SÍNTESIS DE FILTROS DIGITALES

Transcripción

1 Prácticas de la Asignatura Tratamiento Digital de Señales SÍNTESIS DE FILTROS DIGITALES Fernando Cruz Roldán

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3 Índice Práctica de Diseño de Filtros Digitales. Práctica de Efectos de la Cuantificación de los Coeficientes en Filtros Digitales. 35

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5 Práctica de Diseño de Filtros Digitales A. OBJETIVOS Los filtros digitales se pueden clasificar en dos grandes grupos: aquellos que presentan una respuesta al impulso de duración infinita (IIR) y, por el contrario, los sistemas FIR o de respuesta al impulso finita. En el apartado de fundamentos teóricos se van a introducir los conceptos fundamentales que caracterizan a cada uno de los grupos, para a continuación estudiar con detalle las técnicas más empleadas en la etapa de aproximación o cálculo de los coeficientes. Para sistemas IIR se van a presentar los métodos de ubicación de polos y ceros, y el diseño de filtros digitales a partir de prototipos analógicos. Se emplearán las transformaciones invariante de impulso y bilineal. En este apartado se pretende que se distingan las diferencias que se producen al emplear cada una de ellas, y que se elija en cada momento y en función del tipo de filtro, la más apropiada. Una de las características más importantes de los sistemas FIR se debe a que pueden presentar una fase de la respuesta en frecuencia lineal. Se estudiarán las condiciones que debe cumplir la respuesta al impulso y los distintos grupos de filtros FIR que tienen fase lineal. En la etapa de aproximación se desarrollará el método de la Transformada de Fourier o de la ventana. El objetivo fundamental será apreciar la influencia de la longitud y de la forma de diversas ventanas, y cómo queda afectada la respuesta en frecuencia del filtro deseado al truncar su respuesta al impulso. En la realización de la práctica se van a diseñar filtros digitales siguiendo todos los métodos desarrollados en los fundamentos teóricos, y además se dedicará un apartado al diseño de filtros FIR por el procedimiento de Pars-McClellan, el cual obtiene filtros óptimos en el sentido de Chebyshev.

6 2 Tratamiento Digital de Señales B. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. DISEÑO DE FILTROS IIR. Propiedades de los filtros IIR Para sistemas IIR la relación entrada-salida viene establecida por la expresión (.). M Ν = = [ n] = b x[ n ] + a y[ n ] y (.) Estos sistemas no pueden realizarse de forma no recursiva, ya que para calcular la salida en el instante "n" hemos de considerar las salidas en los instantes "n-", necesitando la estructura lazos de realimentación. Estas realizaciones realimentadas son potencialmente inestables. Para calcular la salida por la expresión (.) necesitamos N+M+ multiplicaciones y N+M sumas. Sin embargo, empleando la expresión establecida para la convolución directa (.2) el número de operaciones se haría infinito. [] n h[][ x n ] y = = La función de sistema se rige por la expresión.3. Η M b z n Υ( z) = z = = Χ( z) Ν n= a z = ( ) = h[] n (.2) z (.3) Dicha función no puede tratarse en forma de polinomio, pues tendría infinitos términos, sino como una función racional, cociente de dos polinomios, que tendrá polos en puntos finitos del plano z en general situados fuera del origen, lo cual no ocurre en los sistemas F.I.R.. La presencia de estos polos proporciona mayor flexibilidad y potencia en el problema de la aproximación, pero conlleva otras dificultades. Normalmente un filtro I.I.R. necesita menos coeficientes que el correspondiente F.I.R. para las mismas especificaciones. Se emplean cuando se requieren transiciones abruptas y alto rendimiento. El precio que se paga es que se convierta en inestable o se degraden las características en frecuencia si no se toman algunas precauciones. La respuesta en frecuencia (.4) se obtiene, si el sistema es estable, particularizando en la función del sistema los puntos z en la circunferencia de radio unidad z = e jω. M jω b e jωn = e = Ν n = jω ae = ( ) = [] n Η Ω h (.4) Los sistemas I.I.R. no van a poder presentar una característica de fase exactamente lineal si queremos que sean causales. La solución más habitual se basa en aproximar el

7 Tratamiento Digital de Señales 3 módulo de la función de transferencia sin preocuparnos de la fase, bien porque no sea importante o bien porque se ajuste en una etapa posterior de tipo paso-todo. Si los coeficientes a y b de H(z) son reales, los polos y los ceros aparecen por parejas conjugadas o son reales. Para que el sistema sea estable y causal todos los polos deben situarse exactamente en el interior de la circunferencia unidad (o ser coincidentes con ceros en dicha circunferencia), no habiendo restricción para los ceros..2 Especificaciones del filtro Para filtros selectivos en frecuencia (paso bajo, paso banda,...) las especificaciones se suelen dar como un esquema de tolerancia. Para un filtro paso bajo podemos tener la plantilla representada en la figura.. fig..: Plantilla de especificaciones para un filtro IIR paso bajo. Para especificar la respuesta en frecuencia se emplean unos parámetros: ε 2 : δ p : δ s : Ω p : parámetro de rizado de la banda de paso desviación de la banda de paso desviación de la banda eliminada pulsación de corte de la banda de paso Ω s : pulsación de corte de la banda eliminada En algunas ocasiones las frecuencias de corte se dan normalizadas con respecto a la frecuencia de muestreo, debiendo expresar las unidades correctamente. Para filtros I.I.R. el rizado de la banda de paso se suele indicar como la diferencia entre el máximo y el mínimo de la desviación en la banda de paso. Sin embargo para filtros F.I.R. el rizado de la banda de paso es la diferencia entre la respuesta ideal y la máxima (o la mínima) desviación en la banda de paso. Es decir, en sistemas I.I.R., el rizado de la banda de paso es el rizado pico a pico en dicha banda.

8 4 Tratamiento Digital de Señales.3 Etapa de aproximación El objetivo de esta etapa es seleccionar un método de aproximación para calcular los coeficientes a y b, de manera que el módulo de la respuesta en frecuencia se ajuste a la plantilla de especificaciones. El método más sencillo consiste en colocar los polos y los ceros en el plano z a simple vista, de forma que se obtenga la respuesta en frecuencia deseada. Otros métodos más eficientes se van a basar en diseñar el equivalente analógico que cumpla las plantillas dadas, y convertirlo en uno digital. Estos últimos son los que más se suelen utilizar..3. Método de colocación de polos y ceros Este método se basa en la propia definición de polo y cero. Un cero es un punto del plano z en el que la función del sistema se hace nula, mientras que en un polo el valor de Η z dicha función tiende a infinito. En puntos del plano z próximos a un polo, el valor del ( ) es elevado, mientras que en puntos cercanos a un cero el valor del Η ( z) se reduce considerablemente. Este método consiste en colocar los polos y los ceros en el plano z de manera que se obtenga un módulo de la respuesta en frecuencia aproximado al que se desea. Como la respuesta en frecuencia se evalúa en la circunferencia de radio unidad del plano z, si existe un polo próximo a dicha circunferencia, el valor de Η( e jω ) será elevado en aquellos puntos cercanos a dicho polo. Si se coloca un cero cercano a dicha circunferencia, se conseguirá reducir el valor del Η( e jω ). Se obtiene atenuación total en una frecuencia Ω situando un cero en z = e jω. Así, se pueden diseñar distintos filtros en los que no se especifica de manera meticulosa la plantilla de especificaciones y calcular de manera sencilla filtros paso bajo, paso alto,.... Es obvio que este método se emplea en contadas ocasiones y para funciones de sistema extremadamente simples..3.2 Diseño de filtros IIR a partir de prototipos analógicos Es la forma tradicional de diseño de sistemas I.I.R. por varias razones: El diseño de filtros analógicos es un problema muy estudiado. En bastantes aplicaciones interesan filtros digitales que simulen el funcionamiento de un filtro analógico. Los métodos de aproximación convencionales funcionan bien en los filtros analógicos pero no dan lugar a fórmulas sencillas de diseño cuando se aplican directamente a los sistemas discretos. Los métodos se basan en el diseño del equivalente analógico que cumpla las plantillas dadas para convertirlo posteriormente en uno digital. La especificación de partida se hará siempre en el dominio discreto. Aprovechando que el diseño de filtros analógicos es un campo bien estudiado, se traslada el problema de la aproximación al dominio s. De aquí se obtendrá una función del sistema analógico Η a ( s) (expresión (.5)).

9 Tratamiento Digital de Señales 5 H a () s = M = N = β s α s = M = N ( s c ) ( s d ) = (.5) Una vez que se han obtenido los coeficientes {β } y {α }, o bien los ceros y los polos {c } y {d } del filtro analógico, se emplean algunas transformaciones para convertirlo en un filtro digital. Esta técnica será efectiva si tiene unas propiedades: a. El eje "jω" del plano s debería transformarse en la circunferencia unidad del plano z. De esta forma la transformación conserva en lo esencial el comportamiento en frecuencia del sistema continuo. b. La transformación debe conservar la estabilidad del sistema. Cada punto del semiplano izquierdo del plano s debería transformarse en otro interior a la circunferencia unidad. Existen diversos métodos para realizar la conversión de la función de sistema analógica en la digital, destacando por su utilización la transformación invariante de impulso y la transformación bilineal. La relación dificultad/eficiencia de estas técnicas es muy baja Transformación invariante de impulso Se basa en tomar como respuesta al impulso del filtro digital una versión muestreada de la respuesta al impulso del sistema de tiempo continuo empleando un período de muestreo T (expresión.6). Dicho valor es irrelevante cuando la especificación original se da en el dominio discreto. Además, no tiene porqué coincidir con el valor del período que introduce el convertidor A/D. [ n] h ( n T ) h = a (.6) Cuando empleamos la transformación invariante de impulso para diseñar un sistema de tiempo discreto a partir de una especificación de su respuesta en frecuencia, es especialmente importante la relación entre las respuestas en frecuencia de los sistemas de tiempo continuo y discreto. Si prescindimos del solapamiento (suponiendo espectros limitados en banda muestreados a suficiente velocidad), las frecuencias de los sistemas de tiempo discreto y de tiempo continuo se relacionan de forma lineal como se indica en la expresión (.7). El primer problema surge porque no hay sistemas analógicos limitados en banda y el solapamiento será inevitable. Ω = ω T (.7) Para demostrar cómo se consigue el sistema de tiempo discreto, vamos a partir de la función de sistema dada en la expresión (.5). Supondremos que M < N y que todos los polos de H a (s) son simples. En caso contrario el método se complica, necesitando realizar algunas modificaciones en lo que se explica a continuación. En primer lugar se desarrolla en fracciones simples la función de sistema (.8), donde las constantes A se calculan a partir de la expresión (.9). H a () s = N K ( s d ) = A (.8)

10 6 Tratamiento Digital de Señales ( s) ( s d ) s d A H a = = (.9) La respuesta al impulso del sistema causal de tiempo continuo resultante (.) se obtiene calculando la Transformada Inversa de Laplace. La respuesta al impulso del sistema de tiempo discreto (.) será la del sistema analógico muestreada a /T muestras por segundo. h h a N d t () t = A e u() t = N d T n [] n = h ( nt ) = A e u[] n a = (.) (.) La función del sistema se obtiene calculando la Transformada Z de la respuesta al impulso h[n]. H N n d T ( z) = h[ n] z = A ( e ) n n H z (.2) n= n= = N d T ( z) = A ( e z ) = n= n = N A = ( d T e z ) (.3) De las expresiones (.8) y (.3) se deduce que un polo en s = d en el plano s se T transforma en un polo en z e d =, siendo los residuos de los desarrollos en fracciones simples iguales. La figura.2 muestra la transformación del plano s en el plano z. Cada banda horizontal del plano s de anchura 2π/T se transforma en todo el plano z. Por tanto, para que el filtro digital se corresponda exactamente con el analógico de partida es necesario que este último sea de banda limitada, es decir, que H a (ω)= para ω >π/t. fig..2: transformación de planos empleando la transformación invariante de impulso. Las características del filtro digital diseñado son: Tiene el mismo número de polos que el prototipo analógico.

11 Tratamiento Digital de Señales 7 T La transformación de los polos s = d en z e d = garantiza el mantenimiento de la estabilidad en la transformación. Cuando el solapamiento sea irrelevante, la respuesta en frecuencia es una versión plegada de la respuesta en frecuencia del filtro analógico, conservándose las propiedades óptimas de este. En resumen: a. La respuesta al impulso del filtro discreto es idéntica a la del filtro analógico en los instantes t = n T. b. La frecuencia de muestreo afecta a la respuesta en frecuencia del filtro invariante al impulso. Se necesita una frecuencia muy alta para que el sistema discreto sea igual que el analógico. c. El método debe usarse para filtros paso bajo con banda de transición muy reducida, y empleando una frecuencia de muestreo elevada. No puede emplearse para filtros paso alto o filtros banda eliminada, pues el solapamiento en estos es inevitable Transformación bilineal El método descrito en el apartado anterior tiene un grave inconveniente: la transformación de cada tramo de longitud 2π/T del eje jω del plano s en toda la circunferencia de radio unidad va a conllevar en ocasiones un solapamiento, de forma que la técnica es impracticable en algunos tipos de filtros. Con la transformación bilineal evitamos esos problemas. Las relaciones algebraicas que la caracterizan son las indicadas en.4. 2 s = T T + s ( z ) = 2 z ( + z ) T s 2 (.4) Esta transformación conserva el comportamiento en frecuencia del sistema continuo, ya que si s=jω, se tiene el cociente de dos números complejos conjugados, luego z = para cualquier valor de ω. Con esto se demuestra que el eje jω se transforma en la circunferencia unidad del plano z. Cada uno de los valores de ω se transforma en un solo punto de Ω, de forma que π < Ω π. Podemos establecer que si s, en el plano z tenemos z = -. Si s =, el nuevo punto es z =. T + 2 z = T 2 jω jω (.5) La transformación bilineal también mantiene la estabilidad del sistema, ya que si σ < (cualquier punto del semiplano izquierdo de s) se obtiene que z <. Esto significa que dicho semiplano izquierdo de s se transforma en el interior de la circunferencia unidad del plano z. El resultado de la transformación se puede observar en la figura.3. T ( ) T T + σ + jω + σ + jω z = = (.6) T ( ) T T σ + jω σ jω 2 2 2

12 8 Tratamiento Digital de Señales fig..3: transformación de planos empleando la transformación bilineal. La función del sistema del filtro digital se obtiene mediante un cambio de variable en la función de sistema del filtro analógico (expresión.7). Hay que advertir que si bien se conserva el orden del denominador en ambos sistemas, sin embargo, el orden del numerador puede ser mayor en el sistema discreto que en el continuo debido a que los ceros en del plano s se transforman en ceros en z = -. ( z) = H ( s) ( 2 z ) s= T ( + z ) H (.7) La transformación bilineal presenta como inconveniente que aparece distorsión en el eje de frecuencia digital Ω. Si se estudia la relación entre los dos ejes de frecuencia se podrá corregir la distorsión en la etapa de diseño del filtro. Esta relación se puede obtener comprobando en qué se transforma el eje jω (expresiones.8 y.9). jω ( e ) jω ( + e ) ( Ω 2) ( Ω 2) 2 2 sen 2 Ω jω = j = j tg (.8) T T cos T 2 Ω ω T = 2 tg (.9) 2 En la figura.4 se representa la función establecida por (.9). En la figura.5 se puede observar el efecto que trae consigo la relación no lineal que existe entre la frecuencia analógica y la digital. Esta no linealidad limita la aplicación de la transformación bilineal a respuestas en frecuencia analógicas idealmente formadas por tramos constantes, caso en el que se mantienen las características del diseño analógico (decrecimiento monótono, rizado constante, etc.).

13 Tratamiento Digital de Señales 9 π Ω ω π fig..4: transformación del eje de frecuencias de tiempo continuo en la circunferencia de radio unidad. ω F HG I K J 2 tan Ω T d 2 Ω fig..5: representación del efecto de la no linealidad en la aplicación de la transformación bilineal. Por ello, cuando las especificaciones se dan en el dominio discreto es conveniente realizar una predistorsión de los valores extremos de las bandas para fijar la especificación del filtro analógico de partida. Se puede resumir el método de la transformación bilineal en los pasos siguientes: Especificar el conjunto de frecuencias críticas {Ω } del filtro digital deseado. No hay limitación para el número de estas frecuencias. Predistorsionar dichas frecuencias críticas para obtener las frecuencias críticas analógicas {ω } mediante la expresión (.2). Ω ω = 2 tg (.2) T 2 Diseñar un filtro analógico con las frecuencias críticas analógicas calculadas. Las aproximaciones más utilizadas en esta fase son las de Butterworth, Chebyshev o elíptica. Obtener la función del sistema discreto empleando la transformación bilineal (expresión.7) Cuando no interesa mantener la respuesta al impulso o la fase de la respuesta en frecuencia del filtro analógico, la transformación bilineal siempre resulta mejor que la invariante de impulso debido a que no tiene problemas de solapamiento.

14 Tratamiento Digital de Señales.3.3 Transformación de frecuencias Hasta aquí hemos estudiado cómo obtener filtros paso bajo digitales a partir de prototipos analógicos, también paso bajo. Cuando se desean filtros con otro comportamiento en frecuencia como paso alto, paso banda o banda eliminada se parte también de un prototipo analógico paso bajo al que hay que aplicar dos transformaciones: Una para convertir el filtro analógico en digital. Otra para trasladar la banda de paso donde sea conveniente (será la transformación de frecuencias). Estas dos operaciones se pueden hacer en el orden que queramos (figura.6), pero si realizamos primero la transformación de frecuencias no podemos aplicar la transformación invariante de impulso. Filtro paso bajo analógico Filtro analógico transformado Filtro discreto H a () s H a ( λ) H d () z Filtro paso bajo analógico Filtro paso bajo discreto Filtro discreto H a () s H l ( ϑ) H( z) fig..6: operaciones de conversión de un filtro paso bajo analógico en un filtro digital. Las transformaciones de frecuencia en el plano z son muy similares a la transformación Η ϑ la función del sistema discreto paso bajo obtenida a partir del prototipo bilineal. Sea l ( ) analógico, y ( z) Η la función del sistema discreto transformado. La proyección del plano θ sobre el plano z se define a través de una función G( ) Η ϑ es la función racional de un sistema causal y estable, se debe (expresión.2). Si l ( ) conseguir que ( z) Η (.22) sea una función racional también de un sistema causal y estable. ( ) ϑ = G z (.2) Η ( z) = Ηl ( ) = ( ϑ G z ) ϑ (.22) Por otra parte, la transformación G( ) debe controlar el comportamiento en frecuencia del filtro transformado a partir del comportamiento en frecuencia del filtro prototipo. Para satisfacer estas necesidades, la función de transformación G( ) debe presentar las siguientes características:. ( z ) G debe ser una función racional de z El interior del circulo unidad del plano θ debe proyectarse en el interior del circulo unidad del plano z. 3. La circunferencia unidad del plano θ debe proyectarse en la circunferencia del plano z. Las funciones que realizan las transformaciones de frecuencias más utilizadas se indican en la tabla., donde Γ y Ω representan respectivamente las variables de frecuencia en los planos θ y z.

15 Tratamiento Digital de Señales Tabla.: Transformaciones de frecuencias más usuales Tipo de filtro Transformación Fórmulas de diseño asociado Paso bajo ϑ α α = z z α= + sen sen frecuencia de corte deseada Γ Π Γ Π Π p p p p p 2 2 : Paso alto ϑ α α = + + z z α= + cos cos frecuencia de corte deseada Γ Π Γ Π Π p p p p p 2 2 : Paso banda ϑ α ακ = z K z z z Κ Κ Κ Κ Κ Κ α= + = cos cos cotg. tg frecuencia inferior de corte deseada frecuencia superior de corte deseada Π Π Π Π Κ Γ Π Γ Π Π p p p p p p p p p : : Banda eliminada ϑ α α = z z z z Κ Κ Κ Κ Κ Κ α= + = cos cos tg. tg frecuencia inferior de corte deseada frecuencia superior de corte deseada Π Π Π Π Κ Π Π Γ Π Π p p p p p p p p p : :

16 2 Tratamiento Digital de Señales 2. DISEÑO DE FILTROS FIR 2. Propiedades de los filtros FIR Los filtros F.I.R. son sistemas que por definición presentan una respuesta al impulso de duración finita. Si se considera al sistema causal, la expresión (.23) caracteriza a un filtro F.I.R. de coeficientes b. L = [] n = b [ n ] h δ (.23) La salida se puede calcular mediante convolución directa de la entrada con la respuesta al impulso (expresión (.24)). L = [] n = h[][ x n ] y (.24) La función de sistema que caracteriza al filtro es la Transformada Z de la respuesta al impulso (.25). L n H ( z) = h[] n z = b z (.25) n= = Las características más importantes de estos sistemas son: Pueden presentar una característica de fase exactamente lineal. Esto ocurre si la respuesta al impulso cumple la expresión (.26) para n=,,... (L-). h[ n] = ± h[ L n] (.26) Si se emplean estructuras no recursivas son estables. Entonces, para calcular la respuesta en frecuencia del filtro basta con evaluar la función de sistema en la circunferencia unidad (expresión.27). Dicha respuesta en frecuencia H(Ω) toma valores complejos y es periódica de período 2π. Es una función de la variable continua Ω, a pesar de que h[n] sea una función de variable discreta. L ( ) jωn H Ω = h[] n e (.27) n= Los filtros F.I.R. son muy fáciles de realizar. La mayoría de los procesadores de señales digitales tienen unas arquitecturas internas que hacen factible su construcción. Los filtros F.I.R. no recursivos son menos sensibles a los efectos de longitud de palabra finita que los IIR, ofreciendo diversas ventajas en los cálculos que conlleva el filtrado. 2.2 Filtros FIR de fase lineal Como ya se ha comentado, una de las propiedades más importantes que pueden presentar los filtros FIR es la posibilidad de disponer de una fase de la respuesta en frecuencia exactamente lineal. Cuando una señal atraviesa un filtro se modifica su característica de amplitud y de fase. Esta variación va a depender del módulo y de la fase de la respuesta en

17 Tratamiento Digital de Señales 3 frecuencia que presente el filtro. El retardo de fase y de grupo proporcionan una medida de cómo el filtro va a llevar a cabo estas modificaciones. Un filtro que presente una característica de fase no lineal ocasionará una distorsión de fase en la señal que lo atraviese, pues cada componente en frecuencia sufre un retardo no proporcional a dicha frecuencia, modificándose la relación entre armónicos. Se puede evitar empleando filtros con características de fase exactamente lineal en determinadas bandas de frecuencia. Un filtro tiene fase de la respuesta en frecuencia lineal si ésta satisface cualquiera de las relaciones (.28) ó (.29), con α y β constantes. Si el filtro tiene la respuesta al impulso con simetría par con respecto al punto central de la secuencia (.3), satisface la primera condición y tendrá constantes el retardo de fase y de grupo. En este caso la fase de la respuesta en frecuencia es función de la longitud del filtro (.3). ( Ω) = αω ϕ (.28) ( Ω) = β αω ϕ (.29) ( L ) 2 ( L 2 ) n =,... para L impar h [] n = h[ L n ] (.3) n =,... para L par L ϕ ( Ω) = Ω (.3) 2 Cuando se satisface (.29), la respuesta al impulso presenta simetría impar (expresión (.32)), y el filtro sólo tiene retardo de grupo constante, con una fase de la respuesta en frecuencia como se establece en la expresión (.33). ( L ) 2 ( L 2 ) n =,... para L impar h [] n = h[ L n ] (.32) n =,... para L par π L ϕ ( Ω) = Ω (.33) 2 2 En la tabla.2 se indica la clasificación existente para los filtros FIR de fase lineal según su simetría y el número de coeficientes. Tabla.2: filtros de fase lineal. SIMETRÍA número de coeficientes L Tipo de filtro PAR IMPAR I h[n]=h[l-n-] PAR II IMPAR IMPAR III h[n]=-h[l-n-] PAR IV Es importante indicar que en los cuatro tipos de filtros se puede demostrar que si aparece un cero en cualquier punto z del plano z, debe ir acompañado de otro recíproco. Si además la respuesta al impulso es real, la función del sistema H(z) será una función racional con coeficientes reales, y cada cero debe ir acompañado por su conjugado ( z )

18 4 Tratamiento Digital de Señales conjugado. En consecuencia, en este tipo de sistemas los ceros aparecen por cuartetos recíprocos conjugados con las siguientes excepciones:. Los ceros sobre la circunferencia unidad (salvo en z = ±) aparecen por parejas, ya que coinciden con sus recíprocos. 2. Los ceros reales no situados en la circunferencia unidad aparecen por parejas, pues coinciden con sus conjugados. 3. Los ceros en z =± coinciden con su recíproco y su conjugado, pudiendo aparecer solos. Se puede demostrar que en los filtros tipo II debe aparecer un cero en z =, lo que significa que no pueden realizar características paso alto, que en los filtros tipo III deben aparecer ceros en z = y z =, con lo que no sirven para sistemas que permitan el paso de las bajas y/o de las altas frecuencias, y que para los tipo IV el cero obligatorio se sitúa en z =, con lo que no se pueden emplear como filtros paso bajo. 2.3 Etapa de aproximación: método de la Transformada de Fourier o de la ventana Como ya se ha indicado, un filtro FIR se puede caracterizar por las expresiones (.24) y (.25). En la etapa de aproximación, el objetivo final consiste en calcular los coeficientes del filtro (o valores de la respuesta al impulso h[n]) de forma que se cumplan las especificaciones de partida. Hay distintos métodos para obtener dichos coeficientes, destacando entre ellos los métodos de la ventana, de muestreo en frecuencia y de Pars-McClellan. Aunque en este apartado se analiza con detalle el primero, en la realización de la práctica se diseña un filtro empleando el tercer método. El método de la transformada de Fourier o de la ventana consiste en obtener una aproximación del filtro ideal mediante un FIR de duración L, multiplicando las muestras de este filtro ideal por distintas funciones de ventana. Es un procedimiento muy sencillo y flexible que puede aplicarse a cualquier respuesta en frecuencia. Partimos de la función de transferencia ideal H ( Ω) I, la cual se puede relacionar con la respuesta al impulso h I [] n a través de las ecuaciones de análisis y síntesis de la Transformada de Fourier (expresiones (.34) y (.35)). I I n = ( Ω) = h [] n jωn H e (.34) jωn hi [] n = H I ( Ω) e dω (.35) 2π 2π En bastantes ocasiones la respuesta en frecuencia del filtro a aproximar ( Ω) H I contiene discontinuidades o transiciones abruptas, como es el caso del filtro ideal, que no presenta banda de transición. Estos requisitos van a implicar que la respuesta al impulso h I [ n] presente una duración muy larga o incluso infinita, lo cual puede conducir a soluciones muy difíciles de realizar o, a veces, imposibles. La opción sería llegar a un compromiso entre el comportamiento en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Para realizar aproximadamente el filtro dado se puede truncar la respuesta al impulso deseada [] n, ignorando los valores de las muestras de las colas (cuya amplitud es muy h I

19 pequeña), obteniendo de esta forma una [ n] Tratamiento Digital de Señales 5 h A (respuesta al impulso aproximada) finita que desplazada puede representar a un filtro F.I.R. causal. Cuantas más muestras se tomen de h I [] n, mejor será la aproximación de la característica en frecuencia, pero el filtro será más caro de realizar y presentará mayor retardo. El truncado efectuado sobre la respuesta al impulso deseada h I [] n para obtener la aproximada h A [] n se puede expresar como el resultado de multiplicar la primera por una secuencia de duración limitada w[n] que recibe el nombre de ventana de observación o simplemente ventana. La operación que realizamos en el dominio del tiempo viene indicada por (.36), y su respuesta en frecuencia resultante por (.37). h A [ n] h [ n] w[ n] = (.36) I H A( Ω) = [ H I ( Ω) W ( Ω) ] (.37) 2π W Ω = δ Ω, pero la secuencia asociada a esta =, la cual no produce ningún truncado. La ventana ideal sería aquella en que ( ) ( ) transformada es w[] n n La ventana más simple es la rectangular (figura.6), que tiene como transformada de Fourier W R ( Ω) una función sinc (figura.7). Al convolucionar W R ( Ω) con H I ( Ω) da lugar a un filtro H A( Ω) cuyo módulo de la respuesta en frecuencia presenta oscilaciones y una banda de paso distorsionada. Estos efectos indeseados son ocasionados por los lóbulos secundarios de W R ( Ω). Según aumenta la longitud de la ventana (o el número de muestras de W Ω se hacen más estrechos. h A [] n ), el lóbulo principal y los laterales de ( ) Por tanto: La ventana ideal es W ( Ω) = δ ( Ω) R. Esta no produce truncado. Si la anchura del lóbulo principal del espectro de la ventana es distinta de cero, aparece la banda de transición. Si existen lóbulos laterales en dicho espectro, tendremos distorsión en la banda de paso y en la atenuada. Para una ventana dada, la amplitud relativa de los lóbulos permanece invariante al modificar el valor de la longitud.

20 6 Tratamiento Digital de Señales Amplitud Indice fig..6: ventana rectangular de duración L= db`s fig..7: módulo del espectro de la ventana rectangular (L= 63). Veamos cómo se puede evitar el efecto de las oscilaciones en las bandas de paso y eliminada. Es evidente que la amplitud de los lóbulos secundarios viene determinada por la forma de w[n]. Si la ventana presenta cambios abruptos en el dominio del tiempo (como la ventana rectangular) los lóbulos secundarios tendrán amplitudes considerables. Entonces, una forma de evitar el efecto de dichas oscilaciones consiste en utilizar ventanas cuyos valores en amplitud en el dominio del tiempo caigan a cero gradualmente. Sin embargo, con este tipo de

21 Tratamiento Digital de Señales 7 ventanas la anchura del lóbulo principal de W ( Ω) aumenta considerablemente y con ella la banda de transición de H A( Ω). Cuanto mayor es la anchura del lóbulo principal de W ( Ω), más considerable es ese efecto. De este modo, el precio que se paga en H ( Ω) al reducir el efecto de las oscilaciones en las bandas de paso y eliminadas (utilizando ventanas con lóbulos secundarios de amplitud pequeña) es aumentar la anchura de la banda de transición. Para reducir la anchura de dicha banda basta con aumentar la longitud de la ventana, pero el filtro aumenta el orden. Así, se puede establecer que la anchura de la banda de transición del filtro aproximado depende de la anchura del lóbulo principal del espectro de la ventana. Al estrecharse el lóbulo principal, la anchura de la banda de transición se reduce. Por otro lado, el rizado y las oscilaciones dependen de la amplitud máxima relativa del lóbulo principal con respecto a los laterales, y ésta permanece constante siempre que se emplee la misma forma de ventana. La reducción de la anchura de la banda de transición y las oscilaciones de forma simultánea no es posible, ya que son efectos contradictorios. Sin variar la duración N, cambiando de ventana se puede disminuir la amplitud máxima relativa, pero a costa de aumentar la anchura del lóbulo principal. VENTANA w [] n ( M n M ) Tabla.3: funciones de ventanas típicas. A * A LP A i Rectangular 4 ( 2M + ) Hanning Hamming Blacman 2πn + cos 2 2M + 2πn cos 2M + 2 n 4πn cos +.8 cos 2M + 2M + A sb ΔΩ π 3' π M ( 2M ) 8 π π M ( 2M ) π 2 ( 2M + ) 8 π π M π π M A * LP : anchura del lóbulo principal. A * i : amplitud máxima relativa (en db's) de los lóbulos laterales. A sb : atenuación mínima (en db's) en la banda eliminada. ΔΩ: anchura de la banda de transición. Hay distintas funciones de ventana que se caracterizan por una respuesta en frecuencia adecuada para el diseño de filtros. Algunas de las más populares son las que se indican en la tabla.3. La ventana triangular o de Bartlett se puede obtener como el resultado de la convolución de dos rectangulares, y consigue aumentar la amplitud máxima relativa del lóbulo primario al secundario (de -3'5 dbs a -27 dbs) a costa de ensanchar el lóbulo principal (de 4 π L a 8 π L ). Otras ventanas de gran aceptación son las Hanning y Hamming, ya que llegan a un buen compromiso entre la selectividad del filtro deseado (lóbulo principal estrecho) y el rizado en las bandas de paso y atenuada (lóbulos laterales de amplitud pequeña).

22 8 Tratamiento Digital de Señales En todas las ventanas de la tabla.3 el compromiso entre lóbulo principal y secundarios es fijo. En la ventana de Kaiser, definida por la expresión (.38), dicho compromiso puede variarse. El término Io( ) es la función de Bessel modificada de primera clase y de orden cero y α= (L-)/2. Cuando n =, w[n] vale para cualquier valor de ß y de L. Para distintos valores de ß se obtienen ventanas más o menos suavizadas en los bordes. Para ß= se obtiene la ventana rectangular y con ß = 5.44 aparece una ventana muy parecida a la de Hamming. Incrementando el valor de ß se ensancha el lóbulo principal y disminuye la amplitud de los lóbulos secundarios. I β w[] n = I ( β ) 2 n α α resto n L (.38) Si expresamos el rizado máximo (±δ) como una atenuación (A) en decibelios, se podrá calcular el valor de ß a partir de las fórmulas indicadas en la expresión (.4). ( ) ( A 8.7).4 ( A 2) ( A 2) A = 2log δ (.39).2 A > 5 β = A 5 (.4) A < 2 Se puede sintetizar en tres pasos el diseño de filtros F.I.R. empleando el método de la ventana: Especificar la respuesta en frecuencia deseada H I ( Ω) respuesta al impulso h I [] n.. A partir de ésta se calcula la 2 Seleccionar la ventana adecuada, de forma que se satisfagan las especificaciones deseadas en la banda de paso o atenuación. El número de coeficientes del filtro se puede seleccionar considerando las relaciones entre la longitud de la ventana y la anchura de la banda de transición. h A, multiplicando muestra a muestra h I [] n y w[n]. 3 Calcular los valores de [] n El método de la ventana ofrece como ventajas la simplicidad y que la atenuación de la banda eliminada no depende del valor de la longitud de la ventana. Como inconvenientes H Ω aparecen la desviación de las frecuencias de corte del diseño inicial al convolucionar I ( ) y W ( Ω) y la falta de flexibilidad del método. 3. COMPARACIÓN ENTRE FILTROS FIR E IIR La primera pregunta que se plantea al abordar el diseño de un filtro de tiempo discreto se refiere a la elección entre un sistema FIR o IIR. En dicha elección intervienen numerosos factores, y no siempre hay una opción claramente favorable. Algunas veces es conveniente realizar dos diseños completos, uno FIR y otro IIR antes de tomar una decisión que se basará en factores de tipo práctico como complejidad, consumo de potencia, velocidad de cálculo, facilidad de integración, etc., o factores de tipo económico. También hay criterios técnicos basados en las características que señalamos a continuación.

23 Tratamiento Digital de Señales 9 FUNCIÓN DE SISTEMA: en un FIR son del tipo sólo ceros, ya que todos los polos se encuentran en el origen, (salvo si se emplean diseños de muestreo en frecuencia). Los sistemas IIR pueden tener sus polos y sus ceros en cualquier punto finito del plano z, lo que proporciona mayor flexibilidad en el diseño de filtros sencillos (método de ubicación de polos y ceros). MÓDULO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA: se puede conseguir cualquier distribución de bandas con cualquiera de los dos tipos de filtros. Sin embargo, hay algunas características de amplitud, como la requerida en los sistemas diferenciadores, que se realiza mejor con un sistema FIR. Sin embargo, los filtros paso-todo sólo se pueden realizar con sistemas IIR, ya que los FIR tienen todos sus polos en el origen. FASE DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA: los sistemas FIR pueden conseguir una característica de fase exactamente lineal, mientras que los IIR sólo se pueden aproximar a ella a costa de un gran aumento de la complejidad. ESTABILIDAD: los filtros FIR realizados de forma no recursiva son intrínsecamente estables, mientras que los IIR sólo serán estables (y causales simultáneamente) si todos sus polos están en el interior de la circunferencia unidad. DIFICULTAD EN EL DISEÑO: los cálculos necesarios para diseñar un filtro FIR suelen exigir aproximaciones iterativas, mientras que los sistemas IIR suelen diseñarse con fórmulas cerradas y transformaciones sencillas como la bilineal. ESTRUCTURAS: los sistemas FIR admiten realizaciones recursivas y no recursivas. Se puede reducir el número de multiplicaciones si se emplean estructuras de fase lineal. Sin embargo, los sistemas IIR sólo pueden realizarse con estructuras recursivas. Lo más usual es utilizar estructuras en cascada de secciones de primer o segundo orden, por lo que una parte importante del diseño consiste en distribuir los polos y los ceros en distintas secciones y elegir el orden de conexión de las mismas. SENSIBILIDAD A LAS INTERFERENCIAS: la salida de un sistema puede verse afectada por su estado inicial (contenido de la memoria) o por cualquier interferencia de corta duración. Si la realización es no recursiva, lo anterior sólo ocurre durante la longitud de la respuesta al impulso. Sin embargo, en los sistemas IIR la perturbación puede afectar a la señal de salida indefinidamente. ERROR DE CUANTIFICACIÓN: en los sistemas FIR los efectos de la cuantificación pueden hacerse irrelevantes si se utilizan longitudes de palabra a partir de doce bits. Cuando estos filtros se realizan de forma recursiva debe conseguirse una cancelación exacta de polos y ceros después de la cuantificación, y esto obliga a aumentar la longitud de palabra. Para sistemas IIR la cuantificación no sólo afecta a la respuesta en frecuencia sino que puede desplazar los polos fuera de la circunferencia unidad del plano z, y hacer que el sistema no pueda ser simultáneamente causal y estable. También, debido a la cuantificación pueden producirse oscilaciones indeseadas en la salida a causa del desbordamiento o de los ciclos límite. MEMORIA: los filtros FIR necesitan mucha memoria para almacenar la muestra actual y las anteriores de la señal de entrada, así como los coeficientes del filtro. Este inconveniente se va reduciendo con el abaratamiento y el aumento de la escala de integración de las memorias. Los filtros IIR necesitan menos registros de almacenamiento, ya que el número de coeficientes es menor que el equivalente FIR.

24 2 Tratamiento Digital de Señales EFICIENCIA: A pesar de que los sistemas IIR tienen menor número de coeficientes que sus equivalentes FIR, puede ocurrir que el sistema FIR emplee menos tiempo para calcular la salida que el IIR. La razón es la regularidad en las operaciones que se realizan en un filtro no recursivo, comparada con la irregularidad necesaria para un sistema recursivo.

25 C. CUESTIONES PREVIAS.- Dado un sistema cuya respuesta en frecuencia es: Calcule su respuesta al impulso hd [ n ]. H D ( Ω) e = Ω < j7ω π resto Tratamiento Digital de Señales Se trata de un sistema F.I.R. o I.I.R.?. 3.- Si realizamos la operación con A [ ] = [ ] [ ] h n h n w n w[] n = D n 4 resto demuestre, a partir de los coeficientes del nuevo filtro, que presenta una característica de fase lineal. 4.- Dado un filtro analógico caracterizado por la siguiente función de sistema: H a () s = 2 ( s + )( s + 3) Obtenga los sistemas de tiempo discreto empleando la transformación invariante de impulso y la bilineal. 5.- Repita la cuestión cuatro para el filtro: H a () s = ( s + 2) ( s + )( s + 3)

26 22 Tratamiento Digital de Señales D. REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS. DISEÑO DE FILTROS IIR. Diseño de filtros IIR empleando prototipos analógicos En este apartado se va a partir de un prototipo analógico para convertirlo en un sistema digital empleando las transformaciones invariante de impulso y bilineal. Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica x a (t) (limitada en banda a 3 Hz) con un filtro digital como se indica en la figura. Los requisitos exigidos al módulo de la respuesta en frecuencia H ( jω) son: Debe ser mayor que '8925 en la banda de frecuencias comprendidas entre y 8 Hz. No debe superar ' a partir de los 4 Hz. a) Represente la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia, expresada en db's, del filtro analógico H ( jω) que se desea simular. b) Obtenga la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia, jω expresada en db's, del filtro discreto H D ( e ) de respuesta al impulso real que cumpla lo indicado.

27 Tratamiento Digital de Señales 23 c) El diseño del filtro anterior se decide realizar a partir de un prototipo analógico H c ( jω) y empleando la transformación invariante de impulso. Obtenga la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia de dicho filtro analógico. Considere Td =2. d) Calcule el orden del filtro elíptico analógico que cumple las especificaciones de la plantilla, y obtenga la función de sistema H c (s) que lo caracteriza. e) Convierta el prototipo analógico H c (s) en uno digital H D (z) mediante la transformación invariante de impulso, y dibuje el módulo de la respuesta en frecuencia. -2 db f) Si el diseño del filtro analógico inicial se decide realizar empleando la transformación bilineal, obtenga la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia del nuevo filtro analógico prototipo. Considere Td =2.

28 24 Tratamiento Digital de Señales g) Calcule el orden del filtro elíptico analógico que cumple las especificaciones de la plantilla del apartado f, y obtenga la función de sistema H c (s) que lo caracteriza. h) Convierta el prototipo analógico H c (s) en uno digital H D (z) mediante la transformación bilineal. Dibuje el módulo de la respuesta en frecuencia del nuevo filtro. -2 db : i) Comente los resultados Diseño de fitros IIR por ubicación de polos y ceros Para eliminar el ruido de la red eléctrica introducido de forma indeseada en una señal de electrocardiograma muestreada a Hz, se procede a diseñar un filtro digital de orden dos con respuesta al impulso real empleando el método de ubicación de polos y ceros, de manera que cumpla las siguientes especificaciones: Frecuencia a eliminar: 5 Hz Ancho de la banda eliminada a 3 db: ± Hz H z ( ) z= =

29 Tratamiento Digital de Señales 25 Suponga que la relación entre el módulo de los polos (r) y el ancho de banda a 3 db (BW) es: BW r π para r >.9 f s a) Representar el diagrama de polos y de ceros de la función de sistema del filtro b) Representar el módulo de la respuesta en frecuencia. 2-2 db`s c) Representar la respuesta al impulso del filtro.

30 26 Tratamiento Digital de Señales 2. DISEÑO DE FILTROS FIR 2. Método de la Ventana 2.. Ventanas En este apartado se van a estudiar distintas funciones de ventana, útiles tanto en el diseño de filtros digitales como en el análisis espectral de secuencias de larga duración. Se pretende observar la forma de la ventana en el dominio del tiempo y su correspondiente espectro de amplitud, analizando cómo influye en este último la longitud empleada en cada caso. La elección correcta de la ventana consiste en optar por aquella que llegue a un buen compromiso entre un lóbulo principal estrecho (que conducirá a un filtro muy selectivo) y lóbulos laterales de amplitud reducida (disminuye la distorsión en las bandas de paso y atenuada). a) Observar la forma de las ventanas rectangular, triangular, de Hanning, de Hamming y de Kaiser (con ß=7'865) para unas longitudes de 28 y 64 muestras. Dibuje en escala semilogarítmica el módulo del espectro para las tres ventanas, e indique los valores de A LSmáx (amplitud máxima relativa de los lóbulos secundarios, en db s), ω LS (pulsación que se corresponde con A LSmáx ) y a LP (anchura del lóbulo principal). L = 28: VENTANA A LSmáx (db) ω LS a LP RECTANGULAR TRIANGULAR HANNING HAMMING KAISER L = 64: VENTANA A LSmáx (db) ω LS a LP RECTANGULAR TRIANGULAR HANNING HAMMING KAISER

31 Tratamiento Digital de Señales 27 b) Es función de la longitud de la ventana la amplitud de los lóbulos secundarios?. Y la anchura del lóbulo principal? Filtros enventanados En este apartado se pretende diseñar un filtro FIR causal de fase lineal empleando el método de la ventana. Para ello se va a partir de la respuesta en frecuencia de un filtro ideal indicada en la figura.8, imponiéndole la plantilla de especificaciones que aparece en la figura.9. fig..8: respuesta en frecuencia deseada El sistema resultante h [ ] fig..9: plantilla de especificaciones del filtro a diseñar D hay que aplicar la propiedad de desplazamiento en el tiempo. n (una función sinc) es no causal. Para convertirlo en causal h h D D [ n] H D ( Ω) jωn [ n n ] H ( Ω) e o o a) Genere algunas muestras de la respuesta al impulso ideal desplazada empleando los siguientes comandos: x=:63; t=.2*(x-32)/pi; hi=.2*sinc(t)/pi; D

32 28 Tratamiento Digital de Señales Una vez obtenida, trunque dicha respuesta al impulso empleando las ventanas rectangular, de Hamming y de Kaiser (ß=7'865) de longitud 63. Dibuje el módulo de la respuesta en frecuencia de los filtros enventanados, representando con detalle las bandas de paso y transición. Módulo del espectro para la ventana rectangular (L = 63) 2-2 db`s Banda de paso y transición para la ventana rectangular (L = 63): db`s Módulo del espectro para la ventana de Hamming (L = 63): 2-2 db`s

33 Banda de paso y transición para la ventana de Hamming (L = 63): Tratamiento Digital de Señales 29 db`s Módulo del espectro para la ventana de Kaiser (L = 63): -2-4 db s Banda de paso y transición para la ventana de Kaiser (L = 63): db`s

34 3 Tratamiento Digital de Señales b) Indique los filtros enventanados (L=63) que cumplen las condiciones de diseño. c) Repita el apartado "a" cambiando la longitud de las ventanas de L=63 a L=27. Para ello debe modificar los comandos anteriormente propuestos: x=:27; t=.2*(x-64)/pi; hi=.2*sinc(t)/pi; Módulo del espectro para la ventana rectangular (L = 27): 2-2 db`s Banda de paso y transición para la ventana rectangular (L = 27): db

35 Módulo del espectro para la ventana de Hamming (L = 27): Tratamiento Digital de Señales db Banda de paso y transición para la ventana de Hamming (L = 27): db Módulo del espectro para la ventana de Kaiser (L = 27): -2-4 db s

36 32 Tratamiento Digital de Señales Banda de paso y transición para la ventana de Kaiser (L = 27): db d) Indique los filtros enventanados (L=27) que cumplen las condiciones de diseño.

37 Tratamiento Digital de Señales Método de Pars-McClellan. Eliminación mediante un filtro FIR del ruido de red de una señal de electrocardiograma (ecg). Una característica muy común a los circuitos electrocardiógrafos consiste en que a la señal que digitaliza le suele añadir, de manera indeseada, un ruido proveniente de la red eléctrica convencional y que se suele centrar en torno a los 5 Hertzios. De esta forma, la señal del electrocardiograma se encuentra empobrecida con un ruido que es necesario eliminar. Se va a partir de un registro de 4 muestras de una señal de electrocardiograma muestreada a Hz, denominado elecnois.mat. a) Representar la forma de la señal de ecg en el dominio del tiempo, observando la presencia del ruido de la red. b) Representar el módulo del espectro de la señal de ecg. En el proceso de eliminación del ruido de la red se desea utilizar un filtro FIR banda eliminada por las características de fase lineal que pueden ofrecer este tipo de sistemas. Se sigue el procedimiento indicado en la figura., es decir, diseñar directamente el filtro y eliminar el ruido. fig..: diseño de un filtro banda eliminada.

38 34 Tratamiento Digital de Señales Las especificaciones del filtro deseado son las siguientes: Banda eliminada: Hz Frecuencias de corte de la banda de paso: Hz Atenuación mínima de la banda eliminada: 5 db Desviación de la banda de paso: '22 Frecuencia de muestreo: Hz c) Obtener el orden del filtro empleando la instrucción firordm.m. Diseñar a continuación el sistema empleando el método de Pars-McClellan. Para ello utilice los siguientes comandos: f = [ ]; m = [ ]; b=remez (orden_filtro, f, m); d) Representar el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro del filtro obtenido. e) Realizar el proceso de filtrado empleando la instrucción filter. Representar la señal de ecg filtrada en el dominio del tiempo, observando la ausencia del ruido de la red. f) Representar el módulo del espectro de la señal de ecg filtrada.

39 Práctica de Efectos de la Cuantificación de los Coeficientes de Filtros Digitales A. OBJETIVOS En esta práctica se introducen las características más importantes de los filtros digitales, y se establece una comparativa con los tradicionales filtros analógicos. En los fundamentos teóricos se proponen las etapas que se deben tener en consideración para diseñar y construir con éxito un filtro digital. De todas las etapas, se desarrollan con mayor profundidad las de realización empleando una estructura y los análisis de longitud de palabra finita, ya que serán las etapas que se considerarán en el laboratorio. Se pretende poner de manifiesto la problemática de la realización de filtros digitales empleando aritmética finita a partir de unas especificaciones dadas. Nos limitaremos al estudio de los efectos producidos por la cuantificación de los coeficientes del filtro, analizando con detalle la importancia de las estructuras empleadas para filtros de orden elevado. Se representarán los módulos de las respuestas en frecuencia de los filtros utilizando precisión infinita y cuantificando con determinado número de bits. De esta forma se observarán las diferencias existentes y se podrá estimar la longitud de los registros de almacenamiento para que la degradación de las características sea aceptable. 35