α, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x)
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- Antonia Molina Gallego
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1 HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal ALGERA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea V, dos espacios lieales, etoces u operador lieal (trasformació lieal) es ua fució T : V dode cada elemeto de V le correspode u úico elemeto de y además cumple co las codicioes siguietes: Aditividad: x y V, se cumple que T ( x y) = T ( x) + T ( y) Homogeeidad Sea R, x V + α, etoces se cumple que: T ( x) α T ( x) α = NOTA: las dos propiedades ateriores se puede resumir así: α i R, x i V se cumple que T x = α T ( x ) i= α i i i i i= El primer miembro es C L de elemeto de V El segudo miembro es C L de elemeto de NOTA: el operador lieal T : V tambié recibe el ombre de HOMEOMORFISMO de V e ALGERIZACION DE LOS OPERADORES LINEALES: sea ( V ) cojuto de todos los operadores lieales Etoces ( V, ), +, lieal teiedo e cueta que e L ( V, ) se ha defiido: a La igualdad: T b La suma ( ) ( T T ) = T ( ν ) + ( ν ) + ν T T = sii T ( ) = T ( ν ) ν V ν + como ua O I L, el L es u espacio : sea T T L ( V, ) c El producto de u real por u operador lieal: ( α ) ν α T ( ν ),, etoces T =
2 HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal 3 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LINEALES: ν se cumple que T( ν ) = T ( ν ) 3 V 3 todo operador lieal T : V trasforma a θ V e θ 33 sea T V = ν, ν,, ν m ua base de V Etoces si coocemos las imágees de los elemetos de mediate T, tambié podemos coocer la image de cualquier elemeto de V : ; { } 4 NUCLEO Y RANGO DE UN OPERADOR LINEAL 4 Núcleo Sea T : V u operador lieal Etoces el úcleo de T so todos los elemetos de V cuya image es θ : N T = ν / ν V, T ν = θ { } ( ) ( ) a N ( T ) es u subespacio de V b Dim N( T ) Dim V c N ( T ) recibe el ombre de ulidad de T 4 rago Sea T : V u operador lieal Etoces el rago de T es el cojuto de elemetos de que so imágees de al meos u elemeto de V ( T ) = { w w ; ν V; T ( ν ) w} R / = a R ( T ) es u subespacio de b R( T ) Dim Dim c Si V y so Subespacios de dimesió fiita, etoces Dim R T + Dim N T = Dim ( ) ( ) V
3 HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal 5 CLASIFICACION DE LOS OPERADORES LINEALES Sea T : V u operador lieal Etoces: 5 T es iyectivo ( ) si T( ) T( ν ) ν = ν, ν ν V =, ν ( = 0) Propiedad: T es iyectivo ( ) si N( T ) = { } Dim N( T ) 5 T es sobreyectivo si ( T ) θ R =, es decir, w ν V 53 T es biyectivo si es iyectivo y es sobreyectivo si T es biyectivo, recibe el ombre de operador regular v, tal que T ( ) = w ν si T : V es biyectivo (regular) etoces existe el operador iverso T : V 3 sea T : V co Dim V = Dim = Etoces a si T es iyectivo, etoces T es sobreyectivo b Si T es sobuyectivo, etoces T es iyectivo 6 isomorfismo Sea T ( V, ) que T es u isomorfismo o que V es isomorfo co ( V ) u operador biyectivo (regular), etoces decimos decir que afirmacioes: T : V es u isomorfismo, implica las siguietes a T es biyectivo (regular) b Dim V = Dim 3
4 HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal c N( T ) = 0 Dim d Si = { ν ν, ν } V,, es I tambié es L I e Si = { ν, ν,, ν } V = { T( ν ) T ( ν ),, T ( ν )} geera a V, etoces,, tambié geera a f Si = { ν, ν,, ν } V = { T( ν ) T ( ν ),, T ( ν )} L, etoces = { T( ν ) T ( ν ),, T ( ν )}, es ua base de V, etoces,, tambié es base de * OTRA NOTA: para establecer u isomorfismo etre dos espacios lieales, basta co establecer ua correspodecia etre sus bases caóicas 7 MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL 7 INTRODUCCION a Recordar e que cosiste el vector de coordeada b Operador idetidad: T : V V, ( x) x T = ó ( x) x I =, recibe el ombre de operador idetidad c Operador compuesto Sea T : V U, T : U dos operacioes lieales Etoces T o T V T o T x = T T x recibe el ombre de operador compuesto : co ( ) ( ( )) d Si T es u isomorfismo, etoces T o T ( x) = T o T( x) = I( x) = x 7 sea T : V u operador lieal, dode Dim V = y Dim = m ; { ν ν, } =,, ν ua base de V { w w } =,,, w m ua base de Hallar la matriz asociada a A mediate las bases y 4
5 HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal a ( x) Ax T = dode A es la matriz asociada a T mediate ua base de V y otra de (explicarlo) b Si T : V es u isomorfismo y A es la matriz asociada a T, etoces es la matriz asociada a T A 8 MATRIZ DE CAMIO DE ASE a Sea V u espacio lieal co Dim V = y sea { ν ν, } =,, ν base ordeada de V ; { µ µ, } =,, µ m base ordeada de V co b Sea x V Por su y bases de V, se tiee que: x = α ν + α ν + + α ν x = β ν + β ν + + β ν ( x) = α + α + + α ( x) = β + β + + β vector de coordeadas e vector de coordeadas e c Lo que se pretede es hallar ua matriz A tal que coocido( ) Sea I : V V co I ( x) = x por la matriz asociada teemos que [ ( x) ] A( x) V T = Def de matriz asociada [ ( x) ] A( x) T = Sustituyedo la base x, halle ( ) x : 5
6 HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal ( x ) = A( x) Por T ( x) I( x) = x = d E forma aáloga si se desea pasar la base a la se hace lo siguiete: ( x) ( x) A = caso aterior A [ A( x) ] A ( x) ( A A)( x) A ( x) ( x) A ( x) = Premultiplicado = Asociatividad = Def de iversa e idet es decir si A es la matriz de cambio de base de a, etoces matriz de cambio de base de a A es la 6
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