ' a h > f s crcint a la drcha d a. En conscuncia, f tin un mínimo n a D. DEIVADAS. POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. 7

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso 010-011 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 010-011 19-XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la

Más detalles

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción ral d variabl ral s una aplicación d un subconjunto D d los númros rals n un subconjunto I d los númros

Más detalles

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13 º Bachillrato: jrcicios modlo para l amn d las lccions, y 3 Sa la unción F ( ) t dt a) Calcular F (), studiar l crciminto d F() y hallar sus máimos y mínimos. b) Calcular F () y studiar la concavidad y

Más detalles

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA. 7 Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada TEMA 4. APICACIONES DE A DERIVADA.. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función. Etrmos rlativos 3. Optimización 4. Curvatura 5. Punto d Inflión 6. Propidads

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

REPRESENTACION GRAFICA.

REPRESENTACION GRAFICA. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos f () a b si si si a) Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n [ punto] b) Es drivabl la función

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES.

LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Sa y una unción ral d variabl ral. D una manra intuitiva y oco rcisa, dirmos qu l it d s L, cuando s aroima a, si ocurr qu cuanto más róimo sté

Más detalles

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c) TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para l studio y rprsntación d una unción s sigun los siguints pasos:. Dominio d dinición y d continuidad.. Corts con

Más detalles

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos si 0 b si f() a si 0 a) [ punto] Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n b) [ punto] Es drivabl la función obtnida n = 0?. En =?. Razona

Más detalles

ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1

ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1 ANÁLISIS (Slctividad 4) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD EN 4 ( Obsrvación: La slcción s ha hcho dando prioridad a las custions más tóricas) Andalucía, junio 4 San

Más detalles

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación LÍMITES Cálculo y rprsntación...... 7. 8. - + + - - + + - + - ( + ) - + + - - + + 9. + - +. + - + - 9. + -. + + + - +. + + +. + + + -. +. + - ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y rprsntación. y = - +.

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL 74 Cuando un problma gométrico stá nunciado n términos d la rcta

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011 IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si

Más detalles

12 Representación de funciones

12 Representación de funciones Rprsntación d funcions ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando prviamnt las prsions, rsulv las siguints cuacions: a) 6 7 5 0 6 c) 0 7 b) 6 d) 0 a) 6 7 5 0 ( )(6 5) 0 5 6 5 0, b) 7 6 ( )( ) 6 6 ( ) 7 ( )

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x . Drivar las siguints funcions simplificar l rsultado n la mdida d lo posibl. ) 4) 7) ) 4 5 5 5 7 5) 8) ) 5 6) 5 9) 4 5 0) ) 7 ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) 9) ) 5) 0) 4 ln ) ln log 6) ln 8) ln ) 9) ) 5) 4) 7)

Más detalles

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos:

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos: Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8 Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula

Más detalles

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión

Más detalles

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado Ejrcicios rsultos d ntroducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 2 La ofrta, la

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES.

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. Tasa d variación mdia. Cálculo y signiicado EJERCICIO : Considramos la unción:. Halla la tasa

Más detalles

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2 Matmáticas Computación COMPUTACIÓN Práctica nº NÚMEROS REALES Eistn algunos númros irracionals prdfinidos n Maima como son l númro π l númro qu s corrspondn con los símbolos %pi % rspctivamnt. Otros númros

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ELABORO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS DICIEMBRE DE 7 EJERCICIOS DE

Más detalles

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN ANÁLISIS DL AMPLIFIADO N MISO OMÚN Jsús Pizarro Pláz. INTODUIÓN... 2. ANÁLISIS N ONTINUA... 2 3. TA D AGA N ALTNA... 3 4. IUITO QUIALNT D ALTNA... 4 5. FUNIONAMINTO... 7 NOTAS... 8. INTODUIÓN l amplificador

Más detalles

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx. Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Calcula las siguints intgrals Solucions A d A d + + + ln( + + ) A d arctan + A sn sn d A d ln ( ) 6A d cos tan + arctan + ln(

Más detalles

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D LIMITES DE FUNCIONES EN D Límits d funcions n D Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martínz Boscá (jmartinzbos@uoc.du) ESQUEMA DE CONTENIDOS Dfinición Límits latrals LÍMITE DE

Más detalles

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES 5. CONDICIONES DE FRONTERA: Dbido a qu muchos problmas

Más detalles

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Solucions a los jrcicios propustos Unidad. El conjunto d los númros rals Matmáticas aplicadas a las Cincias Socials I NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES. Dtrmina si los siguints númros son o no

Más detalles

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES CARACTERÍSTCAS EXTERNAS y REGLACÓN d TRANSFORMADORES Norbrto A. Lmozy 1 CARACTERÍSTCAS EXTERNAS S dnomina variabl ntr a una magnitud qu stá dtrminada ntr dos puntos, tal como una difrncia d potncial o

Más detalles

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7 VERSIÓN:.0 FECHA: 19-06-01 I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 1 d 9 Nombrs y Apllidos dl Estudiant: Docnt: ALEXANDRA URIBE Ára: Matmáticas Grado: UNDÉCIMO Priodo: TERCERO GUIA 7 Duración: 0 horas Asignatura:

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tma Límits, continuidad y asíntotas Matmáticas I º Bachillrato TEMA LÍMITES, CONTINUIDAD ASÍNTOTAS CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES EJERCICIO : Sobr la gráfica d f), halla : 8 8 8 f f c) f f ) f f f c) f f )

Más detalles

PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL

PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL 1.- INTRODUCCIÓN. La prsnt práctica tin por objto introduir al alumno n l cálculo d trns d ngranajs, tanto simpls d js parallos, compustos y trns

Más detalles

ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015

ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015 ANÁLISIS (Slctividad 5) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 5 Andalucía, junio 5 Sa f la función dfinida por f( ) para a) [ punto] Estudia y calcula las asíntotas

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5 GRUPOS Y SEMIGRUPOS En sta unidad studiarmos algunas d las structuras algbraicas qu s utilizan n Toría d Codificación y también n l studio d máquinas d stado finito, como por jmplo los autómatas qu vrmos

Más detalles

Sistemas de control: Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional.

Sistemas de control: Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional. Sistmas d control: Elmntos componnts, variabls, función d transfrncia y diagrama funcional. Introducción Los sistmas d control automático han jugado un papl vital n l avanc d la cincia y d la ingniría.

Más detalles

2º BACHILLERATO CINETICA QUÍMICA

2º BACHILLERATO CINETICA QUÍMICA VELOCIDAD DE REACCIÓN 1.- Escrib la xprsión d la vlocidad d racción n función d la concntración d cada una d las spcis qu intrvinn n l procso d obtnción d amoniaco. N + 3 H NH 3 d 1 v = [N] = 3 d 1 [H]

Más detalles

Energía. Reactivos. Productos. Coordenada de reacción

Energía. Reactivos. Productos. Coordenada de reacción CINÉTICA QUÍMICA 1 - Razon: a) Si pud dducirs, a partir d las figuras corrspondints, si las raccions rprsntadas n (I) y (II) son d igual vlocidad y si, prvisiblmnt, srán spontánas. b) En la figura (III)

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOS)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOS) EUAIONES DIFERENIALES ORDINARIAS EDOS.- Introducción onsidrmos los siguints roblmas. Problma uáls srán las curvas qu vrifican qu la ndint n cada uno d sus untos s igual al dobl d la suma d las coordnadas

Más detalles

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS 14-1 Los tipos d intrés nominals y rals Slid 14.2 Los tipos d intrés xprsados n unidads d la monda nacional s dnominan tipos d intrés nominals. Los

Más detalles

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) Ejrcicios rsultos Distribucions discrtas y continuas ) La rsistncia a la comprsión d una mustra d cmnto s una variabl alatoria qu s

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El almán Gottfrid Libniz (66-76), quin, junto con su antagonista l inglés Isaac Nwton (6-77), fu l crador dl cálculo infinitsimal. MATEMÁTICAS II

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Ejrcicio nº.- Escrib

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu) NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS. Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu) NÚMEROS COMPLEJOS Númros complos NÚMEROS COMPLEJOS Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martín Boscá (martinb@uoc.du) MAPA CONCEPTUAL Dfinición Fórmula d Cardano NÚMEROS COMPLEJOS Rsolución d cuacions

Más detalles

TAMAÑO DE LA MUESTRA

TAMAÑO DE LA MUESTRA Rv. Epidm. Md. Prv. (003), : 8-4 TAMAÑO DE LA MUESTRA Enric Matu, Jordi Casal CRSA. Cntr d Rcrca n Sanitat Animal / Dp. Sanitat i Anatomia Animals, Univrsitat Autònoma d Barclona, 0893-Bllatrra, Barclona

Más detalles

MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO

MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO MTEMÁTICS II PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD DE OVIEDO.- NÁLISIS ª PRTE.- Cálclo Intgral.- MODELO DE PRUEB Dada la parábola, s corta por la rcta d cación ; n los pntos d intrscción s trazan las tangnts a

Más detalles

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 3 La lasticidad

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES INSTITUTO TENOLÓGIO DE OSTA RIA ESUELA DE INGENIERÍA ELETRÓNIA URSO: MODELOS DE SISTEMAS ÁLULO DE RESIDUOS Y SUS APLIAIONES ING. FAUSTINO MONTES DE OA FEBRERO DE álculo d Rsiduos y sus Aplicacions INDIE

Más detalles

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009) . Ecuacions difrncials d ordn suprior Chma Madoz, VEGAP, Madrid 009 Ecuacions linals: toría básica Un problma d valor inicial d n-ésimo ordn consist n rsolvr la EDO linal: a n n d d d a a a0 g n n n d

Más detalles

Funciones de Variable Compleja

Funciones de Variable Compleja Funcions d Variabl Complja Modlos d Sistmas II Smstr 2008 Ing. Gabrila Ortiz L 1 Función Concpto Matmático Considrando los conjuntos X Y una función comprnd una rlación o rgla qu asocia a cada lmnto x

Más detalles

Tema 3 La economía de la información

Tema 3 La economía de la información jrcicios rsultos d Microconomía. quilibrio gnral y conomía d la información rnando Prra Tallo Olga María odríguz odríguz Tma La conomía d la información http://bit.ly/8l8u jrcicio : na mprsa d frtilizants

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS.

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Una función ponncial s aqulla n la qu la variabl stá n l ponnt. Algunos - - -5 jmplos funcions

Más detalles

La función gamma. en la disciplina Matemática para las carreras de ingeniería

La función gamma. en la disciplina Matemática para las carreras de ingeniería La función gamma n la disciplina Matmática para las carrras d ingniría Antonio Mazón Ávila INTRODUCCIÓN Por todos s conocido qu la formación Matmática s bas part sncial n la formación dl ingniro, d sto

Más detalles

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica

Más detalles

APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN EN MONEDA EXTRANJERA AGOSTO 2008 LIMA PERÚ

APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN EN MONEDA EXTRANJERA AGOSTO 2008 LIMA PERÚ Capítulo Nº 8: La rntabilidad n monda nacional d una invrsión n monda xtranjra Marco Antonio Plaza Vidaurr APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN

Más detalles

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm Problmas sultos.0 Un satélit dscrib una órbita circular n torno a la Tirra. Si s cambia d rpnt la dircción d su vlocidad, pro no su módulo, studiar l cambio n su órbita y n su príodo. Al cambiar sólo la

Más detalles

Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada.

Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada. MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 6-3- Análisis OPCIÓN A.- Dada la función + b + c f = Ln( + ) > a) Calcular sus asínoas b) Calcular razonadamn b y c para qu sa drivabl y calcular su función drivada. a) El

Más detalles

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Marita d Franco A Francisco José, Shrl, Marión, Paola, Constanc, Luis Migul Migul. AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pdro Rangl por su comprnsión,

Más detalles

EQUILIBRIO QUIMICO. aa + bb cc + Dd

EQUILIBRIO QUIMICO. aa + bb cc + Dd EQUILIBRIO QUIMICO Una racción rvrsibl s aqulla n qu los productos d la racción intractúan ntr sí y forman nuvamnt los raccionants. En la siguint rprsntación d una racción rvrsibl aa + bb cc + Dd los raccionants

Más detalles

Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta.

Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Estas prubas prmitn vrificar qu la población d la cual provin una mustra tin una distribución spcificada o supusta. Sa X: variabl alatoria poblacional f 0 (x) la distribución

Más detalles

4.2. Ejemplo de aplicación.

4.2. Ejemplo de aplicación. HEB 8 Dsarrollo dl método d los dsplazamintos 45 4.. Ejmplo d aplicación. ontinuando con l pórtico dscrito n l apartado (3.8), s van a calcular las cargas y, postriormnt, sguir con l cálculo matricial,

Más detalles

TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES

TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES Asignatura: Economía y Mdio Ambint Titulación: Grado n cincias ambintals Curso: 2º Smstr: 1º Curso 2010-2011 Profsora: Inmaculada C. Álvarz Ayuso Inmaculada.alvarz@uam.s

Más detalles

1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas

1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. Introducción. Ecuacions Linals. Ecuacions d Brnoulli. Ecuacions sparabls.5 Ecuacions Homogénas.6 Ecuacions actas.7 Factor Intgrant.8 Estabilidad dinámica dl quilibrio.9

Más detalles

EL FILTRO DE KALMAN. Introducción. Qué es el Filtro de Kalman

EL FILTRO DE KALMAN. Introducción. Qué es el Filtro de Kalman L FILRO D LMN Introducción n l siguint documnto s xplicará un método para stimar los stados d un sistma stocástico. l método fu dscrito por Rudolf. alman n 1958. n un sistma dtrminístico trabajaríamos

Más detalles

PRÁCTICAS DE FUNDAMENTOS DE REGULACIÓN AUTOMÁTICA CON MATLAB

PRÁCTICAS DE FUNDAMENTOS DE REGULACIÓN AUTOMÁTICA CON MATLAB PRÁCTICAS DE FUNDAMENTOS DE REGULACIÓN AUTOMÁTICA CON MATLAB PRÁCTICA Nº 3: RESPUESTA DE SISTEMAS 4. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS Contnido: D las funcions d transfrncia y sistmas antriors, s prtnd obtnr

Más detalles

Reporte Nº: 05 Fecha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE

Reporte Nº: 05 Fecha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE Rport Nº: 05 Fcha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE El prsnt inform tin como objtivo spcífico stablcr los movimintos migratorios

Más detalles

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN DIO CÍTICO DE ISCIÓN En sta clas s studiará la transfrncia d calor n una tubría d radio xtrno (0,0 ft), rcubirta con un aislant d spsor (0,039 ft), qu transporta un vapor saturado a (80 F). El sistma cañría

Más detalles

DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Drivación una función ral variabl ral DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.u), José Francisco Martínz Boscá (jmartinzbos@uoc.u) ESQUEMA DE CONTENIDOS

Más detalles

Tema 5 El Mercado y el Bienestar. Las externalidades

Tema 5 El Mercado y el Bienestar. Las externalidades Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 5 El Mrcado

Más detalles

Coeficiente de correlación parcial

Coeficiente de correlación parcial Coficint d corrlación parcial.- Introducción....- Corrlación parcial mdiant l rcurso d diagramas d Vnn.... 3 3.- Corrlación parcial como corrlación ntr rsiduals... 6 4.- Coficint d rgrsión múltipl y coficint

Más detalles

TERMODINAMICA 1 1 Ley de la Termodinámica aplicada a Volumenes de Control

TERMODINAMICA 1 1 Ley de la Termodinámica aplicada a Volumenes de Control TERMODINAMICA 1 1 Ly d la Trmodinámica aplicada a Volumns d Control Prof. Carlos G. Villamar Linars Ingniro Mcánico MSc. Matmáticas Aplicada a la Ingniría CONTENIDO PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA PARA

Más detalles

RESUMEN MOTORES CORRIENTE CONTINUA

RESUMEN MOTORES CORRIENTE CONTINUA RESMEN MOTORES CORRENTE CONTNA Los motors léctricos convirtn la nrgía léctrica n nrgía mcánica. Así, la corrint léctrica tomada d la rd rcorr las bobinas o dvanados dl motor, n cuyo intrior s cran campos

Más detalles

Aproximación de funciones derivables mediante polinomios: Fórmulas de Taylor y Mac-Laurin

Aproximación de funciones derivables mediante polinomios: Fórmulas de Taylor y Mac-Laurin Aproimació d ucios drabls mdiat poliomios: Fórmulas d Taylor y Mac-Lauri. Eprsa l poliomio P - - potcias d - Hay qu dtrmiar los coicits a, b, c, d y qu cumpla: P - -a- b- c- d- Drado vcs la iualdad atrior,

Más detalles

Tema 4 La política económica: impuestos y subvenciones por unidad vendida y controles de precios

Tema 4 La política económica: impuestos y subvenciones por unidad vendida y controles de precios Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl ilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz http://bit.ly/8l8u

Más detalles

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA AIAIÓN DE IMPEDANIAS ON A FEUENIA EN IUITOS DE OIENTE ATENA Fundamnto as impdancias d condnsadors bobinas varían con la frcuncia n los circuitos d corrint altrna. onsidrarmos por sparado circuitos simpls.

Más detalles

Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural. Alisado de tensiones

Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural. Alisado de tensiones Método d los Elmntos Finitos para Análisis Estructural Alisado d tnsions Campo d tnsions Tnsions n cualquir punto dl lmnto, sgún l MEF: = Dε= DBδ Matriz B contin las drivadas d las N: no son continuas

Más detalles

Rutas críticas para la elaboración del trabajo de titulación en las diferentes modalidades. Planes de estudio 2012

Rutas críticas para la elaboración del trabajo de titulación en las diferentes modalidades. Planes de estudio 2012 Rutas críticas trabajo d titulación n las difrnts modalidads. Ruta Crítica d la Modalidad: Inform d Prácticas Profsionals smana y mdia smana y mdia 2 Smanas Analizar con dtall los documntos normativos

Más detalles

Aplicaciones de la distribución weibull en ingeniería

Aplicaciones de la distribución weibull en ingeniería COLMEME UAN Aplicacions d la distribución wibull n ingniría Raqul Salazar Morno 1 Abraham Rojano Aguilar 2 Esthr Figuroa Hrnándz Francisco Pérz Soto 1. INTRODUCCIÓN la salud n la vida d una prsona. La

Más detalles

INTERCAMBIADORES TUBO Y CARCAZA: ANÁLISIS TÉRMICO

INTERCAMBIADORES TUBO Y CARCAZA: ANÁLISIS TÉRMICO OPERCIONES UNIRIS PROF PEDRO VRGS UNEFM DPO ENERGÉIC Disponibl n: wwwopracionswordprsscom INERCMBIDORES UBO Y CRCZ: NÁLISIS ÉRMICO NÁLISIS ÉRMICO, CONSIDERCIONES GENERLES nts d scribir las cuacions qu

Más detalles

núm. 38 martes, 25 de febrero de 2014 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS SERVICIO DE PERSONAL

núm. 38 martes, 25 de febrero de 2014 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS SERVICIO DE PERSONAL III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS SERVICIO DE PERSONAL C.V.E.: BOPBUR-2014-01298 Código d Vrificación:1453130796 - Comprub su validz n http://www..s/comprobar-firmados Convocatoria

Más detalles

Mercados Financieros y Expectativas Profesor: Carlos R. Pitta CAPÍTULO 8. Macroeconomía General

Mercados Financieros y Expectativas Profesor: Carlos R. Pitta CAPÍTULO 8. Macroeconomía General Univrsidad Austral d Chil Escula d Ingniría Comrcial Macroconomía Gnral CAPÍTULO 8 Mrcados Financiros y Expctativas Profsor: Carlos R. Pitta Macroconomía Gnral, Prof. Carlos R. Pitta, Univrsidad Austral

Más detalles

núm. 109 miércoles, 11 de junio de 2014 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS UNIDAD DE CULTURA

núm. 109 miércoles, 11 de junio de 2014 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS UNIDAD DE CULTURA III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS UNIDAD DE CULTURA C.V.E.: BOPBUR-2014-04183 Mdiant acurdo d Junta d Gobirno númro 6, d fcha 23 d mayo d 2014, s aprobó la «Convocatoria pública

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE GALICIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE GALICIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos IES CSTELR DJOZ Mnguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE GLICI SEPTIEMRE - (RESUELTOS por ntonio Mnguino) MTEMÁTICS II Timpo máimo: hors minutos El lumno db rspondr solmnt los jrcicios d un d ls opcions

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

Valledupar como vamos: Demografía, Pobreza y Pobreza Extrema y empleo.

Valledupar como vamos: Demografía, Pobreza y Pobreza Extrema y empleo. Valldupar como vamos: Dmografía, Pobrza y Pobrza Extrma y mplo. Tradicionalmnt l programa Valldupar Cómo Vamos, lugo d prsntar la Encusta d Prcpción Ciudadana (EPC), raliza la ntrga d Indici d Calidad

Más detalles

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta. K. J. Candía

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta. K. J. Candía Ecuación para cirquitons n ínas d transmisión con carga éctrica discrta. K. J. Candía Dpartamnto d Ectrónica, Univrsidad d Tarapacá, Arica, Chi Emai: kchandia@uta.c Rsumn En sta Chara s mustra un mcanismo

Más detalles

MÉTODO PROPUESTO PARA LA OBTENCIÓN DE LÍMITES DE ESBELTEZ

MÉTODO PROPUESTO PARA LA OBTENCIÓN DE LÍMITES DE ESBELTEZ Capítulo 3 MÉTODO PROPUESTO PARA LA OBTENCIÓN DE LÍMITES DE ESBELTEZ 3.1. Obtnción d la capacidad sccional: Exprsions analíticas dl diagrama d intracción M-N El diagrama d intracción d una scción d hormigón

Más detalles

Paso de los diagramas de grafos a los diagramas de bloques

Paso de los diagramas de grafos a los diagramas de bloques Capíítullo T Paso d los diagramas d graos a los diagramas d bloqus.. INTODUCCIÓN Uno d los lnguajs d simulación más antiguo y más utilizado s l d los diagramas d bloqus. D hcho, aún n la actualidad s l

Más detalles

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA OBJETIVOS Invstigación d la rgión visibl dl spctro dl átomo d Hidrógno y dtrminación d la constant d Ridbrg. Calibración d la scala dl spctrómtro d prisma. Dtrminación

Más detalles

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho UNIVERSIDAD DE ETREADURA ATEÁTICAS II ATEÁTICAS II Timpo máimo: hor minutos Instruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propusts Cd un

Más detalles

LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO

LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO 1. INTRODUCCIÓN No importa l tamaño d la mprsa n la qu dsarrollmos nustra labor profsional. No importa l númro d prsonas qu compongan l dpartamnto al qu nos

Más detalles

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es XVI.- COMBUSTIÓN XVI.1.- INTRODUCCIÓN S ntind por combustión a toda racción química qu va acompañada d gran dsprndiminto d calor; pud sr sumamnt lnta, d tal manra qu l fnómno no vaya acompañado d una lvación

Más detalles

Tema 3 (cont.). Birrefringencia.

Tema 3 (cont.). Birrefringencia. Tma 3 (cont.). Birrfringncia. 3.8 Anisotropía. Dobl rfracción. 3.9 Modlo d Lorntz para la birrfringncia 3.10 Polarizadors dicroicos. Ly d Malus 3.11 Propagación a través d una lámina rtardadora 3.1 Aplicacions

Más detalles

Seguridad en máquinas

Seguridad en máquinas Obsrvación d la norma UNE EN ISO 11161 rlacionada con los rquisitos qu db cumplir la structura d dispositivos d protcción Los dispositivos d protcción dbrán disñars y construirs d acurdo con la norma ISO

Más detalles