Tema 2. Derivada. Técnicas de Derivación. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 2

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1 Tma Drivaa. Técicas Drivació 0.- Itroucció.- Tasa Variació Mia.- Drivaa ua ució u puto..- Drivaas Latrals...- Itrprtació gométrica la rivaa..- Rlació tr cotiuia y rivabilia..- Sigiicao graico la rivaa. Suavia. 5.- Fució Drivaa. 6.- Drivació Logarítmica. 7.- Drivabilia u Itrvalo. 8.- Drivaas Sucsivas. 9.- Ejrcicios Rsultos. Raúl Gozálz Mia I.E. Jua Ramó Jiméz Tma

2 Matmáticas º Bacillrato CCNN.0.- Itroucció Los orígs l Cálculo stuviro motivaos por l so rsolvr ivrsos problmas viculaos al movimito los curpos, así como problmas tipo gométrico importacia Óptica y problmas cálculo valors máimos y míimos ua ució aa. Simpliicao, pomos stacar os problmas pricipals: Dtrmiar la tagt a ua curva u puto l problma las tagts. Dtrmiar l ára crraa por ua curva l problma las cuaraturas. So los cocptos rivaa itgral, rspctivamt, los qu prmit rsolvr satisactoriamt icos problmas. Mitras qu l cocpto itgral ti sus raícs la atigüa clásica, la otra ia uamtal l Cálculo, la rivaa, o s ormuló asta l siglo XVII. Fu l scubrimito ctuao por Sir Isaac Nwto 6-77 y Gottri Willm Libiz la rlació tr stas os ias, ta ispars aparicia, lo qu iició l magíico sarrollo l Cálculo. Si bi los trabajos Nwto y Libiz so cisivos por sus aportacios ilucia, o ay qu olviar qu llos so l puto culmiat u largo procso l qu a participao citíicos la talla Joas Kplr 57-60, Ré Dscarts , Pirr Frmat , Jo Wallis Isaac Barrow tr otros...- Tasa Variació Mia [T.V.M.] Como vimos l curso pasao, la tasa variació mia ua ució u itrvalo crrao [a,b] s calculaba miat l cocit tr la variació l valor la variabl pit tr la variació la variabl ipit. b a T. V. M. [ a, b ] b a Y s corrspoía co l valor la pit la rcta qu u los putos a y b...- Drivaa ua ució u puto l límit Sa la ució iia u puto o, cimos qu la ució s rivabl l puto o si ist o cuao la ució ti a o. o rivabl o o o o Si la ució s rivabl o, al límit atrior s l llama rivaa la ució l puto o, y s simboliza por o o por. o o o o Si acmos l cambio o, y spjamos : o, y rscribimos l límit, cotramos otra orma calcular la rivaa ua ució u puto: o o o o 0 o Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II- o o

3 Matmáticas º Bacillrato CCNN Ejmplo : Hallar la rivaa la ució : iia por l puto o = a a a a a a a a a a a a Drivaas latrals Como acabamos vr la rivaa ua ució s u límit, y sabmos, por l tma atrior, qu para qu ista l límit ua ució iia a trozos u puto, a istir los límits latrals y ambos b sr iguals, por tato: La ució s rivabl por la izquira si ist l límit por la izquira ti a 0. La rivaa por la izquira s simboliza por a -. a a cuao La ució s rivabl por la rca si ist l límit por la rca la ti a 0. La rivaa por la rca s simboliza por a +. a a cuao Por tato la ució s rivabl o si ist los límits por la izquira y por la rca y ambos coici. o o o o o o o o o Ejmplo : Estuiar la rivabilia 0 y - la ució : Drivabilia =- iia por: si si s si 0 0 Para qu ua ució sa rivabl u puto a ocurrir qu ista las rivaas latrals y éstas sa iguals: [ ] [ ] s rivabl Drivabilia =0 0 0 s s s0 s o s rivabl Itrprtació gométrica la rivaa: Rcta tagt y Rcta ormal u puto El cálculo la rivaa ua ució u puto a, os prmit scribir las cuacios las rctas tagt y ormal a la gráica l puto abscisas a, utilizao la cuació puto pit: y m a b Do m s la pit la rcta tagt, m m pit la rcta ormal prpicular a la rcta tagt. m a y b la oraa l orig. b a la Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-

4 Matmáticas º Bacillrato CCNN Por tato, la cuació la rcta tagt vi aa por la prsió: y a a La rcta ormal a ua curva u puto a s aqulla qu pasa por l puto a, a y cuya pit s igual a la ivrsa la opusta a, por tato, su prsió vi aa por: y a a Ejmplo : Calcular la cuació las rctas tagt y ormal a la gráica = + l puto =0. Como la cuació la rcta tagt s: y y0 m o Ncsitamos y o y lo calculamos sustituyo la ució: y o= Así qu co stos atos scribimos la cuació la rcta tagt = La cuació la rcta tagt s: y y Como la pit la rcta tagt s -, la pit la rcta ormal srá m Por tato la cuació la rcta ormal s y y m..- Rlació tr cotiuia y rivabilia Ua ució s rivabl u puto o, si s cotiua ico puto. rivabl o cotiua o o cotiua o o rivabl o Hay ucios cotiuas qu o so rivabls, por jmplo la ució valor absoluto. E gral las ucios qu ti picos o so rivabls los picos...- Sigiicao gráico la rivaa. Suavia Ua ució s cotiua u puto, o, si su gráica atravisa ico puto. Ua ució s rivabl u puto, o, si su gráica lo atravisa co suavia, s cir, la gráica o prsta picos. Ua ució o s rivabl: E los putos agulosos. E los putos tagt vrtical. E los putos iscotiuia..5.- Fució rivaa Si ua ució s rivabl su omiio, s posibl iir ua uva ució qu asoci a caa úmro ral l omiio la rivaa la ució s puto. Esta ució s llama ució rivaa o simplmt rivaa. 0 Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-

5 Matmáticas º Bacillrato CCNN Ejmplo : Calcular la ució rivaa = X Toas las rivaas stá calculaas, y pomos rsumirlas ua tabla:.5..- Tabla Drivaas Tipos Formas Fució Simpl Rgla la Caa Costat K 0 a k u a u u a a a a Potcial Raíz Cuaraa u Logarítmica l log a la u u lu u log u u a u la u Epocial a a la u u u a u a u u la So s cos Coso cos s cos Tagt tg tg tg Cotagt cotg s cotg c tg Cosc Scat Sc Sc tg Coscat Cosc Cosc Cotg Cotagt cotg Cosc Arco So Arcs Arco Coso Arc cos Arco Tagt Arctg Arco Cotagt Arccotg s u cos u u cos u s u u tg u tg u u tg u u cos u u c tg u s u c tg u c tg u u Cosc u u Sc u Sc u tg u u Cosc u Cosc u Cotg u u cotg u Cosc u u u Arcs u u Arc cos u u u u Arctg u u u Arccotg u u.5..- Álgbra Drivaas Sa, g : S os ucios rivabls a y k. Etocs, s vriica: k a k a La rivaa la suma s la suma las rivaas. Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-

6 Matmáticas º Bacillrato CCNN g a g a a La rivaa l proucto, s la rivaa l primro por l sguo si rivar, más la primra si rivar por la rivaa la sgua. Si amás ga 0, tocs y g g a a g a a g a so rivabls a. La rivaa l cocit, s la rivaa l primro por l sguo si rivar, más la primra si rivar por la rivaa la sgua, iviio por la sgua al cuarao. g a a [ g a] a g a a a g a g [ g a] 5 Rgla la Caa: Si g rivabl a y rivabl ga g s rivabl a g a [ g a] [ g a] g a Ejmplo 5: Calcula la rivaa la ució s Tmos: Por tato: s g u g cos g u u g u u cos s cos.6.- Drivació Logarítmica Cuao tmos ua ució lvaa a otra, la orma calcular su rivaa s u poco spcial. Para calcularla sguirmos los siguits pasos: Sa g a Aplicamos logaritmos ambos laos la iguala: g g l l l b Dspués rivamos: g l g g c Dspjamos : g l g g Por último sustituimos por su valor: g g l g g Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-5

7 Matmáticas º Bacillrato CCNN Ejmplo 6: Calcula la rivaa la ució Aplicamos logaritmos: l[ ] l Drivamos: l Dspjamos: l Y por último sustituimos: l.7.- Drivabilia ua ució u itrvalo Dcimos qu :, Dcimos qu :, a b s ua ució rivabl a,b, si s rivabl too puto o a,b. a b s ua ució rivabl [a,b], si s rivabl too puto o a,b y s rivabl a por la rca y b por la izquira..8.- Drivaas sucsivas S llama rivaa sgua co rspcto a, y s simboliza ó la ució, o a la rivaa., a la rivaa la rivaa Ejmplo 7: Calcular la rivaa trcra la ució = D orma más gral, s llama rivaa -ésima o rivaa or y s simboliza por ó a la rivaa la ució -. Para calcularla s utiliza la mostració por iucció, vamos u jmplo. Ejmplo 8: Calcular la rivaa -ésima la ució Empzamos calculao la primra rivaa: Dspués, calculamos la sgua: Calculamos la trcra: Por lo tato, vio l comportamito, cab sprar qu la rivaa -ésima sa: Vamos a mostrarlo por iucció: Sa, tocs, vamos a vr: Por tato qua mostrao qu: Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-6

8 Matmáticas º Bacillrato CCNN.9.- Ejrcicios Rsultos.- A partir la iició rivaa ua ució u puto, calcular la rivaa las ucios X=X, o=, y g 5 o= si 0.- Estuiar la cotiuia y la rivabilia la ució o=0. 0 si 0 Lo primro s stuiar la cotiuia: 0 0=0; , por tato la ució s cotíua =0. Vamos aora si s rivabl: Vmos qu las rivaas latrals =0 o coici, por tato la ució o s rivabl st puto. Así qu la ució s cotíua cro, pro o s rivabl..- Sa k u úmro ral y ua ució ral iia sobr R, miat s k si 0 0 si 0 a Calcular la rivaa l puto o=0 b Calcular la ució rivaa s k 0 s k 0 a 0 s k k s cos k si k 0 b k si 0 s cos k k si 0 si k 0 Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-7

9 Matmáticas º Bacillrato CCNN 5.- Estuiar la rivabilia la ució si - si si - Para qu ua ució sa rivabl u puto, ats a sr cotíua, vmos a simpl vista qu la ució s cotíua =- porqu sus límits latrals coici y ambos coici co l valor la ució l =-, vamos si s rivabl st puto: Por tato la ució o s rivabl = Itrmiao. 0 Vamos =, Vamos a simpl vista qu los límits latrals o coici, por la izquira s y por la rca s -, por tato la ució o s cotíua, y por tato tampoco s rivabl =. Así qu pomos cir qu la ució o s rivabl i =-, i =. E los rstats putos R si s cotíua y rivabl, por sr ua ució iia a trozos co trs ramas ambas poliómicas. si Calcular a y b para qu la ució sa rivabl. a b si - Como ya sabmos, para qu ua ució sa rivabl, a sr cotíua, por tato: 0 Para qu sa cotíua, a=b a b a b Vamos si s rivabl: Vamos a calcular las rivaas latrals =-: a b a b a b a b a b a b Y para qu sa rivabl ambas rivaas a sr iguals. Por tato: a b a=b=- Por tato s rivabl para a=b=- a b 6.- Calcular las rivaas las ucios: g tg I s cos Arcs s s cos s s s s Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-8

10 Matmáticas º Bacillrato CCNN Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-9 tg tg tg tg g Para la última aplicarmos rivació logarítmica: Arcs I cos l l l l Arcs Cos I Drivamos: arcs arcs s I I cos l cos Opramos y spjamos I: cos l arcs arcs s I I D o: cos cos l arcs arcs s Arcs I 7.- Drivar y simpliicar: Arcs g Arctg Arctg 0 arcs arcs arcs arcs g 8.- Calcular la rivaa -ésima la ució Empzamos calculao la primra rivaa: Calculamos la sgua: Calculamos la trcra: Por lo tato cab sprar qu la rivaa -ésima sa: Vamos a mostrarlo por iucció: Sa, tocs, vamos a vr:

11 Matmáticas º Bacillrato CCNN Por tato qua mostrao qu: 9.- Hallar u puto l itrvalo [0,], o la tagt a la curva al j abscisas., sa paralla Si la rcta tagt s paralla al j abscisas, s porqu su pit s cro, tocs s puto la rivaa s cro: c 0 Calculamos la rivaa : Y ti qu sr igual a cro. c c c 0 c 0 C Vmos qu l puto o la curva ti ua tagt pit cro, o paralla al j OX, s l =0,5, qu por supusto prtc al itrvalo [0,]. 0.- Hallar los putos los qu la tagt a la curva sa: a Paralla l j OX b Paralla a la rcta: g 5 c Prpicular a la rcta: a Si la rcta tagt s paralla al j OX, tocs su pit s cro. m=0. c 0 c c c 0 c c c c c Etocs la curva ti rctas tagts parallas al j O los putos =- y =. b Si la rcta tagt s paralla a otra, tocs su pit s la misma qu la sta otra rcta. Por tato aquí m=5. Así qu: c 5 c c 5 c c 8 0 c c c c c Etocs la curva ti rctas tagts parallas a la rcta y=5+ los putos =- y =. c Si la rcta tagt s prpicular a otra rcta, tocs su pit s la opusta la ivrsa, s cir: Si como st caso la pit la rcta s m, lo qu acmos s ivrtirla: m, y spués l cambiamos l sigo: m. Por tato: Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-0

12 Matmáticas º Bacillrato CCNN c c c c c 0 c c c c 0 c Etocs la curva ti rctas tagts prpiculars a la rcta =. los putos =0 y.- Halla l puto la curva l l qu la tagt s prpicular a la tagt trazaa por l puto abscisa =. E st jrcicio lo primro s calcular la rcta tagt l puto =. Calculamos :, por tato la pit la rcta tagt = s m=. Como ic qu s prpicular, la ivrtimos y l cambiamos l sigo: m Así qu: c c c c c c c c c 0 c 0 c c Etocs la curva ti ua rcta tagt prpicular a la rcta tagt trazaa l puto = l puto abscisa =-. Raúl Gozálz Mia 05 Drivaas. Técicas Drivació II-

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