Univ. Nacional de Colombia, Medellín Escuela de Matemáticas Matemáticas Discretas Abril 6, Soluciones Taller 7

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1 Univ. Nacional de Colombia, Medellín Escuela de Matemáticas Matemáticas Discretas Abril 6, 2010 Soluciones Taller 7 1. Pruebe el principio de inclusión-exclusión para tres conjuntos A B C = A + B + C A B A C B C + A B C, usando el caso de dos conjuntos. Tenemos que A B C = (A B) C = A B + C (A B) C usando el principio de IE con los conjuntos A B y C = A + B A B (A C) (B C) = A + B A B ( A C + B C (A C) (B C) ) usando el principio de IE con los conjuntos A C y B C = A + B A B A C B C + A B C 2. Determine el número de enteros entre 1 y 1000 divisibles por 2 ó 3 ó 5. Usando el principio de inclusión exclusión con conjuntos A, B, C igual a los enteros entre 1 y 1000 divisibles por 2, 3 y 5 respectivamente, y que las intersecciones de estos es el conjunto de los enteros divisibles por los respectivos productos, obtenemos = = Sea A el conjunto de cadenas binarias (0/1) de longitud n, y B el conjunto de cadenas binarias de longitud n + 1 con un número par de 1 s. Muestre que ambos conjuntos tienen el mismo tamaño por medio de una función biyectiva f : A B. Verifique que f es una biyección. 1

2 Definimos f : A B de la siguiente manera. Para la cadena w A { w0 si w tiene un número par de 1 s f(w) = w1 si w tiene un número impar de 1 s Por la definición, f(w) es una cadena binaria de longitud n + 1 con número par de 1 s y por lo tanto realmente pertenece a B. La función f es uno a uno porque si w, w A con w w, entonces f(w) f(w ) porque al ser w, w diferentes, las imagenes también los son por tener w y w como prefijos que ya son diferentes. f también es sobre: si z B entonces z = w0 ó z = w1, y en ambos casos f(w) = z. Por lo tanto, f es una biyección. 4. Un comité compuesto por A, B, C, D, E, F va a seleccionar entre ellos un presidente, un secretario y un tesorero. (a) Cuántas selecciones excluyen C? (b) Cuántas selecciones excluyen B y F? (c) Cuántas selecciones incluyen B y F? Primero se selecciona el cargo de B y de F, y luego la persona con el otro cargo: (3 2) 4 (d) Cuántas selecciones incluyen D y excluyen F? Primero se selecciona el cargo de D y luego las personas para los otros dos cargos: 3 (4 3) (e) Cuánas selecciones incluyen D como presidente ó no lo incluyen? Las selecciones que tienen a D como presidente y las selecciones que no lo incluyen son conjuntos disyuntos: (f) Cuántas selecciones incluyen B como presidente o tesorero? Primero se selecciona el cargo de B y luego las personas en los otros dos cargos: 2 (5 4) (g) Cuántas selecciones tienen B como presidente ó A como secretario? Usando el principio de inclusión/exclusión: = 36 (h) Cuántas selecciones tienen C como presidente ó A en un cargo? Usando el principio de inclusión/exclusión: (5 4) 2 4 = 72 2

3 5. (a) Cuántos números telefónicos de 7 dígitos (cada dígito es 0, 1, 2,..., 9) son posibles? Cuántos números de estos tienen al menos un dígito repetido? El número que se quiere se puede obtener como todas los números números sin dígitos repetidos El número de números telefónicos posibles es 10 7 y el número de estos sin dígitos repetidos es Por lo tanto, el número deseado es (b) Cuántas cadenas de 6 letras con las letras a, b, c contienen al menos un par de letras consecutivas iguales? (por ejemplo, la cadena ababac no tiene letras consecutivas iguales, pero abccba tiene la repetición consecutiva cc). El número que se quiere se puede obtener como todas las cadenas cadenas sin letras consecutivas iguales El número de todas las cadenas es 3 6 (cada letra en la cadena puede ser una cualquiera de las tres), y el número de cadenas sin letras consecutivas iguales es porque la primera letra puede ser una cualquiera de las tres y las otras letras puden ser una de las dos letras diferentes de la letra anterior. Por lo tanto, el número deseado es (a) Cuántas cadenas binarias (0/1) de longitud 50 comienzan con 11 ó terminan con 0? Usando inclusión/exclusión, es el número de cadenas que comienzan con 11, más el número de las que terminan con 0, menos el número de las que tienen ambas propiedades. Entonces el número es (b) De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de 4 mujeres y 2 hombres de un grupo de 20 mujeres y 10 hombres? El número de formas de escoger ( ) las( 4 mujeres ) por el número de formas de escoger los 2 hombres:

4 (c) De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de 6 personas de un grupo de 20 mujeres y 10 hombres, si debe contener al menos 2 mujeres? El número total de formas de seleccionar 6 de 20 menos las formas de seleccionar ( ) 0 mujeres ( ) ( y 6 ) hombres, ( ) y de seleccionar mujer y 5 hombres; (d) De cuántas maneras se pueden distribuir 100 libros idénticos entre 11 estudiantes? Entre las posiciones de 100 libros y 10 separadores entre los libros, ( se debe ) escoger cuales 10 posiciones corresponden a los 110 separadores: (Ejs , sec 6.2, JB 6a ed) Determine cuántas cadenas se pueden formar ordenando las letras ABCDE sujetas a las condiciones dadas. (a) Contiene la subcadena ACE (por ejemplo BDACE; ACE debe aparecer consecutivemente) ACE se puede considerar como una sola letra compuesta. Asi que el resultado es 3! = 6. (b) Contiene las letras ACE consecutivas pero en cualquier orden. En cada una de las cadenas del caso anterior, se puede realizar cualquiera de las permutaciones de ACE. Por lo tanto el resultado es 3! 3! = 36 (c) Contiene las subcadenas DB y AE. Equivalente a la permutación de 3 elementos: 3! = 6. (d) Contiene la subcadena AE ó la subcadena EA. Para cada una de AE y EA se tiene una permutación de 4 elementos: 2 4! = 48. (e) A aparece antes de D. Por ejemplo, BCAED, BCADE. Cada una de las 5! permutaciones de ABCDE con A antes que D tiene una permutación correspondiente con D antes que A (simplemente intercambie A y D). Por lo tanto el número deseado es 1/2 de 5!. Esto es 5!/2 = 60. Solución alternativa: Comenzando con AD, la letra B se puede colocar en 3 posiciones, luego la letra C se puede colocar en 4 posiciones, y finalmente la letra E se puede colocar en 5 posiciones. Se obtiene = 60. 4

5 (f) No contiene ni la subcadena AB, ni la subcadena BE. Contamos el número N de cadenas con AB ó con BE y restamos esto de 5!. Para determinar N usamos el principio de inclusión/exclusión: cadenas con AB más cadenas con BE menos cadenas con ABE (si se tiene la subcadena AB y la subcadena BE entonces se tiene la subcadena ABE). Por lo tanto N = 4! + 4! 3! = 42. Y el reultado final es 5! 42 = 78. (g) A aparece antes de C y C aparece antes de E Para las letras A, C y E existen 3! = 6 permutaciones posibles y una de ellas es la que interesa con A, C, y E en ese orden. Por lo tanto el número de cadenas con A, C y E en ese orden es el número total de permutaciones 5! dividido por 3!. Esto es 5!/3! = 5 4 = 20. Solución alternativa: con A, C y E fijas en ese orden, A se puede colocar en 4 posiciones diferentes, y B en 5 posiciones diferentes. 8. (Ejs , sec 6.2, Johnsonbaugh, 6a ed) Se tiene un club de 6 hombres distintos y 7 mujeres distintas. De cuántas maneras se puede formar un comité con la restricción especificada. Nota: Aquí C(n, k) denota el número de k-combinaciones ó k-subconjuntos con n elementos: ( ) n! n C(n, k) = (n k)!k! = k (a) De 5 personas? C(13, 5) (b) De 3 hombres y 4 mujeres? C(6, 3) C(7, 4) No importa la distinción entre hombres y mujeres: (c) De 4 personas con al menos una mujer? Alternativa 1: Contamos los comités con 1, 2, 3 y 4 mujeres exactamente. Estos son conjuntos disyuntos y por lo tanto podemos usar la regla de la suma. Además si se escogen i mujeres entonces se deben escoger 4 i hombres. Entonces el número de posibilidades es C(7, 1) C(6, 3) + C(7, 2) C(6, 2) + C(7, 3) C(6, 1) + C(7, 4) C(6, 0) Alternativa 2: Contamos los comités sin mujeres y restamos esto de todos los posibles comités: C(13, 4) C(6, 4). 5

6 Los dos números obtenidos deben ser iguales: C(13, 4) C(6, 4) = C(7, 1) C(6, 3)+C(7, 2) C(6, 2)+C(7, 3) C(6, 1)+C(7, 4) C(6, 0) ó, usando C(7, 0) = 1: C(13, 4) = C(7, 0) C(6, 4) + C(7, 1) C(6, 3) + C(7, 2) C(6, 2) + C(7, 3) C(6, 1) + C(7, 4) C(6, 0). Esto es cierto porque el número de formas de seleccionar 4 personas es igual a la suma sobre i de los casos en que se escogen i mujeres y 4 i hombres, para i = 0, 1, 2, 3, 4. Esta igualdad es un caso particular de C(n, k) = k C(n 1, i) C(n 2, k i) i=0 para n 1, n 2 con n = n 1 + n 2 y k n 1, k n 2. (d) De 4 personas con a lo más un hombre? Sin hombres ó con un hombre: C(7, 4) + 6 C(7, 3) (e) De 4 personas con al menos un hombre y con al menos una mujer? Todas menos aquellas con sólo hombres ó sólo mujeres: C(13, 4) C(6, 4) C(7, 4) (f) De 4 personas de tal forma que Mabel y Roberto (que son incompatibles) no son elegidos al mismo tiempo? Todas las posibilidades menos aquellas con Mabel y Roberto: C(13, 4) C(11, 2) 9. Determine el número de maneras en que se pueden reordenar las letras de la palabra TABLERO de acuerdo con las siguientes restricciones adicionales: (a) Las sílabas TA, BLE y RO deben preservarse (las letras correspondientes aparecen consecutivas y en el mismo orden). 3! Es el número de permutaciones de 3 objetos distintos: (b) Las letras T, B y R deben aparecer en ese orden. Alternativa 1: Sin restringir se tienen 7! ordenamientos (permutaciones). Estas se pueden dividir en grupos de 3! que provienen de un ordenamiento con T, B, R en orden al permutar estas 3 letras. Por lo tanto el número que se pregunta es 7!/3! = = 840 Alternativa 2: Comenzando con T, B, R en orden, para las restantes 4 letras se tienen 4, 5, 6 y 7 posibilidades para ponerlas (inicialmente T, B, R determianan 4 posibilidades y el número de estas aumenta por 1 después de cada letra que es agregada. Por lo tanto, la respuesta es =

7 (c) Comienza con consonante y termina con vocal. Se tienen 4 posibilidades para la consonante al comienzo y 3 para la vocal al final. Las 5 letras restantes se pueden permutar entre la primera y última letras, Por lo tanto, el número de ordenamientos es 4 3 5! = (d) Comienza con TA, BLE ó RO Si comienza con TA, BLE ó RO, entonces las otras 5,4 y 5 letras respectivamente se pueden permutar. Entonces el número es 5! + 4! + 5! = (a) (Ejemplo , Johnsonbaugh 6a ed) Sea X un conjunto de n elementos. De cuántas formas se puede selecionar pares (A, B) que satisfacen A B X? Cada elemento de X puede estar en A, en B A ó en X B. La selección entre estas tres posibilidad para cada x X resulta en un par (A, B) diferente, y cualquier par (A, B) se obtiene de esta manera. Por lo tanto el número de tales pares es 3 n. (b) (Esquina de solución de problemas, sec 6.1, Johnsonbaugh 6a ed) Sea X un conjunto de n elementos. De cuantas formas se puede seleccionar una tripleta ordenada de conjuntos X 1, X 2, X 3 subconjuntos de X tal que X 1 X 2 X 3 = X y X 1 X 2 X 3 = Los tres conjuntos X 1, X 2, X 3 determinan 8 subconjuntos disyuntos de X: X 1 X 2 X 3, X 1 X 2 X 3,..., X 1 X 2 X 3 cuya unión es X (forman una partición). La únicas restricciones sobre X 1, X 2, X 3 es que X 1 X 2 X 3 = y X 1 X 2 X 3 =. Por lo tanto cada elemento de X puede estar en seis de los ocho conjuntos de la partición. Por lo tanto, el número de selecciones posibles es 6 } 6 {{ 6} = 6 n. n veces 7