CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA. 1. Derivabilidad y monotonía. creciente para x en cierto intervalo f es < 0

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. Derivabilidad y monotonía Tenemos también el resultado: f (x) > 0 creciente para x en cierto intervalo f es Lo cual es claro, pues: Si la pendiente de una recta es positiva 0yπ/2, su inclinación está entre negativa π/2 yπ en dicho intervalo. ó 0y90 90 y 180 De aquí que: f definida en un intervalo, f continua y con un número finito de raíces f es monótona por partes. Ejemplo.- Las funciones polinomiales y las racionales son monótonas por partes. 2. Máximos y s locales f(x) Si f(x 0 ) para cada x cerca de x 0, es decir en un intervalo abierto que contenga a x 0, f(x) diremos que en x 0 f alcanza un local: f(x 0 ). A un y a un local se les llama valores extremos. Si f es continua en un intervalo que contiene a x 0, f (x 0 )=0yf cambia de signo en x 0,es decir, si en un intervalo de la forma (x 1,x 0 ) f tiene un signo y en (x 0,x 2 ) el otro, entonces en x 0 hay un valor extremo, de hecho: Si f positiva negativa pasa de a hay un local. negativa positiva creciente Es claro pues la función pasa de ser a ser creciente Si no cambia de signo la derivada, entonces no tiene valor extremo. Ejemplo.- f(x) = x f(x) es continua en R y: canek.azc.uam.mx: 29/ 10/

2 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA f x + h x (x) ±(x + h) x ±h h 0 ±1= 1 si x>0 x<0 1 0 es un local, pues la derivada en 0 cambia de ser negativa para x<0 a ser positiva para x>0. Es claro gráficamente que: Si f tiene un valor extremo en x 0 y es derivable en x 0, entonces f (x 0 )=0. El recíproco no es verdadero, veamos un ejemplo de lo contrario, un contraejemplo : Ejemplo.- f(x) =x 3 f (x) =3x 2 f (0) = 0 y en 0 no hay valor extremo pues f es creciente, luego x 1 <x 2 f(x 1 ) <f(x 2 ) y 0 no es ni ni local. f(x) Si f(x 0 ) f(x) función f. para cualquier x D f diremos que f(x 0 ) es el absoluto absoluto de la Para ellos tenemos el resultado: f :[a, b] R es continua existen c & d [a, b] tales que f(c) es el absoluto de f y f(d) es el absoluto de f Por ello y el teorema del valor intermedio el rango de f es: [f(d),f(c)]. Luego si f :[a, b] R es continua y derivable en (a, b), el y el absolutos los toma la función en los extremos del intervalo ó coinciden con el mayor de los s locales y con el menor de los s locales respectivamente. 3. Concavidad y convexidad de una función Observemos que f > 0 (x) en un intervalo f creciente (x)es en dicho intervalo, luego cup al recorrer la gráfica de la función f de izquierda a derecha, debe presentar forma de cap ya que la inclinación de la tangente cóncava. convexa. crece decrece en sentido directo y diremos que la función es

3 encima En éste caso la gráfica está de sus tangentes y debajo De aquí se sigue el Criterio de la segunda derivada: f (x 0 )=0yf > 0 (x 0 ) en x 0 hay un APLICACIONES DE LA DERIVADA 3 debajo encima local. de sus secantes. Resulta que las funciones derivables donde pueden tener valores extremos es en las raíces de su derivada. En general una función tiene sus valores extremos en puntos donde no es derivable o en puntos donde la derivada vale cero, por lo que se define: Un punto crítico de una función es un punto donde la función no es derivable o donde la derivada vale cero. Luego: Los valores extremos de una función se localizan en sus puntos críticos. Por lo que para hallar los valores extremos de una función debemos localizar sus puntos críticos, que es donde puede haberlos. Se llama punto de inflexión a un punto donde la segunda derivada de una función es cero y en el punto cambia de signo, esto es, pasa de ser positiva antes del punto a ser negativa después del punto, o viceversa. En ellos la función pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa. > 0 > 0 Ejemplo.- f(x) =x 3 f (x) =3x 2 f (x) =6x =0 si x =0, luego 0 es un punto de inflexión. 4. Velocidad instantánea Si un móvil recorre 150 km en 2 horas, su velocidad promedio fue de v media = espacio recorrido tiempo empleado = 150 km 2 h =75km/h Pero en este ejemplo no conocemos la velocidad que llevaba el móvil en un punto arbitrario de su trayectoria. Pensemos que s(t) es una función creciente que le asigna a cada tiempo t un punto en un eje i.e. la función de posición de un móvil.

4 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Es claro que si a<b, s(b) s(a) es la distancia que recorrió tal móvil. Si t a, la velocidad promedio que tiene el móvil entonces es v media = Parece natural pensar que mientras más próximo esté t a a, la velocidad promedio en el intervalo entre a & t se parecerá más a la velocidad instantánea que llevaba el móvil en a, y así definimos la velocidad instantánea en a, notación v(a), como ó v(a) t a s(a + h) s(a) v(a) Ahora bien la función s(t) puede tener cualquier otra interpretación, v.gr. puede ser la cantidad de una sustancia que tenemos en el tiempo t o el número de individuos que hay en cierta población o la carga de un capacitor eléctrico o el trabajo o el costo de producir algo,... y es el incremento de tal cantidad o tal número o tal carga, o tal costo... y la velocidad promedio con que cambia la cantidad de la sustancia, o el número de individuos, o la carga, o el trabajo o el costo de producción,... será la razón promedio de cambio ó razón media de cambio entre a y t: v media = y la razón de cambio de s(t) con respecto a t será la velocidad instantánea i.e. la derivada de s(t). Ejemplo.- Si P es un punto que se mueve sobre un eje y s(t) es la función de posición, sabemos que la velocidad de P, v(t) es la derivada de la función de posición s (t), luego v(t) es la razón de cambio de s(t) con respecto al tiempo t. La aceleración a(t) dep en el instante t se define como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, es la segunda derivada de la función de posición s(t): a(t) =v (t) =[s (t)] = s (t) 5. Razones de cambio relacionadas Si dos cantidades están relacionadas, a veces se puede calcular la razón de cambio de una de ellas en términos de la razón de cambio de la otra para el caso en que esta última sea más fácilmente cuantificable. Para ello hay que derivar los dos miembros de una igualdad que relacione a las dos cantidades y despejar la razón de cambio que nos interesa. 6. Problemas de optimización Se trata de traducir el problema al de hallar el ó el de una función de una variable.

5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 5 7. Bosquejo de gráficas de funciones Para gráficar una función debes: (1) Hallar su dominio y sus raíces. (2) Decidir si es par ó impar ó ninguna de las dos cosas. (3) Hallar sus asíntotas horizontales y verticales. (4) Calcular su derivada y sus raíces; calcular f en ellas; averiguar si tiene tangentes verticales. (5) Hallar donde es monótona. (6) Hallar sus s y s locales. (7) Hallar su segunda derivada y sus raíces; discernir donde es cóncava y donde es convexa la función; hallar sus punto de inflexión; calcular la función y su derivada es ellos. (8) Si es preciso tabular algún punto y alguna pendiente más.