Cómo calcular rentas constantes continuas en el sistema financiero compuesto discreto?

Transcripción

1 Cóo calcular rentas constantes contnuas en el sstea fnancero couesto dscreto? Prof. Jean-Perre arcallou INTRODUCCIÓN: El enú CAS (Cálculo Algebraco Sbólco) de la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS erte el cálculo de los aráetros de rentas constantes contnuas en el sstea fnancero couesto dscreto. CONCEPTOS Y FÓRULAS Renta constante: Se llaa renta constante R c al sguente conjunto de catales fnanceros: R c = {(t 1,PT),(t 2,PT),(t 3,PT),...,(t n,pt) } donde t t j s j con, j = 1,2,3,...,n y PT reresenta el térno constante de la renta. Renta dscreta: Se llaa renta dscreta R dsc a todo conjunto de catales fnanceros searados entre sí or eríodos de altud fnta de teo. Renta contnua: Se llaa renta contnua R cont a todo conjunto de catales fnanceros searados entre sí or eríodos nfntesales de teo. Este to de rentas ueden entenderse coo rentas fracconadas donde el fracconaento tende a ser nfnto dentro de cada eríodo. En la ráctca se ueden consderar rentas contnuas aquellas cuya frecuenca de fracconaento del térno sea sueror a 12: rentas quncenales, seanales, daras, etc. Renta certa: Se denona así cuando sus fechas son conocdas de anteano. Renta contngente: Se denona así cuando la fecha del rer ago, la fecha del últo ago, o abas no se fjan de anteano. Renta sle: Se denona así cuando el eríodo de los agos concde con el eríodo de catalzacón. Renta general: Se denona así cuando no hay concdenca entre el eríodo de los agos y el eríodo de catalzacón. Renta teoral: Se denona así cuando el núero de eleentos de la renta es fnto. Renta eretua: Se denona así cuando el núero de eleentos de la renta es nfnto. Renta vencda: Se denona así cuando los agos se realzan al fnal de cada eríodo. Renta adelantada: Se denona así cuando los agos se realzan al coenzo de cada eríodo. Renta nedata: Se denona así cuando el rer eleento de la renta ocurre una undad de teo teoral nedataente desués del teo de valoracón. Renta dferda: Se denona así cuando el rer eleento de la renta ocurre en un oento ayor a una undad de teo teoral desués del teo de valoracón. En consecuenca se dce que la renta es dferda de d undades teorales (eríodo de graca) cuando el rer térno de la renta ocurre en el oento d + 1. Tasa de nterés couesto dscreto cd : Es la tasa de nterés que, al fnal de cada eríodo, se alca tanto al catal anteror coo a los ntereses devengados en ese eríodo; lo cual sgnfca que los ntereses devengados al fnal de un eríodo se converten en catal ara roducr nuevos ntereses en el eríodo sguente. n: Núero de años durante los cuales dura la oeracón fnancera. : Núero de térnos de la renta or año. n: Núero total de térnos de la renta durante el teo n que dure la oeracón fnancera. ven I% no : Tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal anual que se catalza veces or año. 1

2 Valoracón de una renta: 1. En la fecha de nco: estará reresentada or una cantdad únca, que agada en esa éoca, forará la sa renta que la de sus térnos cancelados en cada uno de los eríodos de dcha renta. 2. En la fecha fnal: estará reresentada or una cantdad únca, que será la sua de los térnos de la renta con sus resectvos ntereses generados a lo largo del teo. Prero se analza el caso de una renta constante dscreta de deóstos or año, general, certa, teoral, vencda e nedata, a una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del I% anual con catalzacones or año. S al fnal de cada eríodo de lazo 1/ año, se deosta una cantdad constante de PT/ Bs.F. (es decr que el deósto anual de PT Bs.F. se fraccona en deóstos guales de PT/ Bs.F. que ocurren en eríodos guales de lazo 1/ año), en una cuenta que aga una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del I% anual con catalzacones or año, cuánto se tene en la cuenta al fnal del año n s no se efectúa nngún aorte n retro adconal durante todo ese teo? PV FV n (n 1)+1 (n 1)+2 (n 1)+3 n 2 n 1 n deóstos 1/ 2/ 3/ / 1 1/ 1 n 1+1/ n 1+2/ n 1+3/ n 2/ n 1/ n años 0 PT = núero de deóstos or año = núero de catalzacones or año = tasa de nterés nonal anual con catalzacones or año A contnuacón se uestran los cuatro casos ás counes de rentas constantes dscretas, generales, certas, teorales, vencdas y adelantadas e nedatas, con sus resectvas fórulas ara los cálculos de los valores futuros y valores resentes en el sstea fnancero couesto dscreto. Valor futuro acuulado al fnal del año n de una renta constante dscreta de PT Bs.F. or año, agadera veces or año durante n años (se deosta la cantdad de PT/ Bs. F. al fnal de cada eríodo de lazo 1/ año) general, certa, teoral, vencda e nedata, a una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del I% anual que se catalza veces or año. Valor resente acuulado en el oento 0 de una renta constante dscreta de PT Bs.F. or año, agadera veces or año durante n años (se deosta la cantdad de PT/ Bs. F. al fnal de cada eríodo de lazo 1/ año) general, certa, teoral, vencda e nedata, a una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del I% anual que se catalza veces or año. n n t n PT PT + FVn = 1 = + (1) + 1 n n 1 1 PT 1 PT + PV = = (2) t Valor futuro acuulado al fnal del año n de una renta constante dscreta de PT Bs.F or año, agadera veces or año durante n años (se deosta la cantdad de PT/ Bs.F. al coenzo de cada eríodo de lazo 1/ año) general, certa, teoral, vencda e nedata, a una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del I% anual que se catalza veces or año. 2 (3) n n t 1 n PT PT + FV 1 = 1 n =

3 Valor resente acuulado en el oento 0 de una renta constante dscreta de PT Bs.F or año, agadera veces or año durante n años (se deosta la cantdad de PT/ Bs.F. al coenzo de cada eríodo de lazo 1/ año) general, certa, teoral, vencda e nedata, a una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del I% anual que se catalza veces or año. (4) n n 1 1 PT 1 PT + PV = = 1+ (t 1) Suonga ahora que los deóstos se efectúan en fora contnua a lo largo del año, entonces crece nfntaente ostvo, es decr +, y en consecuenca exste un flujo constante anual contnuo de deóstos. Se tene los sguentes cálculos de lítes: + l l ln 1 y l + = = = y en consecuenca, la fórulas de los valores futuro y resente de una renta constante anual contnua, certa, teoral e nedata a una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del I% anual que se catalza veces or año son: n n n t PT n + PT PT + FVn l 1 = = l 5 + = t 1 ln 1 = + + ( ) n n n PT 1 PT 1 PT 1 + PV = l = l = 6 t 1 ln ( ) las cuales son váldas tanto ara deóstos vencdos coo adelantados en vsta de que coo el teo entre eríodo es nfntesal no hay dferenca entre nco y fnal del so, cuya lustracón gráfca se resenta a contnuacón: PV FV n 0 n años PT = cantdad constante anual, dstrbuda contnuaente durante n años = núero de catalzacones or año = tasa de nterés, couesto dscreto, vencdo, nonal anual con catalzacones or año 3 PT

4 Se uede utlzar tabén la sguente ecuacón de valor estándar valorada en el oento 0, la cual resue las fórulas (5) y (6): n FV PV + PT + = 0 n n ln (7) OPERACIÓN CON LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS El enú CAS calcula los aráetros de una renta constante contnua, en el sstea fnancero couesto dscreto, edante el uso de los coandos 4: (suatora) y 3: l (líte) del subenú deslegable CALC e (nfnto) del enú de ocones OPTN.l fondo de retros s Años Dorados El rocedento ara la calculadora es el sguente: n N t I n fórula PT C + alacena en 1 ( C/P 1 I/ ^ N T /P,T,1,NP + + ) = f1 calculadora P eora funcón I t P = PT= C; = P; = I; = ;n = N;t = T (1) FV n : ( ) (( ) ) n N I fórula 1 1 PT 1 C + alacena en + = f2 t calculadora P eora funcón I + 1 P PT= C; = P; = I; = ;n = N;t = T (2) PV: ( C/P / ( 1 I/) ^ (T/P),T,1,NP) ) (3) FV n : n N t 1 I n PT fórula C + I alacena en 1 ( C/P ( 1 I/) ^ (( N (T 1)/P ) ),T,1,NP P + + ) = 1 calculadora P + f3 eora funcón I t P = + 1 PT= C; = P; = I; = ;n = N;t = T (4) PV: n N I PT 1 fórula C + I alacena en ( C/ P/ ( 1+ I/ ) ^ ((T 1)/P),T,1,NP) ) = 1 P f (t 1) calculadora P + 4 eora funcón I + 1 P PT= C; = P; = I; = ;n = N;t = T N I n t C n + PT fórula alacena en l 1 + l fn1,p, = l fn3,p, = f5 calculadora I eora funcón ln f1 (5) FV n : ( ) ( ) n t = 1 N I C 1 1+ fórula alacena en = = t calculadora I eora funcón ln PT 1 l l fn2,p, l fn4,p, f 6 (6) PV: ( ) ( ) f2 4

5 La eresa Desbarajuste 1. La eresa Desbarajuste coercalza un roducto de gran dfusón y esta que la cantdad vendda cada es es de undades desde el 1 de enero hasta el 31 de dcebre del año El benefco realzado, de 1 Bs.F. sobre cada undad, se deosta en la cuenta de ahorros del Banco Yosteago Sn Rollo que aga una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del 6% anual con catalzacón anual. a) Cuál es la cantdad que tendrá acuulado la coañía Desbarajuste al fnal del año 2007, s los deóstos se realzan al fnal de cada es? b) Cuál es la cantdad que tendrá acuulado la coañía Desbarajuste al fnal del año 2007, s los deóstos se realzan al fnal de cada quncena? c) Cuál es la cantdad que tendrá acuulado la coañía Desbarajuste al fnal del año 2007, s los deóstos se realzan al fnal de cada seana? d) Cuál es la cantdad que tendrá acuulado la coañía Desbarajuste al fnal del año 2007, s los deóstos se realzan al fnal de cada día? e) Cuál es la cantdad que tendrá acuulado la coañía Desbarajuste al fnal del año 2007, s los deóstos se realzan de fora contnua? (1) Presone las teclas [AC /ON ] / [ENU], seleccone el cono CAS a través la tecla elítca [REPLAY] y resone la tecla [EXE] ara abrr el enú Cálculo Algebraco Sbólco. (2) Presone las teclas [F6] (> ) / [F1] (CLR) / [2] (VarAll) / [EXE] / [F1] (CLR) / [3] (ALLEQU) / [EXE] (Sí) ara borrar todas las varables, fórulas y ecuacones regstradas. (3) Presone las teclas [CTRL] / [F3] (SET UP) / / / [F1] (Fx) / [2] / [EXE] ara fjar la resentacón de los resultados con dos cfras decales. (4) Presone las teclas [ESC] / [ESC] ara regresar a la antalla orgnal y resone las teclas resectvas ara ntroducr en el área de ngreso la sguente fórula (1): NP T N C I 1 P + y resone segudaente la tecla [EXE]. P 1 (5) Presone las teclas [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [1] (Store) / [1] / [EXE] ara regstrar la fórula (1) en f1 en la eora de funcón. (6) Presone las teclas [ESC] / [ESC] ara regresar a la antalla del enú CAS y resone las teclas resectvas ara ntroducr en el área de ngreso la sguente fórula (2): NP C 1 P T I + P y resone segudaente la tecla [EXE]. (7) Presone las teclas [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [1] (Store) / [2] / [EXE] ara regstrar la fórula (2) en f2 en la eora de funcón. 5

6 (8) Presone las teclas [ESC] / [ESC] ara regresar a la antalla del enú CAS y resone las teclas resectvas ara ntroducr en el área de ngreso la sguente fórula (3): NP T 1 N C I 1 P + y resone segudaente la tecla [EXE]. P 1 (9) Presone las teclas [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [1] (Store) / [3] / [EXE] ara regstrar la fórula (3) en f3 en la eora de funcón. (10) Presone las teclas [ESC] / [ESC] ara regresar a la antalla del enú CAS y resone las teclas resectvas ara ntroducr en el área de ngreso la sguente fórula (4): NP C 1 P (T 1) I + P y resone segudaente la tecla [EXE]. (11) Presone las teclas [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [1] (Store) / [4] / [EXE] ara regstrar la fórula (4) en f4 en la eora de funcón. (12) Presone las teclas [ESC] / [ESC] / [F2] (CALC) / [3] (l) / [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [3] (fn) / [1] / [,] / [ALPHA] / [4] (P) / [,] / [OPTN] / [F4] ( ) / [)] / [EXE] con la fnaldad de obtener la fórula (5). (13) Presone las teclas [F6] (> ) / [F4] (FE) / [1] (Store) / [5] / [EXE] ara regstrar la fórula (5) en f5 en la eora de funcón. (14) Presone las teclas [ESC] / [ESC] / [F2] (CALC) / [3] (l) / [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [3] (fn) / [2] / [,] / [ALPHA] / [4] (P) / [,] / [OPTN] / [F4] ( ) / [)] / [EXE] con la fnaldad de obtener la fórula (6). (15) Presone las teclas [F6] (> ) / [F4] (FE) / [1] (Store) / [6] / [EXE] ara regstrar la fórula (6) en f6 en la eora de funcón. (16) Presone las teclas [ESC] / [ESC] / [F1] (TRNS) / [9] (sbstt) / [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [3] (fn) / [1] / [,] / ara regresar a la antalla anteror del enú CAS, llaar la funcón regstrada en f1 en la eora de funcón, y susttur en dcha exresón los aráetros or los sguentes valores C = ,I = arox(0.06), = 1,N = 1,P = 12) Resuesta a) (17) Presone las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstt) / [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [3] (fn) / [1] / [,] / ara llaar la funcón regstrada en f1 en la eora de funcón, y susttur en dcha exresón los aráetros or los sguentes valores C = ,I = arox(0.06), = 1,N = 1,P = 24) Resuesta b) 6

7 (18) Presone las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstt) / [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [3] (fn) / [1] / [,] / ara llaar la funcón regstrada en f1 en la eora de funcón, y susttur en dcha exresón los aráetros or los sguentes valores C = ,I = arox(0.06), = 1,N = 1,P = 48) Resuesta c) (19) Presone las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstt) / [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [3] (fn) / [1] / [,] / ara llaar la funcón regstrada en f1 en la eora de funcón, y susttur en dcha exresón los aráetros or los sguentes valores C = , I = arox(0.06), = 1,N = 1,P = 360) Resuesta d) (20) Presone las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstt) / [OPTN] / [F6] (> ) / [F4] (FE) / [3] (fn) / [5] / [,] / ara llaar la funcón regstrada en f5 en la eora de funcón, y susttur en dcha exresón los aráetros or los sguentes valores C = ,I = arox(0.06), = 1,N = 1) Resuesta e) (21) En el so enú CAS susttuye en la fórula f1 los aráetros C, I,, N, y P or sus resectvos valores , 0,06, 1, 1 y X, y asgne al resultado obtendo la varable Y1. Ingrese en el enú GRPH-TBL, seleccone la funcón Y1, y con la ayuda del coando RANG deterne el dono y el rango de la funcón Y1 cuyos resultados erten araetrzar la antalla de vsualzacón a través del enú V-Wndow, y luego grafque la funcón Y1 a través del coando DRAW tal cual lo lustra la Fgura 1. Fgura 1 (22) Observe a través la gráfca que es a artr de los valores suerores a 12 que se uede consderar el conceto de rentas constantes contnuas, es decr donde la frecuenca de fracconaento P (X) crece nfntaente ostvo. Se observa a través de los resultados anterores que a eddas que el núero de deóstos crece, el valor futuro acuulado al fnal del año crece con tasa decrecente (Fgura 1); es decr, que al auentar la frecuenca de los deóstos de ensuales a quncenales se genera una ayor cantdad de ntereses y or lo tanto el valor futuro acuulado auenta; al auentar los deóstos de quncenales a seanales se genera una ayor cantdad de ntereses ero enor que cuando se asa de ensuales a quncenales; al auentar los deóstos de seanales a daros se genera una ayor cantdad de ntereses ero enor que cuando se asa de quncenales a seanales; y así sucesvaente. S se sgue de esta fora, se llega ronto a eríodos nfntesales de teo, y el valor futuro acuulado está acotado. Se ueden encontrar las sas resuestas a las reguntas a), b), c) y d) edante el uso del coando CPD del enú fnancero TV. Para el uso de las fórulas (5) y (6) es ortante fjar rero la undad de teo de referenca. En nuestro caso se selecconó coo undad de teo de referenca el año, es decr que: C = Bs.F./año,I = 0,06 anual, = 1(frecuenca de catalzacón or año),n = 1(la duracón de la oeracón en año). De la sa anera se uede elegr coo undad de teo de referenca el es, y entonces se tene que: C = Bs.F./es,I = 0,06 / 12 ensual, = 1/ 12 (frecuenca de catalzacón or es), N = 12 (la duracón de la oeracón en eses). Se resentan a contnuacón la sbolzacón ateátca de los dos casos anterores según se elja el año coo teo de referenca o el es, cuyos resultados fnales son guales: 1 1 1/ ,06 0,06 / / = ,06 0,06 / 12 1 ln 1 + 1/ 12 ln / 12 7

8 La cuenta de ahorros del señor Avvato 2. La cuenta de ahorros del señor Avvato en el Banco Yosteresto Sn Rollo ascende a 9.800,00 Bs.F. el 1º de enero del año El Banco le aga una tasa de nterés orcentual, couesto dscreto, vencdo, nonal del 5% anual con catalzacón ensual. a) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada año eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? b) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada seestre eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? c) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada cuatrestre eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? d) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada trestre eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? e) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada bestre eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? f) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada es eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? g) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada quncena eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? h) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada seana eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? ) Cuál es la cantdad que debe retrar el señor Avvato al rnco de cada día eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años? j) Cuál es la cantdad anual que debe retrar contnuaente el señor Avvato eezando el 1º de enero de 2008, de anera que su cuenta quede saldada al cabo de ses años a través del conceto de renta constante contnua en el sstea fnancero couesto dscreto? El resultado obtendo en la regunta j) es ayor o enor al resultado obtendo en la regunta a)? 8