FASCÍCULO: MATRICES Y DETERMINANTES

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1 FSÍULO: MRIES Y DEERMINNES on el avance de la ecnología en especal con el uso de compuadoras personales, la aplcacón de los concepos de marz deermnane ha cobrado alcances sn precedenes en nuesros días. El ema Álgebra de marces aparecó por prmera ocasón en una memora de surgó de observacones sobre el modo en que se combnan las ransformacones lneales de la eoría de los nvaranes algebrácos. El auor de esa memora es el nglés rhur ale ( 9) nacdo en Surre, descendene de una angua famla de Yorshre. ale ncó sus esudos unversaros, en el rn ollege de ambrdge. Sus compañeros lo consderaban como un smple maemáco. Para lusrar el rabajo de ale sobre dscrmnanes su nvaranca, se presena en el sguene caso de uso de ransformacones. Sean dos ransformacones del po (la flecha debe leerse como es reemplazado por ): px rx q s x Pz Rz Q S la segunda de las cuales ha de aplcarse a la x de la prmera. Se obene pp rp qr z sr z pq rq qs ss onsderando sólo los coefcenes de las res ransformacones represenándolas en forma recangular:

2 p q P Q pp qr pq qs r s R S rp sr rq ss Se observa que el resulado de realzar sucesvamene las dos prmeras ransformacones podría haberse expresado medane la sguene regla mulplcacón pq PQ pp qrpq qs rs RS rp srrq ss donde los renglones del arreglo de la derecha se obenen, aplcando los renglones del prmer arreglo de la zquerda sobre las columnas del segundo. Los arreglos de esa forma, con cualquer po de elemenos en los renglones en las columnas, se denomnan marces. En dferenes épocas por el rabajo de muchos maemácos surgó el concepo la eoría de los deermnanes, enre oros se pueden car a ramer (-), Lagrange (-), ezou (9-), auch (9-). Ése úlmo presenó en un rabajo sobre deermnanes en el cual nrodujo el nombre de deermnane, usó la noacón que se emplea en la acualdad del doble subíndce para un arreglo cuadrado de números, defnó el arreglo de menores a un arreglo dado, mosró la manera de calcular el deermnane empleando para dcho cálculo cualquer renglón o columna. La eoría acual presena el concepo de deermnane como una consecuenca de la eoría de marces. Sn embargo como a se menconó anerormene el concepo de deermnane es más anguo que el concepo de marz. Emológcamene la palabra marz provene de madre. El hjo nacó anes que la madre.

3 Defncón Una marz es una expresón de la forma Dcho de ora manera es un arreglo recangular de números dspuesos en renglones columnas. Los renglones son los arreglos horzonales las columnas los arreglos vercales renglones olumnas lgunas de operacones que se realzan con marces son bnaras por ejemplo: dcón Sean dos marces del msmo orden (mxn) con elemenos en los complejos. La suma de más se defne como: para Susraccón Sean dos marces del msmo orden (mxn) con elemenos en los complejos. La suma de menos se defne como: para Mulplcacón de una marz por un escalar Sean una marz de orden (mxn) con elemenos en los complejos β un escalar complejo. La mulplcacón de una marz por un escalar β se defne como:

4 para Mulplcacón de marces Sean dos marces con elemenos en los complejos, de orden qxn nxp respecvamene. La mulplcacón de por se defne como: donde P es una marz de orden qxp para. Indcar cuáles de las sguenes proposcones son verdaderas cuáles son falsas. Jusfque su respuesa. a) Las marces son conformables para la adcón s son del msmo orden. b) S el produco = enonces = /o =. c) Sólo las marces cuadradas enen ranspuesa. d) = s sólo s son marces cuadradas. e) () = para cualquer par de marces conformables para el produco. f) (+) = + se cumple sempre que las marces, sean conformables para el produco. SOLUIÓN: a) Las marces son conformables para la adcón s son del msmo orden. VERDDER. Por defncón las marces del msmo orden son conformables para la adcón. b) S el produco = enonces = /o = FLSO.

5 Demosracón por conra ejemplo: No se cumple para odas las marces. c) Sólo las marces cuadradas enen ranspuesa. FLSO. odas las marces enen ranspuesa a j,,...,m S j,,...,n a j j,,...,n,,...,m d) = s sólo s son marces cuadradas. FLSO. Frecuenemene. omo ejemplo: e) () = para cualquer par de marces conformables para el produco. VERDDERO. Demosracón:

6 Sean = a b dos marces con elemenos en, de mxn j j nxq respecvamene sean = s j dj sus respecvas ranspuesas. Enonces. p j donde : p j n k a k b kj j,...,m,...,q de donde n k a k b kj j,...,m,...,n n k a k c kj f) (+) = + se cumple sempre que las marces, sean conformables para el produco (+) = +. FLSO. Por conra ejemplo: S

7 .... alcular la nversa de la marz: = SOLUIÓN: R (-) + R R (-) + R R () + R

8 R (-) + R comprobacón. Deermnar la nversa de la marz, s se sabe que = PQP - donde: e e e Q P SOLUIÓN: = PQP - P = PQ PQ - = PQQ - PQ - = P PQ - P - =I - = PQ - P -

9 Obenendo P - P I dagonal ser por e e e Q P e e e e e e - 9. Sea la ecuacón marcal: PDP - = En donde: P a) deermnar la marz D que sasface a la ecuacón aneror, b) obener el deermnane de P -.

10 SOLUIÓN: a) P P D P P D b) de P - =. S son dos marces smércas de orden n, demosrar que + es smérca. que: SOLUIÓN: Para dos marces cualesquera conformables para la adcón se cumple s son smércas, enonces: por lo que = =

11 en consecuenca + es smérca q.e.d.. Sea la ecuacón marcal = donde: a) despejar la marz, b) obener la marz que sasface a la ecuacón. SOLUIÓN: a) I I b) I obencón de ( + I) - R () + R R () + R

12 I. Sean las marces: obener la marz Y, s exse, al que se verfque la ecuacón Y = SOLUIÓN: Y = x x x x es una marz sngular (que no ene nversa), por lo que no puede despejarse la marz Y. Para resolver la ecuacón marcal se procede de la sguene manera: Se supone Y se susue,,, Y en la ecuacón marcal.

13 por la propedad de asocavdad en mulplcacón de marces por gualdad de marces resolvendo el ssema de ecuacones por el Méodo de Gauss R R R R R del prmer renglón = del segundo renglón = por lo ano: Y. Sea la ecuacón marcal donde: Z + Z =

14 Obener la marz Z que sasface a la ecuacón. SOLUIÓN: Z + Z (-I) = Z + (-I)Z = ( I) Z = Z = ( I) - Z Z Z I I. Para las sguenes marces: la ecuacón =

15 a) obener la expresón, en érmnos de. b) obener los elemenos de la marz que sasface a la ecuacón. SOLUIÓN: a) I I b) I I. Obener la marz que sasface la ecuacón marcal: donde:

16 SOLUIÓN: I I I I. Sean las marces: obener la marz Y, s exse, al que se verfque la ecuacón

17 Y = SOLUIÓN: Y = x x x x es una marz sngular (que no ene nversa), por lo que no puede despejarse la marz Y. Para resolver la ecuacón marcal se procede de la sguene manera: Se supone Y se susue,,, Y en la ecuacón marcal. por la propedad de asocavdad en mulplcacón de marces por gualdad de marces resolvendo el ssema de ecuacones

18 por el Méodo de Gauss R R R R R del prmer renglón = del segundo renglón = por lo ano: Y. Sea la ecuacón marcal donde: Z + Z = Obener la marz Z que sasface a la ecuacón. SOLUIÓN: Z + Z (-I) = Z + (-I)Z = ( I) Z = Z = ( I) -

19 Z Z Z I I. Para las sguenes marces: la ecuacón = a) obener la expresón, en érmnos de. b) obener los elemenos de la marz que sasface a la ecuacón. SOLUIÓN: a) I I b)

20 I I. Obener la marz que sasface la ecuacón marcal: donde: SOLUIÓN: I

21 I I 9. Resolver la ecuacón marcal donde: PQ = P Q SOLUIÓN: PQ PQ PQ PQ

22 PQ alcular la marz al que sasfaga la ecuacón marcal: = + donde: SOLUIÓN: I I

23 I I

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