MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

Transcripción

1 CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno de los números o expresión de que consta la matriz que se encuentra en la fila i y en la columna j. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa. Definición: El conjunto de todas las matrices con m filas y n columnas se denota como M mxn. Así: Definición: La dimensión de una matriz es el número de filas y columnas de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3,..., p.e. M 3 TIPOS DE Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. Según la dimensión: a) Matriz RECTANGULAR: m n, M m xn. b) Matriz CUADRADA: m=n, M n Caso particular (y especial) de las Rectangulares. Matrices RECTANGULARES: Matriz fila: está constituida por una sola fila: (2 3-1) Matriz columna: tiene una sola columna

2 Matrices CUADRADAS: Elementos de las matrices cuadradas: 1. Diagonal principal: elementos de la forma a ii, es decir en la diagonal que va desde a 11 hasta a nn. 2. Diagonal secundaria: elementos de la forma a ij donde i+j=n+1, es decir, los elementos en la diagonal que va desde a 1n hasta a n1. Diagonal Principal Diagonal Secundaria Tipos de Matrices CUADRADAS Definición: La Matriz Traspuesta A t de una matriz A es la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (o viceversa). Propiedades de la trasposición de matrices: (A t ) t =A (A±B) t =A t ±B t (K A) t =K A t (A B) t =B t A t Matriz nula O: todos los elementos son ceros. Matriz triangular superior: los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz triangular inferior: los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz diagonal: todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Matriz identidad o unidad I: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Anotaciones: Toda matriz diagonal es triangular, tanto superior como inferior, pues los elementos por encima y por debajo de la diagonal son nulos. Toda matriz escalar es diagonal. La matriz identidad es una matriz escalar.

3 Matriz Regular o Inversible: es una matriz cuadrada que tiene inversa : Si A -1 A A -1 =A -1 A=I Matriz Idempotente: si se cumple que A 2 = A Matriz Simétrica: si se verifica que: A = A t. Matriz Singular: matriz no tiene matriz inversa. Matriz Involutiva: si se cumple que A 2 = I. Matriz Antisimétrica o hemisimétrica: si se verifica que: A = -A t Matriz ortogonal: si se verifica que A A t = I. Matriz Opuesta: -A=(-a ij ), siendo A=(a ij ) OPERACIONES CON 1. IGUALDAD DE Definición: dos matrices A y B se dicen que son iguales (A=B) si se cumplen: - misma dimensión 2. SUMA DE - elementos que ocupan el mismo lugar son iguales: (a ij )=(b ij ) Definición: Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a ij ) y B=(b ij ), se define la matriz suma como: A ± B=(a ij )±(b ij )= (a ij ± b ij ). Es decir, A ± B se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición. ; Propiedades de la suma de matrices Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A (O es la matriz nula). Elemento opuesto: A + (-A) = O Conmutativa: A + B = B + A (no la diferencia) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Definición: Dada una matriz A=(a ij ) de dimensión m x n y un número real k, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento de la matriz A está multiplicado por k: K A=K (a ij )=(k a ij ) Propiedades: p (q A) = (p q) A; A M mx n ; p,q k (A + B) = k A + k B; A,B M m x n, a (p+q) A = p A + q A; A M m x n, a, b 1 A = A; A M mxn

4 3. PRODUCTO DE Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. M m x n x M n x p = M m x p Definición: El producto de la matriz A=(a ij ) M mxn y B=(b ij ) M nxp es otra matriz C=A B M mxp, con igual nº de filas que A y de columnas que B, tal que el elemento de la matriz C que ocupa la fila i y columna j, c ij se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz con la columna j-ésima de la segunda. F i x C j 2 x 3 3 x 2 2 x 2 Propiedades del producto de matrices Asociativa: A (B C) = (A B) C Elemento neutro: A I=I A=A (I=matriz identidad del mismo orden que A). No es Conmutativa: A B B A Distributiva del producto respecto de la suma: A (B + C) = A B + A C MATRIZ INVERSA Definición: la matriz inversa de una matriz cuadrada A M n es otra matriz cuadrada de misma dimensión que se denota como A -1 M n, tal que se cumple: A A -1 =A -1 A=I Propiedades: (A B) -1-1 =B -1 A (A -1 ) -1 =A (k A -1-1 )=k -1 A (A t ) -1 =(A -1 ) t El método más sencillo para el cálculo de la inversa lo veremos en el tema siguiente, cuando definamos el determinante de las matrices. Para matrices 2x2 podemos calcular la inversa a partir de la definición (ejemplificar). Ejemplo: Calcular la inversa de la matriz, ayuda:

5 RANGO DE UNA MATRIZ Definición: Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una fila (o columna) es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas. Una fila (o columna) es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: rang(a) o r(a). Cálculo por el método de Gauss Podemos descartar una línea si: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras. F 3 = 2F 1 ; F 4 es nula; F 5 = 2F 2 + F 1 r(a) = 2. En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas. F 2-3F 1 F 3-2F 1 Por tanto r(a)= 3.

6 APLICACIONES DE LA MATRIZ INVERSA PARA RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES

7 EJERCICIOS RESUELTOS DE

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9 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.-Calcular la matriz solicitada en la siguiente ecuación matricial: 2.-Sacar factor común en estas matrices: 3.-Resolver:. 4.-Sean las matrices:. Calcular: 3A-5B; A B; B A;A Resolver los sistemas: { { 6.-Resolver las incógnitas: 7.-Calcular las matrices que conmuten con. 8.-Dada la matriz. Calcular: A n, A 50, A Dada la matriz. Calcular B n. 10.-Demostrar las propiedades de la matriz traspuesta de. 11.-Dada la matriz. Calcular K para que se cúmpla: (A-kI 3 ) 2 = Si A y B son matrices diagonales de orden 2, demostrar que A B=B A. Hallar aquellas matrices diagonales que cumplan A 2 =I 2.