PALABRAS CLAVES: Cadena de Markov, Martingala y Valores propios.
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- Joaquín del Río de la Fuente
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1 Scietia et Techica Año IV, No 39, Septiembre de 2008 Uiversidad Tecológica de Pereira ISSN PROPIEDADES DE LA MATRIZ Properties of the matrix EN UNA CADENA DE MARKOV i a Markov chai RESUMEN E este artículo presetamos alguos resultados de la la matriz es la matriz de ua cadea de Markov daremos la forma explicita de las compoetes de para ua matriz para ua matriz triagular iferior PALABRAS CLAVES: Cadea de Markov, Martigala Valores propios ABSTRACT I this paper presets somes results of the matrix where is the matrix of a Markov chais ad we will give the form specifies of the compoets the for a matrix ad for a low triagular matrix KEYWORDS: Chais Markov, Martigales ad Eigevalues EDGAR ALIRIO VALENCIA ANGULO Profesor Auxiliar, Magíster e Ciecias Matemáticas Departameto de Matemáticas Facultad de Ciecias Básicas Uiversidad Tecológica de Pereira evalecia@utpeduco FERNANDO MESA Profesor Titular, Magister e Istrumetació Física Departameto de Matemáticas Facultad de Ciecias Básicas Uiversidad Tecológica de Pereira femesa@utpeduco 1 INTRODUCCIÓN La teoría de los procesos estocástico resulta ser ua herramieta importate para resolver problemas e otras ramas del coocimieto como la igeiería geética, la estadística, la ecoomía e la misma matemáticas Detro de los procesos estocásticos ocupa u lugar importate, las llamadas cadeas de Markov, las cuales lleva este ombre e hoor al matemático ruso Adrei Adreevich Markov ( ) quie las defiió e (1906) E este artículo presetamos la demostració de u resultado sobre los valores propios de ua matriz estocástica de ua cadea de Markov la forma como se expresa e térmios de los valores propios de e ocasioes e térmios de los coeficietes de la matriz E el caso de ua matriz triagular iferior 3 los coeficietes de la matriz Fecha de Recepció: 4 de Juio de 2008 Fecha de Aceptació: 1 de Octubre de 2008 de ua matriz, expresamos de forma explicita Para la elaboració de este artículo seguiremos especialmete cico referecias: Burde Muñoz, Shiraev, Williams [5] 2 CADENAS DE MARKOV CON PARÀMETRO DISCRETO, Eladi Defiició 1U proceso estocástico es ua familia de variables aleatorias, defiidas todas sobre u espacio de probabilidad (, ) co valores e u mismo espacio medible (, ) es el cojuto de ídices del proceso, se llama espacio de estados sus elemetos se llama estados Usualmete so subcojutos de Defiició 2 Ua sucesió de variables aleatorias defiidas e u cojuto de estados discreto se llama cadea de Markov co parámetro de tiempo discreto si satisface la siguiete codició: P( + 1 = j / = i, 1 = i 1,, 0 = i0 ) = P( = j / = i ) + 1 para todo para todo siempre cuado las probabilidades codicioales estè defiidas
2 460 Scietia et Techica Año IV, No 39, Septiembre de 2008 Uiversidad Tecológica de Pereira Si la probabilidad codicioal del estado e la etapa al estado e la etapa, o depede de la etapa orige de la trasició, etoces las probabilidades de trasició so estacioarias la cadea de Markov se deomia homogéea Defiició 3 Se defie la matriz de trasició de la cadea de Markov como la matriz de probabilidades de trasició e ua etapa ua cadea de Markov La matriz de trasició de es estocástica si =1 para todo U resultado que demostramos a cotiuació e este articulo que se propoe e Shiraev siguiete: es el Proposició 4 Sea ua matriz estocástica u valor propio de la matriz Muestre que es u valor propio que todos los otros valores propios tiee modulo o maor a uo 1 Si todos los valores propios so distitos, etoces admite la represetació De aquí que + + luego, para, por lo tato + + Como es u valor propio arbitrario, etoces el resultado se tiee para cualquier Supogamos ahora que los valores propios so distitos, por cosiguiete la matriz es diagoalizable, por lo cual existe ua matriz ivertible tal que es ua matriz diagoal cua diagoal so los valores propios de Por lo tato luego Sea represeta las filas las columas de respectivamete e térmios de los elemetos de puede ser expresados =, luego Demostració Sea Veamos que E efecto = Por lo tato que es u valor propio de Sea u valor propio de, defiamos como es u valor propio, la compoete de es, por lo tato = Ua observació es que la matriz es ua matriz que coverge a ua matriz estocástica costate, es decir, Ejemplo 1 Si es ua matriz 2 calculemos los coeficietes de Sea = =, Resolviedo esta ecuació, usado las hipótesis, llegamos a que
3 Scietia et Techica Año IV, No 39, Septiembre de 2008 Uiversidad Tecológica de Pereira 461 Observemos que el segudo valor propio de expresado e térmios de esta Para calcular el vector propio correspodiete al valor propio resolvemos el sistema matricial usamos el hecho de que, para obteer el vector propio Para calcular el vector propio correspodiete al valor propio valor propio de, resolvemos el sistema matricial Sea, Es claro que los valores propios de la matriz so,, Para obteemos el vector propio resolviedo el sistema matricial El vector propio es Por lo tato se puede ver como Para obteemos el vector propio la primera matriz esta formada por los vectores propio ecotrados, la seguda matriz es la matriz diagoal, cua diagoal so los valores propios de la tercera matriz es la iversa de la primera matriz, es decir, resolviedo el sistema Esto implica que esto es, Fialmete para resolviedo el sistema obteemos el vector propio Resolviedo este producto de matrices llegamos a que La matriz ortogoal es por lo tato = su covergecia viee dada por la matriz su iversa es Ejemplo 2 Si es ua matriz estocástica triagular iferior 3 calculemos los coeficietes de es ua matriz diagoalizable, etoces es ua matriz diagoal cuo elemetos so los valores propios de, es decir,
4 462 Scietia et Techica Año IV, No 39, Septiembre de 2008 Uiversidad Tecológica de Pereira Por co siguiete Calculemos Resolviedo este producto de matrices obteemos = La covergecia de esta matriz es ua la matriz costate por ser cadea de Markov, luego Ejemplo 3 Sea ua cadea de Markov homogéea co espacio de estado ua matriz de trasició Sea cambiado por se tiee que satisface para todo Muestre que es ua martigala, es el algebra geerada por la sucesió de variables aleatoria Solució Recordemos el cocepto de martigala, como aparece e Williams [5], es ua martigala si es itegrable, es Como la cadea de Markok es homogéea 1 CONCLUSIONES Presetamos ua forma diferete la demostració de la Proposició 4 sobre como so los valores propios de ua matriz estocástica Como se expresa la matriz estocástica e térmios de los valores propios de, la covergecia de Hacemos la demostració de u resultado que relacioa procesos de Markov martigalas Fialmete calculamos explícitamete los coeficietes de la matriz de su limite para los casos e que es ua matriz cuado es ua matriz triagular iferior por tato 2 BIBLIOGRAFÍA [1] R L Burde, J D Faires Aálisis Numérico Grupo Editorial Iberoamérica, 1985
5 Scietia et Techica Año IV, No 39, Septiembre de 2008 Uiversidad Tecológica de Pereira 463 [2] S N Eladi A Itroductio to differece Equatios Spriger, Secod Editio, 1999 [3] M Muñoz, L Blaco Itroducció a la teoría avazada de la probabilidad Uiversidad Nacioal de Colombia, Primera edició 2002 [4] A N Shiraev Probabilit Secod Editio Academic Press, 1975 [5] D Williams Probabilit Theor with Martigales Cambridge Uiversit Press, 1997
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