Determinantes y la Regla de Cramer

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1 Determinntes y l Regl de Crmer

2 Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos de l últim fil de l mtriz de coeficientes. Por lo tnto, l mtriz A no tiene invers 0 [ A I ] R R R

3 Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si A= [ ij ] es un mtriz de dimensión x, entonces A =. A Si es un mtriz cudrd de dimensión x, entonces el determinnte de A, denotdo por A o det(a), es A =. A El determinnte de l mtriz A : el producto de los elementos menos el producto de los elementos. 3

4 Determinntes Ejemplo : Ddo l mtriz A, hlle su determinnte. A El determinnte de l mtriz A, denotdo por A o det(a) es A = (-) (-4) = = 0 4 4

5 Determinntes Ejemplo. Ddo l mtriz A, hlle el determinnte de l mtriz A. A

6 Determinntes Ejemplo 3. Determine el vlor de tl que el det(c) =. C

7 Determinnte de un mtriz de orden 3 En el cso de mtrices cudrds de orden 3, tmbién podemos clculr el determinnte de l siguiente mner: A Copie l primer y segund column de l mtriz su derech: A

8 Ejercicios A 0 B. Evlúe el determinnte de ls siguientes mtrices:. Pr que vlor de el determinnte es cero: 4 0 3

9 Determinntes y l invers det( A ) det( A) Si el determinnte de A es cero, entonces el determinnte de A no está definid. Si el determinnte de un mtriz no está definid, entonces l mtriz no existe. Es decir si el determinnte de un mtriz es cero, NO tiene invers. Si el determinnte de un mtriz es diferente de cero, entonces l mtriz tiene invers.

10 Método de Cofctores pr Hllr Determinntes 0

11 Método de Cofctores Definición: Se A= [ ij ] un mtriz n x n y se M ij l mtriz (n-) x (n-) obtenid l remover l i-ésim fil y l j-ésim column de A. Det(M ij ) es llmdo el menor del elemento ij Ejemplo. Ddo l mtriz cudrd A, hlle el menor M 3 A L mtriz M 3 se obtiene removiendo l tercer fil y l segund column de l mtriz A M

12 Método de Cofctores Ejemplo. Ddo l mtriz A, determinr el menor del elemento 3 A

13 Método de Cofctores Ejemplo 3. Ddo l mtriz A, hlle el menor del elemento 3. 3 A

14 Método de Cofctores Ejemplo 4. Hlle el menor del elemento 3 A

15 Método de Cofctores El cofctor del elemento ij es definido por A ij = (-) i+j det(m ij ) determin el signo del resultdo Ej 5. Ddo l mtriz A, hlle el cofctor del elemento 3. 5

16 Método de Cofctores Ej 6. Ddo l mtriz A, hlle el cofctor del elemento 33. A

17 Método de Cofctores Teorem El determinnte de un mtriz cudrd puede ser hlldo multiplicndo los elementos de culquier fil o column por sus respectivos cofctores y luego sumndo estos productos. 7

18 Método de Cofctores Ejemplo 8. Ddo l mtriz A, hlle el determinnte de A. A

19 Método de Cofctores Ejemplo 8b. Ddo l mtriz A, hlle el determinnte de A. A

20 Método de Cofctores Ejemplo 9. Ddo l mtriz A, hlle el determinnte de A por el método de cofctores. A

21 Método de Cofctores Ejemplo 0. Ddo l mtriz A, hlle el determinnte de A por el método de cofctores. A

22 Regl de Crmer

23 Regl de Crmer Es un regl que permite hllr el vlor de un vrible prticulr sin necesidd de hllr los vlores de ls demás vribles del sistem de ecuciones lineles. Ddo un sistem de n ecuciones lineles en n vribles; sen x,x,x 3,, x n ls vribles del sistem. Se A n n l mtriz de coeficientes del sistem de ecuciones. 3 3 n3 n n nn 3

24 4 Regl de Crmer Se A k l mtriz obtenid l reemplzr l k-ésim column de l mtriz A por el vector de constntes. k-ésim column nn nk n nk n n n k k n k k k b b b A

25 Ejemplo Ddo el siguiente sistem de ecuciones mtricil, identific A. 4 x 3 5 y = 8 Entonces, A l mtriz obtenid l reemplzr l d column de l mtriz A por el vector de constntes. A = 8 3 5

26 Ejemplo Ddo el siguiente sistem de ecuciones mtricil, A x x x 3 =

27 Regl de Crmer Si A 0 y X = x x x 3 entonces X k = A k A, pr k n Si A = 0 y A k = 0 pr todo k, pr k n, entonces el sistem es dependiente (que tiene un infinidd de soluciones.) Si A = 0 y A k 0 pr lgún k, pr k n, entonces el sistem es inconsistente (que no tiene soluciones.) 7

28 8 Regl de Crmer Ejemplo. Hlle el vlor de x medinte l regl de Crmer z y z y x z y x A B

29 Regl de Crmer Ejemplo. Hlle el vlor de y del sistem del ejemplo nterior medinte l regl de Crmer 9

30 Regl de Crmer Ejemplo 3. Hlle el vlor de z pr l mtriz medinte l regl de Crmer. 30

31 Regl de Crmer Ejemplo 4. Resolver el sistem, plicndo l regl de Crmer. 3

32 Práctic Ddo el siguiente sistem de ecuciones: x + y 3z = 6 x - 3y + 5z = 0 x - y + z = 0 Determine el vlor de l vrible z usndo l regl de Crmer. 3

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