DETERMINANTES. det : M nxn

Transcripción

1 DETERMINNTES L utilidd de los determinntes como representción de reliddes, h sido de grn importnci en ls ciencis sociles, trvés de los modelos mtemáticos, especilmente los formuldos en términos mtriciles. Tmbién son considerdos como recursos uxilires pr determinr el cálculo de l invers de un mtriz y en l solución de sistems de ecuciones lineles. Desde est perspectiv nos h precido suficiente bordr el tem de los determinntes con un enfoque más opertivo y práctico que teórico. Est es l rzón por l cul se justific l usenci de lgunos tópicos, como l definición de determinnte en términos de permutciones, y l usenci sistemátic de demostrciones. Por tnto, el trbjo desrrollr en el presente mteril instruccionl, está dirigido dos objetivos fundmentles: El primero, estblecer ls regls pr signr cd mtriz cudrd su determinnte, y describir lguns propieddes de éste. Y el segundo, exminr dos de ls plicciones más interesntes de los determinntes: Obtención de l invers de un mtriz y solución de sistems de ecuciones. DEFINICION : Se llm determinnte un plicción del conjunto de ls mtrices cudrds de orden n en el conjunto R (números reles). det : M nxn R Est plicción hce corresponder cd mtriz cudrd de orden n un número que recibe el nombre de determinnte de l mtriz, con un criterio que describiremos más delnte. DEFINICION : El determinnte se puede representr por culquier de ls tres mners siguientes:.) det.) 9

2 .)... n... n n n... nn L últim representción del determinnte puede llevr confundir l mtriz con el determinnte de. Serí lmentble cer en tl error, pues l diferenci entre un mtriz y un determinnte es bisml: l mtriz es un conjunto de números (excepcionlmente uno solo) colocdo en fils y columns; mientrs que su determinnte es siempre un número rel, unque el vlor de éste se hlle indicdo por un conjunto de números situdos entre dos brrs..) Determinnte de un mtriz de orden x Si, [ ], entonces: det. Es decir, el determinnte de un mtriz cudrd de orden x coincide con el elemento que contiene. Ejemplo:, entonces: det.) Si, [ ] B, entonces: det B,, b.) Si, [,].) Determinnte de un mtriz de orden x Si,, entonces: det Pr recordr utilicemos l siguiente regl nemotécnic: ; Producto con signo Producto con signo Ejemplo:. ) det..

3 b.),, D det D,( ) ( ),9,.) Determinnte de un mtriz de orden x Sí,, entonces det [ ] [ ] Este método de clculr el determinnte de un mtriz cudrd de orden recibe el nombre de Regl de Srrus. Pr recordr utilicemos l siguiente regl nemotécnic: ; productos positivos: productos negtivos:... Observe que ls dos primers columns del determinnte se repiten l derech. Ejemplo: Si,,entonces: [....( ) ( )..] [( )..( ).... ] det [ ( ) ( ) ] [ ]

4 Los ejemplos desrrolldos nteriormente nos llevn pensr que ls regls pr obtener el determinnte de un mtriz de orden superior deben ser muy complejs, y lo que es peor, que si pr cd orden buscmos un regl, este tópico tiende hcerse eterno. Sin embrgo, no hy motivo pr ngustirse, pues el pso siguiente es estblecer un procedimiento generl pr clculr el determinnte de culquier mtriz cudrd. Pero con el fin de evitr que el pso se demsido lrgo, vmos introducir dos definiciones previs: menor complementrio y cofctor. Se ( ij ) un mtriz cudrd de orden n (n>) DEFINICION : El menor complementrio del elemento M ij del elemento ij es el determinnte de l mtriz de orden (n), obtenid l eliminr l fil i y l column j de ij. i DEFINICION : El cofctor C ij del elemento ij es C ( ) j ij M ij Obsérvese que:.)si (ij) es pr, entonces, el signo () ij, será positivo ()..)Si (ij) es impr, entonces, el signo () ij, será negtivo (). Ejemplo: Si, entonces: 9 M, 9 Es decir: M, y M.. M El cofctor de es: C ( ) ( ).( ) ( ) De mner nálog podemos hllr el cofctor C C ( ) M ( ). (.9.) (9 ) 9

5 Recuerd...! Pr obtener el menor complementrio de un elemento, se elimin l fil y l column donde prece dicho elemento y con los elementos restntes se form el determinnte de l mtriz resultnte. De mner generl: M M M M Pr l mtriz nterior, existen otros cinco menores complementrios: M, M, M, M y M, que se pueden obtener plicndo el mismo procedimiento. hor y está el escenrio dispuesto pr plnter el lgoritmo que nos permit clculr el determinnte de culquier mtriz cudrd..) Determinnte de un mtriz de orden nxn Psos pr clculr el determinnte de un mtriz cudrd de orden n:.) Seleccionremos un fil o column culquier..) El determinnte de l mtriz es igul l sum de los productos de los elementos de l líne selecciond por sus cofctores respectivos.

6 Este método sirve pr clculr el determinnte de culquier mtriz de orden myor que, unque, no cbe dud que pr ls de orden y es más cómodo plicr el método específico propuesto nteriormente Ejemplo: Pr ilustrr con myor clridd su plicción, utilicemos l mism mtriz que sirvió de ejemplo l regl de Srrus, pr obtener su determinnte:.) Seleccionremos un fil o un column: l column..) El determinnte de será obtenido sí: det C C C ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ). Este método conduce l mismo resultdo que l regl de Srrus. Cundo l mtriz se de orden, por ejemplo, nos encontrmos que los cofctores serán determinntes de orden. Pr evlurlos será preciso plicr cd uno el mismo procedimiento, y sí quedrán en función de determinntes de orden, los cules pueden ser evludos medinte l regl de Srrus. Est es l táctic seguid l hor de evlur determinntes de orden grnde, unque en tles csos puede ser consejble cudir un centro de cálculo pr obtenerlo con un progrm o pquete de softwre.

7 PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES.) El determinnte de un mtriz es igul l determinnte de su trspuest. t Ejemplo: Dd l mtriz:, su determinnte será:.. t Su trspuest es:.. Est propiedd permite extender ls columns de un mtriz ls propieddes del determinnte referente sus fils. Por ello, ls propieddes que se siguen ls enunciremos pr línes y no sólo pr fils o columns..) Si se permutn dos línes prlels de un mtriz, su determinnte cmbi de signo. Ejemplo: se l mtriz obtenemos otr mtriz:, Si le permutmos ls fils y B, Clculemos el determinnte de mbs, y comprobremos que poseen el mismo vlor, pero con signo contrrio. ( ) ( ) B ( ) ( )

8 .) Si se multiplic un líne de un mtriz por un esclr, su determinnte qued multiplicdo por dicho esclr. Ejemplo: Se l mtriz:, entonces: Si multiplicmos por l segund fil, tendremos l mtriz: 9 B, cuyo determinnte debe verificr que: B. En efecto: 9 B.() Recuerd...! d c b d c b ; pero d c b ; y que: d c b d c b 9.) Si un mtriz contiene un líne de ceros su determinnte es nulo. Ejemplo: se l mtriz: Su determinnte plicndo l regl de Srrus será: ( ) ( )

9 nulo..) Si un mtriz posee dos línes prlels igules, su determinnte es Ejemplo: L mtriz Su determinnte plicndo l regl de Srrus será: ( ) ( ) 9 9.) Si un líne le summos otr líne prlel multiplicd por un esclr, el determinnte no se lter. Ejemplo: El determinnte de, es: det. Si l fil le summos l primer multiplicd por, tendremos l mtriz: B, cuyo determinnte vle igul que el det. det B..) Si un mtriz tiene línes prlels proporcionles, su determinnte es nulo. Ejemplo: L mtriz, tiene dos fils proporcionles: l ª y l ª, y que l tercer se puede obtener multiplicndo l primer por. Debe suceder que su determinnte se nulo.

10 En efecto: ( ) ( ) det.) Si un líne de un mtriz se puede expresr como l sum de dos línes culesquier (unque no sen de l mtriz), el determinnte de es igul l sum de los determinntes de ls dos mtrices y que resultn de remplzr l citd líne de por cd un de ls línes sumndos. Ejemplo: se l mtriz expresr como l sum de [ ] y [ ], como l primer fil [ ] se puede, se debe verificr l iguldd:, lo cul es cierto, y que det ; y tmbién se verific que: det ( ) ( ) 9.) El determinnte de un mtriz tringulr es igul l producto de los elementos de l digonl principl. Ejemplo: El determinnte de l mtriz,es: det.., (Verifíclo plicndo Srrus )..) El determinnte de un producto es igul l producto de los determinntes de los fctores. B B, es equivlente decir: det B det. det B

11 Ejemplo: Sen ls mtrices: y B, sus determinntes serán: det y det B. Luego: det. det B ( ) ( ) L mtriz producto.b será:.b 9 El determinnte de este producto es: det B 9 9 OBTENCION DE L INVERS DE UN MTRIZ L invers de un mtriz cudrd l hemos definido como otr mtriz designd por, que verific: I DEFINICION : Invers de un mtriz cudrd de orden dos. Mx, Ejemplo: 9

12 Observe que:.. Ejemplo: (plicción de l invers de un mtriz cudrd de orden dos). L compñí LSNC invierte un totl de.. Bs, un prte de dicho monto l % y el resto l %. Los dividendos nules de mbs inversiones son igules lo que gnrí todo el dinero si estuviese l % en un ño. Cuál es l cntidd invertid cd ts de interés?. Solución: Se x l cntidd invertid l % y consideremos y l cntidd invertid l %. Entonces prtir de ls condiciones indicds en el problem podemos estblecer el sistem: ( ).... y x y x El cul se reduce l sistem equivlente: ( )..,,,.. y x y x Relizndo ls operciones pertinentes:.9... y x y x El sistem es equivlente l ecución mtricil:.9... y x. X C

13 Pr resolver el sistem, debemos plnter l ecución mtricil pr X. Es decir:. X C X Pr lo cul debemos clculr previmente l mtriz invers. C Resolviendo el sistem: X. C lo que nos indic que: x y..bs..bs son ls cntiddes invertids en cdts. (Verifíclo) DEFINICION : Invers de un mtriz cudrd de orden myor que dos. l trtr l existenci del elemento neutro en l multiplicción de mtrices, enuncimos y comentmos est definición, dejndo dos pregunts pendientes:.) Cuándo un mtriz tiene invers?.) Si l invers existe, cómo se obtiene? hor con l yud de los determinntes, ests dos pregunts tienen un respuest inmedit en dos teorems importntes. Teorem. Un mtriz cudrd tiene invers si y sólo si. Teorem. Si l invers existe, viene dd por l siguiente expresión: [ Cof ] t

14 Teniendo presente estos dos teorems se puede estblecer un regl práctic que señle un cmino pr buscr l invers de un mtriz:.) Clculr su determinnte. Sí éste es nulo, l mtriz no tiene invers y bndonmos el intento, si no es nulo, entonces l invers existe y l buscmos con el pso siguiente..) Clculr l trspuest de l mtriz de cofctores y multipliquemos por el recíproco del determinnte obtenido en el prtdo nterior. El resultdo de est operción es l invers buscd. Ejemplo: Consideremos l mtriz. El primer pso en l búsqued de l invers de será ver si ést existe o no, pr lo cul clculremos el determinnte de. ( ) ( ) det Como es distinto de cero, l invers existe y, por tnto, psmos l siguiente pso, el cul consiste en obtener l trspuest de l mtriz de cofctores. [ ] t t t cof

15 Y multiplicr por el recíproco de, con lo que obtendremos. O se: [ cof] t Pr segurrnos que l mtriz que cbmos de encontrr es l invers de, comprobemos que verific l definición de invers:. I I Ls mtrices cudrds que poseen invers, o se, quells cuyo determinnte es distinto de cero, se llmn invertibles o regulres o tmbién no singulres. Prlelmente, ls de determinnte nulo (igul cero), se llmn singulres. PROPIEDDES DE L INVERS.) L invers, si existe, es únic..) L invers de es : ( )..) L invers de l trspuest es l trspuest de l invers: ( t ) ( ) t.) El determinnte de l invers de es el recíproco del determinnte de. Es decir:.) L invers de un producto de mtrices cudrds es el producto de ls inverss en orden opuesto. ( B) B