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1 Mtemátics Determntes Resumen DETERMINANTES (Resumen) Defición El determnte de un mtriz cudrd n x n es un número. Se otiene sumndo todos los posiles productos que se pueden formr tomndo n elementos de l mtriz, de mner que, en cd producto, de cd fil hy un térmo y sólo uno, y de cd column, un térmo y sólo uno. Dichos productos vn precedidos de signo + ó según determdo criterio. Como trjr con est defición (que no hemos completdo) es muy complicdo, se usn determds propieddes, que se deducen de l defición, pr clculr los determntes. El determnte de un mtriz x es igul l único elemento de que const dich mtriz. Determnte de orden det(a) det Determnte de orden 3 (Regl de Srrus) det(a) det Es decir: Productos los que no se lter el signo (+): Productos los que se cmi el signo ( ): Propieddes de los determntes ) A A t ) Si un fil o column es de ceros, el determnte vle. 3) Al tercmir dos fils (o dos columns) el determnte cmi de signo. 4) Si dos fils (o dos columns) son igules, el determnte vle. ) Al multiplicr tod un fil (o tod un column) por un número, el determnte resultnte es el nterior multiplicdo por dicho número. A l vers, puede extrerse fctor común un número de un determd fil (o column), quedndo todo el determnte multiplicdo por dicho fctor. ) Si dos fils (o dos columns) son proporcionles (un es l otr multiplicd por un número), el determnte vle. IES Ferdo de Herrer Prof. R. Mohigefer Pág de

2 Mtemátics Determntes Resumen 7) i n i i n i n i n Igul ocurre con columns. 8) Si un fil le summos un comción lel de otrs fils, el determnte no vrí. Igul ocurre si un column se le sum un comción lel de otrs columns. 9) Si un fil es comción lel de otrs fils, el determnte vle. Igul ocurre si un column es c.l. de otrs columns. Es recíproco, es decir, si el determnte vle, lgun fil es c.l. de otrs y lgun column lo es de otrs. ) El determnte de un producto de mtrices es el producto de los respectivos determntes: A B A B. i n n + i n i n n Menores y Adjuntos Dd un mtriz no necesrimente cudrd, un menor es el determnte que result l quedrse sólo con los elementos que están en n fils y en n columns determds, suprimiendo ls restntes fils y columns. Por ejemplo, de l mtriz siguiente otenemos un menor de orden 3 quedándonos sólo con los elementos que están en ls fils, 3 y y, l vez, en ls columns, y. Es lo mismo que suprimir ls fils y columns restntes (ls hemos tchdo): En un mtriz cudrd, el menor complementrio de un elemento ij es el menor resultnte de suprimir l fil i y l column j. Se design por M ij. Por ejemplo, el menor complementrio de 3 en l siguiente mtriz es: 3 M En un mtriz cudrd, el djunto de un elemento ij es: A ij ( ) i+j M ij. Es decir, es el menor complementrio de dicho elemento, pero se le cmi el signo si l sum i + j d impr (porque entonces ( ) i+j es negtivo). Por tnto, los menores complementrios los que se cmi el signo pr otener el djunto son los señldos con signo menos: IES Ferdo de Herrer Prof. R. Mohigefer Pág de

3 Mtemátics Determntes Resumen Cálculo de determntes de culquier orden TEOREMA (Propiedd de los determntes): El determnte de un mtriz culquier es igul l sum de los productos de los elementos de un fil culquier por sus djuntos respectivos. Igul pr columns. A esto se le llm desrrollr el determnte por djuntos de un determd fil (o column). Este teorem permite clculr determntes de culquier orden, usdo junto con l propiedd 8 de los determntes: Buscmos, preferilemente, un elemento que vlg. Se hcen todos los elementos de su fil slvo él, lo que se consigue sumndo ls diferentes columns comciones leles de l column en l que está dicho elemento. Después, se desrroll el determnte por djuntos de dich fil. El procedimiento es similr pr su column. Ejemplo. Aunque serí, en este cso, posile por Srrus, vmos ilustrr cómo se procederí cundo no hy ngún. Se necesit ser el procedimiento pr determntes de orden 4 ó más. Podrímos hcerlo sí: Método : Si l fil sustituid (l que se escrie en primer posición) se multiplic por un número, todo el determnte h queddo multiplicdo por dicho número, por lo que hy que compensrlo multiplicándolo por el verso de dicho número. Buscmos ceros en C : ( 7) ( ) 4 7 Método : Es más lorioso. Consiste en que siempre se puede conseguir un extryendo fctor común por l propiedd de los determntes. L plicción de l mism propiedd puede evitr l prición de frcciones dentro del determnte. Buscmos ceros en F : fctor común de F F + F 7 F 3 9 F 7 / 9 8 El exterior lo multiplicmos por C que se Introducimos y ½, compensn / 4 8 El exterior lo multiplicmos C C Por djuntos de F por C 3 C 3 +3C 3/ 4 8 3/ 79 ( ) Consecuenci del teorem (Propiedd de los determntes): Si los elementos de un fil (o column) se multiplicn por los respectivos djuntos de otr prlel, el resultdo es. IES Ferdo de Herrer Prof. R. Mohigefer Pág 3 de

4 Mtemátics Determntes Resumen Cálculo del rngo de un mtriz A medte determntes (orlndo menores) ) Si l mtriz es nul, su rngo es y hemos termdo. En cso contrrio, seguimos. ) Buscmos un menor fácil de orden no nulo: M. Si esto no es posile, el r(a) y hemos termdo. 3) Elegimos un fil de A que no esté en M. Orlmos M: completmos un nuevo menor con elementos de dich fil y un column que no esté en M. Si dicho menor vle, elegimos otr column, y sí hst completr tods ls columns de A, siempre con dich fil. ) Si todos esos menores vlen, l fil elegid es comción lel de ls fils que están en M, y puede ignorrse efectos del cálculo del rngo. En ese cso, repetimos el pso con otr fil, y sí hst completr tods ls fils de A. ) Si lguno de esos menores es no nulo, el rngo de A es l dimensión de dicho menor, como mínimo. Llmmos M dicho nuevo menor no nulo y repetimos el pso 3 con otr fil. 4) El rngo de A será l dimensión del máximo menor no nulo M encontrdo con este procedimiento. Ls fils y columns de A que figurn en M son lelmente dependientes. A dicho menor M se le llm menor prcipl. Ls fils y columns que no están en M son c.l. de ls que sí precen en M. Cálculo del rngo de un mtriz A dependiente de prámetros Cundo hy prámetros en A, es decir, vlores vriles, es mejor proceder l vers: En lugr de uscr menores cd vez de myor dimensión, uscmos el menor de myor dimensión posile y que conteng el mínimo de prámetros que se pued. Vemos pr qué vlores de los prámetros el menor es no nulo. Pr esos vlores, el rngo es máximo (l dimensión del menor que tenemos). Cd uno de los vlores de los prámetros que nuln el menor, es sustituido en l mtriz, con lo que segurmente y l conoceremos completmente. Estudimos su rngo, entonces, de l form hitul. Cálculo del rngo de un mtriz A por el método de Guss Si l mtriz es nul, su rngo es. En cso contrrio, l trgulrizmos. El proceso es: ) Pso. Elegimos un fil que designremos por F. Elegimos un column. A prtir de l fil F, conseguiremos ceros en tods ls posiciones de l column slvo l correspondiente F. Se hrá medte trnsformciones leles de fils: multiplicmos l fil sustituir por un número, y l fil elegid nteriormente F por otro, de mner que sumen en el cruce de l fil sustituir con l column elegid. Si lguno de los dos números que multiplicn ests dos fils es negtivo, será el que multiplique l fil F. Lo hcemos hst que hy en tod l column slvo en F, como se h dicho. ) Pso. Repetimos el proceso pr el resto de fils, pero ignorndo l fil F nterior. Es decir, elegimos otr fil F ' y hcemos tods ls posiciones de determd column slvo l correspondiente F ' (y F, que no se toc más). 3) Se repiten tntos psos como fils hy menos uno. Trs ello, l mtriz está trgulrizd. 4) Si lgun fil result complet de ceros, es porque es comción lel de ls restntes: se elim efectos de clculr el rngo. El rngo es el número de fils resultntes no completmente nuls. Cundo hy prámetros, es mejor clculr el rngo orlndo menores. IES Ferdo de Herrer Prof. R. Mohigefer Pág 4 de

5 Mtemátics Determntes Resumen Cálculo de l mtriz vers de A L mtriz vers de A, designd por A, existe si y sólo si A. Recordr que sólo ls mtrices cudrds pueden tener vers. t A Adj( A ). Por tnto, el procedimiento es: A ) Hllmos A y compromos que es no nulo. ) Hllmos A t. 3) Sustituimos cd elemento de A t por su djunto. És es Adj(A t ). t 4) A Adj( A ). A IES Ferdo de Herrer Prof. R. Mohigefer Pág de

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