Una renta fraccionada se caracteriza porque su frecuencia no coincide con la frecuencia de variación del término de dicha renta.

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1 Rentas Fnanceras. Renta fracconada 6. RETA FRACCIOADA Una renta fracconada se caracterza porque su frecuenca no concde con la frecuenca de varacón del térmno de dcha renta. Las característcas de la renta fracconada son las sguentes: Perodo de la renta: P (Frecuenca de la renta: m=/p). Perodo de la varacón del térmno: P (Frecuenca de la varacón del térmno: M=/P ). úmero de térmnos de la renta: n. úmero de térmnos de cuantía dferente en el plazo de la renta:. El térmno general de la renta fracconada es sólo camba veces de cuantía. C r, donde r=,2,..., puesto que el térmno úmero de térmnos de gual cuantía dentro de cada perodo de varacón: k. m P n Se cumple que k = = =. M P El esquema temporal de una renta fracconada, vencda, nmedata y temporal, es el sguente: C C... C C 2 C 2... C 2... C P 2P... kp (k+)p (k+2)p... 2kP... np años Como se desprende del esquema anteror, el térmno de la renta no varía cada perodo sno que lo hace cada k perodos. Así, durante los k prmeros perodos el térmno es el msmo y se smbolza por C, durante los k segundos perodos el térmno tambén es el msmo y se smbolza por C 2, aunque dstnto a los prmeros k perodos y así sucesvamente. Una renta fracconada se puede consderar como un conjunto de rentas constantes. Para hallar el valor actual de la renta fracconada se susttuye, en prmer lugar, cada una de las rentas constantes por su valor fnal:

2 Rentas Fnanceras. Renta fracconada 2 C C... C C 2 C 2... C 2... C P 2P... kp (k+)p (k+2)p... 2kP... np años 2... El valor fnal de una renta de k térmnos de cuantía constante C r y de frecuenca m es: = C s r =,2,..., r r ki m Así, la renta orgnal puede sustturse por otra renta de térmnos de cuantía varable r, r =,2,..., y de perodcdad P', esto es de frecuenca M, cuyo esquema temporal es: 2... P 2P... P =kp (k+)p (k+2)p... 2P =2kP... P =np años El valor actual de la renta fracconada, f, se obtene del sguente modo: 2... P 2P... P años f

3 Rentas Fnanceras. Renta fracconada 3 En defntva, f r r = r ( + M) = r s ( + M) = k Im r= r= k ( + I ) m r IM r = Cr ( + IM) = Cr ( + IM) = Im r= Im r= I M M r M r M auxlar = k Cr ( + IM) = C' r ( + IM) = Im m r= m r = m auxlar I C I f M auxlar = m auxlar es el valor actual de una renta, denomnada auxlar, cuyas característcas son las sguentes: Su frecuenca es gual a la frecuenca de varacón de la renta fracconada: M. El número de térmnos (y, por tanto, el número de perodos) concde con el número de térmnos de cuantía dferente en todo el plazo de la renta fracconada:. El térmno de la renta es C r = k Cr (r=,2,...,) y cada uno de ellos se stúa donde está el últmo térmno de cuantía C r. Así, por ejemplo, el prmer térmno de la renta auxlar C = k C se stúa donde está el últmo térmno de cuantía C. El esquema de la renta auxlar asocada al de la renta fracconada es el sguente: Renta fracconada C C... C C 2 C 2... C 2... C P 2P... kp (k+)p (k+2)p... 2kP... np años Renta auxlar C = k C C 2 = k C 2... C = k C P =kp 2P =2kP... P =nkp años

4 Rentas Fnanceras. Renta fracconada 4 La renta auxlar es una renta varable, vencda, nmedata y temporal y, por tanto, su valor actual se obtene aplcando las fórmulas de las rentas de varacón geométrca o lneal anterormente vstas en los apartados 4. y 5. respectvamente. El cocente M m es el denomnado factor corrector, que permte convertr el valor actual de la renta auxlar en el valor actual de la renta fracconada, vencda, nmedata y temporal. Dcho factor corrector es el cocente entre el tanto nomnal de nterés asocado a la frecuenca de la varacón y el tanto nomnal de nterés asocado a la frecuenca de la renta fracconada. Ejemplo Sea una renta de 2 térmnos mensuales y vencdos, varables a razón de un 5% anual acumulatvo. Hallar su valor actual s el tpo de nterés es el 6% efectvo anual y durante el prmer año cada térmno mensual es de 3.. Las característcas de la renta fracconada son: Perodo de la renta: P = 2 m = 2 Perodo de la varacón: P = M= úmero de térmnos de la renta: n=2 úmero de térmnos de cuantía dferente: = Durante el prmer año, el térmno mensual es de 3. ( C = 3. ). Durante el segundo año se ncrementará dcho térmno un 5% con respecto al del año anteror. Así, C2 =,5 C = 3.5. En defntva, se cumplrá que r r C = C,5 r =,2,3,... úmero de térmnos de gual cuantía dentro de cada perodo de varacón: m n 2 2 K = = = 2 M La renta es vencda, nmedata y temporal Y las característcas de la renta auxlar son: Perodo de la renta: P = M =

5 Rentas Fnanceras. Renta fracconada 5 úmero de térmnos: = El prmer térmno es C = k C = 2 C = 36. y está stuado al fnal del prmer año de la renta, que es precsamente donde está stuado el últmo térmno de cuantía C. El segundo térmno es C 2 = k C 2 = 2 C 2 = 2,5 C =,5 2 C =,5 C. Como puede aprecarse, la varacón del térmno de la renta auxlar es la msma que la de la renta fracconada. Este resultado puede generalzarse al resto de los térmnos y ello permte expresar el térmno general como C = C,5 = 2 C,5 con r =,2,3,...,. Así, la renta r r r auxlar es una renta de varacón geométrca a la cual se aplcará la fórmula obtenda en el apartado 4. de este capítulo. Los esquemas temporales correspondentes a las rentas fracconada y auxlar asocadas a la renta descrta en el ejemplo son los sguentes: Renta fracconada C C... C C 2 C 2... C 2... C /2 2/2... 2/2 3/2 4/ /2... 2/2 años Renta auxlar C =2 C C 2=2 C 2... C =2 C 2... años ' C f,6,5,6 = 36. = ,25,584, 6, 5 2 auxlar

6 Rentas Fnanceras. Renta fracconada Renta fracconada antcpada, nmedata y temporal S la renta fracconada es antcpada, nmedata y temporal la valoracón debe hacerse tenendo en cuenta el sguente esquema: Renta fracconada C C... C C 2 C 2... C 2... C P... (k-)p kp (k+)p... (2k-)P... (n-)p np años Renta auxlar C = k C C 2 = k C 2... C = k C -P (k-)p (2k-) P... (n-)p años P (k-)p En el caso de que la renta sea antcpada, el valor actual de la renta auxlar se obtene un perodo, P, antes del orgen de la renta. Por tanto, para tener el valor en el orgen de la operacón deberá captalzarse el resultado obtendo un perodo de la renta fracconada: I ( ) f M auxlar = P + m m

7 Rentas Fnanceras. Renta fracconada 7 Ejemplo Hallar el valor actual de una renta de guales característcas a la del ejemplo anteror pero antcpada. Los esquemas correspondentes a las rentas fracconada y auxlar son los sguentes: Renta fracconada C C... C C 2 C 2... C 2... C /2... /2 2/2 3/ /2... 9/2 2/2 años Renta auxlar C =2 C C 2 =2 C 2... C =2 C -/2 /2 +/ /2 años /2 años Como la renta fracconada es mensual y antcpada, el valor de la renta auxlar se obtene un mes antes del orgen de la renta sendo necesaro captalzar el resultado un mes para poder tener el valor de la renta fracconada en el orgen de la operacón. f,6,5,6 = 36.,4867 = ,6,584,6,5 I + 2 auxlar 2 2 auxlar

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