Matemáticas Discretas. Oscar Bedoya

Transcripción

1 Matemáticas Discretas Oscar Bedoya

2 * Lógica proposicional * Concepto de proposición * Valores de verdad * Operadores lógicos * Tipos de proposiciones * Representación de frases del lenguaje natural

3 470a.c Sócrates 424a.c Platón 384a.c Aristóteles

4 Silogismos Todos los hombres son mortales Sócrates es hombre Por lo tanto, Sócrates es mortal

5 Aristóteles Descendía de una familia de Asclepíades Creador de la lógica formal, economía, astronomía, precursor de la anatomía, la biología y la taxonomía Discípulo de Platón y maestro de Alejandro Magno (384a.c 322a.c) Aristóteles funda su propia escuela en Atenas, el Liceo (los peripatéticos)

6 Platón y Aristóteles por Raffaello

7 Ética a Nicómaco Libro I: La felicidad Libro II: Elementos de la virtud Libro III: Los pasos de la voluntad; la fortaleza y la templanza Libro IV: Algunas virtudes de riquezas, de espíritu y de vida Libro V: La justicia y las virtudes de carácter Libro VI: Las virtudes intelectuales Libro VII: El placer; la continencia y la incontinencia Libro VIII: La amistad en general Libro IX: La amistad relativa a sus causas y a la felicidad Libro X: El placer y la felicidad

8 El mundo del Wumpus Antiguo juego de computador de un agente que explora una cueva con el objetivo de encontrar el oro (si es posible, el oro puede estar en un hueco) y salir por el mismo punto que entró

9 El mundo del Wumpus El agente puede intentar matar al Wumpus con una única flecha 1000 puntos si toma el oro Cada acción realizada cuesta 1 punto puntos si da muerte al Wumpus El Wumpus no se mueve Cuando muere el Wumpus emite un gemido

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11 Hay brisa en [1,2] Qué puede inferir?

12 Hay brisa en [1,2] Hay hedor en [2,1] Qué puede inferir?

13 Hay brisa en [1,2] Hay hedor en [2,1] Qué puede inferir?

14 Hay brisa en [1,2] Hay hedor en [2,1] Hay brisa en [2,3] Qué puede inferir?

15 Hay brisa en [1,2] Hay hedor en [2,1] Hay brisa en [2,3] Qué puede inferir? Hay hoyo en [1,3]

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17 Lógica proposicional Lógica de predicados

18 Proposición Es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez

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20 Proposición Es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez Bogotá es la capital de Colombia Lima es la capital de Perú 2+3=6 5-1=4 4 es un número primo

21 Proposición No es una proposición aquella expresión que no es declarativa o que no se puede decir si es falsa o verdadera

22 Proposición No es una proposición aquella expresión que no es declarativa o que no se puede decir si es falsa o verdadera Qué hora es? Lea esto con atención x + 1 = 2 Mañana lloverá

23 Proposición Indique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones 11 es un número primo Andrés vivirá 60 años Cali no va a ganar el torneo Sarah es inteligente

24 Proposición Estas son algunas proposiciones: 11 es un número primo Sarah es inteligente Bogotá es la capital de Colombia Lima es la capital de Perú 2+3=6 5-1=4

25 Proposición Estas son algunas proposiciones: 11 es un número primo Sarah es inteligente Bogotá es la capital de Colombia Lima es la capital de Perú 2+3=6 5-1=4 Para denotar las proposiciones se usan letras, llamados símbolos proposicionales

26 Proposición Para denotar las proposiciones se usan letras y se expresan de la siguiente forma: p: 11 es un número primo q: Sarah es inteligente r: Bogotá es la capital de Colombia s: Lima es la capital de Perú t: 2+3=6 u: 5-1=4

27 Proposición Para denotar las proposiciones se usan letras y se expresan de la siguiente forma: p: 11 es un número primo q: Sarah es inteligente r: Bogotá es la capital de Colombia s: Lima es la capital de Perú t: 2+3=6 u: 5-1=4 El valor de verdad de una proposición indica si es verdadera (V) o falsa (F)

28 Proposición Para denotar las proposiciones se usan letras y se expresan de la siguiente forma: p: 11 es un número primo q: Sarah es inteligente r: Bogotá es la capital de Colombia s: Lima es la capital de Perú t: 2+3=6 u: 5-1=4 El valor de verdad de p es V (verdadero) El valor de verdad de t es F (Falso)

29 Proposición Para denotar las proposiciones se usan letras y se expresan de la siguiente forma: p: 11 es un número primo q: Sarah es inteligente r: Bogotá es la capital de Colombia s: Lima es la capital de Perú t: 2+3=6 u: 5-1=4 Cuál es el valor de verdad de r, s y u?

30 Proposiciones simples y compuestas Se pueden relacionar diferentes proposiciones simples para formar una compuesta

31 Proposiciones simples y compuestas Se pueden relacionar diferentes proposiciones simples para formar una compuesta Hoy es martes y la temperatura es de 21º C Si no llueve hoy entonces voy a la clase de discretas No es cierto que Juan perdió el examen Cali perdió contra el Junior y no clasificó a la final Javier perdió Discretas o Cálculo

32 Proposiciones simples y compuestas Se pueden relacionar diferentes proposiciones simples para formar una compuesta Hoy es martes y la temperatura es de 21º C Si no llueve hoy entonces voy a la clase de discretas No es cierto que Juan perdió el examen Cali perdió contra el Junior y no clasificó a la final Javier perdió Discretas o Cálculo

33 Proposiciones simples y compuestas Se pueden relacionar diferentes proposiciones simples para formar una compuesta Hoy es martes y la temperatura es de 21º C Si no llueve hoy entonces voy a la clase de discretas No es cierto que Juan perdió el examen Cali perdió contra el Junior y no clasificó a la final Javier perdió Discretas o Cálculo Las proposiciones se pueden relacionar por medio de conectivos lógicos u operadores

34 Operadores lógicos Negación ( ) Conjunción ( ) Disyunción ( ) O-exclusivo ( ) Implicación ( ) Doble implicación ( )

35 Represente las siguientes proposiciones compuestas usando los conectivos lógicos 1. Hoy es martes y la temperatura es de 21º C 2. Si no llueve hoy entonces voy a la clase de discretas 3. No es cierto que Juan perdió el examen 4. Cali perdió contra el Junior y no clasificó a la final 5. Javier perdió Discretas o Cálculo

36 Represente las siguientes proposiciones compuestas usando los conectivos lógicos Hoy es martes y la temperatura es de 21º C Si no llueve hoy entonces voy a la clase de discretas No es cierto que Juan perdió el examen Cali perdió contra el Junior y no clasificó a la final Javier perdió Discretas o Cálculo Cuál es el valor de verdad de Hoy es martes y la temperatura es de 21º C?

37 Represente las siguientes proposiciones compuestas usando los conectivos lógicos Hoy es martes y la temperatura es de 21º C Si no llueve hoy entonces voy a la clase de discretas No es cierto que Juan perdió el examen Cali perdió contra el Junior y no clasificó a la final Javier perdió Discretas o Cálculo Cuál es el valor de verdad de Si no llueve hoy entonces voy a la clase de discretas?

38 Negación ( ) Proposición p: Bogotá es la capital de Colombia p: El idioma oficial en Colombia es el inglés Negación p: Bogotá no es la capital de Colombia p: El idioma oficial en Colombia no es el inglés

39 Negación ( ) Tabla de verdad p V F F V p

40 Conjunción ( ) En este salón hay más hombres que mujeres y tienen un mejor promedio de calificaciones Perdí Discretas y Cálculo

41 Conjunción ( ) Bogotá es la capital de Colombia p q p q 1+1=2 Bogotá es la capital de Colombia y 1+1=2 1+1=2 El idioma oficial en Colombia es el inglés 1+1=2 y El idioma oficial en Colombia es el inglés El idioma oficial en Colombia es el inglés El idioma oficial en Colombia es el inglés 1+1=2 El idioma oficial en Colombia es el inglés y 1+1=2 1+1=7 El idioma oficial en Colombia es el inglés y 1+1=7

42 Conjunción ( ) p q p q V V V V F F F V F F F F

43 Conjunción ( ) p q r p q r Muestre la tabla de la conjunción cuando se tienen 3 proposiciones

44 Conjunción ( ) p q r p q r V V V V V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F F

45 Disyunción ( ) Los estudiantes quienes han visto cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación Usted puede hacer el parcial o el opcional

46 Disyunción ( ) Bogotá es la capital de Colombia p q p q 1+1=2 Bogotá es la capital de Colombia o 1+1=2 1+1=2 El idioma oficial en Colombia es el inglés 1+1=2 o El idioma oficial en Colombia es el inglés El idioma oficial en Colombia es el inglés El idioma oficial en Colombia es el inglés 1+1=2 El idioma oficial en Colombia es el inglés o 1+1=2 1+1=7 El idioma oficial en Colombia es el inglés o 1+1=7

47 Disyunción ( ) p q p q V V V V F V F V V F F F

48 O-exclusivo ( ) Hamlet fue escrito o en 1601 o en 1688 Sarah quiere o a Oscar o a Juan En su plato de entrada puede tomar o sopa o ensalada

49 O-exclusivo ( ) En su plato de entrada puede tomar o sopa o ensalada p q p q V V? V F? F V? F F?

50 O-exclusivo ( ) p q p q V V F V F V F V V F F F

51 Implicación ( ) Si el jueves hay tropel entonces perderemos clase Si pierdo los parciales entonces perderé discretas Si me queda discretas en 2.9 entonces el profesor no me pasa

52 Implicación ( ) Si soy elegido, bajaré los impuestos p q p q V V? V F? F V? F F?

53 Implicación ( ) Si soy elegido, bajaré los impuestos p q p q V V V V F F F V V F F V Solo se incumple el condicional si es elegido y no baja los impuestos

54 Implicación ( ) p q p q V V V V F F F V V F F V Si hace sol, entonces iremos a la playa

55 La contrapositiva Dada la proposición p q, su contrapositiva está dada por q p

56 El recíproco Dada la proposición p q, su recíproco es la proposición q p

57 Doble implicación ( ) Paso el curso si, y solo si, gano el examen Puede tomar el postre si, y solo si, acabas tu comida

58 Doble implicación ( ) Paso el curso si, y solo si, gano el examen Puede tomar el postre si, y solo si, acabas tu comida p: paso el curso q: gano el examen p?

59 Doble implicación ( ) Paso el curso si, y solo si, gano el examen Puede tomar el postre si, y solo si, acabas tu comida p: paso el curso q: gano el examen p q

60 Doble implicación ( ) Paso el curso si, y solo si, gano el examen Puede tomar el postre si, y solo si, acabas tu comida p: paso el curso q: gano el examen p q q?

61 Doble implicación ( ) Paso el curso si, y solo si, gano el examen Puede tomar el postre si, y solo si, acabas tu comida p: paso el curso q: gano el examen p q q p

62 Doble implicación ( ) Paso el curso si, y solo si, gano el examen Puede tomar el postre si, y solo si, acabas tu comida p q, es lo mismo que, (p q) (q p)

63 Doble implicación ( ) Paso el curso si, y solo si, gano el examen p: paso el curso q: gano el examen p q p q V V? V F? F V? F F?

64 Doble implicación ( ) Paso el curso si, y solo si, gano el examen p: paso el curso q: gano el examen p q p q V V V V F F F V F F F V

65 Doble implicación ( ) p q p q V V V V F F F V F F F V

66 Conectivo Significado Proposición Compuesta Nombre en lógica Y p q Conjunción O p q Disyunción No p Negación si.. entonces p q Condicional si y solo si p q Bicondicional

67 Valor de verdad de proposiciones compuestas Se quiere conocer el valor de verdad de proposiciones compuestas. Para esto, se completan las tablas de verdad para cada una de las posibles combinaciones (p q) ( p q) ( p q) (q p) (p q) (p q) (p p) ( q q) (p r) ( p r) (p q) ( p q)

68 Tabla de verdad para (p q) ( p q) p q (p q) ( p q) V V? V F? F V? F F?

69 Tabla de verdad para (p q) ( p q) p q p p q p q (p q) ( p q) V V F F V F V F

70 Tabla de verdad para (p q) ( p q) p q p p q p q (p q) ( p q) V V F V F F F V V F F V

71 Tabla de verdad para (p q) ( p q) p q p p q p q (p q) ( p q) V V F V V F F F F V V F F F V F

72 Tabla de verdad para (p q) ( p q) p q p p q p q (p q) ( p q) V V F V F V F F F F F V V F V F F V F F

73 Tabla de verdad para (p q) ( p q) p q p p q p q (p q) ( p q) V V F V F F V F F F F V F V V F V V F F V F F V

74 Tabla de verdad para ( p q) (q p)

75 Tabla de verdad para ( p q) (q p) p q p q p q q p ( p q) (q p) V V F F V V V V F F V V V V F V V F F V F F F V V V F F

76 Tabla de verdad para ( p q) (p q)

77 Tabla de verdad para ( p q) (p q) p q p q p q p q ( p q) (p q) V V F F V V V V F F V F F V F V V F V F F F F V V V V V

78 Tabla de verdad para (p r) ( q r)

79 Tabla de verdad para (p r) ( q r) p q r q r p r q r (p r) ( q r) V V V F F F V V V V F F V V V V V F V V F F V V V F F V V V F V F V V F F F V V F V F F V F V V F F V V F F V V F F F V V F F F

80 Tipos de proposiciones Tautología Contradicción Contingencia

81 Tipos de proposiciones Tautología. La proposición es verdadera para todos los posibles valores de verdad Contradicción. La proposición es falsa para todos los posibles valores de verdad Contingencia. La proposición no es ni tautología ni contradicción

82 Clasifique como Tautología, Contradicción o Contingencia las siguientes proposiciones compuestas: (p q) (p q) [(p q) (q r)] (p r) (p p) ( q q)

83 Tabla de verdad para (p q) (p q)

84 Tabla de verdad para (p q) (p q) p q p q p q (p q) (p q) V V F V V V F V F F F V V F F F F F V V (p q) (p q) es una contingencia

85 Tabla de verdad para [(p q) (q r)] (p r)

86 Tabla de verdad para [(p q) (q r)] (p r) p q r p q q r (p q) (q r) p r (p q) (q r) (p r) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V [(p q) (q r)] (p r) es una tautología

87 Tabla de verdad para (p p) ( q q)

88 Tabla de verdad para (p p) ( q q) p q p q p p (p p) q q (p p) ( q q) V V F F F V F F V F F V F V F F F V V F F V F F F F V V F V F F (p p) ( q q) es una contradicción

89 Tabla de verdad para ( p q) ( p q)

90 Tabla de verdad para ( p q) ( p q) p q p q p q p q ( p q) ( p q) V V F F F V V V F F V F V V F V V F F V V F F V V V F V ( p q) ( p q) es una tautología

91 Desarrolle la tabla de verdad para los siguientes pares de proposiciones: (p q), p q

92 Tabla de verdad para (p q), p q p q p q p q (p q) p q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V

93 Tabla de verdad para (p q), p q p q p q p q (p q) p q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V

94 Tabla de verdad para (p q), p q p q p q p q (p q) p q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V Se dice que (p q) y p q son lógicamente equivalentes (p q) p q

95 Equivalencia lógica ( ) Dos proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad

96 Tabla de verdad para (p q), p q p q p q p q (p q) p q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V Se dice que (p q) y p q son lógicamente equivalentes (p q) p q

97 Tabla de verdad para (p q), p q p q p q p q (p q) p q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V Ley de De Morgan: (p q) p q

98 Augustus De Morgan Fue tutor de Ada Lovelace Era ciego de un ojo desde que tenía 2 meses de nacido Fue cuarto Wrangler. Universidad de Cambridge En 1838 presentó la primera explicación clara de una demostración por inducción matemática ( )

99 Muestre que los siguientes pares de proposiciones son lógicamente equivalentes: p q, p q p (q r), (p q) (p r)

100 Tabla de verdad para p q, p q p q p q p p q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V

101 Tabla de verdad para p q, p q p q p q p p q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V

102 Tabla de verdad para p (q r), (p q) (p r) p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F F F F F F

103 Tabla de verdad para p (q r), (p q) (p r) p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F F F F F F Ley distributiva: p (q r) (p q) (p r)

104 Indique si el siguiente par de proposiciones es lógicamente equivalente: p q, p q

105 Tabla de verdad para p q, p q p q p q p q p q V V F F V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V Como no coinciden para todos los valores de verdad, no son lógicamente equivalentes

106 Equivalencia Nombre p V p p F p p V V p F F p p p p p p Leyes de identidad Leyes de dominación Leyes de idempotencia ( p) p Ley de la doble negación p q q p p q q p (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q) p q (p q) p q p (p q) p p (p q) p p p p V p F Leyes conmutativas Leyes asociativas Leyes de distributivas Leyes de De Morgan Leyes de absorción Leyes de negación

107 Pruebe la ley de absorción, p (p q) p

108 Pruebe la ley de absorción, p (p q) p p q p q p (p q) V V V V V F F V F V F F F F F F

109 Pruebe la ley de absorción, p (p q) p p q p q p (p q) V V V V V F F V F V F F F F F F

110 Aplique la ley que se indica en cada caso: Distributiva sobre p (p q) De Morgan sobre (p q) De Morgan sobre (q ( p r))

111 Equivalencias relacionadas con implicaciones p q p q p q q p p q p q p q (p q) (p q) p q (p q) (p r) p (q r) (p r) (q r) (p q) r (p q) (p r) p (q r) (p r) (q r) (p q) r

112 Pruebe la equivalencia, p q q p

113 Pruebe la equivalencia, p q q p p q p q p q q p V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

114 Aplique la ley p q ( p r) q (p q) ( q r) p q en los siguientes casos:

115 Equivalencias relacionadas con doble implicación p q (p q) (q p) p q p q p q (p q) ( p q) (p q) p q

116 Demostrar equivalencias lógicas Las equivalencias lógicas se pueden demostrar construyendo la tabla de verdad. Otra forma de hacerlo consiste en utilizar equivalencias ya conocidas

117 Pruebe la equivalencia, (p ( p q)) p q

118 Pruebe la equivalencia, (p ( p q)) p q (p ( p q))

119 Pruebe la equivalencia, (p ( p q)) p q (p ( p q)) p ( p q) p [ ( p) q] p (p q) ( p p) ( p q) F ( p q) ( p q) F ( p q) De Morgan De Morgan Doble negación Distributiva Ley de negación Conmutativa Identidad

120 Augusta Ada Lovelace Trabajó junto a Charles Babbage en la máquina analítica Fue la primer persona que escribió un programa para computador Hay un lenguaje de programación en su honor llamado Ada En 1845 junto a Babbage intentó desarrollar un sistema para predecir carreras de caballos ( )

121 Pruebe la equivalencia, p (p q) V

122 Pruebe la equivalencia, p (p q) p (p q) p (p q) ( p p) q V q V V p q p q Asociativa Negación Dominación

123 Pruebe la equivalencia, (p q) (p q) V

124 Pruebe la equivalencia, (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) p ( q p) q p (p q) q ( p p) ( q q) V V V V p q p q De Morgan Asociativa Conmutativa Asociativa Negación Dominación

125 Pruebe la equivalencia, p (p q) V

126 Pruebe la equivalencia, p (p q) V p (p q) ( p) (p q) p (p q) p ( p q) (p p) q V q V p q p q Doble negación p q p q Asociativa Negación Dominación

127 Pruebe la equivalencia, ( p q) q ( p q) q

128 Pruebe la equivalencia, ( p q) q ( p q) q ( p q) q [ ( p) q] q (p q) q [ p ( q)] q ( p q) q ( p q) q p q p q p q p q Doble negación De Morgan Doble negación

129 Pruebe la equivalencia, [ (p q) (p q) ] F

130 Pruebe la equivalencia, [ (p q) (p q) ] F [(p q) (p q)] [ (p q) (p q)] [( p q) (p q)] [( p q) ( p q)] [( p q) (q p)] [ p ( q q) p] ( p V p) (V) F p q p q De Morgan p q p q Conmutativa Asociativa Negación Dominación V F

131 Representación de frases del lenguaje natural La lógica permite representar de forma no ambigua frases que se usan en el lenguaje natural

132 Si eres estudiante de Sistemas o no eres primíparo entonces puedes acceder a Internet desde la Universidad

133 Si eres estudiante de Sistemas o no eres primíparo entonces puedes acceder a Internet desde la Universidad p: Estudias Sistemas q: Eres primíparo r: Puedes acceder a Internet desde la Universidad

134 Si eres estudiante de Sistemas o no eres primíparo entonces puedes acceder a Internet desde la Universidad p: Estudias Sistemas q: Eres primíparo r: Puedes acceder a Internet desde la Universidad (p q) r

135 Si mides menos de 1.20 metros o eres menor de dieciséis años, no puedes montar en la montaña rusa

136 Si mides menos de 1.20 metros o eres menor de dieciséis años, no puedes montar en la montaña rusa p: mides menos de 1.20 metros q: eres menor de 16 años r: puedes montar en la montaña rusa

137 Si mides menos de 1.20 metros o eres menor de dieciséis años, no puedes montar en la montaña rusa p: mides menos de 1.20 metros q: eres menor de 16 años r: puedes montar en la montaña rusa (p q) r

138 Una foto es rectangular o cuadrada. Una foto es a color o en blanco y negro. Si la foto es cuadrada, entonces es una foto en blanco y negro. Si es rectangular, es una foto en color. En caso de que la foto sea en blanco y negro, entonces es un retrato. Si la foto es un retrato, es la foto de mi amigo. Se sabe que la foto no es a color

139 r: la foto es rectangular c: la foto es cuadrada l: la foto es a color b: la foto es a blanco y negro t: la foto es un retrato a: la foto es de mi amigo

140 1. r c 2. b l 3. c b 4. r l 5. b t 6. t a 7. l

141 Uno de los siguientes equipos ganó el torneo: América, Cali, Millonarios, Santa Fe, Medellín o Nacional Si el vencedor fue América o Cali, un equipo del Valle ganó el torneo Si Millonarios o Santa Fe ganaron, el vencedor fue un equipo de Bogotá Si el vencedor fue Medellín o Nacional, un equipo de Antioquia ganó el torneo Si Medellín fue derrotado entonces Santa Fe también Cali perdió =) Si América perdió, entonces el Valle no ganó el torneo Si el Cali perdió, entonces un equipo de Antioquia no ganó el torneo Si Nacional fue derrotado entonces Millonarios y Medellín también

142 a: América ganó el torneo c: Cali ganó el torneo m: Millonarios ganó el torneo s: Santa Fe ganó el torneo e: Medellín ganó el torneo n: Nacional ganó el torneo v: un equipo del Valle ganó el torneo p: un equipo de Antioquia ganó el torneo b: un equipo de Bogotá ganó el torneo

143 1. a c m s e n 2. (a c) v 3. (m s) b 4. (e n) p 5. e s 6. c 7. a v 8. c p 9. n ( m e) Lógica proposicional